第四章 指数函数与对数函数 章末综合测试（基础）-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第四章《指数函数与对数函数》章末综合测试（基础） 参考答案 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B C D C B B D A ABD BD ABD 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 已知集合，，则为（ ） A. B. C. D. 【解析】B由，可得， ， . 2. 把函数的图象向左，向下分别平移2个单位，得到的图象，则的解析式是(　　) A. B. C. D. 【解析】C ∵把函数y=f（x）的图象向左、向下分别平移2个单位可得y=f（x+2）-2 ∴f（x+2）-2=2∴f（x+2）=2x+2=2x+2-2+2则f（x）=2x-2+2. 3. 若函数为上的奇函数，且当时，，则（    ） A．1 B．2 C．-1 D．-2 【解析】D 由题意知，. 4. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 【解析】C 函数的定义域为，且函数在上单调递增， 故函数至多有一个零点. ，，， ，∴函数的零点所在区间为. 5. 函数f（x）＝·2x的图象大致形状是（ ） A. B. C. D. 【解析】B 由函数， 可得函数在上单调递增，且此时函数值大于1； 在上单调递减，且此时函数值大于－1且小于零， 结合所给选项，只有B项满足条件. 6. 函数的单调增区间是（ ） A. B. C. D. 【解析】B由题意中，，解得：， 又因为在上单调递增，在上单调递减，且为增函数， 根据复合函数同增异减的原则可知：函数的单调递增区间是. 7. 当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【解析】D 不等式，变形为， 当时， 令，则，此时原不等式不成立； 当时，令， 由在单调递增，在单调递减， 所以在单调递增， 故当时，取得最大值为， 由，解得， 所以. 8. 已知函数，.若对于，，使得成立，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【解析】A 因为，所以， 所以. 设，因为，即 所以在单调递增，最小值为， 因为，，，即， 所以， 令，易得，所以，即， 显然在的最小值为0，所以，即的取值范围为. 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若是任意正实数，且，则下列不等式成立的有（    ） A． B． C． D． 【解析】ABD 是任意正实数，， 对于A，由，得，A正确； 对于B，由，得，B正确； 对于C，由，得，而当时，，C错误； 对于D，由，得，D正确. 10. 下列函数是奇函数，且满足对任意，都有的是（ ） A. B. C. D. 【解析】BD 对任意，都有， 则在上单调递增；∴是在上单调递增的奇函数． 对于A，函数定义域为， 不是奇函数，A错误； 对于与在上都为增函数，故在上为增函数， ，∴是在上单调递增的奇函数，B正确； 对于，易知在上单调递减，C错误； 对于D，函数定义域为R， 函数在上是增函数，函数在定义域内是增函数，∴在上单调递增，是奇函数，D正确． 11. 已知函数（其中为自然对数的底数），定义函数，则下列说法正确的有（　　） A. 是奇函数 B. C. 若方程有且仅有一个解，则的取值范围是 D. 若存在，使成立，则 【解析】ABD ， 令，定义域为，， 所以是奇函数，故A正确； 因为，，所以，故B正确； 方程，即为，作出函数，的图象，如图所示： 由题意知：或，解得或，故C错误； 在上是增函数，则等价于， 令，令， 则， 因为存在，使得成立，所以，故D正确. 第II卷（非选择题92分） 3. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数的图像恒过定点A，且点A在函数的图像上，则______． 【解析】因为函数，令，即，，故函数过定点，又在函数上，所以，解得. 13. 已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围为________. 【解析】因为是上的减函数，所以，解得， 所以的取值范围是. 14. 定义域为的函数，若，使得成立，则称函数为“局部奇函数”．假设函数（其中e为自然对数的底数）为定义域为的“局部奇函数”，则实数的取值范围是_______． 【解析】由“局部奇函数”的定义得，使得方程成立， 即有实数解； 方程变形为， 令则， 故方程在区间上有解， 令， 则或 ； 解得或． 4. 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 求下列各式的值： （1）； （2）. 【解析】（1）根据指数幂的运算法则和运算性质，可得： 原式. （2）由对数的运算法则和对数的运算性质，可得： . 16. 设全集，，． （1）当a＝1时，求，； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【解析】（1）令可得，解得， 所以，或 当时，， 所以， 或. （2）由“”是“”的充分不必要条件可得，集合是集合的真子集， 又， 所以，解得， 故实数a的取值范围为． 17. 已知函数． （1）若函数具有奇偶性，试求实数的值； （2）若函数为奇函数，判断函数的单调性，并证明． 【解析】（1）若函数为偶函数，则，即， 即恒成立，则； 若函数为奇函数，则，即， 即恒成立，则． 综上知，函数具有奇偶性时，． （2）函数为奇函数时，是R上的增函数，证明如下： 由（1）知函数为奇函数时，，此时． 设， 则， ，则， 故，即， 故是上的增函数． 18. 塑料袋给我们生活带来了方便，但对环境造成了巨大危害.某品牌塑料袋经自然降解后残留量与时间年之间的关系为为初始量，为光解系数（与光照强度､湿度及氧气浓度有关），为塑料分子聚态结构系数.（参考数据：） （1）已知塑料分子聚态结构系数是光解系数的90倍，若塑料自然降解到残留量为初始量的时，大约需要多少年？ （2）为了缩短降解时间，该品牌改变了塑料分子聚态结构，其他条件不变.已知2年就可降解初始量的.要使残留量不超过初始量的5%，至少需要多少年？ 【解析】（1）由题可知，所以， 所以， 解得，所以残留量为初始量的，大约需要144年. （2）根据题意当时，，， ，若残留量不超过初始量的，则，即 两边取常用对数， 解得，所以至少需要26年. 19. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数． （1）判断函数的奇偶性，求函数的图象的对称中心，并说明理由； （2）对于不同函数与，若，的图象都是有且仅有一个对称中心，分别记为和. （i）求证：当时，的图象仍有对称中心； （ii）问：当时，的图象是否仍一定有对称中心？若一定有，请说明理由；若不一定有，请举出具体的反例. 【解析】（1）为奇函数，证明如下： 由可得，所以函数定义域为，关于原点对称， 又，故为奇函数， 由，可得， 令，则由可得或， 所以函数定义域为或，关于原点对称， 又， 所以为奇函数，即为奇函数， 所以由题意知图象的对称中心是. （2）（i）证明：由题意为奇函数， 所以， 为奇函数， 所以， 则当时有 令，则， 所以是奇函数， 所以的图象关于点对称， 即当时，的图象仍然有对称中心为. （ii）当时，不一定有对称中心． 设，易知函数的图象关于对称，得，， 设，易知函数的图象关于对称．得，， 此时，，令， 若函数图象关于点对称， 则为奇函数， 而函数要有意义则且， 若函数为奇函数，则，即， 此时，， 所以当时，，时，， 则由解得， 此时当时，， 所以不是奇函数， 故函数图象不关于点对称，即没有对称中心， 所以当，函数图象不一定有对称中心. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章《指数函数与对数函数》章末综合测试（基础） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷（选择题58分） 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 已知集合，，则为（ ） A. B. C. D. 2. 把函数的图象向左，向下分别平移2个单位，得到的图象，则的解析式是(　　) A. B. C. D. 3. 若函数为上的奇函数，且当时，，则（    ） A．1 B．2 C．-1 D．-2 4. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 5. 函数f（x）＝·2x的图象大致形状是（ ） A. B. C. D. 6. 函数的单调增区间是（ ） A. B. C. D. 7. 当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，.若对于，，使得成立，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若是任意正实数，且，则下列不等式成立的有（    ） A． B． C． D． 10. 下列函数是奇函数，且满足对任意，都有的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数（其中为自然对数的底数），定义函数，则下列说法正确的有（　　） A. 是奇函数 B. C. 若方程有且仅有一个解，则的取值范围是 D. 若存在，使成立，则 第II卷（非选择题92分） 3. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数的图像恒过定点A，且点A在函数的图像上，则______． 13. 已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围为________. 14. 定义域为的函数，若，使得成立，则称函数为“局部奇函数”．假设函数（其中e为自然对数的底数）为定义域为的“局部奇函数”，则实数的取值范围是_______． 4. 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 求下列各式的值： （1）； （2）. 16. 设全集，，． （1）当a＝1时，求，； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 17. 已知函数． （1）若函数具有奇偶性，试求实数的值； （2）若函数为奇函数，判断函数的单调性，并证明． 18. 塑料袋给我们生活带来了方便，但对环境造成了巨大危害.某品牌塑料袋经自然降解后残留量与时间年之间的关系为为初始量，为光解系数（与光照强度､湿度及氧气浓度有关），为塑料分子聚态结构系数.（参考数据：） （1）已知塑料分子聚态结构系数是光解系数的90倍，若塑料自然降解到残留量为初始量的时，大约需要多少年？ （2）为了缩短降解时间，该品牌改变了塑料分子聚态结构，其他条件不变.已知2年就可降解初始量的.要使残留量不超过初始量的5%，至少需要多少年？ 19. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数． （1）判断函数的奇偶性，求函数的图象的对称中心，并说明理由； （2）对于不同函数与，若，的图象都是有且仅有一个对称中心，分别记为和. （i）求证：当时，的图象仍有对称中心； （ii）问：当时，的图象是否仍一定有对称中心？若一定有，请说明理由；若不一定有，请举出具体的反例. 学科网（北京）股份有限公司 $