第1章 数列（知识清单）数学湘教版2019高二选择性必修第一册

第一章 数列 清单01 等差数列的概念 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示．数学语言表示为()(或者），为常数． 清单02 等差数列的有关公式 (1)若等差数列的首项是，公差是，则其通项公式为，可推广为(*)． (2)等差数列的前项和公式(其中)． 清单03 等差数列的常用性质 已知为等差数列，为公差，为该数列的前项和． (1)等差数列中，当时， ()． 特别地，若，则()． (2)相隔等距离的项组成的数列是等差数列，即，，，…仍是等差数列，公差为()． (3)也成等差数列，其首项与首项相同，公差为. (4)，，…也成等差数列，公差为. （5）若数列,均为等差数列且其前项和分别为,,则 清单04 等比数列的概念 一般地，如果一个数列从2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母()表示．数学语言表达：，为常数，. 清单05 等比数列的有关公式 (1)若等比数列的首项为，公比是，则其通项公式为；可推广为. (2)等比数列的前项和公式：当时，；当时，. 清单06 等比数列的性质 设数列是等比数列，是其前项和． (1)若，则，其中.特别地，若，则，其中. (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即，，，…仍是等比数列，公比为()． (3)若数列，是两个项数相同的等比数列，则数列，和(其中，，是非零常数)也是等比数列． 清单07 累差法 若数列满足，则称数列为“变差数列”，求变差数列的通项时，利用恒等式求通项公式的方法称为累加法。 清单08 累乘法 若数列满足，则称数列为“变比数列”，求变比数列的通项时，利用求通项公式的方法称为累乘法。 清单09 法 对于数列，前项和记为； ①；② 1- ②： 法归类 角度1：已知与的关系；或与的关系 用，得到 例子：已知，求 角度2：已知与的关系；或与的关系 替换题目中的 例子：已知； 已知 角度3：已知等式中左侧含有： 作差法（类似） 例子：已知求 清单10 .构造法 用“待定系数法”构造等比数列 形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式. 清单11 倒数法 用“倒数变换法”构造等差数列 类型1：形如（为常数，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，即：，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，即可求得. 类型2：形如（为常数，，，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，可通过换元：，化简为：（此类型符构造法类型1： 用“待定系数法”构造等比数列：形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式.） 清单12 裂项相消法 1、等差型 ① 特别注意 ② 如：（尤其要注意不能丢前边的） 2、无理型 ① 如： 3、指数型 ① 如： 易错点1 判断等比数列时容易忽略 错误：判断等比数列时，忽略考虑情况而造成错误 注意：判断等比数列时，要特别考虑的情况 例题1-1 （多选）设数列，均为等比数列，则下列选项一定为等比数列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】设等比数列，的公比分别为，， 则对于A，当时，不合题意； 对于B，，数列一定是等比数列； 对于C，，数列一定是等比数列； 对于D，取，则，不合题意. 故选择：BC. 例题1-2（多选）已知数列是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】设等比数列的首项为，公比为， 对于选项A，因为为常数，所以数列为等比数列，故选项A正确， 对于选项B，取，则，所以，此时数列不是等比数列，故选项C错误， 对于选项C，取，则，此时数列不是等比数列，故选项C错误， 对于选项D，因为，又恒成立，所以， 又为常数，所以数列为等比数列，故选项D正确， 故选：AD. 易错点2 错误：利用公式时，忽略考虑时的情况 注意：利用法求通项时，①，②， 例题2 -1已知数列的前项和为，且 (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的通项公式； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，，两式相减，可得， 即得，又，得，， 故数列为等比数列，且首项为2，公比为， 所以. （2）由（1）知. 则①，可得， 当时，②， 由①-②：可得， 故得，显然不满足此式， 故. 例题2 -2已知是数列的前项和，数列是首项为2，公比为2的等比数列. (1)求数列的通项公式； 【答案】(1) 【详解】（1）由题可得，. 当时，. 当时，. 不满足上式，. 易错点3 裂项相消法求和时忽略系数 错误：容易忽略了前面系数 注意：注意前面裂项的系数，同时也要注意项不能写反了，如：就是前后项写反了 例题3 -1已知数列的前项和为是首项和公差均为1的等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由是首项和公差为1的等差数列，得，则， 当时， 当时，， 因为满足上式， 所以数列的通项公式． （2）因为， 所以． 例题3 -2已知等差数列的前项和满足. (1)求的通项公式； (2)若，求的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由可得， 由可得，，， 故. （2）由（1）得， 故 则. 易错点4 错位相减求和时，数错项数或者最后一项没有变号为减号 错误：错位相减最大的错误就是数错项数，或者相减时最后一项没有变号 注意：错位相减应要注意项数，同时相减时，最后一项注意变号 例题4-1 已知数列满足，. (1)证明：数列为等比数列； (2)设，求数列的前项和为. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）由，即， 得，即， 又，得到， 故数列是首项为3，公比为3的等比数列. （2）由（1）可知，， 则，则， 得到， 两式作差得 ，故. 例题4-2 已知等差数列满足公差，，.等比数列的首项，公比为3. (1)求数列，的通项公式； (2)数列的前n项和为，记数列的前n项和为，求. 【答案】(1)，. (2). 【详解】（1）为等差数列，故， 因为，，所以， 整理得，解得或， 当时，，当时，， 因为，所以，，故， 此时，所以， 因为等比数列的首项，公比为3，得. （2）由题，， ， ， 两式相减得 ， 故. 1．（多选）若数列是等比数列，则下列说法正确的是（    ） A．数列是等比数列 B．若，则数列是等比数列 C．数列是等比数列 D．数列是等比数列 【答案】AD 【详解】对于选项A：因为数列是等比数列，即，所以，因为， 所以数列是以为公比的等比数列，故A正确 对于选项B：当时，此时，数列不是等比数列，故选项B错误. 对于选项C：当时，此时，数列不是等比数列，故C错误. 对于选项D：因为数列是等比数列，即，所以， 因为，所以数列是公比为的等比数列，故选项D正确. 故选：AD 2．（多选）已知数列是等比数列，则（   ） A．数列是等比数列 B．数列是等比数列 C．数列是等比数列 D．数列是等比数列 【答案】AB 【详解】根据题意，数列是等比数列，设其公比为q，则 对于选项A：因为，所以数列是等比数列，故A正确； 对于选项B：因为 ，所以数列为等比数列，故B正确； 对于选项CD：例如，则，所以数列不是等比数列，故C错误； 则，所以数列不是等比数列，故D错误. 故选：AB. 3．（多选）若数列是等比数列，且，则下列结论正确的是（    ） A．数列是等比数列 B．数列是等比数列 C．数列是等比数列 D．数列是等差数列 【答案】ACD 【详解】设等比数列的公比为，由知，所以是以为公比的等比数列，故A正确； 当时，，此时数列不是等比数列，故B错误； 由知，所以是以为公比的等比数列，故C正确； 由知，所以数列是等差数列，故D正确. 故选：ACD. 4．（多选）下列结论正确的是（    ） A．若是等差数列，则是等比数列 B．若是等比数列，则是等比数列 C．若是等比数列，则是等比数列 D．若是等差数列，则是等比数列 【答案】ABD 【详解】对于A，由题意，公差， 则为非零常数，所以是等比数列，故A正确； 对于B，由题意，公比， 则为非零常数，所以是等比数列，故B正确； 对于C，当时，， 此时不是等比数列，故C错误； 对于D，由题意得，且 则为非零常数，所以是等比数列，故D正确. 故选：ABD. 5．已知数列的前n顶和为，且，. (1)求数列的通项公式； 【答案】(1) 【详解】（1）当时，可得：； 当时，，， 两式相减，得，即， 所以当时，是以2为首项，3为公比的等比数列， 所以， 因为不满足上式， 所以 6．已知数列的前项和（为正整数），其中为非零实数． (1)求数列的通项公式； 【答案】(1) 【详解】（1）数列的前项和， 当时，， 而，，不满足上式， 所以. 7．已知数列的前n项和为，且． (1)求数列的通项公式； 【答案】(1). 【详解】（1）已知数列 的前 项和 ，当 时，. 当 时，. 验证： 时，若直接代入 ，故需分段表示， 故数列 的通项公式为：. 8．已知数列的前n项和为，，是公比为3的等比数列． (1)求与； 【答案】(1)， 【详解】（1）因为是公比为3的等比数列，且， 所以， 当时，，所以 9．已知数列的前n项和为，，当时， (1)求； 【答案】(1) 【详解】（1）当时，，即， 整理得：，即， 当时，， 所以数列是以2为首项，1为公差的等差数列， 所以，即. 当时，， 当时，不符合上式，故. 10．已知数列的前项和为，，． (1)证明：数列为等差数列； (2)求的通项； 【答案】(1)证明见解析； (2)； 【详解】（1）因为，所以，故， 又，所以是以3为首项，3为公差的等差数列． （2）由（1）知， 当时，， 而时，不满足上式， 所以. 11．已知等差数列满足． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）若等差数列的公差为，结合题设有， 所以，可得， 故. （2）由（1）得， 所以. 12．已知数列的前项和为，且1，，成等比数列. (1)求，； (2)求的通项公式； (3)若，求数列的前项和. 【答案】(1)1，3； (2) (3). 【详解】（1）由1，，成等比数列，得，所以，. （2）当时，，而满足上式， 所以的通项公式是. （3）由（2）知，， 则， 则. 13．已知数列是等差数列，是等比数列，且，，， (1)求数列，的通项公式； (2)令，求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意，解得，所以， 所以，所以，解得， 所以； （2）因为， 所以数列的前n项和. 14．已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和为． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为①，当时可得，即． 当时，②， 由①②得，即， 即是以为首项，为公比的等比数列，所以． （2）因为，， . 15．已知正项等比数列，，且，，构成等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设数列的公比为，由，则， 由，得，解得或（舍）. 因为，，成等差数列，所以. ，即，解得或（舍）. 所以. （2）由（1）知，. 则. 所以. 16．已知等差数列的前n项和为，且，，等比数列的前n项和为，且. (1)求数列和的通项公式； (2)令，求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意知：，， 即，解得. 所以数列的通项公式. 在等比数列中，当时，，得. 当时，，解得，. 所以数列的通项公式. （2）因为， 所以，① ，② ①②得 . 解得， 所以数列的前n项和. 17．已知数列的前n项和满足. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以当时，，解得. 当时，，整理得， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以. （2）由（1）得，，所以. 所以， ， 两式相减，得 ， 所以. 18．已知数列满足，，． (1)证明：是等比数列； (2)求的通项公式； (3)若，求数列的前n项和． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【详解】（1）由题设，可得，即， 又，故是首项、公比均为的等比数列，得证； （2）由（1），则； （3）由（2）知，故，则， 所以， 所以. 19．已知等差数列的前项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)，. (2)， 【详解】（1）（1）记等差数列的公差为， ，， 又，， 等差数列的通项公式为，. （2）由（1）得， ① ② ①-②得， 所以， 20．已知数列的前n项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）已知，当时，，故 当时，，，则 又  数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 故得，整理得 （2）由（1）知，，． ① ② 由①②得 ． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 数列 清单01 等差数列的概念 一般地，如果一个数列 ，每一项与它前一项的差都等于 ，那么这个数列就叫做 ，这个常数叫做 ，通常用字母表示．数学语言表示为 ()(或者 ，为常数． 清单02 等差数列的有关公式 (1)若等差数列的首项是，公差是，则其通项公式为，可推广为(*)． (2)等差数列的前项和公式 (其中)． 清单03 等差数列的常用性质 已知为等差数列，为公差，为该数列的前项和． (1)等差数列中，当时， ． 特别地，若，则 ． (2)相隔等距离的项组成的数列是等差数列，即，，，…仍是等差数列，公差为()． (3)也成等差数列，其首项与首项相同，公差为. (4)，，…也成等差数列，公差为. （5）若数列,均为等差数列且其前项和分别为,,则 清单04 等比数列的概念 一般地，如果一个数列从2项起，每一项与它的前一项的比等于 ，那么这个数列叫做 ，这个常数叫做 ，公比通常用字母()表示．数学语言表达： ，为常数，. 清单05 等比数列的有关公式 (1)若等比数列的首项为，公比是，则其通项公式为 ；可推广为. (2)等比数列的前项和公式：当时，；当时， . 清单06 等比数列的性质 设数列是等比数列，是其前项和． (1)若，则 ，其中.特别地，若，则 ，其中. (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即，，，…仍是等比数列，公比为()． (3)若数列，是两个项数相同的等比数列，则数列，和(其中，，是非零常数)也是等比数列． 清单07 累差法 若数列满足，则称数列为“变差数列”，求变差数列的通项时，利用恒等式求通项公式的方法称为累加法。 清单08 累乘法 若数列满足，则称数列为“变比数列”，求变比数列的通项时，利用求通项公式的方法称为累乘法。 清单09 法 对于数列，前项和记为； ①；② 1- ②： 法归类 角度1：已知与的关系；或与的关系 用，得到 例子：已知，求 角度2：已知与的关系；或与的关系 替换题目中的 例子：已知； 已知 角度3：已知等式中左侧含有： 作差法（类似） 例子：已知求 清单10 .构造法 用“待定系数法”构造等比数列 形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式. 清单11 倒数法 用“倒数变换法”构造等差数列 类型1：形如（为常数，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，即：，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，即可求得. 类型2：形如（为常数，，，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，可通过换元：，化简为：（此类型符构造法类型1： 用“待定系数法”构造等比数列：形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式.） 清单12 裂项相消法 1、等差型 ① 特别注意 ② 如：（尤其要注意不能丢前边的） 2、无理型 ① 如： 3、指数型 ① 如： 易错点1 判断等比数列时容易忽略 错误：判断等比数列时，忽略考虑情况而造成错误 注意：判断等比数列时，要特别考虑的情况 例题1-1 （多选）设数列，均为等比数列，则下列选项一定为等比数列的是（    ） A． B． C． D． 例题1-2（多选）已知数列是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是（   ） A． B． C． D． 易错点2 错误：利用公式时，忽略考虑时的情况 注意：利用法求通项时，①，②， 例题2 -1已知数列的前项和为，且 (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的通项公式； 例题2 -2已知是数列的前项和，数列是首项为2，公比为2的等比数列. (1)求数列的通项公式； 易错点3 裂项相消法求和时忽略系数 错误：容易忽略了前面系数 注意：注意前面裂项的系数，同时也要注意项不能写反了，如：就是前后项写反了 例题3 -1已知数列的前项和为是首项和公差均为1的等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 例题3 -2已知等差数列的前项和满足. (1)求的通项公式； (2)若，求的前项和. 易错点4 错位相减求和时，数错项数或者最后一项没有变号为减号 错误：错位相减最大的错误就是数错项数，或者相减时最后一项没有变号 注意：错位相减应要注意项数，同时相减时，最后一项注意变号 例题4-1 已知数列满足，. (1)证明：数列为等比数列； (2)设，求数列的前项和为. 例题4-2 已知等差数列满足公差，，.等比数列的首项，公比为3. (1)求数列，的通项公式； (2)数列的前n项和为，记数列的前n项和为，求. 1．（多选）若数列是等比数列，则下列说法正确的是（    ） A．数列是等比数列 B．若，则数列是等比数列 C．数列是等比数列 D．数列是等比数列 2．（多选）已知数列是等比数列，则（   ） A．数列是等比数列 B．数列是等比数列 C．数列是等比数列 D．数列是等比数列 3．（多选）若数列是等比数列，且，则下列结论正确的是（    ） A．数列是等比数列 B．数列是等比数列 C．数列是等比数列 D．数列是等差数列 4．（多选）下列结论正确的是（    ） A．若是等差数列，则是等比数列 B．若是等比数列，则是等比数列 C．若是等比数列，则是等比数列 D．若是等差数列，则是等比数列 5．已知数列的前n顶和为，且，. (1)求数列的通项公式； 6．已知数列的前项和（为正整数），其中为非零实数． (1)求数列的通项公式； 7．已知数列的前n项和为，且． (1)求数列的通项公式； 8．已知数列的前n项和为，，是公比为3的等比数列． (1)求与； 9．已知数列的前n项和为，，当时， (1)求； 10．已知数列的前项和为，，． (1)证明：数列为等差数列； (2)求的通项； 11．已知等差数列满足． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 12．已知数列的前项和为，且1，，成等比数列. (1)求，； (2)求的通项公式； (3)若，求数列的前项和. 13．已知数列是等差数列，是等比数列，且，，， (1)求数列，的通项公式； (2)令，求数列的前n项和. 14．已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和为． 15．已知正项等比数列，，且，，构成等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 16．已知等差数列的前n项和为，且，，等比数列的前n项和为，且. (1)求数列和的通项公式； (2)令，求数列的前n项和. 17．已知数列的前n项和满足. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和. 18．已知数列满足，，． (1)证明：是等比数列； (2)求的通项公式； (3)若，求数列的前n项和． 19．已知等差数列的前项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 20．已知数列的前n项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$