专题02 常用逻辑用语五类综合问题（压轴题专项训练）数学沪教版2020必修第一册

专题02 常用逻辑用语五类综合问题 目录 典例详解 类型一、充分必要条件的判定 类型二、充要条件的证明 类型三、充分、必要及充要条件的应用 类型四、由含量词命题的真假求参数范围 类型五、根据命题的否定求参数范围 压轴专练 类型一、充分必要条件的判定 充分、必要条件的两种判定方法： (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题. (2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题. 【例1】已知，，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-1】已知集合，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-2】已知，，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必聚条件 【变式1-3】设，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-4】已知命题；，则是的（    ） A．充分而非必要条件 B．必要而非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 类型二、充要条件的证明 充要条件的证明策略 （1）要证明p是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真； （2）在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的. 提醒　证明时一定要分清充分性与必要性的证明方向. 【例2】对一元二次方程，证明：是该方程有两个异号实根的充要条件. 【变式2-1】已知，证明：“”是“”的充要条件. 【变式2-2】已知，都是非零实数，且，求证：的充要条件是. 【变式2-3】求证：△ABC是等边三角形的充要条件是a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc.（这里a，b，c是△ABC的三边边长） 充分条件与必要条件的应用 （1）应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题； （2）求解步骤：先把p，q等价转化，建立相对应的集合，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式（组）进行求解. 【例3】某药品检测机构定义集合，．若“”是“”的必要不充分条件，则实数m的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【变式3-1】已知或，且是的充分不必要条件，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知，若“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】已知命题“关于的方程有实根”，若非为真命题的充分不必要条件为，则实数的取值范围是（      ） A． B． C． D． 【变式3-4】已知集合，若是的充分不必要条件，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-5】已知“”是：“”成立的必要不充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 类型四、由含量词命题的真假求参数范围 依据含量词命题的真假求参数范围的方法 （1）首先根据全称量词和存在量词的含义透彻理解题意； （2）其次根据含量词命题的真假把命题的真假问题转化为集合间的关系或函数的最值问题，再转化为关于参数的不等式（组）求参数的取值范围. 【例4】命题：，，命题q：，都有.实数m同时满足命题为真命题且命题为假命题，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式4-1】11．已知命题：命题：R，，若命题，都是真命题，实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 【变式4-2】16．若命题甲“”和命题乙“或”中至少有一个是真命题，则实数x的取值范围是 . 17．已知，，，．若命题p，命题q至少有一个为真命题，则实数m的取值范围是 ． 类型五、根据命题的否定求参数范围 由命题的否定求参数范围的两个关注点 （1）命题和它的否定的真假性只能一真一假，解决问题时可以相互转化； （2）求参数范围问题，通常根据有关全称量词命题和存在量词命题的意义列不等式求范围. 【例5】若命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】若命题“，”是真命题，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】已知命题为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 压轴专练 一、单选题 1．“函数在上为增函数”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．不等式成立的一个必要不充分条件是（   ） A． B． C． D． 3．已知集合A，B，C均为非空集合．若是的充分不必要条件，是的充分不必要条件，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．条件是条件的（    ） A．既不充分也不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．充分不必要条件 5．已知集合，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．命题：，，且命题为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知集合，且，若命题“”是真命题，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．集合，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．已知命题，命题，且命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 10．方程至少有一个负实根的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 二、填空题 11．设，若是的充分条件，则实数的取值范围是 . 12．已知是的必要不充分条件，则实数a的取值范围是 ． 13．已知：关于的方程有实数根，若命题是假命题，则实数的取值范围是 ． 14．已知，命题p：，；命题q：，，若命题p、q恰好一个为真，一个为假，a的取值范围为 ． 三、解答题 15．设函数，且，证明：对于，的充要条件是. 16．已知，命题，不等式恒成立；命题，使得成立． (1)若为真命题，求的取值范围； (2)若和中有且只有一个为真命题，求的取值范围． 17．已知命题，，． (1)若命题为真命题，求的取值范围； (2)若命题为假命题和命题为真命题．求的取值范围． 18．设全集，集合，集合． (1)求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； (3)若命题“，则”是真命题，求实数的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 常用逻辑用语五类综合问题 目录 典例详解 类型一、充分必要条件的判定 类型二、充要条件的证明 类型三、充分、必要及充要条件的应用 类型四、由含量词命题的真假求参数范围 类型五、根据命题的否定求参数范围 压轴专练 类型一、充分必要条件的判定 充分、必要条件的两种判定方法： (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题. (2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题. 【例1】已知，，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】已知，解得， 已知，化简得，解得， 可知，即不能推导，可以推出， 所以是的必要不充分条件. 故选：B. 【变式1-1】已知集合，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若，则，则，，此时， 当时，也能得到，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A. 【变式1-2】已知，，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必聚条件 【答案】A 【解析】当时，成立，但不成立， 所以是不必要条件； 若，则，所以是充分条件. 综上，是的充分不必要条件.故选：A 【变式1-3】设，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】化简可得或，化简可得， 因为是或的子集，所以是的必要不充分条件.故选：B 【变式1-4】已知命题；，则是的（    ） A．充分而非必要条件 B．必要而非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【解析】由，得，解得， 由，得，解得， 所以，反之不成立，所以是的必要而非充分条件.故选：B. 类型二、充要条件的证明 充要条件的证明策略 （1）要证明p是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真； （2）在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的. 提醒　证明时一定要分清充分性与必要性的证明方向. 【例2】对一元二次方程，证明：是该方程有两个异号实根的充要条件. 【解】证明必要性：由于方程（a，b，c是常数且）有一正实根和一负实根， 设两根为，所以，且，所以. 充分性：由可推出， 从而元二次方程有两个不相等的实数根，设为、， 则，由知：，即两根异号， 所以方程（a，b，c是常数且）有一正一负两实根. 因此是方程有两个异号实根的充要条件. 【变式2-1】已知，证明：“”是“”的充要条件. 【解】先证充分性： 由，得，则，因此； 再证必要性： 由，得，由，得， 因此，则. 所以“”是“”的充要条件. 【变式2-2】已知，都是非零实数，且，求证：的充要条件是. 【解】法一：充分性：由及，得，即. 必要性：由，得，即. 因为，所以，所以. 所以的充要条件是. 法二：. 由条件，故由. 所以，即的充要条件是. 【变式2-3】求证：△ABC是等边三角形的充要条件是a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc.（这里a，b，c是△ABC的三边边长） 【证明】必要性：因为△ABC是等边三角形，所以a＝b＝c， 所以ab＋ac＋bc＝a2＋b2＋c2，所以必要性成立； 充分性：由a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc两边同时乘2得， 2a2＋2b2＋2c2＝2ab＋2ac＋2bc，即（a－b）2＋（b－c）2＋（c－a）2＝0，所以a＝b＝c， 所以△ABC是等边三角形，所以充分性成立. 综上，△ABC是等边三角形的充要条件是a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc. 充分条件与必要条件的应用 （1）应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题； （2）求解步骤：先把p，q等价转化，建立相对应的集合，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式（组）进行求解. 【例3】某药品检测机构定义集合，．若“”是“”的必要不充分条件，则实数m的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，即，故． “”是“”的必要不充分条件且． 由且，结合，得分区讨论： 若，则（如时）； 若，则，但B可能等于（不满足真子集）； 故时，成立． 边界验证：当时，，符合要求． 故选：C 【变式3-1】已知或，且是的充分不必要条件，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意，或， 是的充分不必要条件，所以且，则.故选：D 【变式3-2】已知，若“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为“”是“”的充分不必要条件，所以，所以. 故选：D. 【变式3-3】已知命题“关于的方程有实根”，若非为真命题的充分不必要条件为，则实数的取值范围是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】若为真命题，则，解得， 若非为真命题，则，由题意可得，则，解得. 故选：A. 【变式3-4】已知集合，若是的充分不必要条件，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由或，则， 由是的充分不必要条件，则，且 可得，解得. 故选：C. 【变式3-5】已知“”是：“”成立的必要不充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，即， 则或，即， 又是的必要不充分条件，则或，即或. 则的取值范围为.故选：B 类型四、由含量词命题的真假求参数范围 依据含量词命题的真假求参数范围的方法 （1）首先根据全称量词和存在量词的含义透彻理解题意； （2）其次根据含量词命题的真假把命题的真假问题转化为集合间的关系或函数的最值问题，再转化为关于参数的不等式（组）求参数的取值范围. 【例4】命题：，，命题q：，都有.实数m同时满足命题为真命题且命题为假命题，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意，对于：，， 当时，不等式为，恒成立； 当时，有，解之可得：. 综合可得：时，真. 对于：都有. 设，因为其对称轴为，开口向上，在区间上无解， 所以或，解得或. 所以，命题为假命题可得： 若命题为真命题且命题为假命题，则有. 故选：D 【变式4-1】11．已知命题：命题：R，，若命题，都是真命题，实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【解析】∵命题：R，，为真命题， ∴，∴或， ∵命题p，q都是真命题，∴或，故选：C． 【变式4-2】16．若命题甲“”和命题乙“或”中至少有一个是真命题，则实数x的取值范围是 . 【答案】 【解析】若甲、乙命题均为假命题，则， 可得，所以若甲、乙命题至少有一个是真命题，则或. 故答案为： 17．已知，，，．若命题p，命题q至少有一个为真命题，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【解析】方法一：当p是真命题时，；当q是真命题时，方程的判别式，解得．因此，当命题p，命题q至少有一个为真命题时，或，即． 方法二：若命题p，q均为假命题，则m需满足解得．则当命题p，命题q至少有一个为真命题时，． 类型五、根据命题的否定求参数范围 由命题的否定求参数范围的两个关注点 （1）命题和它的否定的真假性只能一真一假，解决问题时可以相互转化； （2）求参数范围问题，通常根据有关全称量词命题和存在量词命题的意义列不等式求范围. 【例5】若命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题可得，，当时，不等式显然成立. 当时，由题可得函数图象恒在x轴下方， 则.综上可得，故选B 【变式5-1】若命题“，”是真命题，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可知方程有实数解，即，解得． 【变式5-2】已知命题为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，恒成立，符合题意 当时，需满足 解得：， 综上， 故选：D 压轴专练 一、单选题 1．“函数在上为增函数”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】函数在上为增函数，等价于，即， 所以“函数在上为增函数”是“”的必要不充分条件.故选：B. 2．不等式成立的一个必要不充分条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由不等式，可得，即不等式的解集为， 对于A中，集合是成立的充要条件，所以A不符合题意； 对于B中，集合 是的必要不充分条件，所以B符合题意； 对于C中，集合 是的充分不必要条件，所以C不符合题意； 对于D中，集合是的既不充分也不必要条件，所以D不符合题意. 故选：B. 3．已知集合A，B，C均为非空集合．若是的充分不必要条件，是的充分不必要条件，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由是的充分不必要条件，即是的真子集， 由是的充分不必要条件，即是的真子集， 所以是的真子集，即是的充分不必要条件.故选：A 4．条件是条件的（    ） A．既不充分也不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．充分不必要条件 【答案】D 【解析】由，解得，由，解得且， 由，所以条件是条件的充分不必要条件. 故选：D. 5．已知集合，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】集合，因等价于， 即或，解得或，经检验符合题意； 所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A. 6．命题：，，且命题为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意知，对于任意实数，不等式恒成立． 当，即时，原不等式变为，不等式恒成立，此时，符合题意； 当，即时，， 解得，所以；综上可得：.故选：C． 7．已知集合，且，若命题“”是真命题，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】若命题p为真，则集合B中所有的元素都在集合A中，即.又，所以解得，故. 8．集合，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， ， 因为“”是“”的充分不必要条件， 所以是的真子集， 当时，， 所以，即， 当时，，此时，是的真子集，符合题意； 当时，， 所以，即， 综上，所以实数的取值范围.故选：A 9．已知命题，命题，且命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，解得，即命题，记； 记关于的不等式的解集为， 因为命题是命题的必要不充分条件，所以真包含于； 由，即， 当时，解得，即，符合题意； 当时，解得，即，此时要使真包含于，则； 当时，解得，即，此时要使真包含于，则； 综上可得，即实数的取值范围为.故选：D 10．方程至少有一个负实根的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【解析】当时，方程为有一个负实根，反之，时，则，于是得； 当时，， 若，则，方程有两个不等实根，，即与一正一负， 反之，方程有一正一负的两根时，则这两根之积小于0，，于是得， 若，由，即知，方程有两个实根，必有，此时与都是负数， 反之，方程两根都为负，则，解得，于是得， 综上，当时，方程至少有一个负实根，反之，方程至少有一个负实根，必有. 所以方程至少有一个负实根的充要条件是.故选C 二、填空题 11．设，若是的充分条件，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】设. 因为是的充分条件，所以，所以. 12．已知是的必要不充分条件，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【解析】因为是的必要不充分条件， 所以是的真子集，所以， 13．已知：关于的方程有实数根，若命题是假命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由题意可得为真命题， 则，解得， 所以实数的取值范围是， 14．已知，命题p：，；命题q：，，若命题p、q恰好一个为真，一个为假，a的取值范围为 ． 【答案】或． 【解析】时，，命题为真，则， 命题为真时，，或， 真假，则，假真，则， 综上的范围是或． 三、解答题 15．设函数，且，证明：对于，的充要条件是. 【解】证明：因为，所以函数图象的对称轴为直线， 所以. 先证充分性：因为，且，所以； 再证必要性：因为对于，，所以，即，从而. 综上可知，对于，的充要条件是. 16．已知，命题，不等式恒成立；命题，使得成立． (1)若为真命题，求的取值范围； (2)若和中有且只有一个为真命题，求的取值范围． 【解】（1）由题意，上不等式恒成立，即， 由一次函数的区间单调性知，，故， 所以，可得. （2）若为真命题，则在上能成立，即， 由二次函数的性质知，，故， 要使和中有且只有一个为真命题，结合（1）知：或. 17．已知命题，，． (1)若命题为真命题，求的取值范围； (2)若命题为假命题和命题为真命题．求的取值范围． 【解】（1）命题为真命题，则，， 因为在上单调递增，所以当时取得最小值， 所以，即的取值范围； （2）若命题，为真命题，则， 解得或； 若命题为假命题，则； 因为命题为假命题且命题为真命题，所以， 即的取值范围为. 18．设全集，集合，集合． (1)求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； (3)若命题“，则”是真命题，求实数的取值范围． 【解】（1）因为，所以或. （2）由“”是“”的充分不必要条件，得是的真子集， 又，， 因此或， 解得:. 所以实数的取值范围为. （3）命题“，则”是真命题，则有, 当时，，解得，符合题意，因此 当时，而， 则，无解， 综上所述，实数的取值范围. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$