专题2.32 四点共圆（4种判定方法7类题型）（方法梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题2.32 四点共圆（4种判定方法7类题型）（方法梳理与题型分类讲解） 第一部分【方法梳理与题型目录】 【判定方法1】若一个点到四个点的距离相等，则这四个点共圆． 【判定方法2】若两个直角三角形共斜边，则四个顶点共圆，且直角三角形的斜边为圆的直径． 【判定方法3】共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆． 【判定方法4】对于凸四边形ABCD，若对角互补，则A、B、C、D四点共圆. 题型目录 【题型1】判定方法1.........................................................1 【题型2】判定方法2.........................................................2 【题型3】判定方法3.........................................................3 【题型4】判定方法4.........................................................4 【题型5】四点共圆综合......................................................4 【题型6】直通中考..........................................................6 【题型7】拓展延伸..........................................................7 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】判定方法1 【例1】（21-22九年级上·全国·课后作业）已知，如图，四边形中，，，，，．试判断点，，，是否在同一圆上；若在，请证明，并求出该圆的面积；若不在，请说明理由． 【变式1】（23-24九年级·江苏·假期作业）已知：如图，在正方形中，、分别是、的中点． (1)线段与有何关系．说明理由； (2)延长、交于点H，则B、D、G、H这四个点是否在同一个圆上．说明理由． 【变式2】（22-23九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，将含的三角尺的直角顶点落在第二象限．其斜边两端点、分别落轴、轴上，且，点与点的距离的最大值 ． 【题型2】判定方法2 【例2】（2023九年级·全国·专题练习）如图①，若是和的公共斜边，则A、B、C、D在以为直径的圆上，则叫它们“四点共圆”．如图②，的三条高、、相交于点H，则图②中“四点共圆”的组数为 ．    【变式1】（2024·河北沧州·模拟预测）小明手中有几组大小不等的三角板，分别是含度，度的直角三角板．从中选择两个各拼成如图所示的图形，则关于两图中四个顶点，，，的说法，正确的是（    ） A．甲图四点共圆，乙图四点共圆 B．甲图四点共圆，乙图四点不共圆 C．甲图四点不共圆，乙图四点共圆 D．甲图四点不共圆，乙图四点不共圆 【变式2】（2024·湖南·模拟预测）如图，已知在扇形中，，．P为弧上的动点，过点P作于点E，于点F，连接．当点沿着弧从点运动至点时，的外心运动的路径长为 ． 【题型3】判定方法3 【例3】（21-22九年级上·福建福州·期中）如图，在RtABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝40°，将ABC绕A点顺时针旋转得到ADE，使D点落在BC边上． （1）求∠BAD的度数； （2）求证：A、D、B、E四点共圆． 【变式1】（22-23九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在四边形ABCD中，，，，若，，则线段AC的长为 ． 【变式2】（22-23九年级下·福建南平·自主招生）如图，在四边形中，且，垂足为，延长线交于，交的延长线于．   求证：A，，，四点共圆； 【题型4】判定方法4 【例4】（2024九年级下·甘肃·专题练习）如图，中，，，在边上，延长，与的外接圆分别交于，两点． 求证：D，E，Q，P四点共圆； 【变式1】（2023·辽宁大连·模拟预测）如图，在四边形中，为四边形的对角线，．设，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，，，点C在内部，且，则四边形面积的最大值为 ． 【题型5】四点共圆综合 【例7】（23-24九年级上·云南昆明·期中）综合与实践： “善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究． 提出问题： 如图1所示，在线段同侧有两点，，连接，，，，如果，那么，，，四点在同一个圆上．    探究展示： 如图2所示，作经过点，，的，在劣弧上取一点（不与，重合），连接，，    则，（依据 ， ， 点，，，四点在同一个圆上，（对角互补的四边形四个顶点共圆） 点，在点，，所确定的上，（依据 点，，，四点在同一个圆上； 反思归纳： （1）上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？ 依据1：______；（从右边框内选一个选项，直接填序号） 依据2：______．（从右边框内选一个选项，直接填序号） ①圆内接四边形对角互补； ②对角互补的四边形四个顶点共圆； ③过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆； ④经过两点的圆的圆心在这两点所连线段的垂直平分线上； （2）如图3所示，在四边形中，，，则的度数为______．    【变式1】（23-24九年级上·福建福州·阶段练习）根据下列四幅图中标注的信息，无法确定四点在同一个圆上的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23七年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，现平面内有一点D，使得，连接BD，CD，若，，则点A到BD的距离为 ．    第三部分【中考链接与拓展延伸】 【题型6】直通中考 【例1】（2021·浙江嘉兴·中考真题）如图，在中，，AB=AC=5，点在上，且，点E是AB上的动点，连结，点，G分别是BC，DE的中点，连接，，当AG=FG时，线段长为（      ） A． B． C． D．4 【例题2】（2023·山东日照·中考真题）在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上，小霞小组通过探究得出：在平面内，一组对角互补的四边形的四个顶点共圆．请应用此结论．解决以下问题： 如图1，中，（）．点D是边上的一动点（点D不与B，C重合），将线段绕点A顺时针旋转到线段，连接．    (1)求证：A，E，B，D四点共圆； (2)如图2，当时，是四边形的外接圆，求证：是的切线； (3)已知，点M是边的中点，此时是四边形的外接圆，直接写出圆心P与点M距离的最小值． 【题型7】拓展延伸 【例1】（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在正方形中，连接，点H和点Q分别在线段上，若点B、H、Q、C四点共圆，若，设为x，三角形的面积为y，则y与x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.32 四点共圆（4种判定方法7类题型）（方法梳理与题型分类讲解） 第一部分【方法梳理与题型目录】 【判定方法1】若一个点到四个点的距离相等，则这四个点共圆． 【判定方法2】若两个直角三角形共斜边，则四个顶点共圆，且直角三角形的斜边为圆的直径． 【判定方法3】共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆． 【判定方法4】对于凸四边形ABCD，若对角互补，则A、B、C、D四点共圆. 题型目录 【题型1】判定方法1.........................................................1 【题型2】判定方法2.........................................................4 【题型3】判定方法3.........................................................7 【题型4】判定方法4........................................................11 【题型5】四点共圆综合.....................................................14 【题型6】直通中考.........................................................18 【题型7】拓展延伸.........................................................22 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】判定方法1 【例1】（21-22九年级上·全国·课后作业）已知，如图，四边形中，，，，，．试判断点，，，是否在同一圆上；若在，请证明，并求出该圆的面积；若不在，请说明理由． 【答案】点，，，在同一圆上，理由见解析；面积为 【分析】由勾股定理求出，由勾股定理的逆定理得出是直角三角形，，得出即可证明结论；证明是圆的直径，得出圆的半径==5，即可求出外接圆的面积． 解：点，，，在同一圆上； 证明：连接，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， 设中点为点，连接、， 则， ∴点，，，同在以点为圆心，为直径的圆上， ∴圆的半径， ∴圆的面积． 【点拨】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、四点共圆、圆周角定理；熟练掌握勾股定理和拓展延伸，证明三角形是直角三角形是解决问题的关键． 【变式1】（23-24九年级·江苏·假期作业）已知：如图，在正方形中，、分别是、的中点． (1)线段与有何关系．说明理由； (2)延长、交于点H，则B、D、G、H这四个点是否在同一个圆上．说明理由． 【答案】(1)且，证明见解析； (2)见解析 【分析】（1）证明，证据全等三角形的对应边相等，以及直角三角形的两锐角互余即可证明相等且互相垂直； （2）证明，依据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得，，，四点到的距离相等，即可证得四点共圆． 解：（1）且． 证明：、分别是、的中点， ，， ， 又，， ， ，， 在直角中，， ， ， ； （2）连接． ，，， ， ， 在直角中，， ， ， ，，，在以为圆心、长为半径的圆上． 【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，以及直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 【变式2】（22-23九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，将含的三角尺的直角顶点落在第二象限．其斜边两端点、分别落轴、轴上，且，点与点的距离的最大值 ． 【答案】13 【分析】先证明四点共圆，再根据圆中直径最大即可求解． 解：取的中点，连接，，如图： ， ， 、、、在以为圆心，为半径的圆上， 当弦过圆心时，最大，此时， 故答案为：． 【点拨】本题考查了坐标与图形的性质，涉及到了四点共圆的判定与性质和圆的性质，掌握对角互补的四边形四个顶点共圆和的圆周角所对的弦是直径是解题的关键． 【题型2】判定方法2 【例2】（2023九年级·全国·专题练习）如图①，若是和的公共斜边，则A、B、C、D在以为直径的圆上，则叫它们“四点共圆”．如图②，的三条高、、相交于点H，则图②中“四点共圆”的组数为 ．    【答案】6 【分析】根据两个直角三角形公共斜边时，四个顶点共圆，结合图形求解可得． 解：如图，    以为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆， 以为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆， 以为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆， 以为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆， 以为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆， 以为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆， 综上分析可知，共6组． 故答案为：6． 【点拨】本题考查四点共圆的判断方法．解题的关键是明确有公共斜边的两个直角三角形的四个顶点共圆． 【变式1】（2024·河北沧州·模拟预测）小明手中有几组大小不等的三角板，分别是含度，度的直角三角板．从中选择两个各拼成如图所示的图形，则关于两图中四个顶点，，，的说法，正确的是（    ） A．甲图四点共圆，乙图四点共圆 B．甲图四点共圆，乙图四点不共圆 C．甲图四点不共圆，乙图四点共圆 D．甲图四点不共圆，乙图四点不共圆 【答案】C 【分析】本题考查圆的定义，点和圆的位置关系，直角三角形斜边中线性质，熟练掌握这些定义和性质是解题的关键．甲图中，取中点，连接，，得出，得点、、是以点为圆心，为半径的圆上，再判断点在圆外即可；乙图中，取中点，连接，，得，即可判断． 解：如甲图中，取中点，连接，， ∵， ∴， ∴点、、是以点为圆心，为半径的圆上， 为直角三角形， ∴， ∴点在圆外， ∴甲图四点不共圆； 如乙图中，取中点，连接，， ∵， ∴， ∴点、、、是以点为圆心，为半径的圆上， ∴乙图四点共圆， 综上，甲图四点不共圆，乙图四点共圆， 故选：C． 【变式2】（2024·湖南·模拟预测）如图，已知在扇形中，，．P为弧上的动点，过点P作于点E，于点F，连接．当点沿着弧从点运动至点时，的外心运动的路径长为 ． 【答案】 【分析】本题考查轨迹，圆周角定理，弧长公式，三角形的外心等知识，解题的关键是正确寻找的外心点的运动轨迹，属于中考常考题型．判断出的外心点的运动轨迹，利用弧长公式求解． 解：如图，连接，作出的中点D，连接， ，， ， 点，，，四点共圆， 是的外接圆的圆心， ， 点是以在点为圆心为半径的圆上的动点， 点，分别在半径，上， 点运动路径所对的圆心角是， 点运动路径所对的圆心角是， 点运动的路径长为． 故答案为：． 【题型3】判定方法3 【例3】（21-22九年级上·福建福州·期中）如图，在RtABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝40°，将ABC绕A点顺时针旋转得到ADE，使D点落在BC边上． （1）求∠BAD的度数； （2）求证：A、D、B、E四点共圆． 【答案】（1）10°；（2）见解析 【分析】（1）由三角形内角和定理和已知条件求得∠C的度数，由旋转的性质得出AC＝AD，即可得出∠ADC＝∠C，最后由外角定理求得∠BAD的度数； （2）由旋转的性质得到∠ABC＝∠AED，由四点共圆的判定得出结论． 解：（1）∵在RtABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝40°， ∴∠C＝50°， ∵将ABC绕A点顺时针旋转得到ADE，使D点落在BC边上， ∴AC＝AD， ∴∠ADC＝∠C＝50°， ∴∠ADC＝∠ABC+∠BAD＝50°， ∴∠BAD＝50°－40°＝10° 证明（2）∵将ABC绕A点顺时针旋转得到ADE， ∴∠ABC＝∠AED， ∴A、D、B、E四点共圆． 【点拨】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、外角定理以及四点共圆的判定，解题的关键是理解旋转后的图形与原图形对应边相等，对应角相等． 【变式1】（22-23九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在四边形ABCD中，，，，若，，则线段AC的长为 ． 【答案】 【分析】连接BD，过B作BH⊥AC于H点，根据△BCD是直角三角形，可证明∠BAC=∠BDC，则有A、B、C、D四点共圆，进而有BD是该圆的直径，可得∠BAD=90°，利用勾股定理可得，则有，，根据BH⊥AC，可得△ABH、△BCH是直角三角形，则有∠ABH=30°，即，利用勾股定理可得，再在△BCH是直角三角形，可得，问题即可得解． 解：连接BD，过B作BH⊥AC于H点，如图， ∵∠BCD=90°， ∴△BCD是直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴在Rt△BCD中，∠DBC=30°， 即∠BDC=60°， ∵∠BAC=60°， ∴∠BAC=∠BDC， ∴A、B、C、D四点共圆， ∵∠BCD=90°， ∴BD是该圆的直径， ∴∠BAD=90°， ∵AB=5，AD=2， ∴， ∴，即， ∵BH⊥AC， ∴△ABH、△BCH是直角三角形， ∵∠BAC=60°， ∴∠ABH=30°， ∴， 即， ∵△BCH是直角三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 【点拨】本题考查了勾股定理、四点共圆、圆周角定理以及含30°角的直角三角形的性质等知识，利用四点共圆是解答本题的关键． 【变式2】（22-23九年级下·福建南平·自主招生）如图，在四边形中，且，垂足为，延长线交于，交的延长线于．   求证：A，，，四点共圆； 【分析】根据等腰三角形的性质得出为中点，求出，证明，得出为等腰三角形，得出，求出，即可证明结论；    ， 为等腰三角形，， 又∵， ∴为中点， ∴垂直平分， ， ∴， ， 又， 为等腰三角形， ， ∴， ∴A，，，四点共圆；（若共底边的两个三角形的顶角相等，且在底边的同侧，则四点共圆） 【题型4】判定方法4 【例4】（2024九年级下·甘肃·专题练习）如图，中，，，在边上，延长，与的外接圆分别交于，两点． 求证：D，E，Q，P四点共圆； 【分析】本题考查同弧所对圆周角相等，四点共圆，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握相关定理并理解且能综合运用是关键． 证明：连接，根据同弧所对圆周角相等可得，，由 结合等腰三角形性质可证，最后得证即可； ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，，，四点共圆； 【变式1】（2023·辽宁大连·模拟预测）如图，在四边形中，为四边形的对角线，．设，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了四点共圆及圆周角的性质：解决本题的关键是熟练掌握圆周角的性质及四点共圆．先由可得点四点共圆，再通过圆周角性质可得，再由圆内接四边形性质可得结果． 解：如图， 在四边形中， 点四点共圆， ， ， ， ， 点四点共圆， 故选：B 【变式2】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，，，点C在内部，且，则四边形面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】连接，取的中点N，连接，，证明是等边三角形，求出，要使四边形的面积最大，只需的面积最大．证明A，B，C，D四点共圆，得出当时，取得最大面积，此时，，，求出，最后求出结果即可． 解：如图，连接，取的中点N，连接，， ∵，， ∴是等边三角形 ∴，，， ∴， ∴， ∴要使四边形的面积最大，只需的面积最大． ∵， ∴A，B，C，D四点共圆， ∴当时，取得最大面积，此时，，， ∴， ∴，此时， ∴四边形面积的最大值为 故答案为：． 【点拨】本题主要考查了勾股定理，等边三角形的判定和性质，四点共圆，等腰三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，数形结合，熟练掌握相关的判定和性质． 【题型5】四点共圆综合 【例7】（23-24九年级上·云南昆明·期中）综合与实践： “善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究． 提出问题： 如图1所示，在线段同侧有两点，，连接，，，，如果，那么，，，四点在同一个圆上．    探究展示： 如图2所示，作经过点，，的，在劣弧上取一点（不与，重合），连接，，    则，（依据 ， ， 点，，，四点在同一个圆上，（对角互补的四边形四个顶点共圆） 点，在点，，所确定的上，（依据 点，，，四点在同一个圆上； 反思归纳： （1）上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？ 依据1：______；（从右边框内选一个选项，直接填序号） 依据2：______．（从右边框内选一个选项，直接填序号） ①圆内接四边形对角互补； ②对角互补的四边形四个顶点共圆； ③过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆； ④经过两点的圆的圆心在这两点所连线段的垂直平分线上； （2）如图3所示，在四边形中，，，则的度数为______．    【答案】（1）①，③（2） 【分析】（1）根据探究展示过程和圆的性质，确定圆的条件填空即可； （2）作过，，的，在劣弧上取点，连接，，由，可得，故，有，，，共圆，即在过，，的上，即知，，，，共圆，从而． 解：（1）由探究展示过程可知，的依据是：①圆内接四边形对角互补； 点，在点，，所确定的上的依据是：③过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆； 故答案为：①，③； （2）作过，，的，在劣弧上取点，连接，，如图：    ， ， ， ， ，，，共圆，即在过，，的上， 在过，，的上， ，，，，共圆， ， ， 故答案为：． 【点拨】本题考查四点共圆，解题的关键是读懂阅读材料，掌握圆的相关性质并能灵活运用． 【变式1】（23-24九年级上·福建福州·阶段练习）根据下列四幅图中标注的信息，无法确定四点在同一个圆上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了四点共圆的条件：若四边形对角互补或两三角形都在这底边的同侧，其顶角相等，则四点共圆，解决本题的关键是熟练掌握四点共圆的条件，根据四点共圆的条件判断即可． 解：A．由图可得，即对角互补的四边形四点共圆，故确定四点在同一个圆上，不符合题意； B．无法确定四点在同一个圆上，符合题意； C．由图可得，即对角互补的四边形四点共圆，故确定四点在同一个圆上，不符合题意； D．由图可得，即两三角形都在这底边的同侧，其顶角相等，故确定四点在同一个圆上，不符合题意． 故选：B 【变式2】（22-23七年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，现平面内有一点D，使得，连接BD，CD，若，，则点A到BD的距离为 ．    【答案】或 【分析】分点D在上方和下方两种情况，通过作辅助线发现四点共圆、构造全等三角形，利用等腰直角三角形的性质推出长度关系即可解答． 解：①当点D在上方，如图所示，过A作交干点H，在上取占P，使，    ∵， ∴A点、D点都在以为直径的圆周上，即A、B、C、D四点共圆, ∴， 在和中， , ∴ ∴, ∵， ∵， ∴ ∵， ∴ ∴'； ②当点D在上方，如图所示：过A作交干点H，在上取占P，使，    ∵， ∴A点、D点都在以为直径的圆周上，即A、B、C、D四点共圆, ∴， 在和中， , ∴ ∴, ∵， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴'． 综上所述，点A到距离为或． 【点拨】本题主要考查了四点共圆、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用相关性质定理是解答本题的关键 第三部分【中考链接与拓展延伸】 【题型6】直通中考 【例1】（2021·浙江嘉兴·中考真题）如图，在中，，AB=AC=5，点在上，且，点E是AB上的动点，连结，点，G分别是BC，DE的中点，连接，，当AG=FG时，线段长为（      ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】连接DF，EF，过点F作FN⊥AC，FM⊥AB，结合直角三角形斜边中线等于斜边的一半求得点A，D，F，E四点共圆，∠DFE=90°，然后根据勾股定理及正方形的判定和性质求得AE的长度，从而求解． 解：连接DF，EF，过点F作FN⊥AC，FM⊥AB ∵在中，，点G是DE的中点， ∴AG=DG=EG 又∵AG=FG ∴点A，D，F，E四点共圆，且DE是圆的直径 ∴∠DFE=90° ∵在Rt△ABC中，AB=AC=5，点是BC的中点， ∴CF=BF=，FN=FM= 又∵FN⊥AC，FM⊥AB， ∴四边形NAMF是正方形 ∴AN=AM=FN= 又∵， ∴ ∴△NFD≌△MFE ∴ME=DN=AN-AD= ∴AE=AM+ME=3 ∴在Rt△DAE中，DE= 故选：A． 【点拨】本题考查直径所对的圆周角是90°，四点共圆及正方形的判定和性质和用勾股定理解直角三角形，掌握相关性质定理正确推理计算是解题关键． 【例题2】（2023·山东日照·中考真题）在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上，小霞小组通过探究得出：在平面内，一组对角互补的四边形的四个顶点共圆．请应用此结论．解决以下问题： 如图1，中，（）．点D是边上的一动点（点D不与B，C重合），将线段绕点A顺时针旋转到线段，连接．    (1)求证：A，E，B，D四点共圆； (2)如图2，当时，是四边形的外接圆，求证：是的切线； (3)已知，点M是边的中点，此时是四边形的外接圆，直接写出圆心P与点M距离的最小值． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析；(3) 。 【分析】（1）根据旋转的性质得到，证明，进而证明，可以得到，由，可得，即可证明A、B、D、E四点共圆； （2）如图所示，连接，根据等边对等角得到，由圆周角定理得到，再由，得到，利用三角形内角和定理证明，即，由此即可证明是的切线； （3）如图所示，作线段的垂直平分线，分别交于G、F，连接，先求出，再由三线合一定理得到，，解直角三角形求出，则，再解得到，则；由是四边形的外接圆，可得点P一定在的垂直平分线上，故当时，有最小值，据此求解即可． 解：（1）证明：由旋转的性质可得， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴A、B、D、E四点共圆； （2）证明：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵是四边形的外接圆， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线；    （3）解：如图所示，作线段的垂直平分线，分别交于G、F，连接， ∵， ∴， ∵点M是边的中点， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵是四边形的外接圆， ∴点P一定在的垂直平分线上， ∴点P在直线上， ∴当时，有最小值， ∵， ∴在中，， ∴圆心P与点M距离的最小值为． 【点拨】本题主要考查了旋转的性质，等边对等角，解直角三角形，圆周角定理，切线的判定，三角形外接圆的性质，垂线段最短等等，正确作出辅助线是解题的关键． 【题型7】拓展延伸 【例1】（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在正方形中，连接，点H和点Q分别在线段上，若点B、H、Q、C四点共圆，若，设为x，三角形的面积为y，则y与x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了求函数解析式、圆周角定理、解直角三角形等知识，过点H作于点M，过点H作于点N，则，证明四边形是矩形，是四边形的外接圆的直径，求出，，，得到，进一步得到，即可得到三角形的面积． 解：过点H作于点M，过点H作于点N，则， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形是矩形，是四边形的外接圆的直径， ∴，，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴三角形的面积， 故选：A． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$