专题03 数列求和（专项训练）数学湘教版2019高二选择性必修第一册

专题03 数列求和 目录 A题型建模・专项突破 题型一、倒序相加法 1 题型二、分组求和法 2 题型三、错位相减法 3 题型四、裂项相消法之等差型 5 题型五、裂项相消法之指数型 7 题型六、 裂项相消法之裂项相加型 9 题型七、奇偶项分类讨论求和 11 B综合攻坚・能力跃升 题型一、倒序相加法 1．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，数列满足，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 3．已知，则 ． 4．已知函数是上奇函数，若数列的项满足：（）.则数列的通项公式为： . 题型二、分组求和法 5．已知等差数列的前项和为，数列为等比数列，且满足，，． (1)求和的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 6．已知数列的前项和，其中. (1)求数列的通项公式； (2)求使不等式成立的的最小值； (3)设，求数列的前项和. 7．设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且. (1)求、的通项公式： (2)求数列的前项和． 8．两个数列，，，已知数列为等比数列且，数列的前项和为，又满足. (1)求数列，的通项公式； (2)记，求数列的前项和. 9．已知等差数列的公差，且满足，，记是数列的前项和，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 题型三、错位相减法 10．已知是等差数列的前项和，，数列是公比大于1的等比数列，且. (1)求数列和的通项公式； (2)设，求的前项和. 11．已知数列满足，且． (1)求，，； (2)求数列的通项公式； (3)设，求数列的前项和． 12．已知等差数列的前n项和为，且，，等比数列的前n项和为，且. (1)求数列和的通项公式； (2)令，求数列的前n项和. 13．已知数列满足，． (1)证明：是等比数列； (2)求数列的前项和； (3)若，求数列的前项和． 14．已知数列为等差数列，，，数列的前n项和为，且满足． (1)求和的通项公式； (2)若，求数列{}的前n项和为． 15．已知数列的前n项和满足. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和. 题型四、裂项相消法之等差型 16．已知等差数列的前项和为，，． (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求． 17．已知各项均为正数的数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前项和为，若，求满足条件的最小正整数. 18．已知数列的前n项和为，且． (1)求的通项公式； (2)设，记数列的前n项和为，证明：． 19．在等差数列中，，． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和 20．已知数列的前项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 21．已知首项为1的正项数列满足. (1)求； (2)求的通项公式； (3)求数列的前项和. 题型五、裂项相消法之指数型 22．已知正项数列的前n项和为，且． (1)证明：数列是等差数列； (2)若，求数列的前n项和； (3)若，求数列的前n项和． 23．记，其中，数列满足． (1)证明：数列是等差数列，并求； (2)求数列的前项和． 24．已知递增数列满足，点在函数的图象上. (1)证明：数列是等差数列； (2)若，求数列的前项和. 25．已知数列的前项和为，且，. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 26．已知数列的前项和为，且 (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 题型六、 裂项相消法之裂项相加型 27．已知数列的前项和为，且满足，，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 28．已知等差数列为递增数列，且满足，． (1)求的通项公式； (2)若数列满足，求的前项和的最大值，最小值． 29．已知数列是公差大于2的等差数列，其前项和为，，且，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 30．记为数列的前项和，已知. (1)求的通项公式; (2)设，求数列的前项和. 31．已知数列满足，，，数列满足，. (1)证明：数列不是等比数列；并且求数列的通项公式； (2)求数列的通项公式； (3)令，记数列的前项和为，求证：. 题型七、奇偶项分类讨论求和 32．已知数列满足，，，. (1)数列满足：，试判断是否为等比数列，请说明理由； (2)数列满足：，当时，求数列的前n项和 33．已知等差数列的各项均为正数，且． (1)求的通项公式； (2)若，且，求正整数的值． 34．若数列和满足：，，且 (1)设，证明：是等比数列； (2)设，试求的前n项和． 35．已知正项数列的前n项和为，且满足． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 36．已知等差数列满足：公差 且恰为等比数列 的前三项． (1)求数列 与 的通项公式： (2)若数列 满足：求数列  前n项和 ; (3)求的前n项和 1．已知数列满足：，数列满足，则数列的前50项的和为（   ） A． B． C． D．50 2．已知数列的前n项和是，且满足，则（    ） A． B． C． D． 3．已知数列的前n项和为，，，（    ） A．300 B．301 C．324 D．325 4．已知数列满足，则数列前100项和为 ． 5．已知数列满足：，且，，则的前100项和为 ． 6．已知正项等比数列的前项和为，，.若，且数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)若对一切恒成立，求实数的取值范围. 7．设数列的前n项和为，且满足：． (1)求； (2)设数列满足：． （ⅰ）求的通项公式及其前n项和； （ⅱ）若对任意，有，求实数的最大值． 8．已知等差数列的前n项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)已知数列满足， （i）求数列的前n项和； （ii）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 9．已知数列的前项和为，且满足，数列是等差数列，，且、、成等比数列． (1)求数列和数列的通项公式； (2)记，求数列的前项和； (3)记，求． 10．已知是正项递增等比数列的前项和，，，记是正项递增数列的前项和，且. (1)求和的通项公式； (2)设的前项和为，若实数恒成立，求的取值范围. 11．已知数列的前项和为，且． (1)求，及数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列， ①设（），求； ②若都有不等式成立，求的取值范围． 12．已知数列满足，记． (1)求证：是等差数列； (2)设数列的前n项和为． （i）求； （ii）若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 数列求和 目录 A题型建模・专项突破 题型一、倒序相加法 1 题型二、分组求和法 3 题型三、错位相减法 6 题型四、裂项相消法之等差型 12 题型五、裂项相消法之指数型 16 题型六、 裂项相消法之裂项相加型 20 题型七、奇偶项分类讨论求和 24 B综合攻坚・能力跃升 题型一、倒序相加法 1．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用倒序相加法，可得答案. 【详解】，， 故选：B. 2．已知函数，数列满足，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，利用倒序相加法求出的通项公式； 【详解】函数对任意都有， 数列满足① 又② ①②得：， 得. 故选：B. 3．已知，则 ． 【答案】 【分析】通过对函数和进行化简计算，得出的结果为常数，然后利用这个规律对所求式子进行分组计算. 【详解】因为，所以， 故 故答案为： 4．已知函数是上奇函数，若数列的项满足：（）.则数列的通项公式为： . 【答案】 【分析】首先由奇函数的性质，得到，再根据结论，利用倒序相加法，即可求解. 【详解】因为函数是上奇函数，所以 ， 所以， ， 两式相加得：， 即. 故答案为： 题型二、分组求和法 5．已知等差数列的前项和为，数列为等比数列，且满足，，． (1)求和的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）设出等差数列公差、等比数列公比，由已知条件列出方程组，求解即得通项公式. （2）由（1）求出，再利用裂项相消法及等比数列前项和公式求解. 【详解】（1）设等差数列的公差为，数列的等比为， 依题意，，，，， 即且，解得，， 所以和的通项公式分别为，. （2）由（1）得，则，， 因此， 所以. 6．已知数列的前项和，其中. (1)求数列的通项公式； (2)求使不等式成立的的最小值； (3)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2)10 (3) 【分析】（1）利用的关系式即可求得； （2）代入不等式可解得，即的最小值为10； （3）采用分组求和，利用等比和等差数列前项和公式代入计算可得结果. 【详解】（1）当时，可得， 当时，， 显然符合上式， 数列的通项公式为； （2）因为，所以等价于， 解得或（舍）， 又，所以的最小值为10； （3）由（1）可知， 所以 . 即可得. 7．设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且. (1)求、的通项公式： (2)求数列的前项和． 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）设公差为，公比为，根据已知列出方程求出，即可求出通项公式； （2）分组求和，分别求出数列和的前项和，相加即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为，设等比数列的公比为， 因为， 所以，即， ，即，则， 所以，整理可得即， 解得或（舍去）. 所以，则，解得或（舍去），故. 所以，. （2）由（1）知，，则. . 8．两个数列，，，已知数列为等比数列且，数列的前项和为，又满足. (1)求数列，的通项公式； (2)记，求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据条件，直接求出数列公比，即可求出数列通项公式；再利用与间的关系，即可求出的通项公式； （2）利用（1）中结果，再利用等差、等比数列的前项和公式，分组求和，即可求解. 【详解】（1）因为数列为等比数列，设数列的公比为， 又，，所以，解得，所以， 又数列的前项和为①， 当时，②，由①②得到， 又，，所以，则，满足， 所以. （2）由（1）知， 所以. 9．已知等差数列的公差，且满足，，记是数列的前项和，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列的通项公式列方程，解方程即可； （2）利用退一相减法可得，再利用分组求和的方法可得. 【详解】（1）由题意得， 解得或（舍）， ， 即数列的通项公式是； （2）①， 当时，，得， 当时，②， 由①②得，， 化简得，，即， 数列是以为首项，为公比的等比数列， ， ， ． 题型三、错位相减法 10．已知是等差数列的前项和，，数列是公比大于1的等比数列，且. (1)求数列和的通项公式； (2)设，求的前项和. 【答案】(1)，. (2) 【分析】（1）根据等差、等比数列基本量的计算公式，结合等差、等比数列的性质求它们的通项公式. （2）利用错位相减求和法求数列的前项和. 【详解】（1）对等差数列数列，因为， 由. 所以. 对公比大于1的等比数列：， 由， 又，所以. 所以. 所以，. （2）因为， 所以 ， 两式相减得： . 所以. 11．已知数列满足，且． (1)求，，； (2)求数列的通项公式； (3)设，求数列的前项和． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】（1）分别将，，代入中计算即可得解； （2）将整理等式得到，进而根据等比数列的通项公式即可得到答案； （3）结合（2）得到的通项公式，再运用错位相减，分为奇数，为偶数两种情况计算即可得到答案． 【详解】（1）由，则， 又， 得， ， ． （2）由， 得， 所以， 又， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 故． （3）由（2）得， 所以． 设，① 则，② 由①－②得 则， 当为奇数时， ；      当为偶数时， ， 故 12．已知等差数列的前n项和为，且，，等比数列的前n项和为，且. (1)求数列和的通项公式； (2)令，求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等差，等比数列的基本量运算求解； （2）由题可得，利用错位相减法求解. 【详解】（1）由题意知：，， 即，解得. 所以数列的通项公式. 在等比数列中，当时，，得. 当时，，解得，. 所以数列的通项公式. （2）因为， 所以，① ，② ①②得 . 解得， 所以数列的前n项和. 13．已知数列满足，． (1)证明：是等比数列； (2)求数列的前项和； (3)若，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据递推公式可得，结合等比数列定义分析证明； （2）根据（1）可得，结合等比数列求和公式运算求解； （3）由（2）可得，利用分组求和结合错位相减法运算求解. 【详解】（1）因为，则， 且，所以是以2为首项，2为公比的等比数列． （2）由（1）可得：，即， 所以． （3）由（2）可知：， 设，， 则，， 两式相减得：， 故， 所以． 14．已知数列为等差数列，，，数列的前n项和为，且满足． (1)求和的通项公式； (2)若，求数列{}的前n项和为． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设等差数列中，设公差为，由已知可求得等差数列的通项公式，利用及，可得公比和首项，进而可得数列的通项； （2）利用，利用错位相减法及等比数列的求和公式即得结论. 【详解】（1）等差数列中，设公差为， 则 由得：时， 时， 为公比为2的等比数列， （2）数列中，． 则 所以 故 所以 15．已知数列的前n项和满足. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据数列的递推公式和，即可求出结果； （2）由（1）求出数列的通项公式，再根据错位相减法即可求出数列的前n项和为. 【详解】（1）因为，所以当时，，解得. 当时，，整理得， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以. （2）由（1）得，，所以. 所以， ， 两式相减，得 ， 所以. 题型四、裂项相消法之等差型 16．已知等差数列的前项和为，，． (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）应用等差数列通项公式及求和公式基本量运算求解即可； （2）裂项相消法计算求和. 【详解】（1）由已知可得， 解得， 所以． （2）由（1）可知， 所以． ． 17．已知各项均为正数的数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前项和为，若，求满足条件的最小正整数. 【答案】(1) (2)8 【分析】（1）将递推公式进行化简可得数列是等差数列，进而可求解； （2）利用裂项相消法可求得，再通过解不等式求得的取值范围，即可得解. 【详解】（1）， ， ，，又，              数列是以为首项，为公差的等差数列， ； （2）， ， ，，， 或（舍去）， ，满足条件的最小正整数为 18．已知数列的前n项和为，且． (1)求的通项公式； (2)设，记数列的前n项和为，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据和的关系推导可得数列为等比数列，进而求解即可； （2）利用裂项相消法求出，结合数列的单调性可证得结论成立. 【详解】（1）因为①，所以，解得， 对任意的，②， ②①得，即， 所以数列是以3为首项，2为公比的等比数列， 所以． （2）因为， 所以， 因为，数列为单调递增数列，所以， 即． 19．在等差数列中，，． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据通项公式列方程解得，再根据通项公式求解即可； （2）令，结合（1）中，利用裂项相消法即可得到. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 因为，， 所以，所以， 故． （2）由（1）得，令， 则. 所以． 20．已知数列的前项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据数列第项与前项和之间的关系，分情况并检验，可得答案； （2）利用裂项相消的求和方法，可得答案. 【详解】（1）当时，； 当时，. 验证，当时，，符合， 综上，数列的通项公式为. （2）令. . 21．已知首项为1的正项数列满足. (1)求； (2)求的通项公式； (3)求数列的前项和. 【答案】(1)4 (2) (3) 【分析】（1）赋值代入解方程即可； （2）由，发现数列是等差数列，可求的通项，再求即可； （3）根据题意，把通项代入得，再利用裂项相消法求和即可. 【详解】（1），， ，即， 解得. （2）有（1）得， 所以是首项为1，公差为的等差数列， ，则. （3） ， 故数列的前项和. 题型五、裂项相消法之指数型 22．已知正项数列的前n项和为，且． (1)证明：数列是等差数列； (2)若，求数列的前n项和； (3)若，求数列的前n项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由，得到，两式相减得，结合得出数列的定义，即可证得数列为等差数列； （2）由（1）得到，结合乘公比错位相减法求和，即可求解； （3）由（1）得，求得，结合裂项法求和，即可求解. 【详解】（1）证明：因为，所以， 两式相减得， 因为，所以，所以， 又因为，令，可得，解得或（舍去）， 则，符合上式，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列． （2）解：由（1）知，数列的通项公式为，则， 可得， 则， 两式相减得， 所以，即数列的前n项和. （3）解：由（1）知，所以， 则， 所以． 23．记，其中，数列满足． (1)证明：数列是等差数列，并求； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）由题目中的整理与的等量关系，可得的递推公式，根据等差数列的概念，可得答案； （2）由题意整理数列的通项公式，利用裂项相消，可得答案. 【详解】（1）证明：因为，所以，则，所以． 因为，所以当时，， 所以，代入，得， 两边同时除以并整理得，（）， 所以数列是首项为，公差为1的等差数列， 所以，即， 所以，即． （2）由（1）得，， 所以， 所以， 即． 24．已知递增数列满足，点在函数的图象上. (1)证明：数列是等差数列； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）将点代入到函数式得递推公式，根据等差数列的定义结合对数的运算即可得结果； （2）结合（1）中的结论得到数列的通项公式，通过裂项相消法求和即可. 【详解】（1）因为， 所以当时， 又因为点在函数的图象上， 所以， 所以 ， 所以数列是首项为2，公差为2的等差数列 （2）由（1）可知，， 所以， 所以 所以 所以 ， 即 25．已知数列的前项和为，且，. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先利用时，求得，进而得到数列为公比为3的等比数列，最后根据首项和公比写出通项公式即可； （2）根据裂项相消求和计算即可. 【详解】（1）由， 可得时，， 解得， 时，，又， 两式相减可得， 即有， 数列是首项为3，公比为3的等比数列， 所以； （2）数列满足， 所以． 26．已知数列的前项和为，且 (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用与的关系，结合等比数列求出通项公式. （2）由（1）求出，再利用裂项相消法求和. 【详解】（1）在数列中，，当时，， 两式相减得，而，即， 因此数列是首项为2，公比为2的等比数列，， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）得， 所以数列的前项和. 题型六、 裂项相消法之裂项相加型 27．已知数列的前项和为，且满足，，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）构造法判断为等差数列，并写出其通项公式，再应用关系求的通项公式； （2）应用裂项相消法求. 【详解】（1）由，，得，又， 数列是首项为，公差的等差数列， ，即， 当时，，且也满足， ，则数列的通项公式为； （2）由（1）得， . 28．已知等差数列为递增数列，且满足，． (1)求的通项公式； (2)若数列满足，求的前项和的最大值，最小值． 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为. 【分析】（1）由等差数列下标的性质构成方程组解出，再结合等差数列的性质求出公差和首项，然后可得； （2）由裂项可得，求和后再根据单调性法可得最值. 【详解】（1）等差数列为递增数列，且满足， ， 即，解得， 所以，， 所以通项公式为． （2）由（1）可得，， 设数列的前n项和为，则， 当n为奇数时，所以， 随着n的增大而减小，可得； 当n为偶数时，随着n的增大而增大，可得． 故的最大值为，最小值为. 29．已知数列是公差大于2的等差数列，其前项和为，，且，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据给定条件，结合等比数列定义列式求出公差，进而求得通项公式. （2）由（1）的结论，按奇偶分类，利用裂项相消法求和. 【详解】（1）设等差数列的公差为，则，， 由，，成等比数列，得，而，解得， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）得， 当为偶数时，， 当为奇数时，， 所以. 30．记为数列的前项和，已知. (1)求的通项公式; (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1). (2). 【分析】（1）根据与的关系式，可构造出与的关系等式，结合裂项相消法可求出的通项公式，注意的取值，要验证前两项满足所求通项； （2）先讨论为偶数的情况，发现相邻项之和是等差数列，合并求和即可，再据此计算为奇数时的前项和. 【详解】（1）由题意，当时，，即，所以. 当时，， 所以， 即，， 累加可得 则， 又满足该式，故. （2）由题意，， 当为偶数时，即有，， 则； 当为奇数时，则为偶数，. 综上，. 31．已知数列满足，，，数列满足，. (1)证明：数列不是等比数列；并且求数列的通项公式； (2)求数列的通项公式； (3)令，记数列的前项和为，求证：. 【答案】(1)证明见解析， (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据即可证明不是等比数列；根据等比数列的定义和通项公式计算即可求解； （2）方法一：根据和等差数列的定义和通项公式计算即可求解；方法二：根据累乘法计算即可求解； （3）由题意得，结合裂项相消法求和可得，即可证明. 【详解】（1）由题意，，因为， 数列的第一项为0，数列不是等比数列； 但是， 且， ∴数列是以2为首项以2为公比的等比数列. （2）方法一：因为，且 数列是以1为首项，以0为公差的等差数列. ，； 方法二：，用累乘可得，当时， ，……，，， 所以，即， 又，； （3）因为， 所以， 因为，. 题型七、奇偶项分类讨论求和 32．已知数列满足，，，. (1)数列满足：，试判断是否为等比数列，请说明理由； (2)数列满足：，当时，求数列的前n项和 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）由数列递推式构造数列，其中，根据数列的首项是否为0进行分类讨论，即可判断得出结论； （2）由（1）求得，则可得，化简数列的通项公式，得到，再分为奇偶，利用等差等比数列求和公式计算即可. 【详解】（1）当时不是等比数列；当时是等比数列. 理由如下： 因为，，故， 又，故， 当时，，故不是等比数列； 当时，，故是以为首项，3为公比的等比数列. （2）当时，由（1）可知，所以， 所以， 当为偶数时，； 当为奇数时，. 综上所述， 33．已知等差数列的各项均为正数，且． (1)求的通项公式； (2)若，且，求正整数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设数列的公差为，然后根据等差数列的通项公式以及数列各项均为正数即可求解； （2）由（1）可知，，进而可得，然后分为奇数和为偶数两种情况讨论即可. 【详解】（1）设数列的公差为， 由可得，， 所以， 由可得，， 所以， 由于数列各项均为正数， 所以，， 所以 所以数列的通项公式为； （2）解法一：由（1）知，，， 所以， ①当时， ． 因为， 所以； ②当时， 因为，， 所以， 所以， 所以不存在这样的使得，不合题意，舍去， 综上所述，正整数的值为. 解法二：由（1）知，，， ①当为奇数时， ， ②当为偶数时， ， 所以， 解得． 综上所述，正整数的值为. 解法三：由（1）知，，， 设， 则， 所以， 所以 ， 可得， 当为奇数时，， 无解， 当为偶数时， 解得， 综上所述，正整数的值为. 34．若数列和满足：，，且 (1)设，证明：是等比数列； (2)设，试求的前n项和． 【答案】(1)证明见详见 (2) 【分析】（1）根据等比数列的定义证明即可； （2）求数列和的通项，进而可得的表达式，分类讨论，结合等比数列的前n项和即可求解. 【详解】（1）， ， 又 构成以为首项，2为公比的等比数列. （2）由（1）可知， ， 又 构成以为首项，为公比的等比数列 ， ， ∴当为偶数时， 当为奇数时， 所以 35．已知正项数列的前n项和为，且满足． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知可求得，进而利用的关系可求通项公式； （2）分n为偶数或n为奇数两种情况，利用并项求和法可求. 【详解】（1）因为，所以，即， 又，所以，所以，即， 当时，， 当时，也适合上式，所以． （2）由（1）知，则， 当n为偶数时，， 当n为奇数时，为偶数，， 所以. 36．已知等差数列满足：公差 且恰为等比数列 的前三项． (1)求数列 与 的通项公式： (2)若数列 满足：求数列  前n项和 ; (3)求的前n项和 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据题意，由等比中项的性质可得，即可得到等差数列的通项公式，从而可得等比数列的公比，再由等比数列的通项公式，即可得到结果； （2）根据题意，结合等差数列以及等比数列的求和公式代入计算，由分组求和法，即可得到结果； （3）根据题意，分为奇数与为偶数讨论，结合并项求和法，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）由为等比数列可得，即， 即，解得或（舍）， 所以， 又的前三项为，即，即， 公比，所以. （2）因为， 则 . （3）因为，即， 设数列的前项和为， 当为奇数时， ； 当为偶数时， ； 综上所述，. 1．已知数列满足：，数列满足，则数列的前50项的和为（   ） A． B． C． D．50 【答案】A 【分析】由得，令，即，进而求得，利用累加法即可求，即可得，最后利用裂项相消法即可求解. 【详解】由有，令，则， 所以数列是以为首项，1为公差的等差数列，故， 即，故 ，当时，符合题意，即. 又由有， 设数列的前项和为，. 故选：A. 2．已知数列的前n项和是，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据递推公式，求出数列奇数项和偶数项各自的性质，再根据等比数列求和公式，求出数列前2025项的和. 【详解】因为，所以， 又，所以数列是首项为3，公比为4的等比数列. 因为，， 所以数列是首项为24，公比为4的等比数列. 所以， 故选：C. 3．已知数列的前n项和为，，，（    ） A．300 B．301 C．324 D．325 【答案】B 【分析】降标作差得，再利用并项求和即可. 【详解】由得，， 两式作差得， 则 . 故选：B 4．已知数列满足，则数列前100项和为 ． 【答案】 【分析】首先用已知等式求出数列的通项公式，再利用裂项相消法求出前100项和即可. 【详解】由题意得， ①， 当时，， 当时， ②， 用①减去②，得，化简得， 当时，也满足， ，即， 则， 设数列前项和为， ， 数列前100项和， 故答案为：. 5．已知数列满足：，且，，则的前100项和为 ． 【答案】5000 【分析】根据，可得数列的奇数项和偶数项都是以为公差的等差数列，再根据等差数列的前项和公式结合分组求和即可得解. 【详解】因为， 所以数列的奇数项和偶数项都是以为公差的等差数列， 所以当为奇数时，， 当为偶数时，， 故，， 所以 ， 所以的前100项和为. 故答案为：. 6．已知正项等比数列的前项和为，，.若，且数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)若对一切恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据等比数列的通项公式和求和公式列式求值即可. （2）利用错位相减法求和. （3）分析数列的单调性，求的最大值，再解二次不等式即可. 【详解】（1）对数列，设公比为，由题意，因为，所以. 又. 所以. （2）由. 所以. 所以， 所以， 两式相减得：， 所以. （3）由. 所以数列从第2项开始，单调递减. 所以. 由或. 所以实数的取值范围是：. 7．设数列的前n项和为，且满足：． (1)求； (2)设数列满足：． （ⅰ）求的通项公式及其前n项和； （ⅱ）若对任意，有，求实数的最大值． 【答案】(1) (2)（i）；（ⅱ） 【分析】（1）应用及累加法计算得出通项公式； （2）（ⅰ）应用累乘法得出通项应用错位相减计算求和；（ⅱ）先根据作商计算得出数列的单调性得出数列的最小值，结合最值计算求参. 【详解】（1）当时， 当时，，即， 记，则． 由累加得，是也适合， 故； （2）（i）由题，由累乘得， ① ② ①-②得， ； （ⅱ）， 记． ， 当时，，当时，， 所以，故， ，数列单调递增，所以， 于是只需，得最大值为. 8．已知等差数列的前n项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)已知数列满足， （i）求数列的前n项和； （ii）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）利用等差数列的通项公式及前项和公式即可求解； （2）（i）利用错位相减法求和即可；（ii）根据的单调性，再分为奇数和偶数两种情况进行讨论即可求解. 【详解】（1）设等差数列的公差为d，则，解得， ； （2）（i）由（1）知， ， ， ， ； （ii）由（i）得， 设，则， ，数列是递增数列， 当n为偶数时，恒成立，， 当为奇数时，恒成立，，， 实数的取值范围为. 9．已知数列的前项和为，且满足，数列是等差数列，，且、、成等比数列． (1)求数列和数列的通项公式； (2)记，求数列的前项和； (3)记，求． 【答案】(1)， (2) (3)当为偶数时，；当为奇数时， 【分析】（1）根据已知求的方法求通项公式，利用等差数列和等比中项性质求的通项公式； （2）化简，利用裂项相消法求数列的前项和； （3）求出，分为偶数，为奇数，求. 【详解】（1）当时，，解得， 当时，，整理得 又∵，∴，, ∴数列是首项为3、公比为3的等比数列， ， 设等差数列的公差为 ，∵ ，且、、成等比数列 ∴. ，即，即 ， 解得，∴. （2）由（1）可知 则 （3）由题意可知，， 当为偶数时， 当为奇数时， 10．已知是正项递增等比数列的前项和，，，记是正项递增数列的前项和，且. (1)求和的通项公式； (2)设的前项和为，若实数恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意列出方程组即可解得；由，可得，从而得当时，，即，从而可求解. （2）设，再利用错位相减法求出，从而得，即可求解. 【详解】（1）由题意，得公比，解得故. ，， 故当时，， ，，， 当时，，解得（负值已舍去）， 是以为首项，公差为1的等差数列， . （2）令， ， ， 得，，. ，. ，当且仅当时，等号成立，故. 所以的取值范围为. 11．已知数列的前项和为，且． (1)求，及数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列， ①设（），求； ②若都有不等式成立，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】（1）利用递推式求解，退位作差得到时，又，所以数列为等比数列，利用等比数列通项公式求解即可； （2）①先求出，再根据错位相减法求和即可；②原式等价于，利用作差法比较大小，进而确定的最大值即可求解. 【详解】（1）由得，，时，，两式相减得， 即，又，所以数列为公比为2的等比数列， 所以； （2）①由（1）得，， 在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，则，即，则，所以， 则，， 两式相减可得 ，所以； ②因为都有不等式成立， 所以恒成立， ， 当时，，即， 当时，，即， 所以，所以. 12．已知数列满足，记． (1)求证：是等差数列； (2)设数列的前n项和为． （i）求； （ii）若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析. (2)（i）（ii） 【分析】（1）对题干种的条件两边同时除以，即可证明结论. （2）（i）利用错位相减法即可求得结果. （ii）对n分偶数和奇数分别讨论即可求得实数的取值范围. 【详解】（1）因为，两边同时除以，得到：， 又因为，所以，又， 故是首项为，公差为等差数列，结论得证； （2）（i）由（1）结论即可得到， 所以，所以①， 两边同乘2得：②， 由得：， 所以. （ii）不等式，代入，得到：， 当n为偶数，不等式变为：，右边随n的增大而减小，故，所以, 当n为奇数，不等式变为：，右边随n的增大而增大，故，所以， 故实数的取值范围为 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$