第七讲：有理数的混合运算（暑期预习衔接讲义）（知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼）-2025-2026学年七年级数学上册（北师大版2024）

【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年北师大版七年级数学上册 第七讲：有理数的混合运算 （知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：有理数混合运算的法则 1. 有理数的混合运算法则 先算乘方，再算乘除，最后算加减 ；如果有括号，先算括 号里面的 . 2. 有理数的混合运算需注意的几个问题 (1)有理数的运算，加减法 是第一级运算；乘除法是第二级运算；乘方是第三级运算 . 一个式子中含有多级运算时，先做第三级运算，再做第二级运算，最后做第一级运算，有括号时，先做括号内的运算，一般按照小括号、中括号、大括号的顺序进行运算 . (2)灵活运用运算律，改变运算顺序，可以简化计算 . 知识点02：准确数与近似数 1. 准确数:与实际完全相符的数，称为准确数 . 2. 近似数:与实际非常接近，但存在一定偏差的数叫近似数 . 在实际问题中有的量不可能或没有必要用准确数表示，而用一个有理数近似地表示出来，这个数 就是 这个量的近似数(或近似值) . 考点1：有理数的四则运算 【典型例题】 计算的结果等于（　　） A．6 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数四则运算，先计算有理数除法，再计算有理数加法即可得出答案． 【详解】解：， 故选：D． 【变式训练1】 下列计算正确的是（   ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、有理数乘法运算律等知识点，正确应用乘法分配律是解题的关键． 根据有理数混合运算法则以及乘法运算律逐项判断即可解答． 【详解】解：A：左边为，根据乘法分配律，应展开为，但选项A的右边为，符号错误，故A错误，不符合题意； B．左边为，正确展开应为，但选项B的右边为，导致结果错误，故B错误，不符合题意； C．左边为，根据分配律展开为，计算得，与左边结果一致，故C正确，符合题意； D．除法不满足分配律，左边，右边，明显不等，故D错误，不符合题意． 故选C． 【变式训练2】 对于有理数a，b定义一种新运算，规定，则的值为（  ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了新定义的有理数运算． 根据新定义，先计算括号内的，再计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 考点2：有理数的四则运算的应用 【典型例题】 一种果汁原价20元一桶．甲、乙、丙三个商店分别采用不同的促销方案．甲店：打八折出售；乙店：每桶减价5元出售；丙店：每满一百元减三十元．如果想买8桶果汁，到（ ）商店买最合算． A．甲 B．乙 C．丙 【答案】B 【分析】分别计算甲、乙、丙三个商店购买8桶果汁的总费用，比较后选择最便宜的商店． 【详解】解：甲店打八折的费用：（元）； 乙店每桶减5元的总费用：（元）； 丙店每满100元减30元的总费用：（元）． 因为， 所以到乙店购买最合算． 故选：B． 【变式训练1】 两列火车分别从两城相对开出，1.5小时后两车在途中相遇．已知甲车每小时行80千米，乙车每小时行60千米，两城之间的距离是（    ）千米 A．180 B．210 C．240 D．270 【答案】B 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，根据“路程时间速度”，代入数据解答即可． 【详解】解：（千米）， ∴两城之间的距离是210千米， 故选：B 【变式训练2】 一堆煤，昨天用去0.6吨，今天比昨天多用，两天一共用去多少吨？正确的算式是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数混合运算的应用，求出今天的用量，再加上昨天的用量，即可得出答案． 【详解】解：由题意得，， 故选：C． 考点3：24点 【典型例题】 下面各组数中，不能通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24的是（　　） A．1，1，7，7 B．2，2，8，8 C．1，1，2，8 D．1，1，4，6 【答案】A 【分析】本题考查有理数的四则运算，通过尝试不同的四则运算组合，判断每组数字是否能得到24． 【详解】解：A、无法通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24； B、，即可以通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24； C、，即可以通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24； D、，即可以通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24． 故选：A 【变式训练1】 有一种算“24点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数只能用一次）进行加减乘除运算，使其结果等于24．现有四个有理数：3，4，，10，运用上述规则，下列算式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据有理数的运算法则逐项计算可得答案． 【详解】解：A．，故符合题意； B．，故不符合题意； C．，故不符合题意；     D．，故不符合题意； 故选A． 【变式训练2】 “算24点”的游戏规则是：用“，，，”…四种运算符号把给出的4个数字连接起来进行计算，要求最终算出的结果是24，例如，给出2，2，2，8这四个数， 可以列式．以下的4个数用“，，，”四种运算符号不能算出结果为24的是（  ） A．1，6，8，7 B．1，2，3，4 C．4，4，10，10 D．6，3，3，8 【答案】A 【分析】根据题意，逐项组合计算，即可作答． 【详解】A项，1，6，8，7，不能算出结果为24，故符合题意； B项，，能算出结果为24，故不符合题意； C项，，能算出结果为24，故不符合题意； D项，，能算出结果为24，故不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了数之间的混合运算，根据已有的数据灵活组合举例，是解答本题的关键． 考点1：含乘方的四则运算 【典型例题】 计算：的结果是（    ） A．9 B． C． D．36 【答案】D 【分析】本题考查有理数的混合运算，先算乘方，并把除法转化为乘法，再算乘法即可． 【详解】解： 故选 D． 【变式训练1】 定义一种新运算*，规定运算法则为：（m，n均为整数，且）．例：，则的结果是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查新定义，有理数的混合运算，根据新定义，列出算式进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：； 故答案为：8． 【变式训练2】 计算得（   ） A．12 B． C．36 D． 【答案】D 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，熟练掌握运算顺序和运算法则是解题的关键．先算乘方，再算乘法，最后算减法，计算即可． 【详解】解：， 故选：D． 一、单选题 1．计算：（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合运算，先计算括号里面的，再计算括号外面的． 【详解】解：， 故选：B 2．中考新趋势•新定义 形如的式子叫作二阶行列式，它的运算法则用公式表示为，依此法计算的结果为（   ） A．11 B． C．5 D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的混合运算和新定义运算，理解题意，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 根据题中给出的信息，利用已知的新定义计算即可求出值． 【详解】解：∵ ， ∴， 故选：A． 3．（学习情境·运算）在数学课上，老师让甲、乙、丙、丁四位同学分别做了一道有理数运算题，你认为做对的同学是（   ） 甲：． 乙： 丙： 丁： A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． 根据有理数的混合运算法则和运算顺序依次判断即可． 【详解】甲：，故甲做的不对； 乙：，故乙做的不对； 丙：，故丙做的对； 丁：，故丁做的不对． 故选：C． 4．一列火车长200米， 以每分钟1200米的速度通过一座大桥，从车头到车尾一共用了2分钟．那么桥的长度是多少米？正确的算式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了基本的数量关系，理解火车走的路程的组成部分是解题的关键． 根据火车走过的路程桥长车身长列式即可． 【详解】解： ， ∴正确的算式是． 故选：B ． 5．如图所示的运算程序中，如果开始输入x的值为2，可以发现第一次输出的结果为，第二次输出的结果为，…，则第2025次输出的结果是（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了规律型—数字的变化类，找出变化规律是解题的关键．计算出第次，第次的输出结果，发现输出结果以、、为一个循环组依次循环，然后计算即可． 【详解】解：∵第次输出的结果为， 第次输出的结果为， ∴第次输出的结果为， 第次输出的结果为， ∴输出结果以、、为一个循环组依次循环， ∵， ∴第2025次输出的结果为1， 故选：A． 6．（　　） A．0 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． 先计算乘方，然后计算乘除，最后计算加减． 【详解】 ． 故选：A． 7．在数学课上，老师让A、B、C、D四位同学分别做了一道有理数运算题，你认为做对的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了有理数的混合运算．根据有理数的运算法则和顺序计算后即可得到答案． 【详解】A、， 故A不符合题意； B、， 故B不符合题意； C、， 故C符合题意； D、， 故D不符合题意； 故选：C． 8．中国奇书《易经》中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满5进1，用来记录孩子出生后的天数．由图可知，孩子自出生后的天数是（    ） A．27 B．42 C．55 D．210 【答案】B 【分析】本题考查了进位制的转换（含乘方的有理数混合运算），熟练掌握进位制的转换方法（含乘方的有理数混合运算）是解题的关键． 根据绳子上的结数，，，将五进制转换成十进制，即可得出答案． 【详解】解：根据题意得： 孩子自出生后的天数是： （天）， 故选：． 二、填空题 9． ． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的混合运算，先计算乘方和绝对值后，再计算加减法即可． 【详解】解： 故答案为： 10．规定一种运算，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答． 根据，可以求得所求式子的值． 【详解】解：∵， ， 故答案为：． 11．按如图的程序计算，若开始输入的值为2，最后输出的结果为 ． 【答案】11 【分析】本题考查了程序框图与有理数的混合运算；按照题意依次计算乘方与减法，计算结果与10比较，若小于继续计算，否则输出结果即可．第一次计算的结果为，以作为输入值，计算后结果为，以作为输入值，计算后结果为，则可得输出结果． 【详解】解：，，， 则输出结果为11； 故答案为：11． 12．某班5名学生在一次跳绳测试中的成绩以150个为标准，超过的个数记为正数，不足的个数记为负数，记录如下：，则他们的平均成绩是 个． 【答案】152 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，正负数的意义等知识；由题意平均成绩为标准数与5个数的平均数的和． 【详解】解：平均成绩为：（个）； 答：他们的平均成绩是152个． 13．计算：= ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算． 根据有理数的运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 14．小明用一根绳子测量一口枯井有多深．他把绳子放入井里，当绳子到达井底后，井外还留有12米．小明又把这根绳子对折后再放入井里，井外还留有2米．那么这根绳子长 米． 【答案】20 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算的应用，理解绳子对折前后井外绳子长度的变化与井深的关系是解题的关键． 因“小明把这根绳子对折后再放入井里，井外还留有2米”，这时绳子在外面的实际长度就是（米），这与第一次井口外的绳长12米就相差了（米），这部分绳长就是井的深度；根据第一次测量情况，绳子长度等于井深加上井外剩余长度，据此即可解答． 【详解】解：第二次井外绳子长度：（米）， 井深：（米）， 绳子长度（米）． 所以这根绳子长20米． 故答案为：20． 15．对有理数、定义运算“”如下：，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义运算法则、有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合运算法则是解题的关键． 根据新定义列算式计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 三、解答题 16．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)7 (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数加减运算、有理数四则混合运算、含乘方的有理数混合运算、绝对值等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． （1）先化减为加，然后运用有理数加减运算法则计算即可； （2）根据有理数四则混合运算法则计算即可； （3）先算乘方，然后根据有理数四则混合运算法则计算即可； （3）先算括号内乘方，再算加减，然后根据有理数四则混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 17．如图，这是一个计算程序． (1)若输入的值为1，求输出的值． (2)若输入的值为，直接写出输出的值． 【答案】(1)输出的值为 (2) 【分析】本题考查了程序流程图，含乘方的有理数的混合运算，熟练掌握含乘方的有理数的混合运算是解题的关键． （1）将1代入，得，将代入，得．然后输出即可； （2）由，可知输出的值仍为． 【详解】（1）解：将1代入，得， 将代入，得． ∴输出的值为； （2）解：∵， ∴输出的值仍为． 18．如图，现有5张卡片写着不同的数字，利用所学过的加、减、乘、除、乘方运算按要求解答下列问题． (1)①从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的和最小，则和的最小值为____________； ②从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最大，则商的最大值为____________． (2)从中任意取出4张卡片（每张卡片上的数字只能用一次），使这4张卡片上的数字运算结果为24，写出两个不同的等式． 【答案】(1)①；②6 (2)见解析，答案不唯一 【分析】本题主要考查有理数的混合运算， （1）①选取两个最小的数，相加即可；②选取绝对值的最大数和绝对值的最小数相除即可； （2）任意取出4张卡片，得出结果即可． 【详解】（1）解：①取出2张卡片为 和的最小值为 故答案为：； ②取出2张卡片为 商的最大值为 故答案为：6； （2）解：答案不唯一， 如：第一种：抽，，2，， 第二种：抽，，，， ． 19．某水果超市新进一批樱桃，每斤进价10元．为了合理定价，在一周内试行浮动价格，售出时每斤以15元为标准，超出15元的部分记为正，不足15元的部分记为负，超市记录一周内樱桃的售价情况及售出情况如下表所示（该周售完全部樱桃）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 每斤售价与标准售价相比 ■ 0 ● 售出斤数（斤） 10 20 15 10 10 5 20 (1)已知星期一每斤的实际售价为16元，则■表示的数是 ；已知星期五每斤的实际售价为11元，则●表示的数是 ；星期日每斤的实际售价为 元． (2)在（1）的基础上，这一周售完全部樱桃时，该水果超市能赚多少元？ 【答案】(1)；；12 (2)一周售完全部樱桃，该水果超市能赚320元 【分析】本题主要考查了正负数的应用、有理数的混合运算的应用等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． （1）直接根据正负数的意义、有理数加减运算即可解答； （2）根据有理数的混合运算求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴■表示的数是； ∵， ∴■表示的数是； ∵， ∴■表示的数是． 故答案为；；12． （2）解：根据题意得： （元）． 答：一周售完全部樱桃，该水果超市能赚320元． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年北师大版七年级数学上册 第七讲：有理数的混合运算 （知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：有理数混合运算的法则 1. 有理数的混合运算法则 先算乘方，再算乘除，最后算加减 ；如果有括号，先算括 号里面的 . 2. 有理数的混合运算需注意的几个问题 (1)有理数的运算，加减法 是第一级运算；乘除法是第二级运算；乘方是第三级运算 . 一个式子中含有多级运算时，先做第三级运算，再做第二级运算，最后做第一级运算，有括号时，先做括号内的运算，一般按照小括号、中括号、大括号的顺序进行运算 . (2)灵活运用运算律，改变运算顺序，可以简化计算 . 知识点02：准确数与近似数 1. 准确数:与实际完全相符的数，称为准确数 . 2. 近似数:与实际非常接近，但存在一定偏差的数叫近似数 . 在实际问题中有的量不可能或没有必要用准确数表示，而用一个有理数近似地表示出来，这个数 就是 这个量的近似数(或近似值) . 考点1：有理数的四则运算 【典型例题】 计算的结果等于（　　） A．6 B．2 C． D． 【变式训练1】 下列计算正确的是（   ） A．B． C． D． 【变式训练2】 对于有理数a，b定义一种新运算，规定，则的值为（  ） A． B． C． D．2 考点2：有理数的四则运算的应用 【典型例题】 一种果汁原价20元一桶．甲、乙、丙三个商店分别采用不同的促销方案．甲店：打八折出售；乙店：每桶减价5元出售；丙店：每满一百元减三十元．如果想买8桶果汁，到（ ）商店买最合算． A．甲 B．乙 C．丙 【变式训练1】 两列火车分别从两城相对开出，1.5小时后两车在途中相遇．已知甲车每小时行80千米，乙车每小时行60千米，两城之间的距离是（    ）千米 A．180 B．210 C．240 D．270 【变式训练2】 一堆煤，昨天用去0.6吨，今天比昨天多用，两天一共用去多少吨？正确的算式是（　　） A． B． C． D． 考点3：24点 【典型例题】 下面各组数中，不能通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24的是（　　） A．1，1，7，7 B．2，2，8，8 C．1，1，2，8 D．1，1，4，6 【变式训练1】 有一种算“24点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数只能用一次）进行加减乘除运算，使其结果等于24．现有四个有理数：3，4，，10，运用上述规则，下列算式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】 “算24点”的游戏规则是：用“，，，”…四种运算符号把给出的4个数字连接起来进行计算，要求最终算出的结果是24，例如，给出2，2，2，8这四个数， 可以列式．以下的4个数用“，，，”四种运算符号不能算出结果为24的是（  ） A．1，6，8，7 B．1，2，3，4 C．4，4，10，10 D．6，3，3，8 考点4：含乘方的四则运算 【典型例题】 计算：的结果是（    ） A．9 B． C． D．36 【变式训练1】 定义一种新运算*，规定运算法则为：（m，n均为整数，且）．例：，则的结果是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式训练2】 计算得（   ） A．12 B． C．36 D． 一、单选题 1．计算：（    ） A． B．2 C． D． 2．中考新趋势•新定义 形如的式子叫作二阶行列式，它的运算法则用公式表示为，依此法计算的结果为（   ） A．11 B． C．5 D． 3．（学习情境·运算）在数学课上，老师让甲、乙、丙、丁四位同学分别做了一道有理数运算题，你认为做对的同学是（   ） 甲：． 乙： 丙： 丁： A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 4．一列火车长200米， 以每分钟1200米的速度通过一座大桥，从车头到车尾一共用了2分钟．那么桥的长度是多少米？正确的算式是（    ） A． B． C． D． 5．如图所示的运算程序中，如果开始输入x的值为2，可以发现第一次输出的结果为，第二次输出的结果为，…，则第2025次输出的结果是（   ） A．1 B．2 C． D． 6．（　　） A．0 B． C． D． 7．在数学课上，老师让A、B、C、D四位同学分别做了一道有理数运算题，你认为做对的是（   ） A． B． C． D． 8．中国奇书《易经》中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满5进1，用来记录孩子出生后的天数．由图可知，孩子自出生后的天数是（    ） A．27 B．42 C．55 D．210 二、填空题 9． ． 10．规定一种运算，，则的值为 ． 11．按如图的程序计算，若开始输入的值为2，最后输出的结果为 ． 12．某班5名学生在一次跳绳测试中的成绩以150个为标准，超过的个数记为正数，不足的个数记为负数，记录如下：，则他们的平均成绩是 个． 13．计算：= ． 14．小明用一根绳子测量一口枯井有多深．他把绳子放入井里，当绳子到达井底后，井外还留有12米．小明又把这根绳子对折后再放入井里，井外还留有2米．那么这根绳子长 米． 15．对有理数、定义运算“”如下：，则 ． 三、解答题 16．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 17．如图，这是一个计算程序． (1)若输入的值为1，求输出的值． (2)若输入的值为，直接写出输出的值． 18．如图，现有5张卡片写着不同的数字，利用所学过的加、减、乘、除、乘方运算按要求解答下列问题． (1)①从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的和最小，则和的最小值为____________； ②从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最大，则商的最大值为____________． (2)从中任意取出4张卡片（每张卡片上的数字只能用一次），使这4张卡片上的数字运算结果为24，写出两个不同的等式． 19．某水果超市新进一批樱桃，每斤进价10元．为了合理定价，在一周内试行浮动价格，售出时每斤以15元为标准，超出15元的部分记为正，不足15元的部分记为负，超市记录一周内樱桃的售价情况及售出情况如下表所示（该周售完全部樱桃）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 每斤售价与标准售价相比 ■ 0 ● 售出斤数（斤） 10 20 15 10 10 5 20 (1)已知星期一每斤的实际售价为16元，则■表示的数是 ；已知星期五每斤的实际售价为11元，则●表示的数是 ；星期日每斤的实际售价为 元． (2)在（1）的基础上，这一周售完全部樱桃时，该水果超市能赚多少元？ 学科网（北京）股份有限公司 $$