第二章 对称图形——圆 全章复习（知识回顾+5重难点题型）（讲义）-2025-2026学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备考系列（苏科版）

第二章 对称图形——圆 全章复习 题型梳理 题型方法 题型一 圆心角、圆周角 题型二 垂径定理 题型三 切线的性质与判定 题型四 弧长、扇形面积的计算 题型五 正多边形的性质 知识清单 知识点一、圆的有关概念 1. 圆的定义 如图所示，有两种定义方式： ①在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，以O为圆心的圆记作⊙O，线段OA叫做半径； ②圆是到定点的距离等于定长的点的集合． 2.与圆有关的概念 ①弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦；如上图所示线段AB，BC，AC都是弦． ②直径：经过圆心的弦叫做直径，如AC是⊙O的直径，直径是圆中最长的弦． ③弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，如曲线BC、BAC都是⊙O中的弧，分别记作，． ④半圆：圆中任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆，如是半圆． ⑤劣弧：像这样小于半圆周的圆弧叫做劣弧． ⑥优弧：像这样大于半圆周的圆弧叫做优弧． ⑦同心圆：圆心相同，半径不相等的圆叫做同心圆． ⑧弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形． ⑨等圆：能够重合的两个圆叫做等圆． ⑩等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧． 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角，如上图中∠AOB，∠BOC是圆心角． 圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角，如上图中∠BAC、∠ACB都是圆周角． 知识点二、圆的有关性质 1.圆的对称性 圆是轴对称图形，经过圆心的直线都是它的对称轴，有无数条．圆是中心对称图形，圆心是对称中心，又是旋转对称图形，即旋转任意角度和自身重合． 2.垂径定理 ①垂直于弦的直径平分这条弦，且平分弦所对的两条弧． ②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．如图所示： 3.弧、弦、圆心角之间的关系 ①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等； ②在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等． 4.圆周角定理及推论 ①圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． ②圆周角定理的推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 知识点三、与圆有关的位置关系 1.点与圆的位置关系 如图所示．d表示点到圆心的距离，r为圆的半径．点和圆的位置关系如下表： 点与圆的位置关系 d与r的大小关系 点在圆内 d＜r 点在圆上 d＝r 点在圆外 d＞r 2.直线与圆的位置关系 ①设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离，直线与圆的位置关系如下表． ②圆的切线． 切线的定义：和圆有唯一公共点的直线叫做圆的切线．这个公共点叫切点． 切线的判定定理：经过半径的外端．且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径． 切线长定义：我们把圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长． 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角． ③三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形，三角形的内心就是三角形三个内角平分线的交点． 3.圆与圆的位置关系 在同一平面内两圆作相对运动，可以得到下面5种位置关系，其中R、r为两圆半径(R≥r)．d为圆心距． 知识点四、正多边形和圆 1.正多边形的有关概念 正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心叫正多边形的中心．外接圆的半径叫正多边形的半径，内切圆的半径叫正多边形的边心距，正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等，这个角叫正多边形的中心角，正多边形的每一个中心角都等于． 2.正多边形的性质 任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两圆是同心圆．正多边形都是轴对称图形，偶数条边的正多边形也是中心对称图形，同边数的两个正多边形相似，其周长之比等于它们的边长(半径或边心距)之比． 3.正多边形的有关计算 定理：正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形． 正n边形的边长a、边心距r、周长P和面积S的计算归结为直角三角形的计算． ，，， ，，． 知识点五、圆中的计算问题 1.弧长公式：，其中为n°的圆心角所对弧的长，R为圆的半径． 2.扇形面积公式：，其中．圆心角所对的扇形的面积，另外． 3.圆锥的侧面积和全面积： 圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的半径等于圆锥的母线长，弧长等于圆锥底面圆的周长． 圆锥的全面积是它的侧面积与它的底面积的和． 知识点六、求阴影面积的几种常用方法 (1)公式法；(2)割补法；(3)拼凑法；(4)等积变形法；(5)构造方程法． 题型方法 【题型一】圆心角、圆周角 【例1】（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在中，，以O为圆心，长为半径作，分别交于C、D．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，弧与圆心角的关系 ，先由三角形内角和定理得到，再由等边对等角和三角形内角和定理求出，则，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的度数是； 故选：A． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，若是直径，为是的弦，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理，三角形的内角和定理，熟练掌握圆周角定理是解答的关键．先根据直径所对的圆周角是直角得到,进而利用三角形的内角和定理求得，然后利用同弧所对的圆周角相等即可求解． 【详解】解：连接，    ∵是直径， ∴, ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【变式2】（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，在的内接四边形中，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆周角定理和圆内接四边形，关键是掌握圆内接四边形的对角互补．根据圆内接四边形的对角互补求得的度数，再根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：∵在的内接四边形中，， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，在中，弦相交于点，且．求证． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是圆周角定理，连接，根据等腰三角形的性质得到，根据圆周角定理得到，，得到，根据等腰三角形的判定证明．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 【详解】证明：如图，连接， ， ， 由圆周角定理得：，， ， ． 【题型二】垂径定理 【例2】（24-25九年级上·江苏南通·期末）已知的半径为5，点在内，且，则经过点的弦的长不可能为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，也考查了勾股定理．过点作弦，连接，如图，根据垂径定理得到，由于为过点的最短弦，所以利用勾股定理计算出，从而求出即可． 【详解】解∶过点作弦，连接，如图， 则． 圆心到弦的距离越大，弦越短， 为过点的最短弦， ， ． 经过点的的最短弦的长为8，即经过点的弦的长不可能为7， 故选∶A． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）下列命题中正确的是（   ） A．三点确定一个圆 B．平分弦的直径垂直于弦 C．在同圆中，同弧所对的圆周角相等 D．相等的圆心角所对的弧相等 【答案】C 【分析】根据确定圆的条件对A进行判断；根据垂径定理的推论对B进行判断；根据弧、弦和圆心角之间的关系对C、 D进行判断． 【详解】解：A.不共线的三点确定一个圆，故该选项不正确，不符合题意； B.平分弦（非直径）的直径垂直于弦，故该选项不正确，不符合题意； C. 在同圆中，同弧所对的圆周角相等；故该选项正确，符合题意； D.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等等弧所对的圆周角相等，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 【变式2】（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，点B，C在上，D为的中点，直径交于点E，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查垂径定理的推论，勾股定理．连接，根据垂径定理的推论，得到，，利用勾股定理求出的长，进一步求出的长即可． 【详解】解：连接， ∵点B，C在上，D为的中点，直径交于点E，， ∴，，， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式3】（23-24九年级下·江苏泰州·阶段练习）操作题：如图，是的外接圆，弦AD平分，P是上一点． (1)请你只用无刻度的直尺在圆上找一点P使； (2)在（1）的条件下，当，圆的半径为5的时候，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了弧与弦，圆周角之间的关系，垂径定理的推论，勾股定理等等： （1）如图所示，连接并延长交于点P，点P即为所求； （2）先由垂径定理的推论得到，再利用勾股定理求出的长，进而求出的长，即可根据三角形面积公式求出答案． 【详解】（1）解：如图所示，连接并延长交于点P，点P即为所求； 由角平分线的定义得到，则，则，则； （2）解：设交于H，连接， 角平分线的定义得到，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【题型三】切线的性质与判定 【例3】（24-25九年级上·江苏徐州·期中）在中，，，以点为圆心，为半径作圆与相切，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查切线的性质，理解切线的性质以及三角形面积的计算方法是正确解答的关键．根据勾股定理求出，再根据三角形面积公式求出即可． 【详解】解：∵， ∴， 由勾股定理可得， ， 如图，当与相切于点时，， 由三角形的面积公式可得， ， 即， ∴， 即半径为， 故选：． 【举一反三】【变式1】（21-22九年级上·江苏泰州·期中）如图，△ABC周长为20cm，BC＝6cm，圆O是△ABC的内切圆，圆O的切线MN与AB、CA相交于点M、N，则△AMN的周长为（    ） A．14cm B．8cm C．7cm D．9cm 【答案】B 【分析】根据切线长定理得到BF＝BE，CF＝CD，DN＝NG，EM＝GM，AD＝AE，然后利用三角形的周长和BC的长求得AE和AD的长，从而求得△AMN的周长． 【详解】解：∵圆O是△ABC的内切圆，圆O的切线MN与AB、CA相交于点M、N， ∴BF＝BE，CF＝CD，DN＝NG，EM＝GM，AD＝AE， ∵△ABC周长为20cm，BC＝6cm， ∴AE＝AD＝＝＝＝4（cm）， ∴△AMN的周长为AM+MG+NG+AN＝AM+ME+AN+ND＝AE+AD＝4+4＝8（cm）， 故选：B． 【点睛】本题考查三角形的内切圆与内心及切线的性质的知识，解题的关键是利用切线长定理求得AE和AD的长，难度不大． 【变式2】（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，P为外一点，与相切于点A，交于点B，交于点C，，，则的半径为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了切线的性质得性质与判定，切线长定理，勾股定理，连接，先证明是的切线，进而由切线长定理得到，再由切线的性质得到，利用勾股定理求出，则，设的半径为r，则，在中，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，是的半径， ∴是的切线， ∵与相切于点A， ∴，， 在中，由勾股定理得， ∴， 设的半径为r，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴的半径为6， 故答案为：6． 【变式3】（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，已知中，． (1)作一个圆，使圆心在边上，且与、所在直线相切（不写作法，保留作图㾗迹）； (2)若，求（1）中所作的的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据角平分线的性质和切线的判定，作的平分线，交于点O，以O为圆心，以长为半径画圆，即为所求作； （2）设与的切点为，连接，根据切线长定理和切线性质得到，，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图，圆O即为所求． （2）解：设与的切点为，连接，则， 为的切线， ， ， ， ， 设，则， 在Rt中， 解得， ∴所作的半径为． 【点睛】本题主要考查了尺规作图．熟练掌握基本作图，圆切线的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理，切线长定理是解决本题的关键． 【题型四】弧 长、扇形面积的计算 【例4】（24-25九年级上·江苏南京·期末）已知圆弧的半径为12，所对的圆心角为，则该圆弧的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了弧长的计算，熟知弧长公式是解题的关键． 直接运用弧长公式求解即可． 【详解】解：由弧长公式可知： ． 故选：A． 【举一反三】【变式1】（23-24九年级上·江苏淮安·期中）已知：如图，在扇形中，，半径，将扇形沿过点B的直线折叠，点O恰好落在上的点D处，折痕交于点C，连接，则扇形的面积为（　　）    A． B．2π C．π D． 【答案】C 【分析】本题考查扇形面积的计算，等边三角形的判定和性质，根据翻折的性质以及等边三角形的判定得出是等边三角形，进而求出扇形圆心角度数，再根据扇形面积的计算公式进行计算即可．掌握扇形面积的计算公式以及正三角形的判定和性质是正确解答的前提． 【详解】解：由翻折的性质可知，， ∵， ∴， ∴是正三角形， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【变式2】（24-25九年级上·江苏扬州·期中）已知扇形的弧长是，圆心角，则这个扇形的半径是 ． 【答案】 【分析】本题考查了弧长公式：，其中是弧长，是扇形的半径，是扇形的圆心角，熟练掌握弧长公式是解题关键．直接利用弧长公式计算即可得． 【详解】解：设这个扇形的半径是， 则， 解得， 所以这个扇形的半径是2， 故答案为：2． 【变式3】（24-25九年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，以为直径的分别与交于点，过点D作，垂足为点F． (1)求证：直线是的切线； (2)若的半径为2，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】（1）连接，由，证明即可； （2）连接，根据已知求出，从而可得和，即可得到答案． 【详解】（1）解：连接，如图： ， ， ， ， ， ， ， ， ∴直线是的切线； （2）连接，如图： ， ， ， ， ， ∵的半径为2， ， 【点睛】本题考查圆的综合题，考查切线判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，扇形面积等知识，解题的关键是熟练掌握圆的相关性质． 【题型五】正多边形的性质 【例5】（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，、、、为一个正多边形的顶点，若，该正多边形的边数为（　　） A．12 B．11 C．10 D．9 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，正确的理解题意是解题的关键．根据圆周角定理可得正多边形的边所对的圆心角，再根据正多边形的一条边所对的圆心角的度数与边数之间的关系可得答案． 【详解】解：设点O为该正多边形的中心，连接，， 、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心， 点、、、在以点为圆心，为半径的同一个圆上， ， ， 这个正多边形的边数， 故选：A 【举一反三】【变式1】（21-22九年级上·江苏南京·期中）如图，圆内接正九边形两条对角线相交，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，三角形外角的性质，添加辅助线是解题的关键．根据正多边形与圆求出相应的圆心角度数，再根据圆周角定理和三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：如图，设这个正九边形的外接圆为， 则， ∴， ∴， 故选：C． 【变式2】（24-25九年级上·江苏镇江·期中）用长的篱笆围成正三角形或正方形或正六边形的绿地，其面积分别为，，，用“”号把，，连接起来为 ． 【答案】 【分析】此题考查的是正三角形、正方形、正六边形面积的求法．根据题意得：正三角形的边长为，正方形的边长为，正六边形的边长为，分别求出正三角形，正方形，正六边形的面积，即可求解． 【详解】解：根据题意得：正三角形的边长为，正方形的边长为，正六边形的边长为， 如图，在正中，边长为，于点D， ∴， ∴， ∴正的面积为； ∵正方形的边长为， ∴正方形的面积为； 如图，在正六边形中，边长为，点O为中心，连接，于点G， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴的面积为， ∴正六边形的面积为； ∴． 故答案为： 【变式3】（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，正方形内接于，M为弧中点，连接． (1)求证：； (2)连接，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了正多边形的性质、圆心角、弧、弦的关系定理，掌握正方形的性质、圆心角、弧、弦的关系定理是解题的关键． （1）根据正方形的性质得到，根据圆心角、弧、弦的关系得到，得到，即可得到结论； （2）连接，根据正方形的性质求出和，计算即可． 【详解】（1）∵四边形是正方形， ∴， ∴． ∵M为的中点， ∴， ∴， ∴； （2）连接． ∵四边形是正方形， ∴． ∵M为弧的中点， ∴， ∴． 好题必刷 一、单选题 1．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）若正四边形的边长为2，则其内切圆半径的为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形和圆、切线的性质等知识．根据题意画出图形，再由正方形的性质以及切线的性质判断出为等腰直角三角形，据此即可求得答案． 【详解】解：如图，由题意，切于点，连接、， ∴， ∵四边形是正四边形， ∴是等腰直角三角形，， ∴其内切圆半径的为1： 故选：A． 2．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）物理实验课上，同学们分组研究“定滑轮可以改变用力的方向，但不能省力”的课题时，小明发现，重物上升时，滑轮上点的位置在不断改变．已知滑轮的半径为，当滑轮上点转过的度数为时，重物上升了（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题的关键. 根据题意用弧长公式计算即可. 【详解】解：根据题意，当滑轮上点转过的度数为时，重物上升了（）， 故选：C. 3．（24-25九年级下·江苏宿迁·阶段练习）如图，在中，弦，连接，，．若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆周角定理，等边三角形的判定与性质，两直线平行内错角相等等知识点，添加适当辅助线构造等边三角形是解题的关键． 连接，由两直线平行内错角相等可得，由圆周角定理可得，由，可得，由此可证得为等边三角形，于是可得，然后根据即可求出的度数． 【详解】解：如图，连接， ， ， ， ，而， ， 为等边三角形， ， ， 故选：． 4．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，在扇形中，点D在上，点C在上，．若，则的半径为(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作与，连接交与点，连接，利用勾股定理求出，再证明点是的中点，利用中位线定理和直角三角形的中线的性质分别求出和，从而得到，最后用勾股定理求即可． 【详解】解：过点作与，连接交与点，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的中点， ∴， 又∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， 即的半径为， 故选：C． 【点睛】本题考查垂径定理，垂直平分线的性质，直角三角形中线的性质，中位线的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质等知识，综合性较大，利用垂径定理构造辅助线和证明点是的中点是解题的关键． 5．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，的半径为5，弦的长为8，将劣弧沿直线折叠后的图形如图，则点O到弧所在圆的切线长为（   ） A．3 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查了翻转变换、垂径定理及圆的切线的性质，难度不大，找出翻转过后的弧所在圆的圆心是解题关键．根据题意先画出图形，可知翻转过后的弧所在的圆和全等，且两个圆的圆心相距为6，又已知圆的半径，故根据勾股定理即可求出答案． 【详解】解解：如图所示： 根据题意：，点为翻转过后的弧所在圆的圆心， 则有， 又∵，是的切线， ∴． 故选：B． 6．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）在中，，，，、分别是、上的一点，且，若以为直径的圆与斜边相交于、，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题实质是求圆中的弦的最大值的问题，圆中弦的弦心距越小，弦越大，所以当弦的弦心距最小时，的值最大．设的中点为O，连接并延长交于点F，连接，利用垂线段最短可知当时，弦心距最小，此时弦的值最大，利用勾股定理可求出的长，再利用等面积得到的长，再利用勾股定理结合垂径定理即可求出结果． 【详解】解：如图，设的中点为O，连接并延长交于点F，连接， ∵为直径，且， ∴， 当时，最小，则弦心距最小，此时弦的值最大， 在中，，，， ∴， 由，得， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 二、填空题 7．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）等腰的外接圆半径为5，圆心到底边的距离为3，则 ． 【答案】或 【分析】此题考查了垂径定理，勾股定理，利用了分类讨论的思想，分两种情况考虑：当三角形为锐角三角形时，如图1所示，过作垂直于，根据题意得到过圆心，连接，在直角三角形中，由与长，利用勾股定理求出的长，即可解答；当三角形为钝角三角形时，同理求出的长，熟练掌握垂径定理是解本题的关键． 【详解】解：分两种情况考虑：当为锐角三角形时，如图1所示， 过作，由题意得到过圆心，连接， ，， 在中，根据勾股定理得：， ，， ； 当为钝角三角形时，如图2所示， 过作，由题意得到延长线过圆心，连接， ，， 在中，根据勾股定理得：， ，， ； 故答案为：或． 8．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）如图，已知的半径为，现有正方形的边与相切，切点为，且点在上，则正方形的边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质，正方形的性质、垂径定理和勾股定理．设正方形的边长为，连接并延长，交于，连接，根据切线的性质得到，根据垂径定理求出，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案． 【详解】解：设正方形的边长为，连接并延长，交于，连接， 边与相切， 四边形为正方形， ，， 四边形为矩形， 在中，，即， 解得：（舍去）， 正方形的边长为 故答案为：． 9．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，点、、、、在上，且为，则的度数为 ． 【答案】/160度 【分析】本题考查圆周角定理、弧度数与圆心角的关系，先根据圆周角定理得到，，再根据弧度数与圆心角关系得到，进而根据周角定义求得即可求解． 【详解】解：连接，，，则，， ∵为， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（24-25九年级上·江苏常州·期末）如图，刘老师拍摄了一张美丽的日出照并将其冲刷成照片，测得照片中太阳被海平线截得的线段长为，太阳边缘上的点到海平线的最远距离也为，则照片中太阳的半径是 ． 【答案】// 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理的运用，理解图示，确定圆心，掌握垂径定理，勾股定理的运用是解题的关键． 根据题意，确定圆心，由垂径定理可得，设圆的半径为，则，，在中，由勾股定理即可求解． 【详解】解：根据题意，作图如下，，，，连接，作垂直平分线交于点，则为圆心，连接，则， ∴， 设圆的半径为，则，， 在中，， ∴， 解得，， ∴照片中太阳的半径是， 故答案为： ． 11．（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图, 正五边形的边，与分别相切于点M，N， 点P在上，连接，，则的度数为 ． 【答案】144 【分析】连接，，在优弧上取一点Q，连接，，先根据正五边形的内角和公式求得，再利用切线的性质和四边形内角和定理求得，然后利用圆周角定理得到，最后利用圆的内接四边形的性质求解即可． 【详解】解：如图，连接，，在优弧上取一点Q，连接，， ∵五边形是正五边形， ∴， ∵正五边形的边，与分别相切于点M，N， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是内接四边形， ∴， ∴． 故答案为：144． 【点睛】本题考查了切线的性质，正五边形的性质，四边形内角和定理，圆周角定理，圆的内接四边形的性质，熟练掌握切线性质，圆的内接四边形的性质，圆周角定理是解题的关键． 12．（22-23九年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，为的弦，半径于点C．若，，则的半径长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键． 先根据垂径定理求出的长，设的半径为r，再连接，在中利用勾股定理求出r的值即可． 【详解】解：∵的弦，半径， ∴ ， 设的半径为r，则， 连接， 在中，，即， 解得：． 故答案为：5． 三、解答题 13．（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，与相切于点A． (1)尺规作图：过点P作的另一条切线，B为切点；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，的半径为3，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，作的垂直平分线，垂足为I，以I为圆心，以为直径作圆，交于B，过点P、B作直线即可； （2）根据切线的性质得出，，根据四边形的内角和为可求出，最后根据弧长公式求解即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所作， 理由：连接， ∵是直径， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：连接， ∵、是的切线， ∴， 又， ∴， 又的半径为3， ∴的长为． 【点睛】本题考查尺规作图，圆周角定理，切线的性质，弧长公式等知识，熟练掌握切线的作法以及判定与性质是解题的关键． 14．（24-25九年级上·江苏徐州·期末）如图，在中，， (1)用无刻度的直尺和圆规在图中作，使圆心O在边上，过点B且与边相切于点D（不写作法．保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若．求与重叠部分的面积 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）作的角平分线交于点D，过点D作，交于点O，以O为圆心，为半径作，即可； （2）设交于点E，交于点，连接，过点E作于点F，利用重叠部分的面积等于进行计算即可． 【详解】（1）解：作的角平分线交于点D，过点D作，交于点O，以O为圆心，为半径作，如图所示； 由作图可知：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是的半径，且， ∴为的切线， ∴即为所求； （2）解：∵，是的切线， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图所示，设交于点E，交于点，连接，    ∵ ∴是等边三角形， ∴， ∴， 如图所示，过点E作于点F，    ∴， ∴ ∴， ∴， ∴与重部分的面积为． 【点睛】本题考查复杂作图，圆与三角形的综合应用，主要考查了切线的判定和性质，含30度角的直角三角形，等边三角形的判定和性质，扇形的面积．解题的关键是掌握切线的判定方法和性质． 15．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在中，，以点C为圆心，长为半径的与相交于点．    (1)若弧的度数为，则______°； (2)若，，求线段的长． 【答案】(1)35 (2) 【分析】（1）先求得，再利用等边对等角以及三角形内角和定理求得，据此即可求解； （2）作于，由垂径定理和勾股定理求得，，利用等积法求得的长，再利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵弧的度数为， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：35； （2）解：作于，如图，    由垂径定理得， 由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 16．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，，，点O在的边上，以O为圆心，为半径的经过点C，交于点D． (1)求证：与相切； (2)若，求与重叠部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查与圆相关图形的面积，熟练掌握圆切线的判定定理和面积转化思想是解题的关键． （1）连接，根据题意易得到，从而得到，即可得到为的切线； （2）过点作于点，结合（1）可得到，从而得到，根据勾股定理可得，进而得到，利用扇形面积公式得到，即可得到与重叠部分的面积． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴与相切． （2）解：过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴与重叠部分的面积为． 17．（24-25九年级上·江苏常州·期中）已知：如图，是的直径，点C在上，请用无刻度直尺画图（保留作图痕迹，不写画法）． (1)如图①，若M是半圆的中点，且与C点在同一侧，画出的平分线．并说明理由； (2)如图②，若，画出的平分线； (3)在（2）的作图下，已知，交直径于点F，则　　　． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）作直径，作射线即可，理由见解析； （2）连接，交于点，作直线交于点，作射线即可，由可得，从而得出，从而得出，再由等腰三角形性质得出，推出，最后得出结论． （3）过点F作于点M，于点N，勾股定理求出的长，根据角平分线的性质，得到，进而得到，根据同高三角形的面积比等于底边比，得到，进一步求解即可． 【详解】（1）解：如图①，即为所求的平分线；    证明：∵M是半圆的中点， ∴， ∴直径直径， ∴， ∴， 即平分． （2）如图2中，射线即为所求． （3）过点F作于点M，于点N． ∵是直径， ∴， ∴， ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，圆周角定理，垂径定理，角平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 18．（24-25九年级上·江苏常州·期中）如图1，，是半圆上的两点，若直径上存在一点，满足，则称是的“幸运角”． (1)如图2，是的直径，弦，是上一点，连结交于点，连结，是的“幸运角”吗？请说明理由； (2)设的度数为，请用含的式子表示的“幸运角”度数； (3)在（1）的条件下，直径，的“幸运角”为． ①如图3，连结，求弦的长； ②当时，求的长． 【答案】(1)是的“幸运角”；理由见解答过程 (2)的“幸运角”度数为 (3)①；②12或16． 【分析】（1）利用“幸运角”的定义，说明即可； （2）利用圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半解答即可得出结论； （3）①连接，，利用“幸运角”的定义和等腰直角三角形的性质解答即可； ②利用“幸运角”的定义和等腰直角三角形的性质，设，利用勾股定理列出方程，解方程求得值，再利用等腰直角三角形的性质解答即可． 【详解】（1）解：（1）是的“幸运角”；理由如下： 是的直径，弦， 平分， 即为的垂直平分线， ， ， ． ， ， 是的“幸运角”； （2）的度数为， ， ， ， ， ， 的“幸运角”度数， 的“幸运角”度数为； （3）解：①连接，，如图， 的“幸运角”为， ， ， ， ， ． 直径， ， ； ②，， 为等腰直角三角形， ． 设，则， 在中，， ， 解得：或， 或， 或16． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，对顶角的性质，勾股定理，本题是新定义型题目，理解并熟练运用新定义解答是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 对称图形——圆 全章复习 题型梳理 题型方法 题型一 圆心角、圆周角 题型二 垂径定理 题型三 切线的性质与判定 题型四 弧长、扇形面积的计算 题型五 正多边形的性质 知识清单 知识点一、圆的有关概念 1. 圆的定义 如图所示，有两种定义方式： ①在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，以O为圆心的圆记作⊙O，线段OA叫做半径； ②圆是到定点的距离等于定长的点的集合． 2.与圆有关的概念 ①弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦；如上图所示线段AB，BC，AC都是弦． ②直径：经过圆心的弦叫做直径，如AC是⊙O的直径，直径是圆中最长的弦． ③弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，如曲线BC、BAC都是⊙O中的弧，分别记作，． ④半圆：圆中任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆，如是半圆． ⑤劣弧：像这样小于半圆周的圆弧叫做劣弧． ⑥优弧：像这样大于半圆周的圆弧叫做优弧． ⑦同心圆：圆心相同，半径不相等的圆叫做同心圆． ⑧弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形． ⑨等圆：能够重合的两个圆叫做等圆． ⑩等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧． 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角，如上图中∠AOB，∠BOC是圆心角． 圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角，如上图中∠BAC、∠ACB都是圆周角． 知识点二、圆的有关性质 1.圆的对称性 圆是轴对称图形，经过圆心的直线都是它的对称轴，有无数条．圆是中心对称图形，圆心是对称中心，又是旋转对称图形，即旋转任意角度和自身重合． 2.垂径定理 ①垂直于弦的直径平分这条弦，且平分弦所对的两条弧． ②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．如图所示： 3.弧、弦、圆心角之间的关系 ①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等； ②在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等． 4.圆周角定理及推论 ①圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． ②圆周角定理的推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 知识点三、与圆有关的位置关系 1.点与圆的位置关系 如图所示．d表示点到圆心的距离，r为圆的半径．点和圆的位置关系如下表： 点与圆的位置关系 d与r的大小关系 点在圆内 d＜r 点在圆上 d＝r 点在圆外 d＞r 2.直线与圆的位置关系 ①设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离，直线与圆的位置关系如下表． ②圆的切线． 切线的定义：和圆有唯一公共点的直线叫做圆的切线．这个公共点叫切点． 切线的判定定理：经过半径的外端．且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径． 切线长定义：我们把圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长． 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角． ③三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形，三角形的内心就是三角形三个内角平分线的交点． 3.圆与圆的位置关系 在同一平面内两圆作相对运动，可以得到下面5种位置关系，其中R、r为两圆半径(R≥r)．d为圆心距． 知识点四、正多边形和圆 1.正多边形的有关概念 正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心叫正多边形的中心．外接圆的半径叫正多边形的半径，内切圆的半径叫正多边形的边心距，正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等，这个角叫正多边形的中心角，正多边形的每一个中心角都等于． 2.正多边形的性质 任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两圆是同心圆．正多边形都是轴对称图形，偶数条边的正多边形也是中心对称图形，同边数的两个正多边形相似，其周长之比等于它们的边长(半径或边心距)之比． 3.正多边形的有关计算 定理：正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形． 正n边形的边长a、边心距r、周长P和面积S的计算归结为直角三角形的计算． ，，， ，，． 知识点五、圆中的计算问题 1.弧长公式：，其中为n°的圆心角所对弧的长，R为圆的半径． 2.扇形面积公式：，其中．圆心角所对的扇形的面积，另外． 3.圆锥的侧面积和全面积： 圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的半径等于圆锥的母线长，弧长等于圆锥底面圆的周长． 圆锥的全面积是它的侧面积与它的底面积的和． 知识点六、求阴影面积的几种常用方法 (1)公式法；(2)割补法；(3)拼凑法；(4)等积变形法；(5)构造方程法． 题型方法 【题型一】圆心角、圆周角 【例1】（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在中，，以O为圆心，长为半径作，分别交于C、D．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，若是直径，为是的弦，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，在的内接四边形中，，则 ． 【变式3】（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，在中，弦相交于点，且．求证． 【题型二】垂径定理 【例2】（24-25九年级上·江苏南通·期末）已知的半径为5，点在内，且，则经过点的弦的长不可能为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）下列命题中正确的是（   ） A．三点确定一个圆 B．平分弦的直径垂直于弦 C．在同圆中，同弧所对的圆周角相等 D．相等的圆心角所对的弧相等 【变式2】（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，点B，C在上，D为的中点，直径交于点E，，，则的长为 ． 【变式3】（23-24九年级下·江苏泰州·阶段练习）操作题：如图，是的外接圆，弦AD平分，P是上一点． (1)请你只用无刻度的直尺在圆上找一点P使； (2)在（1）的条件下，当，圆的半径为5的时候，求的面积． 【题型三】切线的性质与判定 【例3】（24-25九年级上·江苏徐州·期中）在中，，，以点为圆心，为半径作圆与相切，则的值为（    ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（21-22九年级上·江苏泰州·期中）如图，△ABC周长为20cm，BC＝6cm，圆O是△ABC的内切圆，圆O的切线MN与AB、CA相交于点M、N，则△AMN的周长为（    ） A．14cm B．8cm C．7cm D．9cm 【变式2】（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，P为外一点，与相切于点A，交于点B，交于点C，，，则的半径为 ． 【变式3】（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，已知中，． (1)作一个圆，使圆心在边上，且与、所在直线相切（不写作法，保留作图㾗迹）； (2)若，求（1）中所作的的半径． 【题型四】弧 长、扇形面积的计算 【例4】（24-25九年级上·江苏南京·期末）已知圆弧的半径为12，所对的圆心角为，则该圆弧的长是（    ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（23-24九年级上·江苏淮安·期中）已知：如图，在扇形中，，半径，将扇形沿过点B的直线折叠，点O恰好落在上的点D处，折痕交于点C，连接，则扇形的面积为（　　）    A． B．2π C．π D． 【变式2】（24-25九年级上·江苏扬州·期中）已知扇形的弧长是，圆心角，则这个扇形的半径是 ． 【变式3】（24-25九年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，以为直径的分别与交于点，过点D作，垂足为点F． (1)求证：直线是的切线； (2)若的半径为2，，求图中阴影部分的面积． 【题型五】正多边形的性质 【例5】（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，、、、为一个正多边形的顶点，若，该正多边形的边数为（　　） A．12 B．11 C．10 D．9 【举一反三】【变式1】（21-22九年级上·江苏南京·期中）如图，圆内接正九边形两条对角线相交，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·江苏镇江·期中）用长的篱笆围成正三角形或正方形或正六边形的绿地，其面积分别为，，，用“”号把，，连接起来为 ． 【变式3】（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，正方形内接于，M为弧中点，连接． (1)求证：； (2)连接，求的度数． 好题必刷 一、单选题 1．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）若正四边形的边长为2，则其内切圆半径的为（    ） A．1 B． C．2 D． 2．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）物理实验课上，同学们分组研究“定滑轮可以改变用力的方向，但不能省力”的课题时，小明发现，重物上升时，滑轮上点的位置在不断改变．已知滑轮的半径为，当滑轮上点转过的度数为时，重物上升了（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级下·江苏宿迁·阶段练习）如图，在中，弦，连接，，．若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，在扇形中，点D在上，点C在上，．若，则的半径为(   ) A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，的半径为5，弦的长为8，将劣弧沿直线折叠后的图形如图，则点O到弧所在圆的切线长为（   ） A．3 B． C．4 D． 6．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）在中，，，，、分别是、上的一点，且，若以为直径的圆与斜边相交于、，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）等腰的外接圆半径为5，圆心到底边的距离为3，则 ． 8．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）如图，已知的半径为，现有正方形的边与相切，切点为，且点在上，则正方形的边长为 ． 9．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，点、、、、在上，且为，则的度数为 ． 10．（24-25九年级上·江苏常州·期末）如图，刘老师拍摄了一张美丽的日出照并将其冲刷成照片，测得照片中太阳被海平线截得的线段长为，太阳边缘上的点到海平线的最远距离也为，则照片中太阳的半径是 ． 11．（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图, 正五边形的边，与分别相切于点M，N， 点P在上，连接，，则的度数为 ． 12．（22-23九年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，为的弦，半径于点C．若，，则的半径长为 ． 三、解答题 13．（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，与相切于点A． (1)尺规作图：过点P作的另一条切线，B为切点；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，的半径为3，求的长． 14．（24-25九年级上·江苏徐州·期末）如图，在中，， (1)用无刻度的直尺和圆规在图中作，使圆心O在边上，过点B且与边相切于点D（不写作法．保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若．求与重叠部分的面积 15．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在中，，以点C为圆心，长为半径的与相交于点．    (1)若弧的度数为，则______°； (2)若，，求线段的长． 16．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，，，点O在的边上，以O为圆心，为半径的经过点C，交于点D． (1)求证：与相切； (2)若，求与重叠部分的面积． 17．（24-25九年级上·江苏常州·期中）已知：如图，是的直径，点C在上，请用无刻度直尺画图（保留作图痕迹，不写画法）． (1)如图①，若M是半圆的中点，且与C点在同一侧，画出的平分线．并说明理由； (2)如图②，若，画出的平分线； (3)在（2）的作图下，已知，交直径于点F，则　　　． 18．（24-25九年级上·江苏常州·期中）如图1，，是半圆上的两点，若直径上存在一点，满足，则称是的“幸运角”． (1)如图2，是的直径，弦，是上一点，连结交于点，连结，是的“幸运角”吗？请说明理由； (2)设的度数为，请用含的式子表示的“幸运角”度数； (3)在（1）的条件下，直径，的“幸运角”为． ①如图3，连结，求弦的长； ②当时，求的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$