专题02 数列求通项（专项训练）数学湘教版2019高二选择性必修第一册

专题02 数列求通项 目录 A题型建模・专项突破 题型一、法求通项 1 题型二、类法 已知等式中左侧含有： 2 题型三、累加法 3 题型五、用“待定系数法”构造等比数列 4 题型六、用“同除法”构造数列 4 题型七、用“倒数变换法”构造等差数列 5 题型八、形如()型 6 B综合攻坚・能力跃升 题型一、法求通项 1．已知数列的前项和为，，． (1)求的通项公式； 2．记为各项均为正数的数列的前项和，已知. (1)求数列的通项公式； 3．已知数列的前项和为，且． (1)求的通项公式； 4．已知数列的各项均为正数，其前项和为，且. (1)求数列的通项公式； 5．已知数列的前项和为，其中为常数，且． (1)求的值，并求； 题型二、类法 已知等式中左侧含有： 6．已知数列的前项和为，数列是首项为1、公差为1的等差数列，若，则 . 7．已知数列满足，，则数列的通项公式为 ． 8．已知数列满足，则的通项公式为 . 9．设数列满足.则数列的前n项和为 ． 10．已知数列满足，若，则数列的前n项和 ． 11．已知数列满足，则数列的前20项之和为 ． 题型三、累加法 12．若数列满足（，且），，则 . 13．已知数列，，对于任意正整数n，都满足，则 . 14．已知数列，，对于任意正整数n，都满足，则 ． 15．已知数列满足：，则 ； . 16．已知数列满足，则数列的前2024项的和为 ． 题型四、累乘法 17．已知数列 满足 ，则 的通项公式为 18．数列中，满足，，则 ． 19．在数列中，首项，时，，则数列的前项和为 . 20．已知是数列的前项和，，，则 . 21．已知数列满足：且，则数列的通项公式为 ． 22．已知，则数列的通项公式是 ． 题型五、用“待定系数法”构造等比数列 23．若数列的首项，且满足，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 24．已知数列满足，则（    ） A． B． C． D． 25．设为数列的前项和，若，则（    ） A．520 B．521 C．1033 D．1034 26．数列满足， 且，的前项和为，则满足不等式的的最大值是 . 27．数列中，，，则通项 ． 28．已知数列中，，，则 ． 题型六、用“同除法”构造数列 29．已知首项为2数列的前项和为，且．若，则的最小值为 ． 30．已知数列满足，且，则数列的通项公式为 ． 31．数列满足，则数列的通项公式为 ． 32．数列满足，则数列的通项公式为 . 33．已知数列满足， (1)求数列的通项公式； 题型七、用“倒数变换法”构造等差数列 34．在数列中，，，则（    ） A． B． C． D．100 35．已知数列中，且，则（    ） A． B． C． D． 36．若数列满足递推关系式，且，则（    ） A． B． C． D． 37．在数列中，已知． (1)求的通项公式； (2)计算：． 38． 已知数列满足，且，求数列的通项公式. 题型八、形如()型 39．已知数列满足，且，，则数列的通项公式为 . 40．在数列中，已知，且，则（    ） A． B． C． D． 1．已知数列满足，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．已知数列的前项和为，其中，，则（    ） A． B． C． D． 3．已知定义数列为数列的“差数列”，若的“差数列”的第项为，则数列的前2024项和（    ） A． B． C． D． 4．已知数列满足，设数列的前项和为，若恒成立，则实数的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．设数列满足，，，若表示大于的最小整数，如，，记，则数列的前2024项之和为（   ） A．4050 B．4049 C．4048 D．4047 6．已知数列满足，设，则数列的前项和为（    ） A． B． C． D． 7．已知数列满足，设，为数列的前项和．若对任意恒成立，则实数的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D． 8．已知数列的前n项和为，，，且．若对都成立，则实数的最小值为 ． 9．已知等比数列的前项和为，若，则 ． 10．已知数列满足，且，则 . 11．已知数列的各项都为正数，其前项和为，且．求证：是等差数列，并求的通项公式； 12．在数列中，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 13．设数列的前n项和为.若，则称是“紧密数列”. (1)若，判断是否为“紧密数列”，并说明理由； (2)设数列是公比为q的等比数列，若数列与都是“紧密数列”，求实数q的取值范围. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 数列求通项 目录 A题型建模・专项突破 题型一、法求通项 1 题型二、类法 已知等式中左侧含有： 3 题型三、累加法 6 题型五、用“待定系数法”构造等比数列 11 题型六、用“同除法”构造数列 14 题型七、用“倒数变换法”构造等差数列 16 题型八、形如()型 18 B综合攻坚・能力跃升 题型一、法求通项 1．已知数列的前项和为，，． (1)求的通项公式； 【答案】(1) 【详解】（1）当时，； 当时，由可知， 两式相减得，即． 又因为，且， 所以数列从第二项起是等比数列，公比为， 所以， 综上所述，； 2．记为各项均为正数的数列的前项和，已知. (1)求数列的通项公式； 【答案】(1) 【详解】（1）由题可知：，当时，， 由①，当时，②； ①-②得：， 所以，即， 所以数列是以2为首项，2为公差得等差数列. 所以，即； 3．已知数列的前项和为，且． (1)求的通项公式； 【答案】(1) 【详解】（1）因为， 当时，， 则，又，符合上式， 所以； 4．已知数列的各项均为正数，其前项和为，且. (1)求数列的通项公式； 【答案】(1) 【详解】（1）由，当时有：， 即， 因为，所以解得， 当时，由 ①， 得： ②， ①②得：， 即， 即， 即， 因为，所以， 所以，即， 所以数列以首项为1，公差为1的等差数列， 所以，当时满足表达式， 所以数列的通项公式为：. 5．已知数列的前项和为，其中为常数，且． (1)求的值，并求； 【答案】(1)， 【详解】（1）由已知，，， 所以，则，所以， ， （）， 且也成立， 所以． 题型二、类法 已知等式中左侧含有： 6．已知数列的前项和为，数列是首项为1、公差为1的等差数列，若，则 . 【答案】 【分析】先求出的通项，再利用退位相减法可求的通项，利用错位相减法可求. 【详解】因为是首项为1、公差为1的等差数列，故， 而，故， 故，而，故，符合该式， 故， 故，所以， 所以， 故， 故答案为： 7．已知数列满足，，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【分析】通过已知条件求出时的表达式，再检验时是否满足该表达式，进而得到数列的通项公式. 【详解】已知 ①. 当时， ②. 用①式减去②式可得： ，解得. 当时，，将代入可得，满足上式. 数列的通项公式为. 故答案为：. 8．已知数列满足，则的通项公式为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用与的关系求出通项公式. 【详解】数列中，， 当时，， 两式相减得，解得，而，即满足上式， 所以的通项公式为. 故答案为： 9．设数列满足.则数列的前n项和为 ． 【答案】 【分析】由，得到：当时，， 相减可得，再结合错位相减法即可求解. 【详解】因为（1）， 所以当时，， 当时，（2）， （1）（2）可得：，即， 当时，，对上式也成立， 所以 所以， 记数列的前n项和为， 则①， 所以②， ①-②可得：， 所以， 所以. 故答案为：. 10．已知数列满足，若，则数列的前n项和 ． 【答案】 【分析】根据所给递推关系，得出，两式相减即可求解通项公式，再利用裂项相消求和即可得解. 【详解】当时，，即. ① 当时，② ①②得， 所以. 当时，也适合， 综上，. ， . 故答案为： 11．已知数列满足，则数列的前20项之和为 ． 【答案】/ 【分析】首先根据数列的前项和，求数列的通项公式，再利用裂项相消法求数列的前20项和. 【详解】当时，；当时， 因为，所以， 两式相减得，所以，则，所以， 所以， 所以数列的前20项之和为 . 故答案为： 题型三、累加法 12．若数列满足（，且），，则 . 【答案】 【分析】结合累加法，由裂项相消法化简求解即可. 【详解】因为（，且），， 所以； 经验证，时，，符合条件. 故答案为：. 13．已知数列，，对于任意正整数n，都满足，则 . 【答案】/ 【分析】化简得，用累加法和裂项相消公式求出即可求解的值. 【详解】由，得， 则当时，， 又满足上式，因此，， 所以. 故答案为： 14．已知数列，，对于任意正整数n，都满足，则 ． 【答案】/ 【分析】化简得，用累加法和裂项相消公式求出即可求解的值. 【详解】因为，所以， 则，，……，，， 所以当时， ， 又满足上式，所以，所以， . 故答案为：. 15．已知数列满足：，则 ； . 【答案】 5 【分析】根据条件，利用累加法可得，即可求解. 【详解】因为， 当，， 得到，当时，，满足， 所以， ， 故答案为：，. 16．已知数列满足，则数列的前2024项的和为 ． 【答案】 【分析】根据递推公式，利用累加法可得数列的通项，进而可得数列的通项，再利用裂项相消，可得答案. 【详解】由题意可知，满足，当时，， ，， 以上各式累加得， ， 当时，，也满足上式，，则． 数列的前项和为，． 故答案为：. 题型四、累乘法 17．已知数列 满足 ，则 的通项公式为 【答案】 【分析】通过递推公式得到相邻两项的比值关系，然后利用累乘法求出数列的通项公式. 【详解】已知，将换为，可得， 那么（）. 利用累乘法求（）， 由（）可得： 观察发现，约分后可得（）. 当时，，与已知相符. 所以，. 故答案为：，. 18．数列中，满足，，则 ． 【答案】/ 【分析】先利用“累乘法”求数列的通项公式，再利用“裂项求和法”求和. 【详解】因为，所以. 所以，，，…，（）. 各式相乘，可得：， 显然满足上式，则， 所以数列的前项和为， 所以. 故答案为：. 19．在数列中，首项，时，，则数列的前项和为 . 【答案】/ 【分析】利用累乘法可求出数列的通项公式，再利用裂项求和法可求得数列的前项和. 【详解】在数列中，首项，时，， 即当时，， 所以，，，，， 上述等式全部相乘得，则， 也满足，故对任意的，， 所以，， 所以数列的前和为. 故答案为：. 20．已知是数列的前项和，，，则 . 【答案】 【分析】借助与的关系及累乘法计算即可得. 【详解】当时，，即，， 则，即， 则有，，，， 则， 当时，，符合上式，故. 故答案为：. 21．已知数列满足：且，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【分析】根据累乘法求数列通项公式即可. 【详解】因为， 所以， 累乘可得， 即，所以， 当时，也成立， 所以. 故答案为： 22．已知，则数列的通项公式是 ． 【答案】 【分析】由已知递推式可得，然后利用累乘法可求得结果. 【详解】由，得， 所以， 所以，，，……，（）， 所以， 所以，因为，所以， 因为也满足上式， 所以， 故答案为： 题型五、用“待定系数法”构造等比数列 23．若数列的首项，且满足，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用构造法可得数列是以为首项，以为公比的等比数列，根据等比数列的通项公式可得结果. 【详解】∵， ∴，即， ∴数列是以为首项，以为公比的等比数列， ∴， ∴. 故选：A. 24．已知数列满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过构造法可得数列是等比数列，结合等比数列的通项公式计算可得结果. 【详解】∵，∴，即， ∴数列是首项为，公比为的等比数列， ∴，故， ∴. 故选：D. 25．设为数列的前项和，若，则（    ） A．520 B．521 C．1033 D．1034 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用求出，进而求出即可得解. 【详解】数列中，，当时，， 两式相减得，即，则， 而，解得，因此数列是以为首项，2为公比的等比数列， 则，即，于是，所以． 故选：C 26．数列满足， 且，的前项和为，则满足不等式的的最大值是 . 【答案】5 【分析】构造等比数列计算得出通项公式，再应用等比数列求和公式计算求出参数的最大值. 【详解】，，且， 是以为首项, 为公比的等比数列.   ,  . , ，即， , , 的最大值是. 故答案为：5. 27．数列中，，，则通项 ． 【答案】 【分析】根据给定的递推公式，利用构造法求出通项公式. 【详解】数列中，由，得，而， 因此数列是首项为，公比为3的等比数列，则， 所以. 故答案为： 28．已知数列中，，，则 ． 【答案】 【分析】由递推公式构造，通过等比数列通项公式即可求解； 【详解】由， 可得：， 所以是首项为，公比为3的等比数列， 所以， 所以， 故答案为： 题型六、用“同除法”构造数列 29．已知首项为2数列的前项和为，且．若，则的最小值为 ． 【答案】6 【分析】根据给定条件，利用构造法求出，作差构造新数列，探讨单调性求出的最小值. 【详解】由，得， 所以数列是首项为，公差为1的等差数列， 所以，即，故， 令，则， 所以数列是递增数列， 因为，， 所以当时，，即， 当时，，即， 所以的最小值为6． 故答案为：6 30．已知数列满足，且，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【分析】结合递推公式的结构特点构建一个等差数列，利用等差数列的通项公式求出构建的数列的通项公式，进而得解. 【详解】将两边同时除以，得，即． 由等差数列的定义知，数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，故． 故答案为：. 31．数列满足，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【分析】利用数列的递推关系求数列的通项公式，将，经化简可知新的数列是等差数列，在变形可求得. 【详解】由题意知将等式两边同时除以， 可得，因为，所以可知， 则数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，所以. 故答案为： 32．数列满足，则数列的通项公式为 . 【答案】 【分析】根据给定的递推公式，利用构造法，结合等比数列通项求解即得. 【详解】数列中，由，得，即， 而，，于是数列是首项为3，公比为的等比数列， 因此，即， 所以数列的通项公式为. 故答案为： 33．已知数列满足， (1)求数列的通项公式； 【答案】(1) 【详解】（1）由，得， 因此数列是以为首项，3为公差的等差数列，， 所以数列的通项公式. 题型七、用“倒数变换法”构造等差数列 34．在数列中，，，则（    ） A． B． C． D．100 【答案】C 【分析】将两边取倒数，即可得到，从而求出的通项公式，即可得解. 【详解】因为，，所以， 即， 所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以，则， 所以. 故选：C 35．已知数列中，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】采用倒数法可证得数列为等差数列，根据等差数列通项公式可推导得到，得解. 【详解】由得：， 又，数列是以1为首项，为公差的等差数列， ， ，， ， 故选：D． 36．若数列满足递推关系式，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用取倒数法可得，结合等差数列的定义和通项公式即可求解. 【详解】因为，所以， 所以，又，所以， 故数列是以为首项，以为公差的等差数列， 则，得， 所以. 故选：A 37．在数列中，已知． (1)求的通项公式； (2)计算：． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）依题意得，而，则数列为等差数列，即可求解； （2）由裂项相消求和． 【详解】（1）解：由，得，得，而， 则数列为等差数列，其首项为1，公差为1， 则， 故的通项公式为：， （2）由（1）知，， 所以 ． 38．已知数列满足，且，求数列的通项公式. 【答案】 【分析】根据题意先证数列为等比数列，再结合等比数列的通项公式分析求解. 【详解】因为，且，可知， 则，可得， 且， 可知数列是首项为2，公比为4的等比数列， 可得，所以. 题型八、形如()型 39．已知数列满足，且，，则数列的通项公式为 . 【答案】 【分析】法一：设、，结合递推关系得到，再根据已知得，进一步有，利用等比数列的定义写出通项公式；法二：由递推关系得，讨论的奇偶性写出通项公式即可. 【详解】法一：因为，所以. 设，则，所以. 设，则. 因为，，所以，， 所以，即，即，所以. 因为，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列， 所以，. 法二：因为，所以， 由，，得，， 所以数列的奇数项是首项为2，公比为4的等比数列，偶数项是首项为4，公比为4的等比数列， 当为奇数时，，即； 当为偶数时，，即. 综上，. 故答案为： 40．在数列中，已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由数列的递推关系构造等比数列求解通项，然后求解即可. 【详解】因为， 所以， 即（常数）， 因为，所以， 所以数列是以4为首项，以4为公比的等比数列， 所以， 所以，所以． 故选：D． 1．已知数列满足，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据递推关系利用迭代法（累加法）求出，可得，再利用对勾函数的单调性求解即可. 【详解】由，得， 所以 ，， 显然满足上式，则，所以， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 又，，且， 所以当时，取最小值. 故选：B. 2．已知数列的前项和为，其中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意构造得，由等比数列定义和通项公式可得，从而得解. 【详解】因为， 所以，所以， 而，故， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以， 即，所以． 故选：C 3．已知定义数列为数列的“差数列”，若的“差数列”的第项为，则数列的前2024项和（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据“差数列”的定义累加法求求出数列的通项公式，再利用等比数列求和法求出其前2024项和. 【详解】已知的“差数列”的第项为，即. 当时，. 将依次代入可得：. 由等比数列求和公式可得：. 当时，，上式也成立.所以. 因为，所以是首项，公比的等比数列. 根据等比数列求和公式，可得：. 故选：C. 4．已知数列满足，设数列的前项和为，若恒成立，则实数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件可得当时，，相减可求当时，的表达式，再求，再求数列的前项和，结合关系恒成立求的范围，由此可得结论. 【详解】因为， 所以当时，， 所以， 所以， 当时，， 所以当时，， 当时，， 所以，，时，也适合， 由恒成立，可得， 所以的最小值为， 故选：D. 5．设数列满足，，，若表示大于的最小整数，如，，记，则数列的前2024项之和为（   ） A．4050 B．4049 C．4048 D．4047 【答案】B 【分析】变形得到，从而为等差数列，得到，累加法得到，从而，得到，当时，，故，从而求出答案. 【详解】， 故为公差为2的等差数列，首项为， 所以， 则 ， 故， 故，当时，，故， 所以数列的前2024项之和为. 故选：B 6．已知数列满足，设，则数列的前项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件，利用与间的关系，得到，从而有，再利用裂项相消法，即可求解. 【详解】因为①， 当时，②， 由①②得到，得到， 又时，，满足，所以，则， 所以， 则数列的前项和为， 故选：D. 7．已知数列满足，设，为数列的前项和．若对任意恒成立，则实数的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】利用相减法求得，从而可得，再由裂项相消法求得后可得参数最小值． 【详解】当时，，因为， 所以时，． 两式相减得到，故，时不适合此式， 所以当时，； 当时，， 所以；所以的最小值． 故选:C． 8．已知数列的前n项和为，，，且．若对都成立，则实数的最小值为 ． 【答案】 【分析】将已知条件化简可得，利用累加法求出数列的通项公式以及前项和的表达式，利用分离参数的思想得出，最后利用作差法判断数列的单调性求出最值即可. 【详解】数列的前项和为，，，且， 所以，故：， 因为，所以， 所以， ， 则，故， 所以=， 所以， 因为对任意都成立， 所以． 设则． 当时，当时， 因此 即． 故答案为：. 9．已知等比数列的前项和为，若，则 ． 【答案】 【分析】法一：利用求通项公式，结合等比数列的定义求参数值，法二：应用等比数列前n项和公式求参数值. 【详解】（方法一）因为， 当时，，可得，， 当时，． 因为数列为等比数列，所以，解得． （方法二）若数列公比为，当，则不可能恒相等, 所以，则，所以． 故答案为：. 10．已知数列满足，且，则 . 【答案】 【分析】推导出数列为常数列，可得出，即得出的值. 【详解】因为数列满足，且， 则，所以， 所以数列为常数列，故， 因此，. 故答案为：. 11．已知数列的各项都为正数，其前项和为，且．求证：是等差数列，并求的通项公式； 【答案】证明见解析， 【分析】根据题意，得到，当时，求得，利用与的关系当时，，整理求得，结合等差数列的定义和通项公式，即可求解. 【详解】证明：由，且，可得， 所以当时，，解得或（舍）； 当时，， 整理得：， 因为，解得， 所以数列是首项为1，公差为的等差数列， 所以数列的通项公式为． 12．在数列中，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用累加法求出数列的通项公式； （2），利用裂项相消法计求和即可. 【详解】（1）因为， 所以． （2）因为， 所以 ． 13．设数列的前n项和为.若，则称是“紧密数列”. (1)若，判断是否为“紧密数列”，并说明理由； (2)设数列是公比为q的等比数列，若数列与都是“紧密数列”，求实数q的取值范围. 【答案】(1)是“紧密数列”，理由见解析 (2) 【分析】（1）由，根据数列已知求的方式可求，再利用“紧密数列”的定义判断即可； （2）由数列是等比数列，可把和表示出来，再根据“紧密数列”的定义，反过来求q的取值范围即可. 【详解】（1）由，可得， 两式相减可得， 当时，，满足，故.， 易得，又当时，取得最大值， 所以，所以是“紧密数列”. （2）当时，，， 则，， 若数列与都是“紧密数列”，则， 解得.当时，，，则，， 所以，此时数列与均是“紧密数列”. 综上，实数q的取值范围为. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$