专题01 等差数列与等比数列（专项训练）数学湘教版2019高二选择性必修第一册

专题01 等差数列与等比数列 目录 A题型建模・专项突破 题型一、等差（比）数列基本量计算 1 题型二、等差（比）数列角标和性质 4 题型三、等差（比）数列最大（小）项 6 题型四、等差（比）数列前项和片段和性质 9 题型五、两个等差数列前项和之比问题 11 题型六、求等差数列前项和最值 13 题型七、等比数列奇、偶项和 17 题型八、含绝对值等差数列前项和 20 B综合攻坚・能力跃升 题型一、等差（比）数列基本量计算 1．记为等差数列的前n项和，已知，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，列式求出数列的首项和公差，进而求出通项公式和前n项和公式． 【详解】设等差数列的公差为，由，得，解得， 所以，，ABC错误，D正确. 故选：D 2．已知等差数列的前项和为，则（   ） A．7 B．9 C．11 D．13 【答案】C 【分析】先由题设结合等差数列分段和性质求出，再由即可计算求解. 【详解】设等差数列的公差为d，则由题， 所以. 故选：C 3．记为等比数列的前n项和．若，，则（   ） A．39 B．156 C． D． 【答案】D 【分析】利用等比数列通项公式基本量计算出，利用等比数列求和公式得到答案. 【详解】设等比数列的公比为， 由，得，所以， 又因为，所以，所以． 故选：D 4．在等比数列中，，，则（   ） A．2 B．4 C．5 D．8 【答案】D 【分析】利用等比数列的项的性质和通项的基本量运算即得. 【详解】因为等比数列，故，解得， 又，解得， 设数列的公比为，则，故. 故选：D. 5．已知为等差数列． (1)若，求的值． (2)若，，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列求和公式及等差数列的性质直接可得解； （2）根据等差数列的性质及等差数列通项公式直接计算即可. 【详解】（1）由已知数列为等差数列， 则， 解得； （2）由已知， 则， 又， 解得，， 所以. 6．已知数列的前n项和为． (1)若是等差数列，且，求； (2)若是等比数列，且，3，成等差数列，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设的公差为d，利用等差数列前n项和的基本量运算求出，然后代入等差数列通项公式求解即可； （2）设的公比为q，利用等差中项性质求得，然后利用等比数列前n项和公式求解即可. 【详解】（1）设的公差为d，由，得，解得， 所以． （2）设的公比为q，则，因为，3，成等差数列， 所以，即，解得，所以． 7．在等差数列中，． (1)求； (2)记等差数列的前项和为，求时的值． 【答案】(1) (2)1或 【分析】（1）由题意求出数列的通项公式，即可求解； （2）利用等差数列前项求和公式得，从而可求解. 【详解】（1）由，所以公差， 所以，所以. （2）由（1）可得， 当时，即， 即，解得或. 故当时，为或. 8．在等比数列中， (1)若，，且，求； (2)若，，，求和n； (3)若，，求和公比q． 【答案】(1)； (2)，； (3)或. 【分析】（1）利用等比数列通项公式列式求出公比，再其前7项和； （2）利用等比数列前项和公式及通项公式列式求解； （3）利用给定条件，列出方程组并求解即得. 【详解】（1）等比数列中，，， 则，即，而，解得， 所以. （2）在等比数列中，，则，解得， 又，得，即，所以. （3）由，，得，即，又， 于是，解得或. 题型二、等差（比）数列角标和性质 9．已知等差数列前9项的和等于前4项的和，若，则（    ） A．11 B．13 C．15 D．17 【答案】A 【分析】由等差数列的性质求解即可. 【详解】由，得，则，所以， 又，所以. 故选：A. 10．记等差数列的前n项和为，，则（   ） A．40 B．20 C．25 D．30 【答案】C 【分析】根据题意，利用等差数列的性质，求得，结合，即可求解. 【详解】由等差数列的前n项和为，且，可得，解得， 又由. 故选：C. 11．等差数列的前项和为，若，则（    ） A．18 B．24 C．12 D．32 【答案】C 【分析】根据等差数列的求和公式及性质求解即可. 【详解】因为， 所以， 根据等差数列下标和性质， 所以． 故选：C. 12．已知等差数列 的前n项和为 若 则 【答案】30 【分析】根据题意可求出，进而可求 【详解】由题意 则 所以 故答案为：30 13．在等比数列中，若，则 ． 【答案】128 【分析】利用等比数列的性质可求出、，进而求出，再次利用等比数列的性质进行求解即可. 【详解】，， 又，， 又． 考虑最后结果为正，不妨设每项均为正数，，． 故答案为：128 14．已知等比数列的公比，且，则 ． 【答案】 【分析】根据等比数列的性质，得到，结合三角函数的诱导公式，即可求解. 【详解】由等比数列的公比，且， 则 ， 所以. 故答案为：. 15．若正项等比数列满足，则 ． 【答案】5 【分析】根据等比数列项的性质计算化简结合对数运算求解. 【详解】正项等比数列满足， 则． 故答案为：5. 16．若等比数列的各项均为正数，且，则 . 【答案】 【分析】根据等比数列的性质求解. 【详解】因为是等比数列，所以，即. 所以. 故答案为： 题型三、等差（比）数列最大（小）项 17．在数列中，，则的最大值为 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】把通项公式进行配方，求出最大值，要注意. 【详解】，当或时，最大， 所以，故本题选A. 【点睛】本题考查了数列的最大项问题. 18．已知等差数列的前项和为，若，公差，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题设写出等差数列通项公式得，利用单调性得时，时，即有时最小，进而求最小值. 【详解】由题设，令，可得， 又，故时，时， 所以时最小，即最小为. 故选：C 19．已知首项为1的等比数列的各项均为正数，且，，成等差数列，若恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据题意得到，根据题意得到，再利用对勾函数的性质求解即可. 【详解】因为，，成等差数列，所以， 又因为的首项为1，各项均为正数的等比数列， 所以，解得或（舍去），所以. 若恒成立，所以. 设，令，解得， 所以在为减函数，在为增函数. 而当时，即时，， 所以当时，即时，取得最小值为， 所以. 故选：B 20．在等比数列中，公比为q，其前n项积为，并且满足，，，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C．的值是中最大的 D．使成立的最大自然数n等于4046 【答案】C 【分析】分析条件可得数列为递减数列，选项A正确；根据等比数列的性质可得选项B正确；根据可得选项C错误；根据，可得选项D正确. 【详解】∵，∴，∴． ∵，∴，即一个大于1，一个小于1， ∵，∴数列为递减数列，故，即，选项A正确. ，选项B正确. ，选项C错误. ， ，选项D正确. 故选：C． 21．已知等比数列满足，公比，且，，则当最小时，（    ） A．1012 B．1013 C．2022 D．2023 【答案】A 【分析】根据题意结合等比数列的性质可推得以及，即可判断数列的增减性以及项与1的大小关系，由此即可求得答案. 【详解】由题意知，故， 则，即， 结合等比数列满足，公比，可知， 由，得， 即得，故，即， 由此可得， 故当最小时，， 故选：A 22．已知为等差数列的前项和，且，，则当取最大值时，的值为 . 【答案】7 【分析】根据条件，由等差数列通项公式及求和公式求得首项和公差，从而变成函数问题，找到最大值. 【详解】方法一：设数列的公差为，则由题意得，解得 则.又，∴当时，取得最大值. 方法二：设等差数列的公差为.∵，∴， ∴，解得， 则， 令 解得，又， ∴，即数列的前7项为正数，从第8项起各项均为负数， 故当取得最大值时，. 故答案为：7. 题型四、等差（比）数列前项和片段和性质 23．已知等比数列的前项和为，若，则（    ） A．56 B．105 C．112 D．189 【答案】B 【分析】根据等比数列性质得，结合基本量运算计算求解. 【详解】因为成等比数列， 即成等比数列，所以，解得， 又，所以，解得. 故选:B. 24．已知等差数列的前项和为，且，则（   ） A．8 B．10 C．12 D．16 【答案】C 【分析】根据等差数列前项和的性质，得到等差数列，求出结果即可. 【详解】因为是等差数列，所以也是等差数列， 所以，即，解得． 故选：C． 25．已知等差数列的前项和为，若，，则（   ） A．36 B．48 C．60 D．120 【答案】B 【分析】根据等差数列片段和的性质及等差中项的性质求. 【详解】由等差数列片段和的性质，，，，成等差数列， 故，则. 故选：B 26．在等差数列中，为其前项和，若，，则的值为 ． 【答案】30 【分析】由等差数列前项和性质可得，，也是等差数列，运算即可． 【详解】由题意，得，，也是等差数列， 即， 又，，所以，解得． 故答案为：30 27．等比数列的前项和记为，若，，，则 . 【答案】219 【分析】由求得，从而可得答案. 【详解】设数列的首项为，公比为. 因为，所以， 因为，所以，所以. 所以， 所以. 于是. 故答案为：219. 28．已知等比数列的前n项和为，则 . 【答案】585 【分析】根据等比数列前n项和的性质即可求解. 【详解】由题可知成等比数列， 则， 所以 故答案为： 29．设是等比数列的前项和，若，则 ． 【答案】28 【分析】由题意知成等比数列，结合等比数列的定义即可求解. 【详解】由题意知成等比数列，且公比为， 所以， 所以. 故答案为：28. 题型五、两个等差数列前项和之比问题 30．已知数列和都是等差数列，且前项和分别为，，若，则 ． 【答案】 【分析】由题可设，，然后表示出即可求解. 【详解】数列、为等差数列，且 ， 可设，， 则， 所以. 故答案为：. 31．已知等差数列，的前n项和分别为，，若，则 ． 【答案】 【分析】利用等差数列的性质得，又，利用即可求解. 【详解】由题意得， 所以，又， 所以， 故答案为：. 32．等差数列，的前n项和分别为，，已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用等差数列性质，结合前n项和公式列式计算即得. 【详解】在等差数列中，， 在等差数列中，同理，而， 所以． 故答案为： 33．已知数列和都是等差数列，且前n项和分别为，，若，则 . 【答案】 【分析】利用等比数列的前n项和的特征设出，的表示式，再将所求项的比式拼凑成和的比式，赋值代入化简即得. 【详解】因数列和都是等差数列，且前n项和分别为，， 由，可设，， 则， . 故答案为：. 34．记等差数列的前项和分别为．若，则 ． 【答案】 【分析】设，在根据得出的关系，进而求得. 【详解】设， 则． 故，则,且． 故， 则． 故答案为：． 35．已知等差数列和的前n项和分别为和，且，则 ． 【答案】 【分析】根据设出的二次形式，由此求得，即可化简得到结果. 【详解】因为等差数列和的前n项和分别为和， 故可设， 所以， 所以. 故答案为：. 题型六、求等差数列前项和最值 36．已知等差数列的前项和为，若，且，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】由等差数列前项和的性质可得公差，再利用二次函数性质可求最大值. 【详解】设等差数列的公差为，， ， 解得，， 所以当时，取得最大值为. 故答案为：. 37．设等差数列的前项和为，，，当 时，最小． 【答案】3 【分析】由已知条件先求公差，再根据等差数列求和公式写出结合二次函数求出时最小. 【详解】因为数列为等差数列，设公差为，所以，所以， 由等差数列的求和公式可知，，易知当时最小. 故答案为：3 38．已知是公差不为0的等差数列的前项和，数列是等差数列，．若，记是数列的前项和，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】设出公差，表达出，从而得到，得到，当时，，当时，，当时，，从而求出的最小值. 【详解】设数列的公差为， 则， ， 因为数列是等差数列，所以或，故或（舍去）， 解得， ， 当时，，当时，，当时，， 所以当或5时，取得最小值，最小值为． 故答案为： 39．等差数列的前项和为，已知，，当最大时，的值是 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用等差数列性质求出公差，确定数列单调性即可求解. 【详解】令等差数列公差为，由，得， 则，解得，， 显然数列是递减数列，由，得，即数列前6项都为正，从第7项起为负， 所以最大时，的值是6. 故答案为：6 40．已知等差数列中，，公差，前项和为，若，则取得最大值时，的值为 . 【答案】7 【分析】根据可得，结合可得的公差，进一步可知当时，，当时，，从而可确定取得最大值时所对应的值． 【详解】因为是等差数列，且， 所以， 即， 又，， ，又，故， 所以当时，，当时，， 所以取得最大值时，的值为7． 故答案为：7． 41．已知数列的前项和为，. (1)求数列的通项公式； (2)已知数列的前项的积为，且，求的最大值. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据，得出为首项为2，公比为2的等比数列，求出通项公式； （2），求出，由函数单调性知，只需求出的最大值，配方得到其最大值，得到答案. 【详解】（1）①， 当时，，解得， 当时，②，式子①-②得 ，即， 故为首项为2，公比为2的等比数列， 所以； （2）， 所以， 因为在R上单调递增， 所以只需求出的最大值， 其中， 又，所以当或时，取得最大值， 最大值为， 所以的最大值为. 42．已知数列为等差数列，，. (1)求数列的通项公式； (2)是数列中的项吗？如果是，是第几项？如果不是，请说明理由； (3)求数列前项和的最大值. 【答案】(1) (2)不是，理由见解析 (3) 【分析】（1）由等差数列的通项公式可得，求解即可； （2）令，求解可得结论； （3）法1，利用数列的前项和公式可求最大值.法2，因为，所以数列单调递减，令，求解可求得最大值. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 因为数列为等差数列，且，，则， 解得，， 所以，. （2）令，得， 又，故不是数列的项. （3）设数列的前项和为， 法1：， 所以当时，取最大值，最大值为. 法2：因为，所以数列单调递减， 令，得， 又由，故前项均为正数，且， 所以前项和最大，. 题型七、等比数列奇、偶项和 43．已知等比数列有项，，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据等比数列的性质得到奇数项为，偶数项为，得到等比数列的公比q的值，然后用等比数列的前n项和的公式求出n即可． 【详解】因为等比数列有项，则奇数项有项，偶数项有项，设公比为， 得到奇数项为， 偶数项为，整体代入得， 所以前项的和为，解得. 故选：B 44．已知一个等比数列的项数是是偶数，其奇数项之和1011，偶数项之和为2022，则这个数列的公比为（      ）. A．8 B． C．4 D．2 【答案】D 【分析】设该等比数列为,其项数为项，公比为,利用等比数列的求和公式表示出奇数项之和与偶数项之和，两式相除即可求解. 【详解】设该等比数列为,其项数为项，公比为, 由题意易知， 设奇数项之和为,偶数项之和为， 易知奇数项组成的数列是首项为，公比为的等比数列， 偶数项组成的数列是首项为，公比为的等比数列， 则，， 所以,即. 所以这个数列的公比为2. 故选:D. 45．已知数列的前项和，则数列的前10项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】由和等比数列的前n项和可得答案. 【详解】当时，，又， 即前10项分别为， 所以数列的前10项中，，所以， 故选：C． 46．等比数列的首项为2，项数为奇数，其奇数项之和为，偶数项之和为，则这个等比数列的公比q＝ . 【答案】/0.5 【分析】设数列共有项，根据等比数列的性质得出奇偶项的和之间的关系，即可求得答案. 【详解】设数列共有项， 由题意得，， 则， 解得， 故答案为： 47．已知等比数列的公比，且，则 . 【答案】120 【分析】在等比数列中，若项数为，则，结合所求，化简计算，即可得答案. 【详解】因为在等比数列中，若项数为，则， 所以 . 故答案为：120 48．（1）在等比数列中，已知，求； （2）一个等比数列的首项是，项数是偶数，其奇数项的和为，偶数项的和为，求此数列的公比和项数. 【答案】（1）；（2）公比为，项数为. 【分析】（1）由等比数列片段和数列的性质可求； （2）设该等比数列有项，由偶数项和与奇数项和之比得公比，再由前项和为，利用公式法得方程解即可. 【详解】（1）∵为等比数列，由知数列的公比不等于， 也成等比数列， ，则， ； （2）设等比数列的公比为，项数为． 记，， 则 ，则， 根据，得，解得. 此数列的公比为，项数为. 题型八、含绝对值等差数列前项和 49．在等差数列中，，，的前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)设，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出等差数列的公差和首项，即可求得通项公式； （2）判断数列的项的正负情况，讨论的取值，结合等差数列的前项和公式，即可求得答案． 【详解】（1）由题意知在等差数列中，，，设公差为， 则，则， 故，故通项公式． （2），由，得， 即时有，时有， 若，， 若时， ， 综合上述，． 50．已知等差数列，前项和为，又． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意列方程组求解首项和公差，即可求得答案； （2）由（1）可得的表达式，讨论和，结合等差数列的前n项和公式，即可求得答案. 【详解】（1）设等差数列的公差为d，由于， 则，解得， 故； （2）由（1）可知， 当时，， 则； 当时，， 则， 故. 51．已知等差数列的前项和为，且，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前n项和. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）应用等差数列的通项公式及前n项和公式求基本量，进而写出通项公式； （2）根据的符号，讨论、，结合等差数列前n项和公式求. 【详解】（1）设等差数列的公差为，又，， 所以，解得，， 所以. （2）由（1）知， 当时，，则； 当时，，则， 当时，， 当时，. 综上，. 52．在等差数列中，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，利用等差数列的通项公式求解； （2）由（1）得到，令，得，则当时，，当时，，利用等差数列的前项和公式求解即可. 【详解】（1）设公差为， ∵， ∴， ∴，. （2）设数列的前项和为， 则由（1）可得，，. 由（1）知，令，得， ∴当时，；当时，， 则， 所以. 53．已知公差为整数的等差数列，其前项和为，若，，. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，结合前项和公式及等差数列性质可得，由此求出公差的范围即可求得公差得解. （2）由数列的特性，结合等差数列前项和公式分段求和即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为，， ，解得，则， 所以的通项公式为. （2）由（1）知，，，， 则数列是递减等差数列，前49项均为正，从第50项起为负， 当时，， 当时，， 所以. 1．北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则中下两层共有扇面形石板（    ） z A．2699块 B．3474块 C．3402块 D．2997块 【答案】D 【分析】第n环天石心块数为，上层共有n环，则是以9为首项，9为公差的等差数列，设为的前n项和，由题意可得，解方程即可得到n，进而求得答案. 【详解】设第n环天石心块数为，上层共有n环，为的前n项和， 则是首项为9，公差为9的等差数列，，， 上层、中层、下层的块数分别为， 由下层比中层多729块，得， 即，解得， 所以中下两层共有扇面形石板（块）. 故选：D 2．已知数列的前项和为，则“，”是“数列为等差数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由于为等差数列，再结合等差数列的通项公式分别证明充分性和必要性. 【详解】为等差数列． 充分性：设数列的公差为，则， 所以， 两式相减得，， 又， 所以为常数，所以为等差数列； 必要性：由为等差数列，设公差为， 则， 于是为常数， 所以为等差数列． 故选：C． 3．设是以2为首项，1为公差的等差数列，是1为首项，2为公比的等比数列，记，则中不超过2025的项的个数为（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】根据等差数列和等比数列的通项公式的概念，写出数列通项公式，进而写出的通项公式，根据等比数列的前项和，求出，判断不超过2025的项的个数. 【详解】已知是以2为首项，1为公差的等差数列，则， 是1为首项，2为公比的等比数列，则， 所以， 则， 可知，， 所以不超过2025的项有10个. 故选：C. 4．已知公差为的等差数列满足，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化简可得，设代入化简可得，由，解不等式即可求出答案. 【详解】因为，所以， 设，所以，所以， 解得：，因为，所以， 所以，整理可得：， 因为， 所以，则，解得：， 故选：A. 5．在正项等比数列中，，，记，若取最大值时，则n的值为（   ） A．3 B．4 C．3或4 D．4或5 【答案】C 【分析】利用已知条件求出公比q,再表示，化简求出最值即可. 【详解】，解得或， ∵数列是正项等比数列，， 令，则时，取得最大值. 又∵，或时，取得最大值，此时最大. 故选：C 6．已知数列的前项和为，且，设，，若数列是递增数列，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得，进一步有，结合恒成立，可得恒成立，从而即可得解. 【详解】由题意，所以，解得， 而， 从而，所以， 所以是以为首项、2为公比的等比数列， 所以，解得， 所以， 若数列是递增数列，则当且仅当恒成立， 所以恒成立， 所以恒成立，所以， 所以实数的取值范围是. 故选：B. 7．已知数列的前项和为，且，，数列满足，记的前项和为，若恒成立，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用数列的递推关系求得，进而得，再利用裂项相消法求得，通过函数的单调性和有界性得到，即可求得的最小值. 【详解】因为 ，① 当时，，∵，∴； 当时，，② ①②两式相减得，整理，得 ∴，又， ∴数列是首项为，公比为的等比数列. ∴，∴． ∴. ∴. 对于，，， 所以. 由恒成立，得. 故选：D. 8．数列满足，对于任意的恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造等比数列得，由题意对于任意的恒成立，故只需求出即可. 【详解】由题意令，所以，对比，可得， 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列， 所以， 所以， 对于任意的恒成立，即对于任意的恒成立， 即对于任意的恒成立， 显然当增大时，减小，此时增大， 所以. 故选：A. 9．已知数列的前n项和分别为，且，将两个数列的公共项按原顺序构成新数列，若，则n的最大值为 ． 【答案】 【分析】利用分别求出，再通过列举即可得到公共项，进而可得解. 【详解】，当时，， 当时，， 当时也满足，故； 又，当时，，， 当时，，，即， 是首项为，公比为的等比数列，， 数列是数列的公共项， 又，，，， ，，， ，，，，且为单调递增数列， 满足的的最大值为. 故答案为：. 10．若数列为等差数列，且，记为不超过x的最大整数，比如，，则 ． 【答案】506 【分析】由等差数列通项公式得到，即可求解. 【详解】根据题意，设此等差数列的首项为，公差为d，根据已知等式， 得， 整理得， 即， 即，显然． 故答案为：506 11．设递增的等比数列的首项，前项和为.若对，满足和，则公比的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意，可得，由，求得，再由，利用等比数列的求和公式，得到，结合，分别求得的取值范围，进而得到答案. 【详解】因为递增的等比数列的首项，可得公比， 由，可得，所以，可得； 又由，可得， 当，可得恒成立， 因为，则，所以，解得； 当，可得， 所以，解得， 综上可得，公比的取值范围是. 故答案为：. 12．记等差数列的公差为，前项和为，已知，且． (1)求：； (2)设，其中为不超过的最大整数，求的前项和． 【答案】(1)3； (2). 【分析】（1）用表示，利用分离常数法，借助整除思想求解. （2）由（1）的结论求出，并求出，再分段，结合等差数列前项和公式求解. 【详解】（1）依题意，，而，则， 由，得，因此是6的大于3的约数，即， 所以. （2）由（1）知，，则，， ，， 当时，，，； 当时，，，，即， 当时，， 当时，， 所以的前项和. 13．设为等差数列的前项和，其中，且. (1)求常数的值，并写出的通项公式； (2)记，数列的前项和为，若对任意的，都有，求常数的最小值. 【答案】(1)， (2)4 【分析】（1）由递推关系求出，再由等差数列性质求出，即可得出通项公式； （2）由错位相减法求和，再代入不等式转化为恒成立，利用单调性分析求解. 【详解】（1）由及，得. 因为数列是等差数列，所以，解得， 所以，所以公差， 所以. （2）由（1）知， 所以①， 所以②， ①-②，得， 所以， 由，得，设， 则. 因为，所以，即数列为递减数列. 又， 所以当时，恒有，故. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 等差数列与等比数列 目录 A题型建模・专项突破 题型一、等差（比）数列基本量计算 1 题型二、等差（比）数列角标和性质 3 题型三、等差（比）数列最大（小）项 3 题型四、等差（比）数列前项和片段和性质 4 题型五、两个等差数列前项和之比问题 4 题型六、求等差数列前项和最值 4 题型七、等比数列奇、偶项和 6 题型八、含绝对值等差数列前项和 6 B综合攻坚・能力跃升 题型一、等差（比）数列基本量计算 1．记为等差数列的前n项和，已知，，则（ ） A． B． C． D． 2．已知等差数列的前项和为，则（   ） A．7 B．9 C．11 D．13 3．记为等比数列的前n项和．若，，则（   ） A．39 B．156 C． D． 4．在等比数列中，，，则（   ） A．2 B．4 C．5 D．8 5．已知为等差数列． (1)若，求的值． (2)若，，求． 6．已知数列的前n项和为． (1)若是等差数列，且，求； (2)若是等比数列，且，3，成等差数列，求． 7．在等差数列中，． (1)求； (2)记等差数列的前项和为，求时的值． 8．在等比数列中， (1)若，，且，求； (2)若，，，求和n； (3)若，，求和公比q． 题型二、等差（比）数列角标和性质 9．已知等差数列前9项的和等于前4项的和，若，则（    ） A．11 B．13 C．15 D．17 10．记等差数列的前n项和为，，则（   ） A．40 B．20 C．25 D．30 11．等差数列的前项和为，若，则（    ） A．18 B．24 C．12 D．32 12．已知等差数列 的前n项和为 若 则 13．在等比数列中，若，则 ． 14．已知等比数列的公比，且，则 ． 15．若正项等比数列满足，则 ． 16．若等比数列的各项均为正数，且，则 . 题型三、等差（比）数列最大（小）项 17．在数列中，，则的最大值为 A． B． C． D． 18．已知等差数列的前项和为，若，公差，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 19．已知首项为1的等比数列的各项均为正数，且，，成等差数列，若恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 20．在等比数列中，公比为q，其前n项积为，并且满足，，，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C．的值是中最大的 D．使成立的最大自然数n等于4046 21．已知等比数列满足，公比，且，，则当最小时，（    ） A．1012 B．1013 C．2022 D．2023 22．已知为等差数列的前项和，且，，则当取最大值时，的值为 . 题型四、等差（比）数列前项和片段和性质 23．已知等比数列的前项和为，若，则（    ） A．56 B．105 C．112 D．189 24．已知等差数列的前项和为，且，则（   ） A．8 B．10 C．12 D．16 25．已知等差数列的前项和为，若，，则（   ） A．36 B．48 C．60 D．120 26．在等差数列中，为其前项和，若，，则的值为 ． 27．等比数列的前项和记为，若，，，则 . 28．已知等比数列的前n项和为，则 . 29．设是等比数列的前项和，若，则 ． 题型五、两个等差数列前项和之比问题 30．已知数列和都是等差数列，且前项和分别为，，若，则 ． 31．已知等差数列，的前n项和分别为，，若，则 ． 32．等差数列，的前n项和分别为，，已知，则的值为 ． 33．已知数列和都是等差数列，且前n项和分别为，，若，则 . 34．记等差数列的前项和分别为．若，则 ． 35．已知等差数列和的前n项和分别为和，且，则 ． 题型六、求等差数列前项和最值 36．已知等差数列的前项和为，若，且，则的最大值为 ． 37．设等差数列的前项和为，，，当 时，最小． 38．已知是公差不为0的等差数列的前项和，数列是等差数列，．若，记是数列的前项和，则的最小值为 ． 39．等差数列的前项和为，已知，，当最大时，的值是 ． 40．已知等差数列中，，公差，前项和为，若，则取得最大值时，的值为 . 41．已知数列的前项和为，. (1)求数列的通项公式； (2)已知数列的前项的积为，且，求的最大值. 42．已知数列为等差数列，，. (1)求数列的通项公式； (2)是数列中的项吗？如果是，是第几项？如果不是，请说明理由； (3)求数列前项和的最大值. 题型七、等比数列奇、偶项和 43．已知等比数列有项，，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 44．已知一个等比数列的项数是是偶数，其奇数项之和1011，偶数项之和为2022，则这个数列的公比为（      ）. A．8 B． C．4 D．2 45．已知数列的前项和，则数列的前10项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为（    ） A． B．2 C． D． 46．等比数列的首项为2，项数为奇数，其奇数项之和为，偶数项之和为，则这个等比数列的公比q＝ . 47．已知等比数列的公比，且，则 . 48．（1）在等比数列中，已知，求； （2）一个等比数列的首项是，项数是偶数，其奇数项的和为，偶数项的和为，求此数列的公比和项数. 题型八、含绝对值等差数列前项和 49．在等差数列中，，，的前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)设，求． 50．已知等差数列，前项和为，又． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 51．已知等差数列的前项和为，且，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前n项和. 52．在等差数列中，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求． 53．已知公差为整数的等差数列，其前项和为，若，，. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 1．北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则中下两层共有扇面形石板（    ） z A．2699块 B．3474块 C．3402块 D．2997块 2．已知数列的前项和为，则“，”是“数列为等差数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．设是以2为首项，1为公差的等差数列，是1为首项，2为公比的等比数列，记，则中不超过2025的项的个数为（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 4．已知公差为的等差数列满足，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．在正项等比数列中，，，记，若取最大值时，则n的值为（   ） A．3 B．4 C．3或4 D．4或5 6．已知数列的前项和为，且，设，，若数列是递增数列，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．已知数列的前项和为，且，，数列满足，记的前项和为，若恒成立，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 8．数列满足，对于任意的恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．已知数列的前n项和分别为，且，将两个数列的公共项按原顺序构成新数列，若，则n的最大值为 ． 10．若数列为等差数列，且，记为不超过x的最大整数，比如，，则 ． 11．设递增的等比数列的首项，前项和为.若对，满足和，则公比的取值范围是 . 12．记等差数列的公差为，前项和为，已知，且． (1)求：； (2)设，其中为不超过的最大整数，求的前项和． 13．设为等差数列的前项和，其中，且. (1)求常数的值，并写出的通项公式； (2)记，数列的前项和为，若对任意的，都有，求常数的最小值. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$