专题02 常用逻辑用语的参数问题（四大压轴题专项训练）高一数学沪教版必修第一册

**基本信息** 以集合关系与命题真假为核心，构建“通法+题型+挑战”三阶训练体系，系统培养逻辑推理与参数分析能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1核心框架|集合包含关系转化、量词命题与函数最值结合|从逻辑概念到数学化转化，建立问题求解底层逻辑| |题型归纳|4题型（每题型2例+3变式）|充分/必要条件→子集关系，全/存在量词→恒成立/能成立|按条件类型递进，覆盖参数问题所有考法| |压轴挑战|12综合题|多条件融合与边界验证|深化知识联系，提升复杂情境下的推理与表达能力|

专题02 常用逻辑用语的参数问题 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、根据充分条件、必要条件求参数 题型二、根据充分不必要条件、必要不充分条件求参数 题型三、利用全称量词命题的真假求参数 题型四、根据存在量词命题的真假求参数 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 充分、必要条件与全称、存在量词含参问题是高中逻辑用语核心重难点，所有题型均围绕集合包含关系、命题真假判定、量词含义三大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是充分、必要条件统一转化为集合子集关系，二是含全称、存在量词问题需结合函数最值、恒成立/能成立规则分析. 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、根据充分条件、必要条件求参数 题型模版 1.特征：题干给出命题是的充分条件或必要条件，命题中带有未知参数，求解参数取值范围。 2.方法：先将分别转化为对应变量的取值集合；充分条件对应的集合是集合的子集，必要条件对应的集合是集合的子集；利用数轴列出不等式组求解参数，最后检验区间端点能否取等。 【例1】若，，且是的充分条件，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【详解】因为是的充分条件， 所以对应的集合是对应的集合的子集， 所以. 故答案为：. 【例2】已知或，或．若是的充分条件，则实数的最大值为______；若是的必要条件，则实数的取值范围是______． 【答案】 【详解】或，或， 若是的充分条件，则，所以，解得， 即实数的最大值是； 若是的必要条件，则， ①当，即时，，此时成立； ②当，即时，， 若，则，解得，又，故无解， 综上，的取值范围是． 故答案为：-4， 【变式1-1】若集合 (1)若，写出的子集的个数； (2)设命题；命题，若是的充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)8个 (2) 【分析】 【详解】（1）当时，， ， ，其子集个数为个; （2）由题意，是的充分条件，则， 当时，此时，解得：，符合题意； 当时，则： 若为单元素集，则，解得 此时，符合题意； 若为双元素集，则 则有，无解. 综上所述，实数的取值范围为． 【变式1-2】新高一年级数学人教A版）已知全集，集合 ，若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围． 【答案】 【详解】∵“”是“”的必要条件， ∴，∴. 当，即时，，满足． 当时，由，得，解得. 综上所述，实数的取值范围是． 【变式1-3】已知集合，集合． (1)若是的必要条件，求实数的取值范围； (2)是否存在实数，使是的充分条件，若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由． 【答案】(1)实数的取值范围为； (2)实数的取值范围为. 【分析】 【详解】（1）若是的必要条件，则， 当即时，，满足； 当时，则可得. 综上，若是的必要条件，则实数的取值范围为. （2）假设存在实数，使是的充分条件，则， 则由题意得. 所以存在实数，使是的充分条件，实数的取值范围为. 题型二、根据充分不必要条件、必要不充分条件求参数 题型模版 1.特征：题干说明是的充分不必要/必要不充分条件，结合含参命题求解参数范围。 2.方法：转化为真子集关系，充分不必要条件即集合集合，必要不充分条件即集合集合；借助数轴划定范围，严格区分开区间与闭区间；求出参数后代入验证，排除两集合相等的情况。 【例3】条件，条件，若是的充分不必要条件，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，当，，此时不等式无解， 当，此时，所以，解得，即, 已知，且是的充分不必要条件， 所以集合是集合的真子集， 所以. 【例4】已知集合或，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由或，得， 由是的充分不必要条件，得⫋，可得，解得. 故选：C. 【变式2-1】已知和，且是的必要条件但不是充分条件，则实数的取值集合为________. 【答案】 【详解】由，得或，故； 由，得：，故； “ 是 的必要条件但不是充分条件”等价于 且 ， 或 ， 解得：或. 故答案为： 【变式2-2】已知集合或，，已知命题，命题，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】 【详解】或，. 又是的必要不充分条件，是的真子集. ①当时，则，得， ②当时，则或，解得， 综上，实数的取值范围是． 【变式2-3】已知集合，集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）， 因为， 所以当时，， 解得， 当时，，解得,此时或， 解得. 综上所述，实数的取值范围为. （2）由若命题是命题的必要不充分条件，可化为命题是命题的必要不充分条件， 即是的真子集， 所以当时，，解得， 当时，（等号不能同时成立）， 解得. 综上所述，实数的取值范围为. 题型三、利用全称量词命题的真假求参数 题型模版 1.特征：给出，含参不等式/等式恒成立的命题，已知命题为真或假，求参数取值。 2.方法：命题为真等价于代数式在集合上恒成立，分离参数转化为函数最值问题；命题为假时，写出其否定（存在量词命题）再求解；含二次函数需分一次、二次分类讨论，二次函数注意开口方向与判别式，最终验证边界参数。 【例5】若命题“已知，，有”是真命题，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得，要使，有，只需， 所以实数m的取值范围是 【例6】若命题“任意，”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为“任意，”为假命题， 所以“，”是真命题， 即方程有实数根，则，解得， 即实数的取值范围是． 故选：B 【变式3-1】若命题：“，”.使命题为假命题的一个必要不充分条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，而，当且仅当时取等号，则， 因此命题，命题为假命题时，， 由给定的选项知，集合真包含于集合， 所以使命题为假命题的一个必要不充分条件是. 故选：A 【变式3-2】（多选）已知命题，为真命题，则可能的取值有（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】ABC 【详解】因为对，恒成立， 当时，，满足题意； 当时，有，解得， 综上，，所以A，B和C正确，D错误， 故选：ABC. 【变式3-3】已知集合，集合，集合. (1)求的子集的个数； (2)若命题“，都有”是真命题，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为， 所以， 所以的子集的个数为； （2）因为命题“，都有”是真命题， 所以， 当时，显然符合题意，则有； 当时，要想，则有， 综上所述，实数m的取值范围为. 题型四、根据存在量词命题的真假求参数 题型模版 1.特征：给出，含参不等式/等式能成立的命题，已知命题真假，求解参数范围。 2.方法：命题为真等价于代数式在集合内存在对应取值，分离参数后求函数值域；命题为假时，转化为全称量词恒不成立问题；结合函数单调性、判别式分析最值，算出参数范围后代回检验是否存在符合条件的。 【例7】命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】若，，则，即， 故原命题为真命题的一个充分不必要条件是. 【例8】已知命题“存在，使得等式成立”是假命题，则实数m的取值范围是（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【详解】假设命题“存在，使得等式成立”为真命题， 可得，且，则实数m的取值范围是， 若命题“存在，使得等式成立”是假命题， 则实数m的取值范围即为集合在上的补集， 所以实数m的取值范围是或. 故选：D. 【变式4-1】已知命题“”为假命题，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D．或 【答案】A 【详解】命题“”为假命题，则方程无实数根， 当时，，符合题意， 当时，即，解得：； 综上：. 故选：A． 【变式4-2】若命题“，使得”是假命题，则的取值范围为_____. 【答案】 【详解】由命题“，使得”是假命题， 可得命题的否定：“，使得”是真命题， 设，则在上恒成立， 所以，即，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 【变式4-3】请写出一个值，使命题“，使”为假命题，则______. 【答案】6（答案不唯一） 【详解】命题“，使”为假命题，则命题“，使”为真命题， 所以， 而在单调递减，在单调递增， 而离比离远， 所以当时，， 所以. 故答案为：6（答案不唯一）. 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．设条件：，：，若是的充分条件，则的最大值为________，若是的必要条件，则的最小值为________． 【答案】 1 4 【详解】因为，所以 ①由是的充分条件，得， 解得，所以的最大值为1， ②由是的必要条件，得， 解得，所以的最小值为4． 故答案为：；. 2．（多选）设集合，．若是的充分不必要条件，则实数a的值可以为（    ） A． B． C．0 D． 【答案】ACD 【详解】若是的充分不必要条件，则． 集合，， 当时，，则，符合题意； 当时，， ∵，∴即或，解得或， 综上，的值可以是：． 故选：ACD． 3．已知命题“” 是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由命题是假命题，可得命题是真命题， 则满足，解得或， 所以实数的取值范围为. 故选：B. 4．已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若成立的一个必要条件是，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）若，则或， 所以或， 故实数的取值范围. （2）因为成立的一个必要条件是， 所以， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 5．已知命题P：方程没有实数根． (1)若P是真命题，求实数t的取值集合A； (2)集合，若是的必要条件，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）若P是真命题，则，解得，则． （2）因为是的必要条件，所以， 当时，由，得，此时，符合题意； 当时，则有，解之得， 综上所述，a的取值范围为． 6．已知集合或． (1)当时，求； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 【分析】 【详解】（1）因为，所以或或 所以， 或 （2）因为是的必要不充分条件，则是的真子集． 则或，所以或， 所以实数m的取值范围为或. 7．已知集合，或，. (1)求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为，又， 所以. （2）或，所以， 因为“”是“”的充分不必要条件， 则，又， 所以，解得. 即实数的取值范围为. 8．已知“，”是真命题，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得或，由题意得是的子集， 所以，即a的取值范围是. 故选：C. 9．已知集合，且“”是真命题，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【详解】若“”是真命题，则的最小值大于0， 又且，可知，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 10．若命题“，”为假命题，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为命题“，”为假命题， 所以命题“，”为真命题， 则，解得， 即的取值范围是． 11．命题“”是真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意“”是真命题，即时，有解，则有解， 又函数在上单调递减，所以. 故选：D. 12．若“存在使得”是假命题，则实数的取值范围是_____________. 【答案】 【详解】因为“存在使得”是假命题， 所以“，有”是真命题，即，恒成立， 所以只需，， 而函数在上单调递减， 所以，即实数的取值范围是， 故答案为：. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 常用逻辑用语的参数问题 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、根据充分条件、必要条件求参数 题型二、根据充分不必要条件、必要不充分条件求参数 题型三、利用全称量词命题的真假求参数 题型四、根据存在量词命题的真假求参数 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 充分、必要条件与全称、存在量词含参问题是高中逻辑用语核心重难点，所有题型均围绕集合包含关系、命题真假判定、量词含义三大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是充分、必要条件统一转化为集合子集关系，二是含全称、存在量词问题需结合函数最值、恒成立/能成立规则分析. 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、根据充分条件、必要条件求参数 题型模版 1.特征：题干给出命题是的充分条件或必要条件，命题中带有未知参数，求解参数取值范围。 2.方法：先将分别转化为对应变量的取值集合；充分条件对应的集合是集合的子集，必要条件对应的集合是集合的子集；利用数轴列出不等式组求解参数，最后检验区间端点能否取等。 【例1】若，，且是的充分条件，则实数的取值范围是__________. 【例2】已知或，或．若是的充分条件，则实数的最大值为______；若是的必要条件，则实数的取值范围是______． 【变式1-1】若集合 (1)若，写出的子集的个数； (2)设命题；命题，若是的充分条件，求实数的取值范围． 【变式1-2】已知全集，集合 ，若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围． 【变式1-3】已知集合，集合． (1)若是的必要条件，求实数的取值范围； (2)是否存在实数，使是的充分条件，若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由． 题型二、根据充分不必要条件、必要不充分条件求参数 题型模版 1.特征：题干说明是的充分不必要/必要不充分条件，结合含参命题求解参数范围。 2.方法：转化为真子集关系，充分不必要条件即集合集合，必要不充分条件即集合集合；借助数轴划定范围，严格区分开区间与闭区间；求出参数后代入验证，排除两集合相等的情况。 【例3】条件，条件，若是的充分不必要条件，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 【例4】已知集合或，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】已知和，且是的必要条件但不是充分条件，则实数的取值集合为________. 【变式2-2】已知集合或，，已知命题，命题，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【变式2-3】已知集合，集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围. 题型三、利用全称量词命题的真假求参数 题型模版 1.特征：给出，含参不等式/等式恒成立的命题，已知命题为真或假，求参数取值。 2.方法：命题为真等价于代数式在集合上恒成立，分离参数转化为函数最值问题；命题为假时，写出其否定（存在量词命题）再求解；含二次函数需分一次、二次分类讨论，二次函数注意开口方向与判别式，最终验证边界参数。 【例5】若命题“已知，，有”是真命题，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例6】若命题“任意，”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】若命题：“，”.使命题为假命题的一个必要不充分条件是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（多选）已知命题，为真命题，则可能的取值有（    ） A． B． C．0 D．1 【变式3-3】已知集合，集合，集合. (1)求的子集的个数； (2)若命题“，都有”是真命题，求实数m的取值范围. 题型四、根据存在量词命题的真假求参数 题型模版 1.特征：给出，含参不等式/等式能成立的命题，已知命题真假，求解参数范围。 2.方法：命题为真等价于代数式在集合内存在对应取值，分离参数后求函数值域；命题为假时，转化为全称量词恒不成立问题；结合函数单调性、判别式分析最值，算出参数范围后代回检验是否存在符合条件的。 【例7】命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（     ） A． B． C． D． 【例8】已知命题“存在，使得等式成立”是假命题，则实数m的取值范围是（   ） A． B．或 C． D．或 【变式4-1】已知命题“”为假命题，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D．或 【变式4-2】若命题“，使得”是假命题，则的取值范围为_____. 【变式4-3】请写出一个值，使命题“，使”为假命题，则______. 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．设条件：，：，若是的充分条件，则的最大值为________，若是的必要条件，则的最小值为________． 2．（多选）设集合，．若是的充分不必要条件，则实数a的值可以为（    ） A． B． C．0 D． 3．已知命题“” 是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若成立的一个必要条件是，求实数的取值范围. 5．已知命题P：方程没有实数根． (1)若P是真命题，求实数t的取值集合A； (2)集合，若是的必要条件，求a的取值范围． 6．已知集合或． (1)当时，求； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 7．已知集合，或，. (1)求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 8．已知“，”是真命题，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．已知集合，且“”是真命题，则实数的取值范围为__________. 10．若命题“，”为假命题，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．命题“”是真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 12．若“存在使得”是假命题，则实数的取值范围是_____________. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $