专题十五 教材P124复习题24T13的变式及应用-【名师大课堂】2025-2026学年九年级上册数学作业课件（人教版）

专题十五 教材P124复习题24T13的变式及应用 例题讲解 教材母题 ★如图，点E是△ABC的内心，AE的延长 线和△ABC的外接圆相交于点D.求证：DE=DB. 证明：如图，连接BE 点E是△ABC的内心， 同孤或等孤所对 的圆周角相等 ∴.∠1=∠2，∠3=∠4. 又∠3=∠5，∴.∠4=∠5.三角形外角的性质 ,·∠DEB=∠1+∠4，∠DBE=∠2+∠5， .∠DEB=∠DBE..DE=DB. 变式训练 变式一 增加特殊角或角的关系进行计算或证明 1.★如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和 △ABC的外接圆⊙O相交于点D,连接BE,BD.若⊙O 的直径为10cm,∠BAC=60°，求DE的长， E B D 解：如图，连接OB,OD ·点E是△ABC的内心， .∠ABE=∠CBE,∠BAD=∠CAD ·∠CAD=∠CBD,.∴.∠BAD=∠CBD. :∠DBE=∠CBD+∠CBE,∠BED=∠BAD+∠ABE,∴. E ∠DBE=∠BED.∴.BD=DE C .·∠BAC=60°，∴.∠BAD=∠CMD=30°. B ∴.∠BOD=2∠BAD=60°.又OB=OD, D ∴.△OBD是等边三角形..BD=OD. .·⊙0的直径为10cm,∴.BD=OD=5cm. .∴.DE=BD=5cm. 2.★如图，点E是△ABC的内心，∠BAC=90°，线段 AE的延长线交BC于点F,交△ABC的外接圆于点 D.若△ABC的外接圆的直径是6，求BD的长， B C F D 解：设△ABC的外接圆的圆心为点O, .:∠BAC=90°，∴BC是⊙O的直径，点O在BC上.如 图，连接OD,CD,则∠BDC=90. 点E是△ABC的内心， ∴.∠BAD=∠CAD.∴.∠BOD=∠COD=90 又OB=OC,∴.BD=CD B C .△BCD为等腰直角三角形 ·BC=6,∴由勾股定理，得BD+CD=BC, 即2BD=36.∴.BD=3√2（负值已舍去）. 故BD的长为32. 3.★如图，△ABC内接于以AB为直径的⊙O,且点E 是△ABC的内心，AE的延长线与BC交于点F,与⊙O 交于点D,过点D的⊙O的切线交AB的延长线于点P. (1)试判断△BDE的形状，并给予证明； (2)若∠APD=30°，BE=2,求AE的长 D 解：(1)△BDE为等腰直角三角形.证明如下： 如图..点E是△ABC的内心，∴.∠1=∠2，∠3= A ∠6. 又∠4=∠6，∴.∠2+∠3=∠1+∠4，即∠5=∠DBE, .BD=DE..AB为⊙O的直径，∴.∠ADB=90°， .△BDE为等腰直角三角形. (2)如图，连接OD.·△BDE为等腰直角三角形，BE=2,.由勾股定理可 得BD=DE=√2 .PD是⊙0的切线，∴.OD⊥PD,∴.∠ODP=90°. 又∠APD=30°，∴.∠P0D=90°-∠0PD=60° 0A=OD,∴.∠3=∠ODA=。∠P0D=30°. .在Rt△ABD中，AB=2BD=2W2, AD=√AB2-BD=√/(22)2-(W2)2=6, ∴.AE=AD-DE=W6-2. 4.★如图，AD是△ABC的外接圆的直径，AD上一点E 是△ABC的内心，F为AB上一点，且∠ADF=】∠C, BF=3,AF=5,求DE的长 E B D