第1章 专题强化练1 数列的递推公式及通项公式（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（湘教版）

**基本信息** 聚焦数列递推公式及通项公式，通过分层梯度式解析构建完整方法体系，突出数学思维与数学语言表达。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础递推|1-2题|构造等差数列、取对数法|从具体递推关系到抽象通项公式推导| |创新应用|3题|归纳递推模型|实际问题抽象为数学模型的思维过程| |综合转化|4-6题|倒数法、构造新数列|复杂递推关系向基本数列的转化逻辑| |高阶技巧|7-9题|累加法、累乘法、分类讨论|知识应用的综合拓展与逻辑推理|

专题强化练1　数列的递推公式及通项公式 1.(2025天津第五十五中学期中)若数列{an}满足a1=,且an+1=(n∈N+),则a20的值为(　　) A.　　　　　B.　　　　　C.　　　　　D. 2.已知数列{an}满足a1=2,an+1=,则数列{an}的通项公式为an=(　　) A.2n-1　　　　　B.2n-1　　　　　C.　　　　　D.n2 3.(创新题·新考法)(2025湖南长沙长郡中学月考)一只蜜蜂从蜂房A出发向右爬,每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房(如图),例如:从蜂房A只能爬到1号或2号蜂房,从1号蜂房只能爬到2号或3号蜂房,以此类推,用an表示蜜蜂爬到n号蜂房的方法数,则a10=(　　) A.10　　　　　B.55　　　　　C.89　　　　　D.99 4.(2023重庆巴蜀中学月考)在数列{an}中,a1=2,+an+1=3an+1(n∈N+),Sn是数列的前n项和,则S2 023=(　　) A.1-　　　　　B.1- C.1-　　　　　D.1- 5.(多选题)(2025山东潍坊寿光期中)已知数列{an}满足an+1=(n∈N+),则(　　) A.若a1=1,则数列{an}为常数列 B.若a1>1,则对任意n∈N+,有an+1<an C.若a1>1,则对任意n∈N+,有an+1-1≥(an-1) D.若a1=2,则对任意n∈N+,an≤1+ 6.(2025江苏徐州一中期中)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,a2=3,且Sn+1+Sn-1=2n+2Sn(n≥2),若λ(Sn-an)+λ+7≥(2-λ)n对任意n∈N+都成立,则实数λ的最小值为(　　) A.-　　　　　B.　　　　　C.　　　　　D.1 7.已知在数列{an}中,a1=2,a1+++…+=an+1-2,则an=　　　　.  8.(2024四川宜宾高中数学联赛)已知数列{an}满足a1=1,a2=2,an=an-2+2n-1(n≥3,n∈N+),记{an}的前n项和为Sn,则a9=　　　　;S100=　　　　.  9.(2025福建宁德检测)已知数列{an}满足a1=2,an+1=λan+2n(n∈N+),λ为常数. (1)当λ=2时,记bn=,求证{bn}是等差数列,并求{an}的通项公式; (2)是否存在实数λ,使得数列{an}为等比数列?若存在,找出所有的λ,并求出对应的通项公式;若不存在,说明理由. 答案与分层梯度式解析 专题强化练1　数列的递推公式及通项公式 1.A　易知an≠0.因为a1=,an+1=(n∈N+), 所以==4+,即-=4, 故是以=3为首项,4为公差的等差数列, 则=3+4(n-1)=4n-1,故an=, 所以a20==. 2.C　易知an>0,且an≠1,在an+1=的等号两边同时取常用对数,得lg an+1=2lg an,故=2,所以数列{lg an}是以lg 2为首项,2为公比的等比数列,所以lg an=2n-1×lg 2=lg ,所以an=. 3.C　依题意得,an=an-1+an-2(n∈N+,n≥3),a1=1,a2=2, 所以a3=3,a4=5,a5=8,a6=13,a7=21,a8=34,a9=55,a10=89. 4.B　因为+an+1=3an+1,所以+an-2=3an+1-3,即(an+2)(an-1)=3(an+1-1), 两边同时取倒数得=, 整理得-=,即=-, 所以S2 023=++…+=-+-+…+-=-=1-. 5.ABD　对于A,若a1=1,则a2==1,a3==1,以此类推,可知an=1,所以数列{an}为常数列,故A正确. 对于B,若a1>1,则a2=>×2=1,a3=>×2=1,以此类推,可知an>1, 则an+1-an=-an=<0,即an+1<an,故B正确. 对于C,an+1-1=-1=(an-1), 当a1>1时,由B中分析可知an>1, 则0<=<,所以an+1-1<(an-1),故C错误. 对于D,当n=1时,a1≤1+=2,不等式成立; 当n=2时,1<a2==<1+=,不等式成立; 假设ak≤1+(k∈N+,k≥2), 构造函数f(x)=,易知f(x)在(1,+∞)上单调递增, 所以ak+1=f(ak)≤f=<=1+,即当n=k+1时,不等式也成立, 由以上分析可归纳得出对任意n∈N+,an≤1+,故D正确. 6.C　由题意得Sn+1-Sn=2n+Sn-Sn-1(n≥2),故an+1-an=2n(n≥2),因为a2-a1=2,所以an+1-an=2n(n≥1),所以an-an-1=2n-1,an-1-an-2=2n-2,……,a2-a1=2,则an-a1=21+22+…+2n-1, 故an=1+21+22+…+2n-1==2n-1,所以Sn=21+22+23+…+2n-n=-n=2n+1-n-2,所以Sn-an=2n-n-1. 因为λ(Sn-an)+λ+7≥(2-λ)·n对任意n∈N+都成立,所以λ≥对任意n∈N+都成立,即λ≥,n∈N+. 设cn=,则cn+1-cn=-=,当n≤4时,cn+1>cn,当n≥5时,cn+1<cn,因此c1<c2<c3<c4<c5,且c5>c6>c7>…,所以λ≥c5=,故λ的最小值为. 7.答案　2n 解析　因为a1+++…+=an+1-2①,所以当n=1时,a1=a2-2,得a2=4;当n≥2时,a1+++…+=an-2②,由①-②得=an+1-an,即nan+1=(n+1)·an, 易知an≠0,所以=(n≥2). 又因为=2满足上式, 所以=(n≥1), 所以···…·=×××…×=n, 所以=n,所以an=2n. 解题模板　求数列通项公式的常用方法:①利用an=求数列的通项公式;②若递推公式为an-an-1=f(n)(n≥2),则利用累加法求通项公式;③若递推公式为=f(n)(n≥2),则利用累乘法求通项公式. 8.答案　341; 解析　由an-an-2=2n-1(n≥3,n∈N+), 可知当n为奇数时,a1=1,a3-a1=22,a5-a3=24,……,an-an-2=2n-1, 所以an=1+22+24+…+2n-1=1+4+42+…+==(2n+1-1),所以a9=×(210-1)=341; 当n为偶数时,a2=2,a4-a2=23,a6-a4=25,……,an-an-2=2n-1, 所以an=2+23+25+…+2n-1==(2n+1-2), 所以an= 所以S100=a1+a2+a3+…+a100 =(a1+a3+…+a99)+(a2+a4+…+a100) =+×(23-2)+×(25-2)+…+×(2101-2) =×[(22-1)+(24-1)+…+(2100-1)]+×[(23-2)+(25-2)+…+(2101-2)] =×[(22+24+…+2100)-50]+×[(23+25+…+2101)-2×50] =×[(22+23+24+25+…+2100+2101)-150] =×-50 =. 9.解析　(1)当λ=2时,数列{an}满足a1=2,an+1=2an+2n, 上式两边同时除以2n+1得=+,所以-=, 即bn+1-bn=,所以数列{bn}是首项为=1,公差为的等差数列, 所以bn=n+,即=n+,故an=·2n=(n+1)·2n-1. (2)假设存在实数λ,使得数列{an}为等比数列. 由a1=2,an+1=λan+2n, 可得a2=2λ+2,a3=λa2+22=λ(2λ+2)+4=2λ2+2λ+4, 由{an}为等比数列得=a1a3,即(2λ+2)2=2(2λ2+2λ+4),整理得λ=1, 所以an+1=an+2n,则an-an-1=2n-1(n≥2,n∈N+), 故由累加法得,an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1) =2+2+22+…+2n-1=2+=2+2(2n-1-1)=2n, 又a1=2也符合上式,所以an=2n, 则==2,所以数列{an}是等比数列. 所以存在实数λ=1,使得数列{an}为等比数列, 且an=2n. 7 学科网（北京）股份有限公司 $