专题四 几何图形中面积的最值问题——教材P57复习题22T9的变式及应用-【名师大课堂】2025-2026学年九年级上册数学作业课件（人教版）

专题四 几何图形中面积的最值问题 教材P57复习题22T9的变式及应用 例题讲解 教树母题**如图，点E,F,G,H分别在菱形ABCD的 （1)证明：因为DG=D1, 四条边上，BE=BF=DG=DH,连接EF,FG,GH,IE,得到 180°-∠HDG 所以∠DHG=∠DGH= 四边形EFGH. 2 (I)求证：四边形EFGH是矩形 180°-∠C 同理，∠CGF= 2 (2)设AB=a,∠A=60°，当BE为何值时，矩形EFGH的 面积最大？ 360°-（∠HDG+∠C 所以∠DGH+LCGF= 2 因为四边形ABCD是菱形， 所以AD∥BC, 所以∠ADC+∠C=180°， 所以∠DCcH+∠CGF=90°， 所以∠IGF=90 同理，∠GHE=90°，∠EFG=90°， 所以四边形EFGH是矩形 例题讲解 所以∠AEH=60°，EH=AE=a-x. 教树母题**如图，点E,F,G,H分别在菱形ABCD的 四条边上，BE=BF=DG=DI,连接EF,FG,GH,HE,得到 因为BM⊥EF,BE=BF 四边形EFGH. 所以∠BME=90°，EM=FM. (I)求证：四边形EFGH是矩形 在RI△BME中，∠BEM=180°-∠AEH-∠IEM=30°，BE (2)设AB=a,∠A=60°，当BE为何值时，矩形EFGH的 =x,所以BW=2 面积最大？ 所以EM=√BE-B =2所以EF= 2E1M=3K. 所以S地题m=EF·EH=3x(a-x)=-3(x-x)= (2)解：如图，过点B作BM⊥EF于点M 因为四边形ABCD是菱形，所以AD=AB 设BE=x,则AE=a-x. 因为-3<0，所以当x=时，最大，即当E=)时。 因为BE=DH,所以AH=AE 又1=60°，所以△AEH是等边三角形， 矩形EF(GH的面积最大 变式训练 变式一 三角形中面积的最值 1.★「教材P52习题22.3T6变式题]如图，已知△ABC,∠A =30°，∠C=90°，BC=6.现准备在△ABC中剪出一个 □AGEF,其中，点G,E,F分别在AB,BC,AC上.设CE =x. (1)求当x=2时，□AGEF的面积. (2)当x为何值时，口AGEF的面积最大？最大面积是 多少？ 解：设□AGEF的面积是S. 因为四边形AGEF是平行四边形，所以EF∥AG. 所以∠CFE=∠A=30°. B 又∠C=90°，CE=x,BC=6, 所以EF=2CE=2x,AB=2BC=12, 所以CF=√EF-CE=√(2x)-x2=√3x,AC=AB-BC=√12-6= 65, 所以AF=6√3-3x 所以S=AF·CE=(63-√3x)x=-√3x2+63x. (1)当x=2时，S=-43+123=8√3. E 即当x=2时，口AGEF的面积为85. (2)S=-√3x2+63x=-3(x-3)2+93 B 因为-3<0，所以当x=3时，口AGEF的面积最大，最大面积是93. 变式二 平行四边形中面积的最值 2.★如图，已知口ABCD的周长为8，∠B=30°.设 口ABCD的面积为y,边AB的长为x.当x取何值时，y 的值最大？并求最大值 A 30 B C 变式三 菱形中其他面积的最值 3.*★如图，在菱形ABCD中，AB=AC=4cm,动点P从 点A出发沿AD边以1cm/s的速度向终点D运动，动点 Q从点D出发沿DC边以2cm/s的速度向终点C运 动，点P和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另 一点也随之停止运动，求△DPQ面积的最大值， B 解：如图，过点Q作QE⊥AD于点E. P 因为在菱形ABCD中，AB=BC=AC=4Cm, ∠B=∠D,所以△ABC是等边三角形， 所以∠D=∠B=60°， B 所以∠DQE=30°. 设运动时间为1s,可知PD=(4-1)cm,DQ=21cm,易得QE=√3tcm,所以 (-(2)5 为3 0, 2 所以当t=2时，S6m最大，最大值为2，W3cm己 变式四 矩形中面积的最值 4.*如图，用一根长度为18m的原材料制作一个矩形 窗户边框（即矩形ABFE和矩形DCFE),原材料刚好全 部用完，设AB的长度为xm,窗户总面积为Sm(注：窗 E D 户边框粗细忽略不计) (1)求S与x之间的函数关系式； B (2)若AB的长度不小于2m,且AB的长度小于BC的 长度，求此时窗户总面积的最大值和最小值