第1章 数列（复习讲义）数学湘教版2019高二选择性必修第一册

第一章 数列（复习讲义） （1）通过对日常生活中实际问题的分析，了解数列的概念． （2）探索并掌握等差数列和等比数列的变化规律，建立通项公式和前n项和公式． （3）能运用等差数列和等比数列解决简单的实际问题和数学问题，感受数学模型的现实意义与应用． （4）了解等差数列与一元函数、等比数列与指数函数的联系，感受数列与函数的共性与差异，体会数学的整体性． 1.等差数列的常用性质 已知为等差数列，为公差，为该数列的前项和． (1)等差数列中，当时， ()． 特别地，若，则()． (2)相隔等距离的项组成的数列是等差数列，即，，，…仍是等差数列，公差为()． (3)也成等差数列，其首项与首项相同，公差为. (4)，，…也成等差数列，公差为. （5）若数列,均为等差数列且其前项和分别为,,则 2.等比数列的性质 设数列是等比数列，是其前项和． (1)若，则，其中.特别地，若，则，其中. (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即，，，…仍是等比数列，公比为()． (3)若数列，是两个项数相同的等比数列，则数列，和(其中，，是非零常数)也是等比数列． 3.累差法 若数列满足，则称数列为“变差数列”，求变差数列的通项时，利用恒等式求通项公式的方法称为累加法。 4.累乘法 若数列满足，则称数列为“变比数列”，求变比数列的通项时，利用求通项公式的方法称为累乘法。 5.法 对于数列，前项和记为； ①；② 1- ②： 法归类 角度1：已知与的关系；或与的关系 用，得到 例子：已知，求 角度2：已知与的关系；或与的关系 替换题目中的 例子：已知； 已知 角度3：已知等式中左侧含有： 作差法（类似） 例子：已知求 6.构造法 用“待定系数法”构造等比数列 形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式. 7.倒数法 用“倒数变换法”构造等差数列 类型1：形如（为常数，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，即：，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，即可求得. 类型2：形如（为常数，，，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，可通过换元：，化简为：（此类型符构造法类型1： 用“待定系数法”构造等比数列：形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式.） 8.裂项相消法 1、等差型 ① 特别注意 ② 如：（尤其要注意不能丢前边的） 2、无理型 ① 如： 3、指数型 ① 如： 题型一 等差（比）数列基本量计算 【例1】已知等差数列的各项都不相等，它的前3项和为18，且成等比数列，则（   ） A．1 B．3 C．6 D．9 【答案】D 【详解】设等差数列的公差为,显然， 所以可得，即， 解得，或(舍)， 因此. 故选：D. 【变式1-1】已知等比数列的前n项和为，若，则（    ） A．8 B．16 C．32 D．64 【答案】D 【详解】设公比为，，，故， ， 两式相除得，故. 故选：D 【变式1-2】记正项等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【详解】设的公比为. 由，得，所以 则，即 解得或（舍）， 所以. 故选：C. 【变式1-3】记等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．320 B．400 C．480 D．560 【答案】B 【详解】由，得，而，解得，公差， 所以. 故选：B 题型二 等差数列的性质 【例2】在等差数列中，已知，则该数列前8项和的值为（   ） A．18 B．36 C．54 D．72 【答案】B 【详解】在等差数列中，已知， 则该数列前8项和的值为. 故选：B. 【变式2-1】记为等差数列的前项和．若，则（    ） A．43 B．44 C．87 D．88 【答案】B 【详解】由等差数列的性质可得： 则由等差数列前项和公式得：， 故选：B． 【变式2-2】已知是等差数列的前项和，，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【详解】由题意，，解得. 故选：B. 【变式2-3】若等差数列的前项和为，且，则 . 【答案】 【详解】，所以. 故答案为： 题型三 等差数列前n项和性质 【例3】已知等差数列的前项和为，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得，， 因为等差数列的前项和为， 由等差数列片断和的性质可知、、成等差数列， 所以，所以. 故选：A. 【变式3-1】设等差数列的前项和为，若，则（    ） A．26 B．28 C．30 D．32 【答案】C 【详解】因为等差数列的前项和为， 所以也成等差数列，即成等差数列， 所以， 故选：C. 【变式3-2】已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A．52 B．96 C．106 D．12 【答案】B 【详解】由等差数列的性质可知：成等差数列，即成等差数列， 所以. 故选：B. 【变式3-3】等差数列的前项和为，且，则为（   ） A．45 B．81 C．90 D．162 【答案】B 【详解】等差数列的前项和为， 则成等差数列，所以， 即，解得. 故选：B. 题型四 等差数列前n项和最值 【例4】已知数列满足，. (1)求； (2)记为的前项和，求的最小值及此时的值. 【答案】(1) (2)或13， 【详解】（1）由可知数列是公差为1的等差数列 因为，所以，解得 （2）由（1）可得， 所以当或13时，取得最小值，最小值为. 【变式4-1】已知为等差数列，且，. (1)求的通项公式； (2)求的前项和及的最大值. 【答案】(1) (2)；最大值为 【详解】（1）设数列的公差为， 则，，解得， 则数列的通项公式为. （2），， 因二次函数在处取最大值，故的最大值为. 【变式4-2】已知等差数列满足，. (1)求的通项公式； (2)求的前项和的最大值. 【答案】(1) (2)9 【详解】（1）设等差数列的公差为， 依题意，得 解方程组，得 所以； （2）解法一： . 因为，所以当时，的最大值为9. 解法二：（1）同解法一； （2）由，可得： 当时，； 当时，； 所以. 即当时，最大， 因为，所以的最大值为9. 【变式4-3】记为数列的前n项和.已知. (1)证明：是等差数列； (2)若，，成等比数列，求的最小值.以及此时的n的值 【答案】(1)证明见解析 (2)或13，最小值为. 【详解】（1）由，得①， 所以②， 由②-①，得， 化简得， 所以数列是公差为1的等差数列. （2）由（1）知数列的公差为1. 由，得， 解得. 所以， 所以当或13时，取得最小值，最小值为. 题型五 等比数列性质 【例5】已知正项等比数列中，，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【详解】由题意，所以，. 所以. 故选：B 【变式5-1】在等比数列中，是函数的两个零点，则（   ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【详解】因为是函数的两个零点， 所以是方程的两个根，所以， 所以均为负数，又因为是等比数列，所以， 又同号，所以. 故选：C. 【变式5-2】已知正项等比数列，，则 ． 【答案】58 【详解】是正项等比数列，则，， 所以， 故答案为：58. 【变式5-3】已知各项均为正数的等比数列满足，则 . 【答案】7 【详解】已知各项均为正数的等比数列满足，所以，所以，即， 所以. 故答案为：7. 题型六 等比数列前n项和性质 【例6】已知等比数列的前项和为，若，，则 . 【答案】21 【详解】为数列是等比数列，所以，，成等比数列， 因为，，所以，所以， 所以. 故答案为：21 【变式6-1】记为等比数列的前项和，若，，则（   ） A． B．216 C． D．728 【答案】D 【详解】解法一：设等比数列的公比为，首项为， 若，则，与题意不符，所以； 由，可得，①，②， 由①②可得，，所以. 解法二：因为，，成等比数列，即，解得：. 故选：D. 【变式6-2】已知等比数列的前项和为，则（    ） A．14 B．18 C．20 D．30 【答案】D 【详解】是等比数列，， 成首项为2，公比为2的等比数列， ，故. 故选：D. 【变式6-3】设等比数列的前项和为，若，则 ． 【答案】31 【详解】因为为等比数列，且，所以，，成等比数列． 设，则． 因则有，即，所以． 故． 故答案为：31. 题型七 累加法与累乘法求通项 【例7】在数列中，，，则的通项公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由已知得， 将上述个等式相加，整理得 又因为，所以 故选： 【变式7-1】已知数列满足，且，则数列的前项和 . 【答案】 【详解】已知，则有： 将以上个式子相加可得： 根据等差数列求和公式，则 所以： 因为， 所以 数列的通项为，将代入，所求数列通项为.裂项后求和得： 故答案为： 【变式7-2】已知数列中，，，则的值为 ． 【答案】 【详解】由已知，利用累乘法可得且， 所以且，显然也满足，即， 所以． 故答案为： 【变式7-3】数列中，满足，，则 ． 【答案】/ 【详解】因为，所以. 所以，，，…，（）. 各式相乘，可得：， 显然满足上式，则， 所以数列的前项和为， 所以. 故答案为：. 题型八 构造法求通项 【例8】若数列的首项，且满足，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵， ∴，即， ∴数列是以为首项，以为公比的等比数列， ∴， ∴. 故选：A. 【变式8-1】已知数列满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以． 因为，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列， 所以，所以， 故． 故选：C 【变式8-2】已知数列满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵，∴，即， ∴数列是首项为，公比为的等比数列， ∴，故， ∴. 故选：D. 【变式8-3】已知数列中，，，则 ． 【答案】 【详解】由， 可得：， 所以是首项为，公比为3的等比数列， 所以， 所以， 故答案为： 题型九 倒数法求通项 【例9】已知数列满足，求数列的通项公式． 【答案】 【详解】为等差数列， 首项，公差为， . 【变式9-1】已知数列满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】易知，从而由题意，即， 也就是数列是以为首项，为公比的等比数列， 从而，所以，解得. 故选：A. 【变式9-2】已知数列中，，，则数列的前10项和（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∴数列是首项为，公差为的等差数列， ∴，∴． ∴， ∴数列的前10项和． 故选:C． 【变式9-3】已知数列中，，且，则 ． 【答案】 【详解】由，可得，即， 又， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，即，所以． 故答案为： 题型十 法求通项 【例10】已知单调递增数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； 【答案】(1) 【详解】（1），即， 当时，，解得， 当时，， 即， 又数列单调递增，所以，即， 则，，时也符合， 所以. 【变式10-1】已知数列的前n项和为，且，． (1)求的通项公式： 【答案】(1)； 【详解】（1）由，得， 两式相减得，则； 【变式10-2】已知数列的前项和为，，． (1)求的通项公式； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，； 当时，由可知， 两式相减得，即． 又因为，且， 所以数列从第二项起是等比数列，公比为， 所以， 综上所述，； 【变式10-3】已知数列的前项和为，且，. (1)求数列的通项公式. 【答案】(1) 【详解】（1）由数列满足， 当时，， 两式相减可得，即，                               因为，所以，所以是首项为1，公差为-1的等差数列， 可得 所以数列的通项公式为. 题型十一 分组求和法求和 【例11】设是等差数列，是各项均为正数的等比数列，已知，，，. (1)求和的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)，； (2). 【详解】（1）因为是各项均为正数的等比数列，设公比为， 又，所以，， 因为，，所以，所以， 解得或（舍），所以， 所以，因为是等差数列，设公差为，因为，则， 所以. 所以，. （2）有（1）可得， 则 【变式11-1】已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)； (2)。 【详解】（1）由题设且，则，即， 又，故是首项为1，公比为2的等比数列， 所以； （2）由（1）得， 所以. 【变式11-2】已知数列是公差不为零的等差数列，满足，且、、成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设等差数列的公差为，且， 因为，且、、成等比数列， 所以，解得：， 则， 故数列的通项公式为； （2）因为， 所以 . 【变式11-3】已知数列满足：，，数列为单调递增的等比数列，，且，，成等差数列. (1)求数列，的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)，； (2). 【详解】（1）因为，又， 故是以为首项，2为公差的等差数列， 所以， 又，，成等差数列，故， 设的公比为，其中，则，解得或 当时，，此时，为递增数列，满足要求， 当时，，此时，为递减数列，舍去， 综上，，； （2）由（1）， . 题型十二 裂项相消法求和 【例12】已知各项均为正数的数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前项和为，若，求满足条件的最小正整数. 【答案】(1) (2)8 【详解】（1）， ， ，，又，              数列是以为首项，为公差的等差数列， ； （2）， ， ，，， 或（舍去）， ，满足条件的最小正整数为 【变式12-1】已知等差数列的前项和为，，． (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由已知可得， 解得， 所以． （2）由（1）可知， 所以． ． 【变式12-2】已知数列的前项和为，且. (1)若为等比数列，求公比的值； (2)若， （i）证明：数列为等比数列； （ii）求数列的前项和. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）. 【详解】（1）数列中，，由，得， 则，解得或， 当时，，，， 而，显然不恒成立，因此， 当时，，，，符合题意， 所以. （2）（ⅰ）由，得，两式相减得， 则，当时，， 而，，则，即，， 所以数列为等比数列. （ⅱ）由（ⅰ）知等比数列的首项为3，公比为2，则， ，两式相减得， 当时，， 于是，，则； 当时，， 于是，，则， 则， 所以. 【变式12-3】已知数列是递增的等比数列且 (1)求数列的通项公式； (2)设是数列的前项和，数列的前项和为，若不等式对任意的恒成立，求实数的最大值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设等比数列的公比为，依题意得：， 由，解得或，回代入方程组，可得或， 因数列是递增数列，故，则数列的通项公式为. （2）由（1）可得，， 则， 于是，， 因在上单调递增，故， 因不等式对任意的恒成立， 所以的最大值为. 题型十三 分类讨论法求和 【例13】已知数列满足，，，. (1)数列满足：，试判断是否为等比数列，请说明理由； (2)数列满足：，当时，求数列的前n项和 【答案】(1)答案见解析 (2) 【详解】（1）当时不是等比数列；当时是等比数列. 理由如下： 因为，，故， 又，故， 当时，，故不是等比数列； 当时，，故是以为首项，3为公比的等比数列. （2）当时，由（1）可知，所以， 所以， 当为偶数时，； 当为奇数时，. 综上所述， 【变式13-1】已知等差数列的各项均为正数，且． (1)求的通项公式； (2)若，且，求正整数的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设数列的公差为， 由可得，， 所以， 由可得，， 所以， 由于数列各项均为正数， 所以，， 所以 所以数列的通项公式为； （2）解法一：由（1）知，，， 所以， ①当时， ． 因为， 所以； ②当时， 因为，， 所以， 所以， 所以不存在这样的使得，不合题意，舍去， 综上所述，正整数的值为. 解法二：由（1）知，，， ①当为奇数时， ， ②当为偶数时， ， 所以， 解得． 综上所述，正整数的值为. 解法三：由（1）知，，， 设， 则， 所以， 所以 ， 可得， 当为奇数时，， 无解， 当为偶数时， 解得， 综上所述，正整数的值为. 【变式13-2】若数列和满足：，，且 (1)设，证明：是等比数列； (2)设，试求的前n项和． 【答案】(1)证明见详见 (2) 【详解】（1）， ， 又 构成以为首项，2为公比的等比数列. （2）由（1）可知， ， 又 构成以为首项，为公比的等比数列 ， ， ∴当为偶数时， 当为奇数时， 所以 【变式13-3】已知等差数列满足：公差 且恰为等比数列 的前三项． (1)求数列 与 的通项公式： (2)若数列 满足：求数列  前n项和 ; (3)求的前n项和 【答案】(1)； (2) (3) 【详解】（1）由为等比数列可得，即， 即，解得或（舍）， 所以， 又的前三项为，即，即， 公比，所以. （2）因为， 则 . （3）因为，即， 设数列的前项和为， 当为奇数时， ； 当为偶数时， ； 综上所述，. 题型十四 错位相减法 【例14】已知是等差数列的前项和，，数列是公比大于1的等比数列，且. (1)求数列和的通项公式； (2)设，求的前项和. 【答案】(1)，. (2) 【详解】（1）对等差数列数列，因为， 由. 所以. 对公比大于1的等比数列：， 由， 又，所以. 所以. 所以，. （2）因为， 所以 ， 两式相减得： . 所以. 【变式14-1】设为等差数列的前项和，其中，且. (1)求常数的值，并写出的通项公式； (2)记，数列的前项和为，若对任意的，都有，求常数的最小值. 【答案】(1)， (2)4 【详解】（1）由及，得. 因为数列是等差数列，所以，解得， 所以，所以公差， 所以. （2）由（1）知， 所以①， 所以②， ①-②，得， 所以， 由，得，设， 则. 因为，所以，即数列为递减数列. 又， 所以当时，恒有，故. 【变式14-2】已知数列满足，． (1)证明：是等比数列； (2)求数列的前项和； (3)若，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）因为，则， 且，所以是以2为首项，2为公比的等比数列． （2）由（1）可得：，即， 所以． （3）由（2）可知：， 设，， 则，， 两式相减得：， 故， 所以． 【变式14-3】已知数列为等差数列，，，数列的前n项和为，且满足． (1)求和的通项公式； (2)若，求数列{}的前n项和为． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）等差数列中，设公差为， 则 由得：时， 时， 为公比为2的等比数列， （2）数列中，． 则 所以 故 所以 基础巩固通关测 1．设是等差数列的前n项和，是数列的前n项和.若，则等于（   ） A．49 B．50 C．51 D．52 【答案】C 【详解】设等差数列的公差为， 因为，可得，解得， 所以，所以， 所以. 故答案为：C. 2．已知数列满足，则的前2025项和为（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】B 【详解】由题可知：， 所以，所以可知数列是周期数列，最小正周期为3， 所以，设数列的前2025项和为， 则. 故选：B 3．等比数列中，，则（   ） A．8 B． C．16 D． 【答案】C 【详解】若等比数列的公比为，则，故. 故选：C 4．在等差数列中，若，，则公差（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由等差数列的性质可得，则，故. 故选：C. 5．在等比数列中，若，则（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【详解】由等比数列的性质可知，又，所以． 故选：D． 6．设为等差数列的前项和，，则（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【详解】因为是等差数列， 所以， 所以，又因为， 所以， 所以    . 故选：A 7．已知各项均为正数的等差数列的前项和为，，则（   ） A． B． C．4 D．5 【答案】B 【详解】设等差数列的公差为，由，可得，解得， 所以. 故选：B. 8．已知正项等比数列的前n项和为，若，，则（   ） A．16 B．32 C．27 D．81 【答案】C 【详解】设正项等比数列的公比为，由，， 得，整理得，解得， 所以. 故选：C 9．（多选）数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（    ） A．是递增数列 B． C．当时， D．当时，取得最大值 【答案】BC 【详解】时，， 时，， 综上，， 所以，数列是递减数列，故A错误； ，故B正确； 时，，故C正确； ，所以当或时，取得最大值，故D错误； 故选：BC. 10．（多选）已知数列中，，，，其前项和为，则（   ） A． B． C．当取最小值时， D．数列的前项和为 【答案】ABD 【详解】，即， 所以数列首项，公差的等差数列， ，故A正确； ，，故B正确； 当时，取最小值，故C错误； ， ，故D正确； 故选：ABD. 11．已知数列的首项，（为正整数），则数列的通项公式 ． 【答案】 【详解】， 则数列是首项为1，公比为2的等比数列， ， 故答案为：. 12．已知数列满足，则 ． 【答案】 【详解】时，，与原式相减得 ，则， 经检验，时也成立， 故，即． 故答案为：. 13．已知数列的首项. (1)求数列的通项公式； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）数列的首项，可得， 而，故，故， 即数列是首项和公比均为3的等比数列，可得，即. （2）若恒成立，即为，即恒成立， 设，可得，. 即数列是单调递减数列，可得， 所以，即实数的取值范围是 14．已知数列的前项和为，且 (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为数列的前n项和为，且， 当时，， 当时，，适合上式， 故. （2）， 能力提升进阶练 1．已知数列满足：，数列满足，则数列的前50项的和为（   ） A． B． C． D．50 【答案】A 【详解】由有，令，则， 所以数列是以为首项，1为公差的等差数列，故， 即，故 ，当时，符合题意，即. 又由有， 设数列的前项和为，. 故选：A. 2．已知各项均为整数的数列满足：对任意的，．若，，，则正整数m的最大值为（   ） A．63 B．64 C．65 D．66 【答案】B 【详解】由题可知：， 则， 因为，且， 所以， 当时，；当时，. 所以正整数m的最大值为64. 故选：B. 3．已知单调递增数列的通项公式为，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由已知恒成立，即恒成立， 为奇数时，，，的最小值是，所以，， 为偶数时，，，的最小值是，所以，， 所以， 故选：A. 4．已知数列的通项公式为，若是中唯一的最小项，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，，令，得：， 解得：或，因此可知：； 又当时，，当时，，所以在时，取最小值：． 当时，，则该代数式对应函数对称轴为直线， 因为是中唯一的最小项，所以，且， 解得，且， 即． 故选：B 5．已知，数列满足，则数列的前n项和的最大值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， 令， 则在上单调递增，在上单调递减. 注意到，，. 则当时，，当时，. 注意到， 因在上单调递增，在上单调递减， 又注意到，则当时，. 令. 从而时，，当时，. 设的前n项和为，则的最大值为. 故选：C 6．已知等差数列的前n项和为，，，则使不等式成立的最大的的值为（ ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】C 【详解】因数列是等差数列，则， 又，则，故公差，则数列是递增数列， 故当时递减，当时递增， 又，， 故使不等式成立的最大的的值为. 故选：C 7．《孙子算经》提出了“物不知其数”问题的解法，被称为“中国剩余定理”.“物不知其数”问题后来经秦九韶推广，得到了一个普遍的解法，提升了“中国剩余定理”的高度.现有一个剩余问题：在正整数中，把被3除余数为2，被4除余数为2的数，按照由小到大的顺序排列，分别得到数列，，将，中不同的数放在一起，再按照由小到大的顺序排列，得到数列，则 . 【答案】239 【详解】因为， 可知数列是首项为2，公差为3的等差数列，是首项为2，公差为4的等差数列， 可得， 又因为数列，的相同的数组成的数列为， 可知数列是首项为2，公差为12的等差数列，可得， 则数列依次为， 可得，所以. 故答案为：239. 8．有一组数据：，，，，.记，则 . 【答案】 【详解】因为 ， ， ， ， . 上述12个式子相加得： ， . 故答案为：. 9．侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规律的蜘蛛网，如图是由无数个正方形环绕而成的，且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上．设外围第一个正方形的边长为3，往里第二个正方形为，…，往里第个正方形为．那么至少前 个正方形的面积之和超过20．（参考数据：，）． 【答案】8 【详解】设第个正方形的边长为，则， 因为每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上， 所以，， 所以外围第2个正方形的边长为， 同理，外围第个正方形的边长为， 即数列是首项为3，公比为的等比数列， 所以， 所以第个正方形的面积为 所以前个正方形的面积之和， 由得， 两边取常用对数得，，， 因为，所以至少需要前8个正方形的面积之和超过20． 故答案为：8. 10．欧拉函数（）的函数值等于所有不超过正整数，且与互素的正整数的个数，例如时，满足的为1，2，4，5，7，8，则．数列满足，则的前项和大于1000的最小整数 ． 【答案】7 【详解】 因为与互素的数为1，2，4，5，7，8，10，11，，，共有， 所以，则， 于是， 所以，即， 所以最小整数. 故答案为：7． 11．英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛，若数列满足，则称数列为牛顿数列.如果函数，数列为牛顿数列，设，且，，则 . 【答案】 【详解】根据题意，，则， 所以， ， 因为， 则， 所以，即， 又，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 则. 故答案为：. 12．已知正项等比数列的前项和为，，.若，且数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)若对一切恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）对数列，设公比为，由题意，因为，所以. 又. 所以. （2）由. 所以. 所以， 所以， 两式相减得：， 所以. （3）由. 所以数列从第2项开始，单调递减. 所以. 由或. 所以实数的取值范围是：. 13．“牛顿数列”是英国著名物理学家牛顿发现并定义的，它在航空航天中应用极其广泛.“牛顿数列”的定义是：对于函数，若数列满足，则称数列为函数的“牛顿数列”.已知数列为函数的牛顿数列，且数列满足. (1)求； (2)证明数列是等比数列并求； (3)设数列的前项和为，若不等式对任意的恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)； (2)证明见解析，； (3). 【详解】（1）由，得， 所以. （2）函数，求导得，则， 于是，， 而，因此，又， 所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，. （3）由（2）知，，， 对任意，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 当为正偶数时，，则当，即时，取得最小值8，； 当为正奇数时，，而当时，，当时，， 因此当或时，取得最小值10，则，解得， 所以的取值范围是. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 数列（复习讲义） （1）通过对日常生活中实际问题的分析，了解数列的概念． （2）探索并掌握等差数列和等比数列的变化规律，建立通项公式和前n项和公式． （3）能运用等差数列和等比数列解决简单的实际问题和数学问题，感受数学模型的现实意义与应用． （4）了解等差数列与一元函数、等比数列与指数函数的联系，感受数列与函数的共性与差异，体会数学的整体性． 1.等差数列的常用性质 已知为等差数列，为公差，为该数列的前项和． (1)等差数列中，当时， ()． 特别地，若，则()． (2)相隔等距离的项组成的数列是等差数列，即，，，…仍是等差数列，公差为()． (3)也成等差数列，其首项与首项相同，公差为. (4)，，…也成等差数列，公差为. （5）若数列,均为等差数列且其前项和分别为,,则 2.等比数列的性质 设数列是等比数列，是其前项和． (1)若，则，其中.特别地，若，则，其中. (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即，，，…仍是等比数列，公比为()． (3)若数列，是两个项数相同的等比数列，则数列，和(其中，，是非零常数)也是等比数列． 3.累差法 若数列满足，则称数列为“变差数列”，求变差数列的通项时，利用恒等式求通项公式的方法称为累加法。 4.累乘法 若数列满足，则称数列为“变比数列”，求变比数列的通项时，利用求通项公式的方法称为累乘法。 5.法 对于数列，前项和记为； ①；② 1- ②： 法归类 角度1：已知与的关系；或与的关系 用，得到 例子：已知，求 角度2：已知与的关系；或与的关系 替换题目中的 例子：已知； 已知 角度3：已知等式中左侧含有： 作差法（类似） 例子：已知求 6.构造法 用“待定系数法”构造等比数列 形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式. 7.倒数法 用“倒数变换法”构造等差数列 类型1：形如（为常数，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，即：，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，即可求得. 类型2：形如（为常数，，，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，可通过换元：，化简为：（此类型符构造法类型1： 用“待定系数法”构造等比数列：形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式.） 8.裂项相消法 1、等差型 ① 特别注意 ② 如：（尤其要注意不能丢前边的） 2、无理型 ① 如： 3、指数型 ① 如： 题型一 等差（比）数列基本量计算 【例1】已知等差数列的各项都不相等，它的前3项和为18，且成等比数列，则（   ） A．1 B．3 C．6 D．9 【变式1-1】已知等比数列的前n项和为，若，则（    ） A．8 B．16 C．32 D．64 【变式1-2】记正项等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【变式1-3】记等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．320 B．400 C．480 D．560 题型二 等差数列的性质 【例2】在等差数列中，已知，则该数列前8项和的值为（   ） A．18 B．36 C．54 D．72 【变式2-1】记为等差数列的前项和．若，则（    ） A．43 B．44 C．87 D．88 【变式2-2】已知是等差数列的前项和，，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【变式2-3】若等差数列的前项和为，且，则 . 题型三 等差数列前n项和性质 【例3】已知等差数列的前项和为，，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】设等差数列的前项和为，若，则（    ） A．26 B．28 C．30 D．32 【变式3-2】已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A．52 B．96 C．106 D．12 【变式3-3】等差数列的前项和为，且，则为（   ） A．45 B．81 C．90 D．162 题型四 等差数列前n项和最值 【例4】已知数列满足，. (1)求； (2)记为的前项和，求的最小值及此时的值. 【变式4-1】已知为等差数列，且，. (1)求的通项公式； (2)求的前项和及的最大值. 【变式4-2】已知等差数列满足，. (1)求的通项公式； (2)求的前项和的最大值. 【变式4-3】记为数列的前n项和.已知. (1)证明：是等差数列； (2)若，，成等比数列，求的最小值.以及此时的n的值 题型五 等比数列性质 【例5】已知正项等比数列中，，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【变式5-1】在等比数列中，是函数的两个零点，则（   ） A． B．3 C． D． 【变式5-2】已知正项等比数列，，则 ． 【变式5-3】已知各项均为正数的等比数列满足，则 . 题型六 等比数列前n项和性质 【例6】已知等比数列的前项和为，若，，则 . 【变式6-1】记为等比数列的前项和，若，，则（   ） A． B．216 C． D．728 【变式6-2】已知等比数列的前项和为，则（    ） A．14 B．18 C．20 D．30 【变式6-3】设等比数列的前项和为，若，则 ． 题型七 累加法与累乘法求通项 【例7】在数列中，，，则的通项公式为（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】已知数列满足，且，则数列的前项和 . 【变式7-2】已知数列中，，，则的值为 ． 【变式7-3】数列中，满足，，则 ． 题型八 构造法求通项 【例8】若数列的首项，且满足，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】已知数列满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】已知数列满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】已知数列中，，，则 ． 题型九 倒数法求通项 【例9】已知数列满足，求数列的通项公式． 【变式9-1】已知数列满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】已知数列中，，，则数列的前10项和（    ） A． B． C． D．2 【变式9-3】已知数列中，，且，则 ． 题型十 法求通项 【例10】已知单调递增数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； 【变式10-1】已知数列的前n项和为，且，． (1)求的通项公式： 【变式10-2】已知数列的前项和为，，． (1)求的通项公式； 【变式10-3】已知数列的前项和为，且，. (1)求数列的通项公式. 题型十一 分组求和法求和 【例11】设是等差数列，是各项均为正数的等比数列，已知，，，. (1)求和的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【变式11-1】已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【变式11-2】已知数列是公差不为零的等差数列，满足，且、、成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【变式11-3】已知数列满足：，，数列为单调递增的等比数列，，且，，成等差数列. (1)求数列，的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 题型十二 裂项相消法求和 【例12】已知各项均为正数的数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前项和为，若，求满足条件的最小正整数. 【变式12-1】已知等差数列的前项和为，，． (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求． 【变式12-2】已知数列的前项和为，且. (1)若为等比数列，求公比的值； (2)若， （i）证明：数列为等比数列； （ii）求数列的前项和. 【变式12-3】已知数列是递增的等比数列且 (1)求数列的通项公式； (2)设是数列的前项和，数列的前项和为，若不等式对任意的恒成立，求实数的最大值. 题型十三 分类讨论法求和 【例13】已知数列满足，，，. (1)数列满足：，试判断是否为等比数列，请说明理由； (2)数列满足：，当时，求数列的前n项和 【变式13-1】已知等差数列的各项均为正数，且． (1)求的通项公式； (2)若，且，求正整数的值． 【变式13-2】若数列和满足：，，且 (1)设，证明：是等比数列； (2)设，试求的前n项和． 【变式13-3】已知等差数列满足：公差 且恰为等比数列 的前三项． (1)求数列 与 的通项公式： (2)若数列 满足：求数列  前n项和 ; (3)求的前n项和 题型十四 错位相减法 【例14】已知是等差数列的前项和，，数列是公比大于1的等比数列，且. (1)求数列和的通项公式； (2)设，求的前项和. 【变式14-1】设为等差数列的前项和，其中，且. (1)求常数的值，并写出的通项公式； (2)记，数列的前项和为，若对任意的，都有，求常数的最小值. 【变式14-2】已知数列满足，． (1)证明：是等比数列； (2)求数列的前项和； (3)若，求数列的前项和． 【变式14-3】已知数列为等差数列，，，数列的前n项和为，且满足． (1)求和的通项公式； (2)若，求数列{}的前n项和为． 基础巩固通关测 1．设是等差数列的前n项和，是数列的前n项和.若，则等于（   ） A．49 B．50 C．51 D．52 2．已知数列满足，则的前2025项和为（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 3．等比数列中，，则（   ） A．8 B． C．16 D． 4．在等差数列中，若，，则公差（   ） A． B． C． D． 5．在等比数列中，若，则（    ） A．3 B．2 C． D． 6．设为等差数列的前项和，，则（    ） A． B． C． D．0 7．已知各项均为正数的等差数列的前项和为，，则（   ） A． B． C．4 D．5 8．已知正项等比数列的前n项和为，若，，则（   ） A．16 B．32 C．27 D．81 9．（多选）数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（    ） A．是递增数列 B． C．当时， D．当时，取得最大值 10．（多选）已知数列中，，，，其前项和为，则（   ） A． B． C．当取最小值时， D．数列的前项和为 11．已知数列的首项，（为正整数），则数列的通项公式 ． 12．已知数列满足，则 ． 13．已知数列的首项. (1)求数列的通项公式； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 14．已知数列的前项和为，且 (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和 能力提升进阶练 1．已知数列满足：，数列满足，则数列的前50项的和为（   ） A． B． C． D．50 2．已知各项均为整数的数列满足：对任意的，．若，，，则正整数m的最大值为（   ） A．63 B．64 C．65 D．66 3．已知单调递增数列的通项公式为，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．已知数列的通项公式为，若是中唯一的最小项，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知，数列满足，则数列的前n项和的最大值为（  ） A． B． C． D． 6．已知等差数列的前n项和为，，，则使不等式成立的最大的的值为（ ） A．13 B．14 C．15 D．16 7．《孙子算经》提出了“物不知其数”问题的解法，被称为“中国剩余定理”.“物不知其数”问题后来经秦九韶推广，得到了一个普遍的解法，提升了“中国剩余定理”的高度.现有一个剩余问题：在正整数中，把被3除余数为2，被4除余数为2的数，按照由小到大的顺序排列，分别得到数列，，将，中不同的数放在一起，再按照由小到大的顺序排列，得到数列，则 . 8．有一组数据：，，，，.记，则 . 9．侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规律的蜘蛛网，如图是由无数个正方形环绕而成的，且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上．设外围第一个正方形的边长为3，往里第二个正方形为，…，往里第个正方形为．那么至少前 个正方形的面积之和超过20．（参考数据：，）． 10．欧拉函数（）的函数值等于所有不超过正整数，且与互素的正整数的个数，例如时，满足的为1，2，4，5，7，8，则．数列满足，则的前项和大于1000的最小整数 ． 11．英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛，若数列满足，则称数列为牛顿数列.如果函数，数列为牛顿数列，设，且，，则 . 12．已知正项等比数列的前项和为，，.若，且数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)若对一切恒成立，求实数的取值范围. 13．“牛顿数列”是英国著名物理学家牛顿发现并定义的，它在航空航天中应用极其广泛.“牛顿数列”的定义是：对于函数，若数列满足，则称数列为函数的“牛顿数列”.已知数列为函数的牛顿数列，且数列满足. (1)求； (2)证明数列是等比数列并求； (3)设数列的前项和为，若不等式对任意的恒成立，求的取值范围. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$