专题1.5 两直线的平行与垂直（高效培优讲义）数学苏教版2019高二选择性必修第一册

专题1.5 两直线的平行与垂直 教学目标 1. 理解并掌握两条直线平行与垂直的条件． 2．会用条件判定两条直线是否平行、垂直． 3. 会用两条直线平行与垂直时的斜率关系解决相应的几何问题． 4.通过探究，层层递进，从斜率的角度来研究平面内两条直线的平行与垂直关系，理解数形结合的数学思想；通过探究两条直线平行与垂直的条件，发展直观想象和逻辑推理素养；在运用两直线平行与垂直时斜率的关系解决几何问题的过程中，发展直观想象和数学运算素养． 教学重难点 1.重点 掌握用斜率判断两条直线平行与垂直的方法； 2.难点 用斜率判定两条直线平行的方法及斜率不存在时两直线平行关系的讨论；掌握两条直线垂直的判定方法及分类讨论的数学思想． 知识点01 两直线平行的判定 知识点01：两条直线平行 1、对于两条不重合的直线，，其斜率分别为，，有_______ 2、对两直线平行与斜率的关系要注意以下几点 (1)成立的前提条件是： ①_____________________ ②_____________________ (2)当两条直线不重合且斜率都不存在时，与的倾斜角都是，则_______ (3)两条不重合直线平行的判定的一般结论是： __________________________________________ 【即学即练】 1．根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行. （1）直线经过点，直线经过点； （2）直线平行于y轴，直线经过点，； （3）直线经过点，直线经过点. 2.过点和点的直线与直线的位置关系是（   ） A．相交但不垂直 B．平行 C．重合 D．垂直 3.已知直线的倾斜角为，直线经过点，则直线的位置关系是（   ） A．平行或重合 B．平行 C．垂直 D．重合 知识点02 两直线垂直的判定 1、如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于；反之，如果它们的斜率之积等于，那么它们互相垂直，即_____________________ 2、对两直线垂直与斜率的关系要注意以下几点 (1)成立的前提条件是：①_____________________；②_____________________ (2)两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则_____________________． (3)判定两条直线垂直的一般结论为： __________________________________________ 【即学即练】 1．判断下列各题中直线与是否垂直． (1)经过点，经过点； (2)经过点，经过点. (3)经过点，经过点； (4)经过点，经过点. 2．下列哪条直线与直线垂直（   ） A． B． C． D． 3.直线和直线的位置关系为（   ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 题型01 两条直线平行的判定 【典例1】判断下列各题中的直线l1与l2是否平行： (1)l1经过点A(－1，－2)，B(2,1)，l2经过点M(3,4)，N(－1，－1)； (2)l1的斜率为1，l2经过点A(1,1)，B(2,2)； (3)l1经过点A(0,1)，B(1,0)，l2经过点M(－1，3)，N(2,0)； (4)l1经过点A(－3,2)，B(－3,10)，l2经过点M(5，－2)，N(5,5)． 【变式1】下列各对直线互相平行的是（    ） A．直线经过点，，直线经过点， B．直线经过点，，直线经过点， C．直线经过点，，直线经过点， D．直线经过点，，直线经过点， 【变式2】若与为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别为，，斜率分别为，，则下列命题 ①若，则斜率；    ②若斜率，则； ③若，则倾斜角；④若倾斜角，则， 其中正确命题的个数是（    ）. A．1 B．2 C．3 D．4故选：D． 【变式3】若点是直线：外一点，则方程 表示（    ） A．过点且与垂直的直线 B．过点且与平行的直线 C．不过点且与垂直的直线 D．不过点且与平行的直线 【变式4】根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行． (1)经过点，，经过点，； (2)的斜率为，经过点，； (3)平行于轴，经过点，； (4)经过点，，经过点，． 题型02 利用两直线平行求参数 【典例1】若直线与平行，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 两直线的平行判别条件： （1）已知直线与直线, 则,且； （2）已知直线,直线, 则①且(或)； 【变式1】已知直线，，，则“”的必要不充分条件是（    ） A． B． C．或 D． 【变式2】已知经过点的直线与经过点的直线平行，则的值为（　） A．－1 B．－2 C．－1或2 D．－2或1 【变式3】已知直线:，，当时，的值为 . 【变式4】已知A(－2，m)，B(m,4)，M(m＋2,3)，N(1,1)，若AB∥MN，则m的值为__________. 【变式5】张老师不仅喜欢打羽毛球，还喜欢玩折纸游戏，他将一张画了直角坐标系（两坐标轴单位长度相同）的纸折叠一次，使点与点重合，点与点重合，则（    ） A． B． C． D． 题型03 两条直线垂直的判定 【典例1】判断下列直线与是否垂直： (1)的倾斜角为，经过，两点； (2)的斜率为，经过，两点； (3)的斜率为，的倾斜角为，为锐角，且； (4)经过点和，经过点和． 【变式1】已知直线经过，两点，直线的倾斜角为，那么与（   ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 【变式2】已知两直线的斜率分别为，且是方程的两根，则与的位置关系为（    ） A．平行 B．相交且垂直 C．重合 D．相交且不垂直 【变式3】“”是“直线与直线互相垂直”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式4】直线过点和点，直线过点和点，则直线与的位置关系是 ． 题型04 利用两直线垂直求参数 【典例1】直线与直线垂直，则等于（    ） A． B． C． D． 两直线的垂直判别条件： （1）已知直线与直线, 则. （2）已知直线,直线, 则. 【变式1】已知直线与垂直，则（   ） A．0 B．1 C．2 D． 【变式2】已知点，且直线与直线垂直，则的值为（    ） A．或0 B．0或7 C．0 D．7 【变式3】若经过点和的直线l与斜率为的直线互相垂直，则m的值是 ． 【变式4】若直线l1: (a＋2)x＋(1－a)y－3＝0与直线l2: (a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0垂直，求实数a的值． 题型05 求与已知直线平行的直线方程 【典例1】过点且与直线平行的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【变式1】过点且与直线平行的直线方程是 ． 【变式2】已知直线：，则与已知直线l平行且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线方程为 ． 题型06 求与已知直线垂直的直线方程 【典例1】过点与直线垂直的直线方程为 . 【变式1】已知平面直角坐标系内两点，，则过点且与直线垂直的直线的方程为 . 【变式2】中，，，，则边上的高所在的直线方程是（    ） A． B． C． D． 题型07 直线平行、垂直的判定在几何中的应用 【典例1】已知，，. （1）若，，，可以构成平行四边形，求点的坐标； （2）在（1）的条件下，判断，，，构成的平行四边形是否为菱形. 【变式1】若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为 ． 【变式2】已知点A(0,3)，B(－1,0)，C(3,0)，求点D的坐标，使四边形ABCD为直角梯形(A，B，C，D按逆时针方向排列)． 【变式3】已知的顶点，，． (1)若是以点为直角顶点的直角三角形，求实数的值． (2)若是以点为锐角顶点的直角三角形，求实数的值． (3)若为直角三角形，如何求解的值？ 1．下列说法中正确的有（    ） A．若两直线平行，则两直线的斜率相等 B．若两直线的斜率相等，则两直线平行 C．若两直线的斜率乘积等于，则两直线垂直 D．若两直线垂直，则两直线的斜率乘积等于 2．已知直线经过点，，直线经过点，，且∥，则（    ） A．2 B． C．4 D．1 3．已知直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 4．若过点和点的直线与过点和点的直线平行，则m的值是（   ） A． B．1 C． D．5 5．已知直线与直线，若，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 6．数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点A（2，0），B（0，4），AC=BC，则△ABC的欧拉线方程为（    ） A． B． C． D． 7．（多选）已知直线，，下列命题中正确的有（    ） A．当时，与重合 B．若，则 C．过定点 D．一定不与坐标轴平行 8．（多选）已知点，，下列结论正确的是（    ） A．若直线的方向向量为，则 B．若直线的斜率为，则 C．若，则为直角三角形 D．若，，则四边形是平行四边形 9．（多选）以为顶点的三角形，下列结论正确的有（    ） A． B． C．以点为直角顶点的直角三角形 D．以点为直角顶点的直角三角形 10．已知，不重合，过点和点的直线与直线平行，直线的斜率为，直线的斜率为，若，，则实数的值为 . 11．直线过点，当原点到直线的距离最大时，直线的方程为 . 12．已知直线经过点，且，两点到直线的距离相等，则的方程为 . 13．知坐标平面内三点． (1)若可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点的坐标； (2)若是线段上一动点，求的取值范围． 14．在平面直角坐标系中，设三角形的顶点分别为，，，点是线段上的一点（异于端点），设均为非零实数，直线分别交于点，若，求证： .    2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.5 两直线的平行与垂直 教学目标 1. 理解并掌握两条直线平行与垂直的条件． 2．会用条件判定两条直线是否平行、垂直． 3. 会用两条直线平行与垂直时的斜率关系解决相应的几何问题． 4.通过探究，层层递进，从斜率的角度来研究平面内两条直线的平行与垂直关系，理解数形结合的数学思想；通过探究两条直线平行与垂直的条件，发展直观想象和逻辑推理素养；在运用两直线平行与垂直时斜率的关系解决几何问题的过程中，发展直观想象和数学运算素养． 教学重难点 1.重点 掌握用斜率判断两条直线平行与垂直的方法； 2.难点 用斜率判定两条直线平行的方法及斜率不存在时两直线平行关系的讨论；掌握两条直线垂直的判定方法及分类讨论的数学思想． 知识点01 两直线平行的判定 知识点01：两条直线平行 1、对于两条不重合的直线，，其斜率分别为，，有_______ 2、对两直线平行与斜率的关系要注意以下几点 (1)成立的前提条件是： ①两条直线的斜率都存在； ②与不重合． (2)当两条直线不重合且斜率都不存在时，与的倾斜角都是，则______. (3)两条不重合直线平行的判定的一般结论是： 或，斜率都不存在. 【即学即练】 1．根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行. （1）直线经过点，直线经过点； （2）直线平行于y轴，直线经过点，； （3）直线经过点，直线经过点. 【答案】（1）不平行；（2）平行；（3）不平行. 【分析】（1），所以直线与不平行； （2）直线与y轴重合，所以直线与平行； （3）E，F，G，H四点共线，直线与重合.故直线与不平行. 【解析】（1）直线的斜率，直线的斜率，显然，所以直线与不平行. （2）直线与y轴重合，所以直线与平行. （3）直线的斜率，直线的斜率，所以，又，所以E，F，G，H四点共线，直线与重合.故直线与不平行. 2.过点和点的直线与直线的位置关系是（   ） A．相交但不垂直 B．平行 C．重合 D．垂直 【答案】B 【分析】根据斜率公式求得的斜率，得出直线的方程，进而得出两直线的位置关系. 【解析】由题意，由点和点，可得，所以的方程为， 又由直线的斜率为，且两直线不重合，所以两直线平行. 故选：B． 3.已知直线的倾斜角为，直线经过点，则直线的位置关系是（   ） A．平行或重合 B．平行 C．垂直 D．重合 【答案】A 【分析】由斜率的定义及坐标公式分别求出两条直线的斜率即可判断位置关系. 【解析】依题意，直线的斜率，直线的斜率， 即，所以或重合. 故选：A 知识点02 两直线垂直的判定 1、如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于；反之，如果它们的斜率之积等于，那么它们互相垂直，即_________ 2、对两直线垂直与斜率的关系要注意以下几点 (1)成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②且. (2)两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直． (3)判定两条直线垂直的一般结论为： ___或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零． 【即学即练】 1．判断下列各题中直线与是否垂直． (1)经过点，经过点； (2)经过点，经过点. (3)经过点，经过点； (4)经过点，经过点. 【答案】(1)不垂直；(2)不垂直；(3)不垂直；(4)垂直 【分析】根据点的坐标，先判断直线是否与坐标轴垂直，若垂直则易判断两直线位置关系；若不垂直，则求出斜率，并判断斜率是否相等，或乘积是否为，斜率相等时注意是否重合. 【解析】（1）两直线斜率都存在， 由，. 由，得与不垂直． （2）与都与x轴垂直，得与不垂直. （3），， 由，得与不垂直． （4）与x轴垂直，与轴垂直，得与垂直． 2．下列哪条直线与直线垂直（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求得出直线的斜率，利用两直线垂直的斜率公式对各个选项进行验证即可求解. 【解析】直线的斜率为2, 若直线m与直线垂直，则，， 对于A,的斜率为2,不与直线垂直; 对于B,的斜率为2,不与直线垂直; 对于C,的斜率为-1，不与直线垂直； 对于D,的斜率为 ,与直线垂直. 故选:D 3.直线和直线的位置关系为（   ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 【答案】A 【分析】由两直线的斜率关系即可判断. 【解析】直线和直线的斜率分别为， 因为，所以． 故选：A． 题型01 两条直线平行的判定 【典例1】判断下列各题中的直线l1与l2是否平行： (1)l1经过点A(－1，－2)，B(2,1)，l2经过点M(3,4)，N(－1，－1)； (2)l1的斜率为1，l2经过点A(1,1)，B(2,2)； (3)l1经过点A(0,1)，B(1,0)，l2经过点M(－1，3)，N(2,0)； (4)l1经过点A(－3,2)，B(－3,10)，l2经过点M(5，－2)，N(5,5)． 【答案】（1）不平行；（2）l1∥l2或l1与l2重合；（3）平行;（4）平行 【分析】（1），所以直线与不平行； （2）k1＝k2，所以l1∥l2或l1与l2重合； （3）k1＝k2，A，B，M三点不共线，故l1∥l2 （4）l1与l2均与x轴垂直且不重合，故直线与不平行. 【解析】(1)k1＝＝1，k2＝＝，k1≠k2，l1与l2不平行． (2)k1＝1，k2＝＝1，k1＝k2， 故l1∥l2或l1与l2重合． (3)k1＝＝－1，k2＝＝－1， 则有k1＝k2. 又kAM＝＝－2≠－1， 则A，B，M三点不共线．故l1∥l2. (4)由已知点的坐标，得l1与l2均与x轴垂直且不重合，故有l1∥l2. 【变式1】下列各对直线互相平行的是（    ） A．直线经过点，，直线经过点， B．直线经过点，，直线经过点， C．直线经过点，，直线经过点， D．直线经过点，，直线经过点， 【答案】A 【分析】根据斜率公式求出各直线的斜率，判断直线的斜率是否相等或不存在，进而可得出结论. 【解析】对于A，因为， 所以； 对于B，因为， 所以直线不平行； 对于C，由直线经过点，，直线经过点，， 得直线的斜率都不存在，且两直线重合； 对于D，因为直线经过点，，所以直线直线的斜率不存在， 而，所以直线不平行. 故选：A. 【变式2】若与为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别为，，斜率分别为，，则下列命题 ①若，则斜率；    ②若斜率，则； ③若，则倾斜角；④若倾斜角，则， 其中正确命题的个数是（    ）. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据两条直线平行的判定方法与结论即可判断． 【解析】由于与为两条不重合的直线且斜率分别为，，所以，故①②正确； 由于与为两条不重合的直线且倾斜角分别为，，所以，故③④正确， 所以正确的命题个数是4． 故选：D． 【变式3】若点是直线：外一点，则方程 表示（    ） A．过点且与垂直的直线 B．过点且与平行的直线 C．不过点且与垂直的直线 D．不过点且与平行的直线 【答案】B 【分析】由题意可推出，由此可判断直线与平行，将代入方程，看是否成立，判断直线是否过点P，可得答案. 【解析】由题意可知点是直线：外一点， 故且为常数， 所以方程中，且为常数， 则直线与平行， 将代入中， 即，即点P在该方程表示的直线上， 故方程表示过点且与平行的直线， 故选：B 【变式4】根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行． (1)经过点，，经过点，； (2)的斜率为，经过点，； (3)平行于轴，经过点，； (4)经过点，，经过点，． 【答案】(1)不平行；(2)平行或重合；(3)平行；(4)重合 【分析】先求出两直线的斜率，再利用斜率进行判断； 【解析】（1），，，所以与不平行． （2）的斜率，的斜率，，所以l1与l2平行或重合． （3）由题意，知的斜率不存在，且不与轴重合，的斜率也不存在，且与轴重合，所以. （4）由题意，知，, ，所以与平行或重合． 需进一步研究，，，四点是否共线，. 所以，，，四点共线，所以与重合 题型02 利用两直线平行求参数 【典例1】若直线与平行，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】易知两直线斜率存在，利用两直线平行斜率相等即可求得的值. 【解析】由可知，其斜率为， 又两直线平行，所以可得，解得. 故选：B 两直线的平行判别条件： （1）已知直线与直线, 则,且； （2）已知直线,直线, 则①且(或)； 【变式1】已知直线，，，则“”的必要不充分条件是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】直线，平行的充要条件是“”，进而可得答案． 【解析】解：直线，， 若，则，解得：或 当时，与重合，故“” “”， 故“”的必要不充分条件是“或”， 故选：C． 【变式2】已知经过点的直线与经过点的直线平行，则的值为（　　） A．－1 B．－2 C．－1或2 D．－2或1 【答案】C 【分析】利用直线的斜率公式求解. 【解析】由题意得， 因为，所以，即， 化简得， 所以或， 又由得＝－1或2， 故选:C 【变式3】已知直线:，，当时，的值为 . 【答案】或 【分析】利用两直线平行充要条件即可求得的值. 【解析】∵:，， ∴当时，有，解得或， 当时，:，，∴满足题意； 当时，:，，∴满足题意. ∴当时，的值为或. 故答案为：或. 【变式4】已知A(－2，m)，B(m,4)，M(m＋2,3)，N(1,1)，若AB∥MN，则m的值为__________. 【答案】0或1 【分析】由一般式方程下两直线平行公式进行运算并检验即可. 【解析】当m＝－2时，直线AB的斜率不存在，而直线MN的斜率存在，MN与AB不平行，不符合题意； 当m＝－1时，直线MN的斜率不存在，而直线AB的斜率存在，MN与AB不平行，不符合题意； 当m≠－2，且m≠－1时，kAB＝＝， kMN＝＝. 因为AB∥MN，所以kAB＝kMN， 即＝，解得m＝0或m＝1. 当m＝0或1时，经检验，两直线不重合． 综上，m的值为0或1. 【变式5】张老师不仅喜欢打羽毛球，还喜欢玩折纸游戏，他将一张画了直角坐标系（两坐标轴单位长度相同）的纸折叠一次，使点与点重合，点与点重合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】两直线平行公式进行运算并检验即可 【解析】设，，则点，所在直线的斜率为， 由题意知，过点，的直线与直线平行， 所以，整理得：. 故选：B 题型03 两条直线垂直的判定 【典例1】判断下列直线与是否垂直： (1)的倾斜角为，经过，两点； (2)的斜率为，经过，两点； (3)的斜率为，的倾斜角为，为锐角，且； (4)经过点和，经过点和． 【答案】(1)垂直；(2)不垂直；(3)垂直；(4)当或时，直线，当且时，与不垂直． 【分析】（1）的斜率为，根据过两点的斜率公式可求的斜率，判断斜率的乘积是否为即可； （2）根据过两点的斜率公式可求的斜率，判断斜率的乘积是否为即可； （3）根据二倍角的正切公式求出的值，判断斜率的乘积是否为即可； （4）分的斜率是否存在进行分类讨论，当两条两条直线垂直，可以是一条直线斜率不存在，另一条直线斜率为0， 也可以是两条直线斜率均存在时，斜率之积为，从而确定直线与垂直时的值. 【解析】（1）由题意知，直线的斜率为， 直线的斜率为， 因为，所以． （2）由题意知，直线的斜率为，直线的斜率为， 而，所以与不垂直． （3）记的斜率为，因为，所以， 解得或， 又因为为锐角，所以． 因为的斜率为，且，所以． （4）由题意，直线的斜率一定存在，直线的斜率可能存在或不存在． ①当直线的斜率不存在时，，即，此时，满足． ②当直线的斜率存在时，，由斜率公式，得，． 若，则，即，解得． 综上所述，当或时，直线，当且时，与不垂直． 【变式1】已知直线经过，两点，直线的倾斜角为，那么与（   ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 【答案】A 【分析】分别求出两直线的斜率，根据斜率即可得出两直线的关系. 【解析】由题意， 所以， 所以. 故选：A. 【变式2】已知两直线的斜率分别为，且是方程的两根，则与的位置关系为（    ） A．平行 B．相交且垂直 C．重合 D．相交且不垂直 【答案】B 【分析】由斜率乘积判断两直线的位置关系可得． 【解析】由题意，因此两直线垂直．平面上的两直线垂直时当然相交． 故选：B 【变式3】“”是“直线与直线互相垂直”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先根据直线一般方程垂直系数关系求参，再结合充分必要条件定义判断即可. 【解析】因为“直线与直线互相垂直”可得, 所以，故或. 所以“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件. 故选：A 【变式4】直线过点和点，直线过点和点，则直线与的位置关系是 ． 【答案】垂直 【分析】分，，三种情况讨论即可. 【解析】①当时，直线过点和点， 直线过点和点， 此时直线的斜率，直线的斜率不存在，因此； ②当时，直线过点和点，直线过点 和点．此时直线的斜率不存在，直线的斜率，因此； ③当时，直线的斜率，直线的斜率， 此时，∴． 故答案为：垂直 题型04 利用两直线垂直求参数 【典例1】直线与直线垂直，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平面内两直线垂直，得，解之即可． 【解析】因为直线与直线垂直， 所以，解得. 故选：B 两直线的垂直判别条件： （1）已知直线与直线, 则. （2）已知直线,直线, 则. 【变式1】已知直线与垂直，则（   ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】C 【分析】利用一般式方程下两直线垂直的公式代入求解即可得到结果. 【解析】因为直线与垂直， 所以，解得． 故选：C 【变式2】已知点，且直线与直线垂直，则的值为（    ） A．或0 B．0或7 C．0 D．7 【答案】B 【分析】根据直线的斜率存在和不存在分类讨论，利用两直线垂直的性质，即可求解． 【解析】当时，直线的斜率不存在，直线 的斜率为 此时直线的方程为，直线的方程为，故; 当时， 则 解得， 综上，或. 故选：B 【变式3】若经过点和的直线l与斜率为的直线互相垂直，则m的值是 ． 【答案】 【分析】根据斜率公式和直线的垂直与斜率的关系求解. 【解析 】由题意可知，又因为， 所以，解得． 故答案为: 【变式4】若直线l1: (a＋2)x＋(1－a)y－3＝0与直线l2: (a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0垂直，求实数a的值． 【答案】－1或1 【分析】第一种，利用斜率关系，需分类讨论；第二种利用A1A2＋B1B2＝0. 【解析】解法1：① 当直线l1的斜率不存在时，1－a＝0，即a＝1，此时直线l2的斜率为0，所以此时l1⊥l2； ② 当直线l2的斜率不存在时，2a＋3＝0, a＝－，此时直线l1的斜率为＝－，此时l1不垂直于l2； ③ 当直线l1和l2的斜率都存在时，即a≠1且a≠－时，l1和l2的斜率分别为， ，因为l1⊥l2，所以·＝－1，解得a＝－1. 综上，实数a的值为1或－1. 解法2：l1⊥l2⇔(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，解得a＝－1或1. 题型05 求与已知直线平行的直线方程 【典例1】过点且与直线平行的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线的斜率相同排除A、B；再由所过的点排除C，即可得答案. 【解析】由斜率为，而A、B中的直线斜率为，与该直线不平行，排除； C、D中直线斜率为，对于，显然不过，而过已知点， 所以C中直线不符合，D中直线符合要求. 故选：D 【变式1】过点且与直线平行的直线方程是 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，设出所求直线的方程，利用待定系数法求解作答. 【解析】设与直线平行的直线方程是， 依题意，，解得， 所以所求直线方程是. 故答案为： 【变式2】已知直线：，则与已知直线l平行且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线方程为 ． 【答案】 【分析】根据平行关系可设直线为，计算与两坐标交点，根据面积公式求即可. 【解析】   由题意可设方程为：， 令，得， 令，得， 由题意知：， 得， 故直线方程为：， 故答案为： 题型06 求与已知直线垂直的直线方程 【典例1】过点与直线垂直的直线方程为 . 【答案】 【分析】设所求直线方程为，将点的坐标代入所求直线方程，求出的值，即可得出所求直线的方程. 【解析】设所求直线方程为，将点的坐标代入所求直线方程可得， 解得， 故所求直线方程为. 故答案为： 【变式1】已知平面直角坐标系内两点，，则过点且与直线垂直的直线的方程为 . 【答案】 【分析】利用两点确定直线的斜率，再利用两垂直直线间的斜率关系，可求出，最后利用点斜式方程可得解. 【解析】由题意知，，则直线的斜率, 因为直线与直线垂直，根据两直线垂直，若存在斜率，则两斜率乘积为， 所以直线的斜率，再由直线经过点， 则由点斜式方程可得直线的方程为， 即， 故答案为： 【变式2】中，，，，则边上的高所在的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设边上的高所在的直线为，求出直线l的斜率，代入点斜式方程，整理即可得出答案. 【解析】设边上的高所在的直线为， 由已知可得，，所以直线l的斜率. 又过，所以的方程为， 整理可得，. 故选：A. 题型07 直线平行、垂直的判定在几何中的应用 【典例1】已知，，. （1）若，，，可以构成平行四边形，求点的坐标； （2）在（1）的条件下，判断，，，构成的平行四边形是否为菱形. 【答案】（1）点的坐标为（-1，6）或（7，2）或（3，-2）；（2）平行四边形为菱形,平行四边形,不是菱形 【分析】（1）分四边形、、是平行四边形三种情况讨论，分别利用对边的斜率相等求解，即可； （2）分别验证对角线是否垂直，即对角线斜率乘积是否为，即可. 【解析】（1）由题意得， ，，设. 若四边形是平行四边形，则，， 即，解得，即. 若四边形是平行四边形， 则，， 即，解得，即. 若四边形是平行四边形， 则，， 即，解得，即. 综上，点的坐标为（-1，6）或（7，2）或（3，-2）. （2）若的坐标为（-1，6）， 因为，， 所以，所以， 所以平行四边形为菱形. 若的坐标为（7，2）， 因为，， 所以，所以平行四边形不是菱形. 若的坐标为（3，-2），因为，直线的斜率不存在，所以平行四边形不是菱形. 因此，平行四边形为菱形,平行四边形,不是菱形. 【变式1】若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为 ． 【答案】， 【分析】 设正方形一条边所在的直线倾斜角为，则由正方形一条对角线所在直线的斜率为2，结合倾斜角与斜率的关系求出，利用正方形的性质即可得到答案． 【解析】设正方形一条边所在的直线倾斜角为，则， 解得，故， 根据垂直关系可得另一条边的斜率为， 所以该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为，． 故答案为：； 【变式2】已知点A(0,3)，B(－1,0)，C(3,0)，求点D的坐标，使四边形ABCD为直角梯形(A，B，C，D按逆时针方向排列)． 【答案】， 【分析】(1)若CD是直角梯形的直角腰，则BC⊥CD，AD⊥CD， (2)若AD是直角梯形的直角腰，则AD⊥AB，AD⊥CD， 【解析】设所求点D的坐标为(x，y)， 如图所示，由于kAB＝3， kBC＝0， ∴kAB·kBC＝0≠－1， 即AB与BC不垂直， 故AB，BC都不可作为直角梯形的直角腰． (1)若CD是直角梯形的直角腰，则BC⊥CD，AD⊥CD， ∵kBC＝0， ∴CD的斜率不存在，从而有x＝3. 又kAD＝kBC， ∴＝0，即y＝3，此时AB与CD不平行， 故所求点D的坐标为(3,3)． (2)若AD是直角梯形的直角腰， 则AD⊥AB，AD⊥CD， ∵kAD＝，kCD＝， ∴ 解得x＝，y＝， ∴D点坐标为. 综上，D点坐标为(3,3)或 【变式3】已知的顶点，，． (1)若是以点为直角顶点的直角三角形，求实数的值． (2)若是以点为锐角顶点的直角三角形，求实数的值． (3)若为直角三角形，如何求解的值？ 【答案】(1)；(2)或；(3)或或 【分析】（1）依题意可得，则，利用斜率公式计算可得； （2）分或为直角顶点两种情况讨论，分别计算可得； （3）结合（1）（2）得解. 【解析】（1）因为为直角顶点，所以， 由题可知直线，的斜率存在，所以，即，解得． （2）由于为锐角顶点，为直角三角形，故或为直角顶点． 若为直角顶点，则，由题可知直线，的斜率存在， 所以，即，解得； 若为直角顶点，则，由题可知直线，的斜率存在， 所以，即，解得． 综上可知，或． （3）若为直角顶点，由（1）知； 若为直角顶点，由（2）知； 若为直角顶点，由（2）知． 综上可知，或或． 1．下列说法中正确的有（    ） A．若两直线平行，则两直线的斜率相等 B．若两直线的斜率相等，则两直线平行 C．若两直线的斜率乘积等于，则两直线垂直 D．若两直线垂直，则两直线的斜率乘积等于 【答案】C 【分析】根据直线斜率与位置关系的相关知识直接判断即可. 【解析】对于A，两直线平行，可以是斜率都不存在，所以A错误； 对于B，若两直线的斜率相等，则两直线平行或重合，所以B错误； 对于C，若两直线的斜率乘积等于，则两直线垂直，故C正确； 对于D，若两直线垂直，可能是一条直线斜率为0，另一条直线斜率不存在，则不是两直线的斜率乘积等于，故D错误； 故选：C 2．已知直线经过点，，直线经过点，，且∥，则（    ） A．2 B． C．4 D．1 【答案】A 【分析】平面直角坐标系内两直线平行，其中一条斜率不存在，则另一条直线斜率也不存在. 【解析】由两点的坐标知的斜率不存在，又∥，所以的斜率也不存在，所以. 故选：A 3．已知直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【分析】当时可得，即；当时可得，结合充分、必要条件的定义即可求解. 【解析】当时，， 即，则，即； 当时，，解得. 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 4．若过点和点的直线与过点和点的直线平行，则m的值是（   ） A． B．1 C． D．5 【答案】D 【分析】由两直线平行得斜率相等，利用斜率公式列方程求解，注意验证是否重合. 【解析】过点和点的直线斜率为， 由两直线平行，则直线的斜率，解得， 验证，当时，，则直线的斜率为， 四点不共线，即两直线平行. 故选：D. 5．已知直线与直线，若，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据直线垂直的条件得，根据基本不等式得，从而可得结果. 【解析】因为， 即，当且仅当时取等号， ，即的最大值为. 故选：A. 6．数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点A（2，0），B（0，4），AC=BC，则△ABC的欧拉线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，得到的外心、重心、垂心都位于线段的垂直平分线上，求出线段的垂直平分线的方程即可. 【解析】解：由题意，线段的中点为，， 所以线段的垂直平分线为，即， 因为，所以的外心、重心、垂心都位于线段的垂直平分线上， 因此的欧离线方程为， 故选：D 7．（多选）已知直线，，下列命题中正确的有（    ） A．当时，与重合 B．若，则 C．过定点 D．一定不与坐标轴平行 【答案】AC 【分析】当时，分别求出两直线方程，可判断选项A；由两直线平行的公式计算得出，可判断选项B；将代入直线方程，可判断选项C；当时，直线与x轴平行，判断出选项D． 【解析】当时，直线，直线，即两直线重合，故A正确； 当时，有且，解得，故B错误； 因为，所以直线过定点，故C正确； 当时，直线与x轴平行，故D错误； 故选：AC． 8．（多选）已知点，，下列结论正确的是（    ） A．若直线的方向向量为，则 B．若直线的斜率为，则 C．若，则为直角三角形 D．若，，则四边形是平行四边形 【答案】BC 【分析】求出直线的斜率可判断A；由两直线的位置关系可判断B，C，D. 【解析】对于A，，所以直线的方向向量为，A错误. 对于B，因为，所以，B正确. 对于C，因为，所以，C正确. 对于D，因为， 所以四边形不是平行四边形，D错误. 故选：BC. 9．（多选）以为顶点的三角形，下列结论正确的有（    ） A． B． C．以点为直角顶点的直角三角形 D．以点为直角顶点的直角三角形 【答案】AC 【分析】由两直线的位置关系可判断 【解析】对于A，因为，所以，所以A正确， 对于B，因为，所以，所以B错误， 对于C，因为，，所以， 所以，所以以点为直角顶点的直角三角形，所以C正确， 对于D，因为，，所以，所以D错误， 故选：AC 10．已知，不重合，过点和点的直线与直线平行，直线的斜率为，直线的斜率为，若，，则实数的值为 . 【答案】 【分析】由题，根据两直线平行和垂直的斜率关系，分别列式求得m，n的值，可得的值． 【解析】由题意可得，直线的斜率，直线的斜率，直线的斜率， ， ，即， 解得， 又， ，即， 解得， . 故答案为： 11．直线过点，当原点到直线的距离最大时，直线的方程为 . 【答案】 【分析】作图分析可知，当原点到直线的距离最大时，，求出的斜率，根据点斜式即可求出直线的方程. 【解析】 由题意知，，，所以直线的斜率， 所以直线的方程为：，即. 故答案为： 12．已知直线经过点，且，两点到直线的距离相等，则的方程为 . 【答案】或. 【分析】根据题意，分两种情况，分别求直线的斜率，即可求直线方程. 【解析】当直线与直线平行，或直线过线段的中点时，满足条件， 第一种情况：当直线与直线平行时，,此时直线的方程为，即， 第二种情况，当直线过线段的中点时，中点坐标，此时直线的斜率，方程为，即. 综上可知，直线的方程为或. 故答案为：或 13．知坐标平面内三点． (1)若可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点的坐标； (2)若是线段上一动点，求的取值范围． 【答案】(1)；(2)． 【分析】（1） 设，根据求解即可； （2） 因为表示直线的斜率，求出与点重合时，直线的斜率；与点重合时，直线的斜率，由此即可得答案． 【解析】（1）如图，当点在第一象限时，，    设，则，解得， 故点的坐标为. （2）由题意得为直线的斜率，如图，    当点与点重合时，直线的斜率最小，； 当点与点重合时，直线的斜率最大，． 故直线的斜率的取值范围为， 即的取值范围为 14．在平面直角坐标系中，设三角形的顶点分别为，，，点是线段上的一点（异于端点），设均为非零实数，直线分别交于点，若，求证： .    【答案】证明见解析 【分析】利用斜率公式求得直线与的斜率，从而利用直线垂直的性质得到，再求得直线与的斜率之积，由此得证. 【解析】由点和点，知直线的斜率为， 由点和点，知直线的斜率为， 因为，所以，即； 由点和点，知直线的斜率为， 由点和点，知直线的斜率为， 则直线与的斜率之积为， 所以. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$