第四章 指数函数与对数函数章末综合测试-2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第四章 指数函数与对数函数章末综合测试卷 （2025-2026学年第一学期高一数学必修第一册第四章（2019）人教A版） 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）． 1．设3x＝4y＝36，则的值为（    ） A．6 B．3 C．2 D．1 2．函数的零点所在的一个区间为（   ） A． B． C． D． 3．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 4．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 5．设函数f（x）满足，则f（4）等于（　　） A． B．6 C． D．1 6．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 7．已知偶函数的定义域为R，若在上单调递减且，则满足的x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．已知函数，则“”是“在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在毎小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9．设是正整数，且，则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 10．下列命题中正确的是（ ） A．函数且的图象恒过定点 B．命题：“”的否定是“” C．已知函数的定义域为，则定义域为 D．若函数，则 11．已知函数，下列区间中存在函数零点的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题（本大题共3小题，每小题 5 分，共15分．） 12．函数的定义域是 ． 13．函数的零点为 . 14．已知函数的值域为，则的取值范围是 ． 四、解答题（本大题共5小题， 共 77 分， 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15（13分）．（1）已知，求的值； （2）求的值. 16（15分）．已知指数函数的图象经过点. (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围. 17（15分）．已知函数． (1)求的定义域； (2)证明：在内有且仅有一个零点． 18（17分）．已知函数的定义域是，设 (1)求的解析式及定义域； (2)若，求函数的最大值和最小值． 19（17分）．已知函数的图象过点． （1）求实数的值，并求的定义域和值域； （2）解不等式． 4.3第四章 指数函数与对数函数章末综合测试卷 （2025-2026学年第一学期高一数学必修第一册第四章（2019）人教A版） 一、单选题 1．设3x＝4y＝36，则的值为（    ） A．6 B．3 C．2 D．1 答案：D 分析：根据指数式与对数式的互化公式，结合已知和对数的运算性质进行求解即可. 解析：由3x＝4y＝36得x＝log336，y＝log436， ∴＝2log363＋log364＝log369＋log364＝log3636＝1. 故选：D 点睛：本题考查了对数式与指数式的互化公式，考查了对数的运算性质，考查了数学运算能力. 2．函数的零点所在的一个区间为（   ） A． B． C． D． 答案：B 分析：先判断函数的单调性，然后根据零点存在性定理判断. 解析：函数定义域为，函数在单调递减， 由，；； ，又，所以； ，又，所以； . 所以，所以函数的零点所在的一个区间为.故选：B 3．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 答案：B 分析：根据复合函数同增异减可得解. 解析：由在单调递减，为减函数， 所以函数的单调递增区间是. 故答案为：B. 4．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 答案：B 分析：根据对数函数定义域求法解不等式即可得出结果. 解析：由可知，解得； 可得函数的定义域为. 故选：B 5．设函数f（x）满足，则f（4）等于（　　） A． B．6 C． D．1 答案：B 分析：由函数满足，先求出，由此能求出的值． 解析：∵函数满足， ， ， ． 故选． 点睛：本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 6．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 答案：C 分析：根据指数函数底数在0到1时的单调性，判断a，c，1之间的大小；在把b通过换底公式转化为自然对数计算，并比较其与1的大小，从而得出a，b，c的大小顺序. 解析：已知，，则. 因为底数小于1时，指数越大，结果越小，因此，即； 根据换底公式和函数单调性：，所以； 综上， 故选：C. 7．已知偶函数的定义域为R，若在上单调递减且，则满足的x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 答案：D 分析：根据给定条件，利用函数的单调性及对数函数单调性求解不等式. 解析：依题意，不等式， 则或，解得或， 所以所求x的取值范围是. 故选：D 8．已知函数，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 答案：B 分析：借助分段函数性质，分与进行讨论，结合对数函数单调性及其值域可得在上必有一零点，则可得有两个不同非正根，结合根的判别式与韦达定理计算即可得解. 解析：当时，在上单调递增，且值域为， 所以必有唯一解； 所以当时，有两个不同的根， 即有两个不同非正根，并设其两根为， 即，解得， 由，则，解得， 综上所述：的取值范围为，故B项正确.故选：B. 二、多选题 9．设是正整数，且，则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 答案：BCD 分析：利用分数指数幂和根式的互化以及运算律即可逐项判断. 解析：对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，因是正整数，且，则，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：BCD. 10．下列命题中正确的是（ ） A．函数且的图象恒过定点 B．命题：“”的否定是“” C．已知函数的定义域为，则定义域为 D．若函数，则 答案：AD 分析：根据指数的性质令即可求解A，根据全称命题的否定为存在量词命题即可求解B，根据求出，得到定义域可判断C，利用换元法即可求解D. 解析：对于A， 令，则，则，故且的图象恒过定点， A正确， 对于B，命题：“”的否定是“” B错误， 对于C， 的定义域为，则定义域为满足， 解得，故定义域为，C错误， 对于D， 令，则，故， 故，故D正确， 故选：AD 11．已知函数，下列区间中存在函数零点的是（    ） A． B． C． D． 答案：AD 分析：依次验证各个区间端点的函数值，利用零点判定定理判断即可. 解析：，， 可得，由函数零点存在性定理可得存在函数零点的区间是， ，可得， ，可得， ，可得， 由函数零点存在性定理可得存在函数零点的区间是. 故选：AD. 三、填空题 12．函数的定义域是 ． 答案： 分析：根据对数函数的定义域及根式有意义列式得出定义域即可. 解析：函数有意义得出且，所以 函数的定义域是. 故答案为：. 13．函数的零点为 . 答案：5 分析：令，得解出即可求解. 解析：令，得，所以，解得或（舍去）. 故答案为：5. 14．已知函数的值域为，则的取值范围是 ． 答案： 分析：先得到在的值域为，根据的值域为，可知需满足在上恒成立，即，解不等式可得结果. 解析：当时，； 又函数的值域为，所以在上恒成立，所以， 解得，即的取值范围是． 故答案为：. 四、解答题 15．（1）已知，求的值； （2）求的值. 分析：（1）根据指数幂的运算法则计算可得； （2）根据对数的运算性质计算可得. 解析：（1）因为，所以，化简得， 所以，则. （2） . 16．已知指数函数的图象经过点. (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围. 分析：（1）设，代入点解得，进而解方程即可； （2）根据指数函数的单调性化简不等式，再解不等式即可. 解析：（1）设，且， 代入点，可得， 解得，即， 则，所以. （2）因为指数函数在上单调递增， 所以不等式等价于，解得， 所以的取值范围为. 17．已知函数． (1)求的定义域； (2)证明：在内有且仅有一个零点． 分析：（1）根据对数的真数大于零及f恩木不等于零求解即可； （2）先判断函数在上的单调性，再根据零点的存在性定理即可得证. 解析：（1）由，得，解得或且， 所以的定义域； （2）令，其在上是增函数， 又函数是增函数，所以函数在上是增函数， 因为在上是增函数，所以函数在上是增函数， 又， 所以函数在内有且仅有一个零点. 18．已知函数的定义域是，设 (1)求的解析式及定义域； (2)若，求函数的最大值和最小值． 分析：（1）根据函数，得到f（2x）和f（x+2）的解析式求解； 再根据f（x）=2x的定义域是[0，3]，由求g（x）的定义域； （2）由（1）得g（x）=22x-2x+2，设2x=t，t∈[1，2]，转化为二次函数求解. 解析：（1）解：因为函数， 所以f（2x）=22x,f（x+2）=2x+2， 所以g（x）=f（2x）-f（x+2）=22x-2x+2， ∵f（x）=2x的定义域是[0，3]， ∴， 解得0≤x≤1， ∴g（x）的定义域为[0，1]． （2）由（1）得g（x）=22x-2x+2， 设2x=t，则t∈[1，2]， ∴g（t）=t2-4t=， ∴g（t）在[1，2]上单调递减， ∴g（t）max=g（1）=-3，g（t）min=g（2）=-4． ∴函数g（x）的最大值为-3，最小值为-4． 19．已知函数的图象过点． （1）求实数的值，并求的定义域和值域； （2）解不等式． 分析：（1）将代入函数解得，再计算得到定义域，最后计算值域得到答案. （2）根据题意得到得到不等式计算得到答案. 解析：（1）由题意得，所以， 所以，由得或， 则的定义域为， 因为，所以的值域为． （2）不等式， 所以 解得或 所以不等式的解集为或 点睛：本题考查了对数型函数的定义域，值域，解不等式，意在考查学生的计算能力. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$