精品解析：广东省珠海市2023-2024学年八年级下学期期末考试数学试卷

广东省珠海市2023-2024学年八年级下学期期末考试数学试卷 一、选择题(本大题 10 小题，每小题3分，共 30分)每小题给出四个选项中只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑. 1. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A B. C. D. 2. 下列四个命题中，真命题是（ ） A. 同位角相等 B. 若，那么 C. 的立方根是 D. 直线向下平移2个单位可得到一次函数的图象 3. 若成立，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 根据下列所给条件，能判定一个三角形是直角三角形的有（ ） ①三条边的边长之比是1:2:3 ②三个内角的度数之比是1:1:2 ③三条边的边长分别是，， ④三条边的边长分别是，， A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 根据某市统计局发布的该市近5年的年度GDP增长率的有关数据，经济学家评论说，该市近5年的年度GDP增长率相当平稳，从统计学的角度看，“增长率相当平稳”说明这组数据的（　　）比较小． A. 中位数 B. 平均数 C. 众数 D. 方差 6. 如图，在中，对角线，相交于点，点是边的中点．已知，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7. 对于命题“如果，那么与互补”，能说明这个命题的逆命题是假命题的反例是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 如图，点O在数轴上表示的数为0，在数轴上取一点A，使，过点A作直线，在直线l上取点B，使，以点O为圆心，长为半径作弧，交数轴正半轴于点C，则点C表示的数是（ ） A. B. C. 7 D. 29 9. 某生物兴趣小组观察一种植物的生长情况，得到这种植物的高度（厘米）与观察时间（天）的函数关系图象如图所示．照此计算，该植物的高度不低于10厘米至少需要经过（ ） A. 16天 B. 32天 C. 40天 D. 60天 10. 如图，在平行四边形中，，，E是边延长线上一点，连接，是等边三角形，连接，则的最小值是（　　） A. B. 2 C. D. 二、填空题(本大题5小题，每小题3分，共 15 分)请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上. 11. 计算：________． 12. 某公司为选拔英语翻译员，举行听、说、读、写综合测试，其中听、说、读、写各项成绩（百分制）按的比例计算最终成绩．参与选拔的甲、乙两位员工的听、说、读、写各项测试成绩及最终成绩如下表： 项目 员工 听 说 读 写 最终成绩 甲 A 70 80 90 82 乙 B 90 80 70 82 由以上信息，可以判断A，B大小关系是A_______B．（填“>”“=”或“<”） 13. 如图，在矩形ABCD中，，，为左侧一点，且，连接，N为的中点，为直线上一点，且，连接． （1）若，则_______． （2）的最大值为_______． 14. 如图，两个正方形Ⅰ，Ⅱ和两个矩形Ⅲ，Ⅳ拼成一个大正方形，已知正方形Ⅰ，Ⅱ的面积分别为6和3，那么大正方形的面积是 ________________． 15. 如图，四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AC⊥BC，∠ABC＝45°，AC与BD交于点E，若AB＝，CD＝2，则△ABE的面积为_________． 三、解答题(一)((本大题3小题，每小题7分，共21分) 16. 计算： （1）； （2）． 17. 如图：已知直线经过点． （1）求直线的解析式； （2）若直线与直线相交于点C，求点C的坐标； （3）根据图象，直接写出关于x的不等式的解集． 18. 如图，矩形的对角线相交于点O，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求菱形面积． 四、解答题(二)(本大题3小题，每小题9分，共27分) 19. 为积极落实“双减”政策，让作业布置更加精准高效，某校对八年级部分学生每天完成作业所用的时间进行调查，并用得到的数据绘制了如下不完整的统计图，如图，根据图中信息完成下列问题： （1）本次共调查了 名学生，并补全上面条形统计图； （2）在扇形统计图中，每天完成作业所用时间为小时的部分所对的圆心角度数是 ； （3）本次抽查学生每天完成作业所用时间的中位数为 ；众数为 ； （4）该校八年级有800名学生，请你估计八年级学生中，每天完成作业所用时间为小时的学生有多少人？ 20. 已知：如图，在矩形中，E为上一点，，交于点F，，矩形的周长为16，且．求的长． 21. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0，2)，△AOB为等边三角形，P是x轴上一个动点(不与原点O重合)，以线段AP为一边在其右侧作等边三角形APQ． (1)求点B的坐标． (2)在点P运动过程中，∠ABQ的大小是否发生改变？若不改变，求出其大小；若改变，请说明理由． (3)连接OQ，当OQ∥AB时，求点P坐标． 五、解答题(三)(本大题 2小题，第 22 小题 13 分，第 23 小题 14分，共 27分) 22. 综合实践： 素材 如图①所示，、两地相距720千米，地位于、两地之间．高铁从地出发经地匀速驶向地，高铁从地出发经地驶往地． 素材 月日高铁时刻表 站名 到时 发时 停留 A站 —— 09:00 —— C站 11:00 11:10 10分 B站 12:10 —— —— 1月10日高铁G235时刻表 站名 到时 发时 停留 B站 —— 09:00 —— C站 10:30 10:35 5分 A站 12:35 —— —— 问题解决 任务1 收集信息 a的值为______，b的值为______，高铁G234在行驶过程中速度是______km/min． 任务2 建立一次函数模型 根据图②求高铁G235由C站往A站行驶过程中距离C站的路程y(km)与行驶时间x(min)之间的函数表达式． 任务3 解决问题 求出1月10日G234、G235两列高铁在相遇后两车之间距离不超过200km的当日时刻范围． 23. 我们定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做“神奇四边形”． （1）在我们学过下列四边形①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，是“神奇四边形”的是 　 　（填序号）； （2）如图1，在正方形中，E为上一点，连接，过点B作于点H，交于点G，连、． ①求证：四边形是“神奇四边形”； ②如图2，点M、N、P、Q分别是、、、的中点．试判断四边形是不是“神奇四边形”； （3）如图3，点F、R分别在正方形的边、上，把正方形沿直线翻折，使得的对应边恰好经过点A，过点A作于点O，若，正方形的边长为6，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省珠海市2023-2024学年八年级下学期期末考试数学试卷 一、选择题(本大题 10 小题，每小题3分，共 30分)每小题给出四个选项中只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑. 1. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查最简二次根式．根据最简二次根式的条件：①被开方数不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数不含分母，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、被开方数是分数，不是最简二次根式，故选项A不符合题意； B、满足最简二次根式的定义，是最简二次根式，故此选项符合题意； C、可以化简，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； D、可以化简，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； 故选：B． 2. 下列四个命题中，真命题是（ ） A. 同位角相等 B. 若，那么 C. 的立方根是 D. 直线向下平移2个单位可得到一次函数的图象 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了真假命题、平行线的性质、立方根的定义和一次函数图象的平移等知识； 根据平行线的性质、乘方的意义、立方根的定义和一次函数的平移规律逐项判断即可得解. 【详解】解：A、两直线平行，同位角相等，故原命题是假命题； B、若，那么，故原命题是假命题； C、的立方根是，故原命题是真命题； D、直线向下平移2个单位可得到一次函数的图象，故原命题是假命题； 故选：C 3. 若成立，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 由题意得，，，计算求解即可． 【详解】解：∵成立， ∴，， 解得，， 故选：C． 4. 根据下列所给条件，能判定一个三角形是直角三角形的有（ ） ①三条边的边长之比是1:2:3 ②三个内角的度数之比是1:1:2 ③三条边的边长分别是，， ④三条边的边长分别是，， A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理及三角形的内角和判断即可. 【详解】①设三条边分别是x、2x、3x， ∵， ∴该三角形不是直角三角形； ②设三个内角度数分别是x、x、2x， ∵， ∴x=， ∴2x=90°， ∴该三角形是直角三角形； ③∵， ∴该三角形不是直角三角形； ④∵， ∴该三角形是直角三角形， 故②、④能判定一个三角形是直角三角形， 故选：B. 【点睛】此题考查勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理，根据三边的值或是比值列式计算平方关系是解题的关键. 5. 根据某市统计局发布的该市近5年的年度GDP增长率的有关数据，经济学家评论说，该市近5年的年度GDP增长率相当平稳，从统计学的角度看，“增长率相当平稳”说明这组数据的（　　）比较小． A. 中位数 B. 平均数 C. 众数 D. 方差 【答案】D 【解析】 【分析】根据方差的意义：是反映一组数据波动大小，稳定程度的量；方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，反之也成立．故从统计角度看，“增长率相当平稳”说明这组数据方差比较小． 【详解】解：由于方差反映的是数据的波动大小，故增长率相当平衡是指明方差比较小． 故选：D． 【点睛】本题考查方差意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 6. 如图，在中，对角线，相交于点，点是边的中点．已知，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，中位线的性质，掌握中位线的性质是解题的关键． 根据平行四边形的性质可得，从而得到是是的中位线，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点是边的中点， ∴是是的中位线， ∵， ∴． 故选：B 7. 对于命题“如果，那么与互补”，能说明这个命题的逆命题是假命题的反例是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理，余角与补角，先写出原命题的逆命题，再找到满足且的反例即可． 【详解】解：对于命题“如果，那么与互补”的逆命题为“如果与互补，那么”，能说明这个命题为假命题的反例可以为：，， 故选：C． 8. 如图，点O在数轴上表示的数为0，在数轴上取一点A，使，过点A作直线，在直线l上取点B，使，以点O为圆心，长为半径作弧，交数轴正半轴于点C，则点C表示的数是（ ） A. B. C. 7 D. 29 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与数轴，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据题意利用勾股定理得出的值，即可得点C表示的数． 【详解】解：由在数轴上点A表示的数为5，，，以原点O为圆心，以长为半径作弧， 得， 得点C表示的数为, 故选：B． 9. 某生物兴趣小组观察一种植物的生长情况，得到这种植物的高度（厘米）与观察时间（天）的函数关系图象如图所示．照此计算，该植物的高度不低于10厘米至少需要经过（ ） A. 16天 B. 32天 C. 40天 D. 60天 【答案】C 【解析】 【分析】该题主要考查了一次函数的应用，求出植物的高度(厘米)与观察时间(天)的函数解析式，再求出时，对应的的值，根据函数的增减性即可解答，解题的关键是求出函数解析式． 【详解】解：根据题意设植物的高度(厘米)与观察时间(天)的函数解析式为： 将代入得： 解得： 故解析式为： 将代入， 解得：， 故随的增大而增大， 故该植物的高度超过10厘米至少需要经过40天， 故选：C． 10. 如图，在平行四边形中，，，E是边延长线上一点，连接，是等边三角形，连接，则的最小值是（　　） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、含的直角三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键。 如图：在射线上取点G，使，连接，，根据平行四边形性质证明是等边三角形，得到，，根据是等边三角形，得到，得到，可证，可得，即，由点F在直线上运动，则当时，根据含的直角三角形的性质得到的值即可． 【详解】解：如图：在射线上取点G，使，连接，， ∵平行四边形中， ，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点F在直线上运动， 当时，最小， 此时，， ∴, ∴的最小值为． 故选：D． 二、填空题(本大题5小题，每小题3分，共 15 分)请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上. 11. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的加减，解题关键是熟练掌握合并同类二次根式法则．按照合并同类二次根式法则：系数相加减，根指数和被开方数不变，进行计算即可． 【详解】解：原式， 故答案为：． 12. 某公司为选拔英语翻译员，举行听、说、读、写综合测试，其中听、说、读、写各项成绩（百分制）按的比例计算最终成绩．参与选拔的甲、乙两位员工的听、说、读、写各项测试成绩及最终成绩如下表： 项目 员工 听 说 读 写 最终成绩 甲 A 70 80 90 82 乙 B 90 80 70 82 由以上信息，可以判断A，B的大小关系是A_______B．（填“>”“=”或“<”） 【答案】> 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数的计算，能够掌握计算公式且准确计算是解决问题的关键．利用加权平均数的计算公式求解即可． 【详解】解：， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 故答案为；． 13. 如图，在矩形ABCD中，，，为左侧一点，且，连接，N为的中点，为直线上一点，且，连接． （1）若，则_______． （2）的最大值为_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查含的三角形的性质，直角所对的弦是直径，勾股定理，根据直角所对的弦是直径确定点M的运动路径是解题的关键． （1）直接利用所对的直角边等于斜边的一半求出长，然后利用勾股定理计算即可； （2）现根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出，然后根据，得到点在以为直径的半圆O上运动，当过圆心时，最大，即最大，根据勾股定理求出即可解题． 【详解】解：（1）∵，， ∴； ∴， （2）∵，N为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴点在以为直径的半圆O上运动，如图，当过圆心时，最大，即最大， 这时，， ∴， ∴， 故答案：；． 14. 如图，两个正方形Ⅰ，Ⅱ和两个矩形Ⅲ，Ⅳ拼成一个大正方形，已知正方形Ⅰ，Ⅱ的面积分别为6和3，那么大正方形的面积是 ________________． 【答案】9+6 【解析】 【分析】先根据正方形Ⅰ、Ⅱ的面积分别为6和3分别求出它们的边长，然后再求出大正方形的边长，最后求面积即可． 【详解】解：∵正方形Ⅰ的面积为6， ∴正方形Ⅰ的边长为， ∵正方形Ⅱ的面积为3， ∴正方形Ⅱ的边长为， ∴大正方形的边长为+， ∴大正方形的面积为＝9+6， 故答案为：9+6． 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算、完全平方公式等知识点，掌握二次根式的混合运算法则成为解答本题的关键． 15. 如图，四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AC⊥BC，∠ABC＝45°，AC与BD交于点E，若AB＝，CD＝2，则△ABE的面积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】过点D作DF⊥AC于点F，解Rt△ABC求出AC、BC，再由勾股定理求得AD，根据三角形的面积公式求得DF，由勾股定理求得AF，再证明△DEF∽△BEC，求得EF，进而求得AE，最后由三角形面积公式求得结果． 【详解】解：过点D作DF⊥AC于点F， ∵AC⊥BC，∠ABC＝45°， ∴△ABC为等腰直角三角形， ∴， ∵∠ADC＝90°，CD=2， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵DF∥BC， ∴△DEF∽△BEC， ∴，即， 解得：， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，三角形的面积公式，关键是作辅助线构造相似三角形与直角三角形． 三、解答题(一)((本大题3小题，每小题7分，共21分) 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先算乘法，然后化简二次根式即可； （2）先化简，计算乘法，再算加法即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 17. 如图：已知直线经过点． （1）求直线的解析式； （2）若直线与直线相交于点C，求点C的坐标； （3）根据图象，直接写出关于x的不等式的解集． 【答案】（1） （2）点C的坐标为 （3） 【解析】 【分析】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，以及一次函数的交点，一次函数与一元一次不等式的关系，关键是正确从函数图象中获得正确信息． （1）利用待定系数法把点A，点B代入可得关于k、b得方程组，再解方程组即可； （2）联立两个函数解析式，再解方程组即可； （3）根据C点和A点坐标可直接得到答案． 【小问1详解】 解：直线经过点 ， 解得，， 则直线的解析式为； 【小问2详解】 解：联立， 解得， 则点C的坐标为； 【小问3详解】 解：由图象可知，不等式的解集为． 18. 如图，矩形的对角线相交于点O，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求菱形的面积． 【答案】（1）见解析 （2）4 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，菱形的判定和性质，掌握相关判定和性质，是解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再根据矩形的对角线相等且平分，得到，即可得证； （2）连接，证明四边形是平行四边形，进而得到，利用菱形的面积公式进行计算即可． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵四边形是矩形， ∴，，． ∴． ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形． 【小问2详解】 解：如图，连接， 由（1）知四边形是菱形， ∴． ∵， ∴，． ∴四边形是平行四边形． ∴． ∴． ∴菱形的面积是4． 四、解答题(二)(本大题3小题，每小题9分，共27分) 19. 为积极落实“双减”政策，让作业布置更加精准高效，某校对八年级部分学生每天完成作业所用的时间进行调查，并用得到的数据绘制了如下不完整的统计图，如图，根据图中信息完成下列问题： （1）本次共调查了 名学生，并补全上面条形统计图； （2）在扇形统计图中，每天完成作业所用时间为小时的部分所对的圆心角度数是 ； （3）本次抽查学生每天完成作业所用时间的中位数为 ；众数为 ； （4）该校八年级有800名学生，请你估计八年级学生中，每天完成作业所用时间为小时的学生有多少人？ 【答案】（1）50；见解析 （2） （3）； （4）96人 【解析】 【分析】（1）根据条形统计图，扇形统计图中的数据计算出调查的总人数即可，并补全条形统计图即可； （2）根据每天完成作业所用时间为小时的人数所占的百分比乘以，即可得出答案； （3）根据条形统计图分析出中位数和众数即可； （4）根据样本计算出每天完成作业所用时间为小时的学生在样本的比例，根据比例估算出八年级学生中，每天完成作业所用时间为小时的学生． 【小问1详解】 解：（人）， ∴每天完成作业所用时间为小时的人数为（人）， 补全条形统计图如图所示； 故答案为：50； 【小问2详解】 解：， 答：每天完成作业所用时间为小时的部分所对的圆心角度数是， 故答案：； 【小问3详解】 解：将本次抽查学生中每天完成作业所用时间从小到大进行排序，排在第25和26位的都是小时， ∴中位数为， 因为出现次数最多的是小时， ∴众数为， 故答案为：；． 【小问4详解】 解：（人）， 答：每天完成作业所用时间为小时的学生有96人． 【点睛】本题考查条形统计图，扇形统计图，用样本估算整体，求中位数和众数，能够将条形统计图和扇形统计图相结合是解决本题的关键． 20. 已知：如图，在矩形中，E为上一点，，交于点F，，矩形的周长为16，且．求的长． 【答案】 【解析】 【分析】根据矩形的性质和全等三角形的判定证明，可得，由矩形的周长为16，可得，可求的长度． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 由题意可知：，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查矩形的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质和全等三角形的判定与性质是解答的关键． 21. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0，2)，△AOB为等边三角形，P是x轴上一个动点(不与原点O重合)，以线段AP为一边在其右侧作等边三角形APQ． (1)求点B的坐标． (2)在点P运动过程中，∠ABQ的大小是否发生改变？若不改变，求出其大小；若改变，请说明理由． (3)连接OQ，当OQ∥AB时，求点P的坐标． 【答案】(1) 点B的坐标为(，1)；(2)∠ABQ的大小始终不变，∠ABQ＝90°；(3) P的坐标为(-，0) 【解析】 【分析】（1）过点B作BC⊥x轴于点C，根据等边三角形的性质可得∠AOB＝60°，BO＝OA＝2，从而求出∠BOC＝30°，然后根据30°所对的直角边是斜边的一半和勾股定理即可求出BC和OC，从而求出点B的坐标； （2）根据等边三角形的性质可得AP＝AQ，AO＝AB，∠PAQ＝∠OAB＝60°，从而证出∠PAO＝∠QAB，然后利用SAS证出△APO≌△AQB，从而得出∠ABQ＝∠AOP＝90°； （3）根据题意，画出图形，然后根据平行线的性质可得∠BQO＝90°，∠BOQ＝∠ABO＝60°，从而求出∠OBQ=30°，然后根据30°所对的直角边是斜边的一半和勾股定理即可求出OQ和BQ，再根据（2）中全等可得OP=BQ，从而求出点P的坐标． 【详解】解：(1)如图①，过点B作BC⊥x轴于点C． ∵△AOB为等边三角形，且OA＝2， ∴∠AOB＝60°，BO＝OA＝2． ∴∠BOC＝30°． 又∵∠OCB＝90°， ∴BC＝OB＝1，OC＝． ∴点B的坐标为(，1)． (2)∠ABQ的大小始终不变． ∵△APQ，△AOB均为等边三角形， ∴AP＝AQ，AO＝AB，∠PAQ＝∠OAB＝60°． ∴∠PAO＝∠QAB． 在△APO与△AQB中， ∴△APO≌△AQB(SAS)． ∴∠ABQ＝∠AOP＝90°． (3)如图②，当OQ∥AB时，点P在x轴的负半轴上，点Q在点B的下方， ∵AB∥OQ， ∴∠BQO＝180°－∠ABQ＝90°，∠BOQ＝∠ABO＝60°． ∴∠OBQ＝30°． 又OB＝OA＝2， ∴OQ＝OB＝1，BQ＝， 由(2)可知，△APO≌△AQB， ∴OP＝BQ＝． ∴此时点P的坐标为(-，0)． 【点睛】此题考查的是等边三角形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定及性质和求点的坐标，掌握等边三角形的性质、30°所对的直角边是斜边的一半和勾股定理和全等三角形的判定及性质是解决此题的关键． 五、解答题(三)(本大题 2小题，第 22 小题 13 分，第 23 小题 14分，共 27分) 22. 综合实践： 素材 如图①所示，、两地相距720千米，地位于、两地之间．高铁从地出发经地匀速驶向地，高铁从地出发经地驶往地． 素材 月日高铁时刻表 站名 到时 发时 停留 A站 —— 09:00 —— C站 11:00 11:10 10分 B站 12:10 —— —— 1月10日高铁G235时刻表 站名 到时 发时 停留 B站 —— 09:00 —— C站 10:30 10:35 5分 A站 12:35 —— —— 问题解决 任务1 收集信息 a的值为______，b的值为______，高铁G234在行驶过程中速度是______km/min． 任务2 建立一次函数模型 根据图②求高铁G235由C站往A站行驶过程中距离C站的路程y(km)与行驶时间x(min)之间的函数表达式． 任务3 解决问题 求出1月10日G234、G235两列高铁在相遇后两车之间距离不超过200km的当日时刻范围． 【答案】任务：，，；任务：；任务：时分秒到时分秒． 【解析】 【分析】任务：根据路程、时间、速度之间的关系，结合函数图象即可求解； 任务：利用待定系数法即可求解； 任务：利用待定系数法求出从站到站的函数解析式，联立由站往站的函数解析式，分两种情况解答即可求解； 本题考查了一次函数的应用，根据题意求出相应的函数解析式是解题的关键． 【详解】解：任务：在站停留分钟， ∴用于行驶的时间为分， ∵两地相距千米， ∴的速度为： (千米/分)， ∵走到地用了分， ∴距地的距离为(千米)， 即， ∴离地的距离为(千米)， 即， 故答案为：，，； 任务：设高铁由站往站行驶过程中距离站的路程与行驶时间之间的函数表达式为， ∵过点，， ∴， 解得， ∴； 任务：设从站到站的函数解析式 ()， ∵过点，， ∴， 解得， ∴， 由， 解得， ∵出发， ∴时分秒相遇， 假设在未到达地时，两车相距千米， ∴两车相距的路程等于离开地的距离离地的距离， ∴， 解得，不符合题意； 在在车站停留时两车相距，即离开站， ， 解得，不符合题意； 设从站到站的函数解析式()， ∵过点，， ∴， 解得， ∴， 两车相距千米，甲乙两车离开地的距离之和为， ， 解得， 分小时分 ， ∴对应的时刻为：时分秒， ∴月日、两列高铁在相遇后两车之间距离不超过的当日时刻范围在时分秒到时分秒． 23. 我们定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做“神奇四边形”． （1）在我们学过下列四边形①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，是“神奇四边形”的是 　 　（填序号）； （2）如图1，在正方形中，E为上一点，连接，过点B作于点H，交于点G，连、． ①求证：四边形是“神奇四边形”； ②如图2，点M、N、P、Q分别是、、、的中点．试判断四边形是不是“神奇四边形”； （3）如图3，点F、R分别在正方形边、上，把正方形沿直线翻折，使得的对应边恰好经过点A，过点A作于点O，若，正方形的边长为6，求线段的长． 【答案】（1）④ （2）①见解析；②四边形是“神奇四边形”，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由“神奇四边形”的定义即可得出结论； （2）①证，得，再由“神奇四边形”的定义即可得出结论； ②由三角形中位线定理得出，，则四边形为平行四边形，再证四边形是正方形，则可得出结论； （3）延长交于S，由勾股定理求出的长，设，则，再由勾股定理得，解得，即可解决问题． 【小问1详解】 平行四边形的对角线互相平分，矩形的对角线互相平分且相等，菱形的对角线互相垂直平分，正方形的对角线互相垂直平分且相等， 正方形是“神奇四边形”， 故答案为：； 【小问2详解】 ①证明：四边形是正方形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 又， 四边形是“神奇四边形”； 四边形是“神奇四边形”，理由如下： ，为，的中点， 为的中位线， ，， 同理：，，，，，， ，， 四边形为平行四边形， ， ， 平行四边形为菱形， ，， ， ， ， 四边形为正方形， 四边形是“神奇四边形”； 【小问3详解】 如图，延长交于S， 由翻折的性质可知，，，，， 四边形是正方形，边长为， ，， ，， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， ， ， 即线段的长为． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了新定义“神奇四边形”、折叠的性质、正方形的判定与性质、菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，三角形中位线定理等知识，本题综合性强，理解新定义“神奇四边形”，熟练掌握正方形的判定与性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $