专题十六 圆中的最值问题-【名师大课堂】2025-2026学年九年级上册数学作业课件（人教版）

专题十六 圆中的最值问题 例题讲解 类型一 利用圆的对称性求最值 例1 ★★如图，A是⊙O上一点，B为AD 解析：如图，作点A关于CD的对称点Q,连接BQ交CD 的中点，P是直径CD上一动点，∠AOC 于点P,连接AP,OQ,OB,此时PA+PB的值最小，为BQ =120°.若⊙0的半径是2，则PA+PB的 的长.∠A0C=120°，.∠AOD=60°.B为AD的中点， 最小值为22 .∠BOD=∠AOB=。∠AOD=30由对称性易知MD=QD, 2 ∴.∠Q0D=∠AOD=60°.∴.∠B0Q=∠B0D+∠QOD=90° ,·⊙0的半径是2，∴.OB=0Q=2.∴.BQ=√0B+00 ●思路分析 /2+22=22,即PA+PB的最小值为22 求∠BOD 确定点P 的位置 求LBOQ 求BQ 求∠QOD 1-1*如图，已知⊙0的半径为2，AB是⊙0的直径， C01AB,D是圆周上一点，且AD=BD,P为0C上- 动点，则PA+PD的最小值是( A.23 B.4 B C.5 D.1+√5 B 【解析】如图，连接BD交OC于点P,连接PA,AD.AB为⊙O的直径， ∠D=90.D=D,易得∠B=30:⊙0的半径为2，易得 2 BD=23.C0⊥AB,OA=OB,∴.PA=PB.∴.PA+PD的最小值即为BD的 长，是2√3.故选A. 1-2如图，MN为⊙O的直径，A,B是⊙O上的两点， 过点A作AC⊥MN于点C,过点B作BD⊥MN于点D, P为CD上的任意一点.若MN=20,AC=8,BD=6,则 PA+PB的最小值是( A.20 B.142 M DP OCN C.14 D.122 例2空如图①，AB是⊙O的直径，AB=4,∠CBA= 60°，P是⊙O上一动点，取弦AP的中点D,连接CD,则 线段CD的最大值为W7+1」 90°的圆 周角所对 的弦为圆 的直径 解析：如图②，连接OD,OC.D为AP的中点，.OD⊥ 则OE=BE=↓BC=1,CE=BC-BE=3.又AK=OK= AP..∠AD0=90°..点D的运动轨迹为以OA为直径的 ⊙K连接CK,当点D在CK的延长线上时，CD的值 20M=1,KE=0K+0E=2在R△CEK中，CK= 最大.·∠CBA=60°，OB=OC,∴△OBC是等边三角 √KE+CE=W2+(3)2=√7.DK=OK=1,∴，CD=CK 形..BC=OB=OC=AB=2.过点C作CE⊥AB于点E,+DK=√7+1，即CD的最大值为7+L. 举一反三训练 2-1★[常州中考]如图，AB是⊙O的弦，C是优弧ACB 上的动点（点C不与点A,B重合），CH⊥AB,垂足为 H,M是BC的中点.若⊙O的半径是3，则MH的最大 值是( B A.3 B.4 C.5 D.6 0 M A 2-2★安[陕西中考1如图，正方形ABCD的边长为4，⊙O 的半径为1.若⊙O在正方形ABCD内平移（⊙O可以 与该正方形的边相切)，则点A到⊙O上的点的距离 的最大值为 Q B 3 2-3★[孝感孝昌县期末改编]己知抛物线 y=16x-) (x-9)与x轴交于A,B两点，对称轴与抛物线交于点 C,与x轴交于点D,⊙C的半径为2，G为⊙C上一动 点，P为AG的中点，则DP的最大值为 2-4★[南宁期末]如图，直线y=-x+3与坐标轴交于A, B两点，C为坐标平面内一点，BC=1,M为线段AC的 中点，连接OM,则线段OM的最小值是