专题02 常用逻辑用语（专项训练）数学沪教版2020必修第一册

专题02 常用逻辑用语 目录 A题型建模・专项突破 题型一、判断命题的真假 1 题型二、根据命题的真假求参数 1 题型三、判断充分性与必要性 2 题型四、根据充分性与必要性求参数 2 题型五、充分性与必要性中“是”字正序与“的”字倒序对比 2 题型六、反证法 3 B综合攻坚・能力跃升 题型一、判断命题的真假 1．下列叙述正确的是 . ①不等式的所有解可以组成一个集合； ②20世纪在上海出生的所有人组成的集合是无限集； ③是的真子集； ④. 2．已知，则“若，则”是 命题.（填“真”或“假”） 3．已知，，，，则命题“若α，则β”是 命题．（填“真”或“假”） 4．给出下列命题：①若，则方程有实数根；②若，，则；③对角线相等的四边形是矩形；④若，则、中至少有一个为0．其中真命题的序号是 ． 题型二、根据命题的真假求参数 5．已知命题甲：关于的方程有两个不相等的负实数根；命题乙：关于的方程没有实数根．若甲、乙有且只有一个是真命题，则实数的取值范围是 ． 6．命题“若，则”是真命题，实数a的取值范围是 . 7．，，且若则是真命题，求实数的取值范围是 ． 8．为说明“设是任意实数，若，则”是假命题，可以在集合中选取的值，此时为 . 题型三、判断充分性与必要性 9．“且”是“”的 条件，（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”） 10．设：，：，则是的 条件（充分不必要条件、必要不充分条件） 11．“”是“”成立的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 12．“”是“或”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 题型四、根据充分性与必要性求参数 13．设，若是的充分条件，则实数的取值范围是 . 14．已知，且是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 . 15．已知集合，，若是的必要条件，则实数的取值范围是 . 16．已知或，或，若是的必要条件，则实数m的取值范围是 （取值范围用区间表示）. 题型五、充分性与必要性中“是”字正序与“的”字倒序对比 17．请写出“”的一个必要不充分条件： ． 18．若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 . 19．已知， ，若成立的一个必要不充分条件是，则实数m的取值范围是 . 20．若不等式成立的一个充分不必要条件为1<x<2，则实数m的取值范围为 ． 21．设U为全集，A、B为集合，则“存在集合C使得，”是“”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 22．设，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分也非必要条件 23．设为实数，则“”的一个充分非必要条件是（    ） A． B． C． D． 题型六、反证法 24．若要用反证法证明“若，则且”，应假设为 25．利用反证法证明：“若实数a，b满足，则”，第一步应假设 ． 26．用反证法证明命题“三角形内至少有一个角不小于”这一命题，那么假设的内容是 27．用反证法证明“已知x、且，则x、y中至多有一个大于0”时，应假设 . 28．用反证法证明命题：“设x，．若，则或”时，假设的内容应该是 ． 1．已知，，且是的必要不充分条件，则的取值范围是 2．若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为 ． 3．设，，分别是的三条边，且我们知道，如果为直角三角形，那么勾股定理反过来，如果，那么为直角三角形勾股定理的逆定理由此可知，为直角三角形的充要条件是请利用边长，，给出为锐角三角形的一个充要条件是 ． 4．有限集合中元素的个数记做，设，都为有限集合，给出下列命题： ①的充要条件是 ②的必要不充分条件是 ③⫋的充分不必要条件是 ④的充要条件是 其中，真命题有 .（填序号） 5．若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是 . 6．若一个非空数集满足：对任意，有，，，且当时，有，则称为一个数域，以下命题中： （1）0是任何数域的元素；（2）若数域有非零元素，则； （3）集合为数域；（4）有理数集为数域； 真命题的个数为 7．在整数集中，被5除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，；给出下列四个结论：①；②；③；④“整数，属于同一‘类’”的充要条件是“”.其中正确的结论是 . 8．若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 . 9．设表示不大于的最大整数，则对任意实数，给出以下四个命题： ①；     ②； ③； ④. 则假命题是 (填上所有假命题的序号). 10．设条件p：；条件q：，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 . 11．，，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围是 ． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 常用逻辑用语 目录 A题型建模・专项突破 题型一、判断命题的真假 1 题型二、根据命题的真假求参数 2 题型三、判断充分性与必要性 3 题型四、根据充分性与必要性求参数 5 题型五、充分性与必要性中“是”字正序与“的”字倒序对比 6 题型六、反证法 9 B综合攻坚・能力跃升 题型一、判断命题的真假 1．下列叙述正确的是 . ①不等式的所有解可以组成一个集合； ②20世纪在上海出生的所有人组成的集合是无限集； ③是的真子集； ④. 【答案】①③ 【分析】利用集合的相关概念及子集的意义判断命题①②③；利用推出符号的意义判断命题④. 【详解】对于①，不等式的所有解可以组成一个集合，①正确； ②20世纪在上海出生的所有人组成的集合是有限集，②错误； ③是的真子集，③正确； ④若，则或，④错误， 所以正确的命题是①③. 故答案为：①③ 2．已知，则“若，则”是 命题.（填“真”或“假”） 【答案】真 【分析】根据，可判断. 【详解】因为等价于， 所以命题“若，则”是真命题. 故答案为：真. 3．已知，，，，则命题“若α，则β”是 命题．（填“真”或“假”） 【答案】真 【分析】根据集合的包含关系判断即可. 【详解】，，故命题“若α，则β”是真命题. 故答案为：真. 4．给出下列命题：①若，则方程有实数根；②若，，则；③对角线相等的四边形是矩形；④若，则、中至少有一个为0．其中真命题的序号是 ． 【答案】①②④ 【分析】对于①，通过计算判别式判断，对于②，利用不等式的性质判断，对于③，举例判断，对于④，由等式的性质判断. 【详解】对于①，因为当时，，所以方程有实数根，所以①是真命题； 对于②，因为，，所以，所以②是真命题； 对于③，对角线相等的四边形可能是矩形，可能是等腰梯形，也可能是其它四边形，所以③是假命题； 对于④，由，得或，即、中至少有一个为0，所以④为真命题. 故答案为：①②④ 题型二、根据命题的真假求参数 5．已知命题甲：关于的方程有两个不相等的负实数根；命题乙：关于的方程没有实数根．若甲、乙有且只有一个是真命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分别求出命题甲和命题乙为真时的取值范围，问题转化为甲真乙假和甲假乙真时两种情况，利用不等式组求解即可. 【详解】命题甲为真时，则关于的方程有两个不相等的负实数根， 设两根为，则有，解得； 命题乙为真时，则关于的方程没有实数根， 有，解得. 若甲、乙有且只有一个是真命题， 当甲真乙假时，则有，解得； 当甲假乙真时， 则有，解得 . 实数的取值范围是. 故答案为：. 6．命题“若，则”是真命题，实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题可得或，进而即得. 【详解】由可得或， 因为命题“若，则”是真命题， 从而或， 所以， 故实数a的取值范围是. 故答案为：. 7．，，且若则是真命题，求实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据已知条件可得出集合的包含关系，由此可求得实数的取值范围. 【详解】，，且若则是真命题，则， 所以，，解得. 故答案为：. 8．为说明“设是任意实数，若，则”是假命题，可以在集合中选取的值，此时为 . 【答案】 【分析】根据题意在集合中选取的值，满足. 【详解】若命题为假命题，则由题意知，且，此时为. 故答案为： 题型三、判断充分性与必要性 9．“且”是“”的 条件，（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”） 【答案】充分不必要 【分析】根据题意分析即可证明充分性成立，举出反例证明必要性不成立. 【详解】先证充分性：若，则有，若，则， 此时必有，所以充分性成立； 再证必要性：令，，则，，此时， 但有且，所以没有必要性. 故答案为：充分不必要 10．设：，：，则是的 条件（充分不必要条件、必要不充分条件） 【答案】必要不充分 【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】因为 ⫋， 所以：，是：的必要不充分条件， 故答案为：必要不充分 11．“”是“”成立的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】A 【分析】分别推理得到和的等价条件，再按照充要条件的判断方法即可推得结论. 【详解】由等价于，即； 由等价于，即. 若，则必有成立； 而满足时，可取，显然此时，即不成立， 故“”是“”成立的充分非必要条件. 故选：A. 12．“”是“或”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用充分条件，必要条件的概念进行判断即可. 【详解】首先，对于命题： “若，则或”. 其逆否命题为： “若且，则”为真. 根据原命题与其逆否命题同真同假，可知命题“若，则或”为真， 所以“”是“或”的充分条件； 其次，对于命题：“若或，则”， 当时，满足“或”，但“”不成立， 故命题“若或，则”为假. 所以“”不是“或”的必要条件. 综上可知：“”是“或”的充分不必要条件. 故选：A 题型四、根据充分性与必要性求参数 13．设，若是的充分条件，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据充分条件转化为，即可根据集合间的关系求解. 【详解】设. 因为是的充分条件，所以， 所以. 故答案为：. 14．已知，且是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据不等式所表示的集合的关系列出不等式，解出即可. 【详解】，解得，设，， 若是的充分不必要条件，则， 则有，且等号不会同时取到，解得， 则实数的取值范围是. 故答案为：. 15．已知集合，，若是的必要条件，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据命题的必要性可判断集合间关系，分别讨论集合和，列出不等式，解不等式即可. 【详解】由是的必要条件， 得， 当时，，解得，此时成立， 当时，由，得，解得， 综上所述，， 故答案为：. 16．已知或，或，若是的必要条件，则实数m的取值范围是 （取值范围用区间表示）. 【答案】 【分析】是的必要条件可得，分类讨论，根据子集概念求解即可. 【详解】设， 若是的必要条件，则, （1）当时，即，此时，成立； （2）当时，即，若，此时， 解得，又，故无解. 综上，. 故答案为： 题型五、充分性与必要性中“是”字正序与“的”字倒序对比 17．请写出“”的一个必要不充分条件： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】由充分条件、必要条件的定义即可得出答案. 【详解】对于，两边平方可得，即“”是“”的必要条件； 对于，两边开平方可得；即“”不是“”的充分条件， 所以“”是“”的必要不充分条件． 故答案为：（答案不唯一）. 18．若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】解不等式，然后对与的大小关系进行分类讨论，结合已知条件可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】解不等式，解得， 解方程，解得或. ①当时，即当时，不等式即为， 该不等式的解集为，不合乎题意； ②当时，即当时，解不等式可得. 由于是的充分不必要条件，则， 可得，此时； ③当时，即当时，解不等式可得. 由于是的充分不必要条件，则, 可得，解得. 检验：当时，则有，合乎题意； 当时，则有，合乎题意. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】结论点睛：本题考查利用充分不必要条件求参数，一般可根据如下规则求解： （1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集； （2）是的充分不必要条件，则对应集合是对应集合的真子集； （3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等； （4）是的既不充分又不必要条件，则对应集合与对应集合互不包含． 19．已知， ，若成立的一个必要不充分条件是，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【解析】先依题意判断集合B是集合A的真子集，再讨论集合B是否空集求参数m的取值范围即可. 【详解】因为成立的一个必要不充分条件是，所以推不出，且可推出，故集合B是集合A的真子集. 当时即，集合A的真子集，符合题意； 当时即，要使集合B是集合A的真子集，则需，即，故； 综上，实数m的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】结论点睛：本题考查必要不充分条件的应用，一般可根据如下规则判断： （1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集； （2）若是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集； （3）若是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等； （4）若是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含． 20．若不等式成立的一个充分不必要条件为1<x<2，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【解析】根据不等式的性质，以及充分条件和必要条件的定义即可得到结论. 【详解】解：由题意不等式的解为，且1<x<2是的充分不必要条件，所以，且等号不能同时取得，则， 故答案为：． 【点睛】结论点睛：本题考查由充分不必要条件求参数的范围，一般可根据如下规则建立不等式组： （1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集； （2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集； （3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等； （4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含． 21．设U为全集，A、B为集合，则“存在集合C使得，”是“”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 【答案】C 【分析】根据集合运算的性质判断即可. 【详解】充分性：若存在集合C使得，，则， 所以，所以，充分性成立； 必要性：若，取，则，，必要性成立. 故选：C 22．设，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】C 【分析】由可推出同号，则根据分类讨论可得出，根据，两边同乘可得，即可选出选项. 【详解】由题知，则同号， 当时，有， 当时，有， 故能推出， 当成立时，又， 对不等式两边同时乘以可得， 故“”是“”的充分必要条件. 故选：C. 23．设为实数，则“”的一个充分非必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由充分非必要条件定义，根据不等式的性质判断各项与推出关系即可. 【详解】由，则，可得，可推出，反向推不出，满足； 由，则，推不出，反向可推出，不满足； 由，则或或，推不出，反向可推出，不满足； 由，则，推不出，反向可推出，不满足； 故选：A 题型六、反证法 24．若要用反证法证明“若，则且”，应假设为 【答案】或 【分析】根据用反证法证明数学命题的方法，应先假设要证命题的否定成立，求得要证命题的否定，可得结果. 【详解】要证命题的结论为且，它的否定为或. 故答案为：或. 25．利用反证法证明：“若实数a，b满足，则”，第一步应假设 ． 【答案】或 【分析】第一步是假设结论不成立，反之成立； 【详解】反证法证明命题时，假设实际是结论的否定， 根据题意可知的否定就是或. 故答案为：或 26．用反证法证明命题“三角形内至少有一个角不小于”这一命题，那么假设的内容是 【答案】三角形内所有角均小于 【分析】根据反证法证明的规则求解即可. 【详解】根据反证法证明的规则，假设的内容是：三角形内所有角均小于. 故答案为：三角形内所有角均小于. 27．用反证法证明“已知x、且，则x、y中至多有一个大于0”时，应假设 . 【答案】x、y两个都大于0 【分析】根据反证法证明命题的特征，否定命题的结论即可. 【详解】依题意，给定命题的结论是：x、y中至多有一个大于0，其否定为：x、y两个都大于0. 故答案为：x、y两个都大于0 28．用反证法证明命题：“设x，．若，则或”时，假设的内容应该是 ． 【答案】且 【分析】根据给定条件，利用反证法直接写出结论的否定即可. 【详解】依题意，假设的内容应该是：且. 故答案为：且 1．已知，，且是的必要不充分条件，则的取值范围是 【答案】 【分析】根据条件得到，再利用集合间的关系，即可求解. 【详解】因为是的必要不充分条件，则， 又，，所以， 故答案为：. 2．若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由必要不充分条件得确定两集合关系，再列出不等关系，从而可求解． 【详解】因为“”是“”的必要不充分条件， 所以， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 3．设，，分别是的三条边，且我们知道，如果为直角三角形，那么勾股定理反过来，如果，那么为直角三角形勾股定理的逆定理由此可知，为直角三角形的充要条件是请利用边长，，给出为锐角三角形的一个充要条件是 ． 【答案】 【分析】根据勾股定理易得为锐角三角形的充要条件是.分充分性和必要性两步证明即可. 【详解】设，，分别是的三条边，且，为锐角三角形的充要条件是． 证明如下：必要性：在中，是锐角，作，为垂足，如图． 显然 ，即． 充分性：在中，，不是直角． 假设为钝角，如图作，交延长线于点． 则 ． 即，与“”矛盾． 故为锐角，即为锐角三角形． 故答案为： 4．有限集合中元素的个数记做，设，都为有限集合，给出下列命题： ①的充要条件是 ②的必要不充分条件是 ③⫋的充分不必要条件是 ④的充要条件是 其中，真命题有 .（填序号） 【答案】①② 【分析】根据集合间关系及运算的定义分别判断即可. 【详解】①若，则集合与无重复元素，则， 即是的充分条件， 若，则集合与无重复元素，， 即是的必要条件， 综上所述的充要条件是，①正确； ②若，即集合中所有元素均属于集合，此时， 即，所以是的充分条件， 即是的必要条件， 若，无法判断集合中元素与集合的关系， 即不是的充分条件， 综上所述，的必要不充分条件是，②正确； ③若，无法判断集合中元素与集合的关系， 即不是⫋的充分条件，③错误； ④若，无法判断集合中元素与集合的关系，不能说明，④错误； 故答案为：①②. 5．若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意，分与讨论，结合必要不充分条件即可得到结果. 【详解】由题意可得，可以推出，则不符合题意， 比如当时，不符合题意； 当时，则是的充要条件，不符合题意； 当时，等价于，则， 所以，即实数的取值范围是. 故答案为： 6．若一个非空数集满足：对任意，有，，，且当时，有，则称为一个数域，以下命题中： （1）0是任何数域的元素；（2）若数域有非零元素，则； （3）集合为数域；（4）有理数集为数域； 真命题的个数为 【答案】3 【分析】根据新定义逐一判断即可求解 【详解】（1）当时，属于数域，故（1）正确， （2）若数域有非零元素，则， 从而，故（2）正确； （3）由集合的表示可知得是3的倍数，当时，，故（3）错误， （4）若是有理数集，则当，，则，，，且当时，”都成立，故（4）正确， 故真命题的个数是3. 故答案为：3 7．在整数集中，被5除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，；给出下列四个结论：①；②；③；④“整数，属于同一‘类’”的充要条件是“”.其中正确的结论是 . 【答案】①③④ 【分析】根据题中给定的定义，理解“类”的含义，对结论①②③逐一分析即可判断；对结论④从正反两个方面分析推理判断作答. 【详解】对于①，因，则，①正确； 对于②，因，则，②不正确； 对于③，因任意整数除以5，余数可以且只可以是0，1，2，3，4五类，则，③正确； 对于④，若整数，属于同一“类”，则整数，被5除的余数相同，从而得被5除的余数为0，即有， 若，不妨令，则， 显然，，于是得，，即有整数，属于同一“类”， 所以“整数，属于同一‘类’”的充要条件是“”，④正确， 所以正确的结论是①③④. 故答案为：①③④ 8．若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】解不等式，然后对与的大小关系进行分类讨论，结合已知条件可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】解不等式，解得， 解方程，解得或. ①当时，即当时，不等式即为， 该不等式的解集为，不合乎题意； ②当时，即当时，解不等式可得. 由于是的充分不必要条件，则， 可得，此时； ③当时，即当时，解不等式可得. 由于是的充分不必要条件，则, 可得，解得. 检验：当时，则有，合乎题意； 当时，则有，合乎题意. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】结论点睛：本题考查利用充分不必要条件求参数，一般可根据如下规则求解： （1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集； （2）是的充分不必要条件，则对应集合是对应集合的真子集； （3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等； （4）是的既不充分又不必要条件，则对应集合与对应集合互不包含． 9．设表示不大于的最大整数，则对任意实数，给出以下四个命题： ①；     ②； ③； ④. 则假命题是 (填上所有假命题的序号). 【答案】①②③ 【解析】举出反例可判断①②③，按照、分类，即可判断④，即可得解. 【详解】对于①，由，可得，故①为假命题； 对于②，由，可得，故②为假命题； 对于③，由，可得，故③为假命题； 对于④，当时，，， 此时满足； 当时，，， 此时满足；故④为真命题； 故答案为：①②③. 【点睛】解决本题的关键是准确理解题目中的概念，举出合理反例、合理分类. 10．设条件p：；条件q：，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】本题首先可根据题意确定命题以及命题中的的取值范围，然后根据是的必要不充分条件即可列出不等式并通过计算得出结果． 【详解】条件p：，，解得， 条件q：，，解得， 因为是的必要不充分条件， 所以，解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查充分条件以及必要条件，给出一个命题“若则”，如果可以证明，则是的充分条件，如果可以证明，则是的必要条件，考查推理能力，属于常考题． 11．，，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】解出、中的不等式，由已知条件得出集合的包含关系，由此可解得实数的取值范围. 【详解】解不等式，即，可得， 解得，即； 解不等式，即， ，则，解得， 即. 因为是的必要不充分条件，则， 所以，，解得. 当时，则有，合乎题意. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】本题考查利用必要不充分条件求参数，同时也考查了分式不等式与一元二次不等式的求解，考查计算能力，属于中等题. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$