第1章 数列 本章复习提升（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（湘教版）

**基本信息** 聚焦数列单元易错点与数学思想方法，通过典例提炼解题关键，构建“概念辨析-性质应用-思想迁移”的逻辑体系，培养抽象能力与推理意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |易混易错练|4易错点8题|分段数列单调性与函数区别、Sₙ求aₙ需验n=1、等比求和分q=1讨论|从概念差异（数列与函数）到性质应用（等差等比性质）再到公式规范（Sₙ与aₙ关系）| |思想方法练|4思想7题|方程思想列方程组求基本量、函数思想用单调性求最值、分类讨论q取值、转化思想化归为等比数列|从具体问题（如《周髀算经》日影）抽象为数学模型，通过思想方法统摄知识应用|

本章复习提升 易混易错练 易错点1　忽略数列与一般函数的区别致误 1.(2025江苏镇江中学期初检测)已知函数f(x)=若数列{an}满足an=f(n),n∈N+,且为递增数列,则实数a的取值范围是(　　) A.(0,1)　　　　　B. C.　　　　　D. 2.(2025黑龙江哈尔滨第六中学阶段检测)已知数列{an}的前n项和Sn=2n-1,bn=nan,若对任意n∈N+,不等式(n+5)bn+1≥λbn恒成立,则满足条件的实数λ的取值范围是(　　) A.　　　　　B.(-∞,4+12] C.(-∞,21]　　　　 　D. 易错点2　错用数列的有关性质致误 3.(2024全国统一考试押题卷)若等比数列{an}满足a5a6a7=-27,则a2a6+a2a10+a6a10有(　　) A.最小值-9　 　　　　B.最大值18 C.最小值27　　　　　D.最大值-81 4.(2025广东深圳高级中学开学考试)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=63,则a7+a8+a9等于(　　) A.63　　　　　B.71　　　　　C.99　　　　　D.117 易错点3　由Sn求an时,忽略n=1的情况致误 5.(2025甘肃西北师范大学附属中学诊断测试)已知数列{an}的前n项和Sn=n2-5n+2,则数列{|an|}的前12项和T12=(　　) A.93　　　　　B.94　　　　　C.95　　　　　D.96 6.(2025天津汇文中学模拟预测考试)已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足a1=4,当n≥2时,Sn=2(an+1). (1)求数列{an}的通项公式; (2)若bn=nan,求数列{bn}的前n项和Tn. 易错点4　应用等比数列的求和公式时忽略q=1的情况致误 7.已知在数列{an}中,a1=1,a2=2,数列{anan+1}是公比为q(q>0)的等比数列. (1)求使anan+1+an+1an+2>an+2an+3成立的q的取值范围; (2)求数列{an}的前2n项和S2n. 思想方法练 一、方程思想在数列中的应用 1.(2025黑龙江牡丹江第三高级中学期中)《周髀算经》中有这样一个问题:从冬至日起,小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长依次成等差数列,若小寒、立春、惊蛰的日影长之和为31.5尺,前八个节气的日影长之和为80尺,则小满的日影长为(　　) A.1.5尺　　　　　B.3.5尺　　　　　C.5.5尺　　　　　D.7.5尺 2.(2024海南阶段性教学检测)已知首项为1的等比数列{an}的前n项和为Sn,且-S2,S4,3S3成等差数列,则S4=(　　) A.-　　　　　B.4或　　　　　C.　　　　　D. 二、函数思想在数列中的应用 3.已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=2,且a1,a3,a4成等比数列,则Sn取得最大值时,n的值为(　　) A.4　　　　　B.5　　　　　C.4或5　　　　　D.5或6 4.(2024湖南邵阳邵东一中月考)已知数列{an}的前n项和为Sn,公比为q(q>0)的等比数列{bn}的前n项和为Tn,满足(1+Tn)=(n∈N+),且a1=0,a2=-1,T3=7. (1)求{an}与{bn}的通项公式; (2)若不等式t(Tn+1)+Sn+Sn+1>0对任意的正整数n恒成立,求实数t的取值范围. 三、分类讨论思想在数列中的应用 5.(多选题)(2024江苏南京师大附中期末)已知{an}为等差数列,a1=π,公差为 π,bn=cos an,cn=anbn,则下列说法正确的是(　　) A.bn=(-1)n+1 B.b1+b2+b3+…+bn= C.c1+c2+c3+…+cn=π D.c1+c2+c3+…+c2n=nπ 6.设等比数列{an}的公比为q,前n项和Sn>0(n=1,2,3,…). (1)求q的取值范围; (2)设bn=an+2-an+1,{bn}的前n项和为Tn,试比较Sn与Tn的大小. 四、转化与化归思想在数列中的应用 7.(2025四川成都天府新区实外高级中学入学考试)古印度数学家婆什迦罗在《莉拉沃蒂》一书中提出如下问题:某人给一个人布施,初日施2子安贝(古印度货币单位),以后逐日倍增,问一月共施几何?在这个问题中,以一个月31天计算,记此人第n日布施了an子安贝(其中1≤n≤31,n∈N+),数列{an}的前n项和为Sn.若关于n的不等式Sn-62<-tan+1对任意的1≤n≤31,且n∈N+恒成立,则实数t的取值范围为　　　　.  答案与分层梯度式解析 本章复习提升 易混易错练 1.B　由题意得a1=1-2a+a2,a2=4-4a+a2,a3=3a- , ∵{an}为递增数列,∴ 即解得<a<. 易错警示　分段数列的单调性与相应分段函数的单调性有所不同,如本题中数列{an}递增需满足a2<a3,而函数f(x)递增则需满足32-6a+a2≤3a-,二者有较大的区别. 2.C　因为Sn=2n-1,所以当n=1时,a1=S1=21-1=1,当n≥2时,an=Sn-=(2n-1)-(2n-1-1)=2n-1,显然n=1时也满足上式,所以an=2n-1, 故bn=nan=n·2n-1,不等式(n+5)bn+1≥λbn对任意n∈N+恒成立,即(n+5)(n+1)·2n≥λ·n·2n-1对任意n∈N+恒成立, 等价于λ≤×2=2×对任意n∈N+恒成立. 令f(x)=x+(x>0),易知f(x)在(0,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增, 因为2<<3, f(2)=, f(3)=,所以n+的最小值为,故λ≤2×=21. 易错警示　解决数列问题时可以利用函数的方法,但要注意数列相对于函数的特殊性,即数列中的项数n只能取正整数. 3.C　解法一:设等比数列{an}的公比是q,由等比数列的性质可知a5a6a7==-27,所以a6=-3,所以a2=<0,所以a2a6+a2a10+a6a10=a2a6++=-3a2+9-≥2+9=27, 当且仅当-3a2=-,即a2=-3时取等号.故a2a6+a2a10+a6a10有最小值27. 解法二:因为数列{an}是等比数列,所以a5a6a7==-27,所以a6=-3,所以a4=<0,a8=a6q2<0,所以a2a6+a2a10+a6a10=++≥2a4a8+9=2+9=2×9+9=27,当且仅当a4=a8=-3时取等号.故a2a6+a2a10+a6a10有最小值27. 易错警示　在应用等差、等比数列下标的性质时,需要注意等号两侧的项数必须相同,不能出现a7+a9=a16,b2b6b10=b18这样的错误.此外,在等比数列中,等比中项有两个,且所有的奇数项的符号保持一致,所有的偶数项的符号保持一致. 4.C　由{an}是等差数列,得S3,S6-S3,S9-S6构成等差数列,所以2(S6-S3)=S3+S9-S6,即2×(63-9)=9+a7+a8+a9,解得a7+a8+a9=99. 易错警示　在等差数列中,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n,…成等差数列,而Sn,S2n,S3n,S4n,…只有在d=0时才成等差数列. 5.B　当n=1时,a1=S1=-2;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-5n+2-(n-1)2+5(n-1)-2=2n-6,所以an=即数列{an}从第2项开始为等差数列,由an<0,得n<3,则数列{an}的前两项为负数,所以T12=|a1|+|a2|+|a3|+…+|a12|=-a1-a2+a3+…+a12=2+2+=4+5×(0+18)=94. 易错警示　利用an=求an时,若通项公式不能合并,则需写成分段的形式. 6.解析　(1)由S2=a1+a2=2(a2+1),a1=4,得a2=2. 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2(an-an-1),得an=2an-1(n≥2), 又≠2,所以数列{an}是从第2项起,以2为公比的等比数列,所以an=2×2n-2=2n-1(n≥2),n=1时不满足上式. 综上,an= (2)由(1)得bn= 当n≥2时,Tn=4+2×2+3×22+…+n·2n-1①, 2Tn=8+2×22+3×23+…+n·2n②, ①-②,得-Tn=22+23+…+2n-1-n·2n=-n·2n=(1-n)·2n-4, 所以Tn=(n-1)·2n+4; 当n=1时,T1=4也满足上式. 综上,Tn=(n-1)·2n+4. 7.解析　(1)∵数列{anan+1}是公比为q的等比数列, ∴an+1an+2=anan+1q,an+2an+3=anan+1q2. ∵anan+1+an+1an+2>an+2an+3, ∴anan+1+anan+1q>anan+1q2,∴1+q>q2, 又∵q>0,∴0<q<,∴q的取值范围为. (2)由数列{anan+1}是公比为q的等比数列, 得=q,即=q, 这表明数列{an}的所有奇数项成等比数列,所有偶数项成等比数列,且公比都是q. 又∵a1=1,a2=2, ∴当q≠1时,S2n=a1+a2+a3+a4+…+a2n-1+a2n =(a1+a3+…+a2n-1)+(a2+a4+…+a2n) =+=; 当q=1时,S2n=a1+a2+a3+a4+…+a2n-1+a2n =(a1+a3+…+a2n-1)+(a2+a4+…+a2n) =()+()=3n. ∴S2n= 易错警示　当等比数列的公比不确定时,注意分公比等于1和不等于1两种情况进行讨论. 思想方法练 1.B　设冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长分别为a1,a2,…,a12尺,所构成的等差数列的公差为d,前n项和为Sn(n≤12), 由小寒、立春、惊蛰的日影长之和为31.5尺,前八个节气的日影长之和为80尺, 得解得a1=13.5,d=-1, 根据已知条件建立关于a1和d的方程组,体现了方程思想. 所以a11=a1+10d=13.5-10=3.5,即小满的日影长为3.5尺. 2.D　由-S2,S4,3S3成等差数列,得2S4=-S2+3S3, 设等比数列{an}的公比为q, 若q=1,则S4=4,S2=2,S3=3,此时不满足2S4=-S2+3S3; 若q≠1,则S4=,S2=,S3=, 故2×=-+3×,即2q4-3q3+q2=0, 根据已知条件建立关于公比q的方程,体现了方程思想. 因为q≠0,所以2q2-3q+1=0,解得q=(q=1舍去), 所以S4==. 思想方法　利用等差(等比)数列的通项公式与前n项和公式列方程(组)求出基本量是一种最基本的解题方法,这种方法正是方程思想在数列中的具体体现. 3.C　设等差数列{an}的公差为d(d≠0), ∵a1,a3,a4成等比数列,∴=a1a4, 即(2+2d)2=2(2+3d), 解得d=0(舍去)或d=-, ∴Sn=2n+×=-n2+n, Sn是关于n的二次函数,可用二次函数知识求最大值,解题时要注意n是正整数,体现了函数思想. ∵函数y=-x2+x的图象开口向下,对称轴为直线x=,n∈N+,∴(Sn)max=S4=S5,故当Sn取得最大值时,n的值为4或5. 4.解析　(1)当n=1时,(1+T1)=, 所以(1+T1)=1,即(1+b1)=1, 因为a2=-1,所以b1=1, 则T3=b1+b2+b3=1+q+q2=7,解得q=2(负值舍去), 所以bn=2n-1,则Tn=1+2+…+2n-1==2n-1. 因为(1+Tn)=,所以(1+Tn)=1, 即(1+2n-1)=1, 故an+1=-n,所以an=-n+1(n≥2), 因为a1=0符合上式,所以an=-n+1. (2)由(1)得Sn==-,Tn=2n-1, 所以不等式t(Tn+1)+Sn+Sn+1>0对任意的正整数n恒成立可化为t·2n-->0对任意的正整数n恒成立,即t>对任意的正整数n恒成立,故t>,n∈N+. 把不等式t(Tn+1)+Sn+Sn+1>0进行参变分离,再利用函数的单调性求最大值,体现了函数思想. 设cn=(n∈N+),则cn+1-cn=-=, 易知2n+1>0恒成立,当n≤2时,-n2+2n+1>0,则cn+1>cn,当n≥3时,-n2+2n+1<0,则cn+1<cn,又c2=1,c3=, 所以(cn)max=c3=,故t>, 所以实数t的取值范围为. 思想方法　函数思想就是用运动变化的思想分析和研究具体问题中的数量关系,通过建立函数关系,运用函数的相关知识解决问题.在数列中,求项的最值(范围)或前n项和的最值(范围)问题时,通常用到函数思想. 5.BCD　对于A,由题可知an=πn,故bn=cos(πn),显然当n=2k-1,k∈N+时,b2k-1=-1,当n=2k,k∈N+时,b2k=1,则=-1,b1=-1,故{bn}是首项为-1,公比为-1的等比数列,则bn=(-1)×(-1)n-1=(-1)n,故A错误. 对于B,设{bn}的前n项和为Sn,则Sn===,故B正确. 对于C,cn=anbn=(-1)nnπ,设数列{cn}的前n项和为Tn, 当n为偶数时,Tn=(-π+2π)+(-3π+4π)+…+[-(n-1)π+nπ]=π=π; 当n为奇数时,Tn=Tn+1-cn+1=π-(-1)n+1(n+1)π=π-(n+1)π=-π=π. 数列{cn}的通项公式中含有(-1)n,n为奇数与n为偶数所对应的结果可能不同,故应分类讨论. 综上所述,Tn=π,故C正确. 对于D,结合C可知T2n=π=nπ,故D正确. 6.解析　(1)∵{an}是等比数列,Sn>0, ∴a1=S1>0,q≠0. 当q=1时,Sn=na1>0成立; 当q≠1时,∵Sn=>0, ∴>0. 由于公比q是未知数,因此使用求和公式时,需对q进行分类讨论. ∴或 解得q>1或-1<q<1. 综上,q>-1且q≠0, 则q的取值范围为(-1,0)∪(0,+∞). (2)∵bn=an+2-an+1=an, ∴Tn=Sn, ∴Tn-Sn=Sn=Sn(q-2). ∴当-1<q<-或q>2时,Tn>Sn; 当-<q<2且q≠0时,Tn<Sn; 当q=-或q=2时,Tn=Sn. 思想方法　在数列的有关问题中,有时需要对公比q的取值范围、项数n的奇偶性、项的符号以及含有的参数进行分类讨论. 7.答案　(-∞,15) 解析　由题意可知,数列{an}是以2为首项,2为公比的等比数列, 故an=2n(1≤n≤31,n∈N+),Sn==2n+1-2(1≤n≤31,n∈N+). 由Sn-62<-tan+1对任意的1≤n≤31,且n∈N+恒成立,得2n+1-64<22n+2-t·2n+1对任意的1≤n≤31,且n∈N+恒成立, 整理得t<+2n+1-1对任意的1≤n≤31,且n∈N+恒成立,故t<,1≤n≤31,且n∈N+. 通过参变分离,将原不等式的恒成立问题转化为求+2n+1-1在1≤n≤31,且n∈N+上的最小值问题,体现了转化思想. 又+2n+1-1≥2-1=15,当且仅当2n+1=8,即n=2时等号成立, 所以t<15,即实数t的取值范围是(-∞,15). 思想方法　转化与化归思想在数列中的应用主要体现在:(1)将实际问题通过数学建模转化为数列问题;(2)将递推关系式进行合理的变形,转化为等差数列或等比数列问题等. 7 学科网（北京）股份有限公司 $