第六讲：有理数的乘方（暑期预习衔接讲义）（知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼）-2025-2026学年七年级数学上册（北师大版2024）

【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年北师大版七年级数学上册 第六讲：有理数的乘方 （知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：乘方的意义 1.乘方的意义:求n个相同因数a的积的运算叫作乘方 ， 乘方的结果叫作幂 . 一般地， 记作 an， 其中a 叫作底数， n 叫作指数. an读作“ a 的 n 次幂”(或“ a 的 n 次方”) . 2.乘方与乘法的关系: an 表示 n 个相同因数 a 的积，其中相同的因数是底数，因数的个数是指数，因此，可以把相同因数的乘法转化为乘方或把乘方转化为乘法 . 知识点02：乘方的运算 1. 有理数乘方的符号法则 2. 有理数的乘方运算:有理数的乘方运算同有理数的乘法运算一样分两步走：一是确定结果的符号；二是确定结果的绝对值 . 知识点03：10 n 的意义 10 n 表示 1 后面有 n 个 0 的数，即10 n =. 知识点04：用科学记数法表示数 定义: 一般地，一个大于 10 的数可以表示成 a× 10n 的形式，其中 1 ≤ a<10， n 是正整数，这种记数方法叫作科学记数法 确定 n 的方法: ①用整数的位数来确定 n， n 等于原数的整数位数减 1. ②按小数点移动的位数来确定 n，小数点向左移动了几位， n 就等于几 知识点05：还原用科学记数法表示的数 还原方法:把用科学记数法表示的数 a× 10 n 还原成原数时，只需把 a 中的小数点向右移动 n 位，并去掉乘号和 10 n 即可，若向右移动的位数不够，则用 0 补足 . 注意还原时，不要弄错原数的位数 . 考点1：有理数乘方运算 【典型例题】 计算的结果正确的是（   ） A． B． C．9 D．27 【变式训练1】 若，，，那么，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】 下列各对数中，数值相等的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 考点2：有理数乘方逆运算 【典型例题】 如果，则是（   ） A．8或 B． C．4 D．4或 【变式训练1】 若，则的值可以表示为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】 计算：（    ） A． B．1 C．0 D．2023 考点3：有理数乘方的应用 【典型例题】 一根1米长的木棒，第1次截去一半，第2次截去剩下部分的一半，如此截下去，第4次截完后剩下的木棒长为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式训练1】 已知，，，，，，那么的个位上的数字是（   ） A．6 B．4 C．2 D．0 【变式训练2】 一根长的铜丝，第一次剪去铜丝的，第二次剪去剩下铜丝的，如此剪下去，第次剪完后剩下铜丝的长度是（   ） A． B． C． D． 考点4：科学计数法 【典型例题】 根据国内旅游调查，2024年上半年，国内出行人数达到2740000000人次，用科学记数法记作（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】 江西省发布2024年10件民生实事，在支持重点群体就业创业方面，调整完善创业担保贷款政策，全年增加安排担保基金6000万元．将6000万用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】 一个数用科学记数法表示为，则这个数的整数数位有（    ） A．7位 B．6位 C．3位 D．1位 一、单选题 1．代数式可以表示成（    ） A．3个相乘 B．个3相乘 C．3个相加 D．个3相加 2．下列四个数：，，，，其中负数的个数是（  ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．无锡博物院位于太湖广场中央，博物院内拥有文物近40000件，以古代书画、历代紫砂、惠山泥人和无锡近现代革命文物和民族工商业文物为主要收藏文物．数据40000用科学记数法可表示为（   ）． A． B． C． D． 4．下列计算结果相等为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 5．计算的结果等于（    ） A． B．1 C． D． 6．截至2025年3月25日，中国国家博物馆文创凤冠冰箱贴累计销量突破件，带动凤冠全系列产品销售额跨越亿元．用科学记数法表示的数原来是（ ） A．100000 B．1000000 C．10000000 D．0.000001 7．对于与，下列叙述中正确的是（   ） A．底数相同，运算结果相同 B．底数相同，运算结果不同 C．底数不同，运算结果相同 D．底数不同，运算结果不同 8．若，则的值为（　　） A． B．6 C．10 D．16 二、填空题 9．若，且，都是有理数，则 ． 10．若，且，则的值为 ． 11．若，则 ． 12．计算： ． 13．在数轴上，所表示的点在所表示的点的左边，且，则的值为 ． 14．已知，，且，则的值等于 ． 15．规定一种新的运算“”：，例如，则 ． 16．已知a，b满足，则式子的值是 ． 三、解答题 17．计算 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 18．在如图所示的数轴上表示，并用“”将它们连接起来． 19．已知有理数、满足， (1)求的值； (2)如图，在一个无盖正方体展开图中，相对的两个面的数字互为相反数，求的值． 20．【提出问题】怎样比较与的大小？ 【分析问题】为了解决这个问题，我们先写出它的一般形式，即比较与的大小（n是正整数），然后我们从分析……中发现规律，经归纳、猜想，得出结论． 【探究过程】 （1）从简单的开始，比较下列各组中两数的大小（在横线上填写“”“”或“”）： ①_______；②_______；③_______；…… （2）根据上面的结果，经过归纳，猜想与有怎样的大小关系？ 【解决问题】 （3）根据以上探究，我们可得结论（在横线上填写“”“”或“”）：_______． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年北师大版七年级数学上册 第六讲：有理数的乘方 （知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：乘方的意义 1.乘方的意义:求n个相同因数a的积的运算叫作乘方 ， 乘方的结果叫作幂 . 一般地， 记作 an， 其中a 叫作底数， n 叫作指数. an读作“ a 的 n 次幂”(或“ a 的 n 次方”) . 2.乘方与乘法的关系: an 表示 n 个相同因数 a 的积，其中相同的因数是底数，因数的个数是指数，因此，可以把相同因数的乘法转化为乘方或把乘方转化为乘法 . 知识点02：乘方的运算 1. 有理数乘方的符号法则 2. 有理数的乘方运算:有理数的乘方运算同有理数的乘法运算一样分两步走：一是确定结果的符号；二是确定结果的绝对值 . 知识点03：10 n 的意义 10 n 表示 1 后面有 n 个 0 的数，即10 n =. 知识点04：用科学记数法表示数 定义: 一般地，一个大于 10 的数可以表示成 a× 10n 的形式，其中 1 ≤ a<10， n 是正整数，这种记数方法叫作科学记数法 确定 n 的方法: ①用整数的位数来确定 n， n 等于原数的整数位数减 1. ②按小数点移动的位数来确定 n，小数点向左移动了几位， n 就等于几 知识点05：还原用科学记数法表示的数 还原方法:把用科学记数法表示的数 a× 10 n 还原成原数时，只需把 a 中的小数点向右移动 n 位，并去掉乘号和 10 n 即可，若向右移动的位数不够，则用 0 补足 . 注意还原时，不要弄错原数的位数 . 考点1：有理数乘方运算 【典型例题】 计算的结果正确的是（   ） A． B． C．9 D．27 【答案】A 【分析】本题考查有理数的乘方，需明确负号是否参与指数运算． 根据运算顺序，指数运算优先于乘法．题目中的表达式应理解为先计算，再取负数． 【详解】解：， 故选：A． 【变式训练1】 若，，，那么，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的乘法、乘方运算及大小比较，先根据运算法则求出、、，再结合正数大于0，0大于负数判断即可得到答案． 【详解】解：由题意可得： ，，， ∵， ∴， 故选：B． 【变式训练2】 下列各对数中，数值相等的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】本题主要考查有理数的乘方运算，分别计算各选项中两个表达式的值，判断是否相等． 【详解】∵，，∴，故A错误． ∵，∴，故B正确． ∵，，∴，故C错误． ∵，，∴，故D错误． 故选B． 考点2：有理数乘方逆运算 【典型例题】 如果，则是（   ） A．8或 B． C．4 D．4或 【答案】D 【分析】此题考查有理数的乘方．直接利用有理数的乘方运算法则计算得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴a是：4或−4． 故选：D． 【变式训练1】 若，则的值可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘方，乘方的逆运算，等式的性质等知识点，根据有理数乘方的运算法则即可得解，熟练掌握有理数的乘方的意义是解题关键． 【详解】∵ ∴ ∴ ∴， 故选：D． 【变式训练2】 计算：（    ） A． B．1 C．0 D．2023 【答案】B 【分析】根据有理数乘方的逆运算法则计算即可得． 【详解】解：原式 ． 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数乘方的逆运算，熟练掌握有理数乘方的逆运算法则是解题关键． 考点3：有理数乘方的应用 【典型例题】 一根1米长的木棒，第1次截去一半，第2次截去剩下部分的一半，如此截下去，第4次截完后剩下的木棒长为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】此题考查了有理数的乘方，理解题意列出式子是解本题的关键．根据题意列出算式计算即可得到结果． 【详解】解：根据第1次截取后，剩， 第2次截取后，剩， 第3次截取后，剩 第4次后剩下，即（米） 故选B． 【变式训练1】 已知，，，，，，那么的个位上的数字是（   ） A．6 B．4 C．2 D．0 【答案】A 【分析】本题考查有理数乘方，解题的关键是根据已知条件，找出规律； 根据已知得出2的n次幂的个位数字以2，4，8，6四个数字循环，据此求解即可． 【详解】解：∵，，，，，， ∴2的整数次幂的个位数字是2，4，6，8，每4个数字为一个循环组依次循环， ∵， ∴的个位数字是， 故选：A． 【变式训练2】 一根长的铜丝，第一次剪去铜丝的，第二次剪去剩下铜丝的，如此剪下去，第次剪完后剩下铜丝的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的乘方，明确题意，准确得到规律是解题的关键．根据题意可得第一次剪去铜丝的，剩下铜丝的长度是m，第二次剪去剩下铜丝的，剩下铜丝的长度是m，……，由此发现规律，即可求解． 【详解】解：第一次剪去铜丝的，剩下铜丝的长度是m， 第二次剪去剩下铜丝的，剩下铜丝的长度是m， ……， 第次剪完后剩下铜丝的长度是m． 故答案为：C． 考点4：科学计数法 【典型例题】 根据国内旅游调查，2024年上半年，国内出行人数达到2740000000人次，用科学记数法记作（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】本题考查了科学记数法； 将2740000000用科学记数法表示，需将其写成的形式，其中，为整数． 【分析】解：原数为2740000000，将小数点从末尾向左移动9位，得到， 此时移动的位数即为指数， 因此科学记数法表示为， 故选：B． 【变式训练1】 江西省发布2024年10件民生实事，在支持重点群体就业创业方面，调整完善创业担保贷款政策，全年增加安排担保基金6000万元．将6000万用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了正整数指数科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【详解】解：6000万． 故选B． 【变式训练2】 一个数用科学记数法表示为，则这个数的整数数位有（    ） A．7位 B．6位 C．3位 D．1位 【答案】B 【分析】本题考查了科学记数法，用科学记数法表示的数还原成原数时，时，是几，小数点就向后移几位． 【详解】解：， 用科学记数法表示为，则这个数有个整数位． 故选：B． 一、单选题 1．代数式可以表示成（    ） A．3个相乘 B．个3相乘 C．3个相加 D．个3相加 【答案】A 【分析】本题主要考查了乘方运算的概念．将化为，即可进行解答． 【详解】解：∵， ∴可以表示成3个相乘， 故选：A． 2．下列四个数：，，，，其中负数的个数是（  ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查的是负数的含义，化简多重符号，乘方运算的含义，熟练的化简各数再作判断是解本题的关键． 【详解】解：，，，， ∴负数有：，共2个； 故选：B． 3．无锡博物院位于太湖广场中央，博物院内拥有文物近40000件，以古代书画、历代紫砂、惠山泥人和无锡近现代革命文物和民族工商业文物为主要收藏文物．数据40000用科学记数法可表示为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的形式为，其中，为整数，需将40000转化为符合该形式即可． 【详解】解：， 故选：C． 4．下列计算结果相等为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的乘方运算，绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握有理数乘方运算法则和绝对值的意义，准确进行计算． 根据乘方运算法则和绝对值的意义逐项进行计算即可． 【详解】A： ，， ， 故该选项不符合题意； B：，， ， 故该选项不符合题意； C：，，， ， 故该选项符合题意； D：，，， ， 故该选项不符合题意； 故选：C． 5．计算的结果等于（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，直接根据的任何次幂都是1作答即可． 【详解】解：， 故选：A． 6．截至2025年3月25日，中国国家博物馆文创凤冠冰箱贴累计销量突破件，带动凤冠全系列产品销售额跨越亿元．用科学记数法表示的数原来是（ ） A．100000 B．1000000 C．10000000 D．0.000001 【答案】B 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较大（或较小）的数，一般形式为，其中，n为整数，确定a与n的值是解题的关键．根据科学记数法的方法进行解题即可． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项不符合题意． 故选：B． 7．对于与，下列叙述中正确的是（   ） A．底数相同，运算结果相同 B．底数相同，运算结果不同 C．底数不同，运算结果相同 D．底数不同，运算结果不同 【答案】C 【分析】本题主要考查了幂的认识和运算，准确分析判断是解题的关键． 根据幂的性质判断即可． 【详解】∵，， ∴与，底数不同，运算结果相同． 故选：C． 8．若，则的值为（　　） A． B．6 C．10 D．16 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的平方，掌握有理数的平方是解本题的关键． 根据指数运算的性质，将已知条件转化为和的值，再代入求解． 【详解】已知，因为，所以， 又已知，因为，所以， 因此，，则． 故选：D． 二、填空题 9．若，且，都是有理数，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查偶次幂、绝对值的非负性，非负数的性质，有理数的乘方，求出、的值是解决问题的关键． 根据偶次幂、绝对值的非负性，非负数的性质，求出、的值再代入计算即可． 【详解】解：因为， 所以，， 即，， 所以， 故答案为：9． 10．若，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的乘方，乘法与加法，解题关键是掌握两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． 根据题意可得，，再根据可得、同号，进而可确定、的值，然后可得的值． 【详解】， ，， ， ，， ， 故答案为：． 11．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查非负性，根据非负性求出的值，再根据有理数的乘方法则进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 12．计算： ． 【答案】1 【分析】本题考查乘方与绝对值的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先算乘方和绝对值，再算减法． 【详解】解： ． 故答案为：1． 13．在数轴上，所表示的点在所表示的点的左边，且，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查有理数与数轴，有理数的运算，根据题意，得到，再根据绝对值的意义和有理数的乘法运算，求出，再利用减法法则进行计算即可． 【详解】解：∵在数轴上，所表示的点在所表示的点的左边， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴或； 故答案为：或． 14．已知，，且，则的值等于 ． 【答案】或 【分析】本题考查了绝对值的意义，有理数的乘方，有理数的减法运算，根据绝对值的意义，有理数的乘方得定义分别求出，的值，然后结合进行分类讨论即可求解，解题的关键是熟练掌握知识点的应用及分类讨论思想． 【详解】解：∵，， ∴，， 由， 则，， ∴； ，， ∴； 故答案为：或． 15．规定一种新的运算“”：，例如，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的新定义运算，有理数的乘方运算，根据新定义直接计算即可，掌握有理数的乘方运算是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 16．已知a，b满足，则式子的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考据绝对值和平方式的非负性，有理数的混合运算和代数式求值，理解非负数的性质并正确求解是解答的关键． 根据绝对值和平方式的非负性求出a，b，再代值求解即可． 【详解】解：∵， ， 解得：， ， 故答案为：1． 三、解答题 17．计算 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)49 (2)－216 (3) (4)－9 (5) (6) 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的乘方运算法则求解即可； （2）根据有理数的乘方运算法则求解即可； （3）根据有理数的乘方运算法则求解即可； （4）根据有理数的乘方运算法则求解即可； （5）根据有理数的乘方运算法则求解即可； （6）根据有理数的乘方运算法则求解即可． 【详解】（1）解：； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； 18．在如图所示的数轴上表示，并用“”将它们连接起来． 【答案】数轴上表示见解析， 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，乘方计算，计算绝对值和化简多重符号，先计算绝对值和化简多重符号以及乘方，再在数轴上表示出各数，最后根据正方向向右的数轴上左边的数小于右边的数用小于号将各数连接起来即可． 【详解】解：， 数轴表示如下所示； ∴． 19．已知有理数、满足， (1)求的值； (2)如图，在一个无盖正方体展开图中，相对的两个面的数字互为相反数，求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了绝对值非负性，求代数式的值，正方体相对两个面上的文字，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据绝对值非负性即可求出，，然后代入求值即可； （）根据正方体的展开图，判断出相对的面，利用相对面上的两个数字互为相反数，求出，进而计算出的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴； （2）解：由正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， ∴与是相对面，与是相对面， 由（）得：，， ∵相对的两个面的数字互为相反数， ∴，， ∴， ∴的值为． 20．【提出问题】怎样比较与的大小？ 【分析问题】为了解决这个问题，我们先写出它的一般形式，即比较与的大小（n是正整数），然后我们从分析……中发现规律，经归纳、猜想，得出结论． 【探究过程】 （1）从简单的开始，比较下列各组中两数的大小（在横线上填写“”“”或“”）： ①_______；②_______；③_______；…… （2）根据上面的结果，经过归纳，猜想与有怎样的大小关系？ 【解决问题】 （3）根据以上探究，我们可得结论（在横线上填写“”“”或“”）：_______． 【答案】（1）①；②；③；（2）当时，；当时，；（3） 【分析】本题考查了有理数的乘方、有理数的大小比较，熟练掌握有理数的乘方运算法则是解题关键． （1）先计算有理数的乘方，再比较有理数的大小即可得； （2）根据（1）的结果，进行归纳即可得； （3）根据（2）的结果，取即可得． 【详解】解：（1）①∵，，， ∴； ②∵，，， ∴； ③∵，，， ∴； 故答案为：①；②；③． （2）根据（1）的结果，经过归纳得：当时，；当时，． （3）∵， ∴，即， 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $$