专题1.6 两直线的交点（高效培优讲义）数学苏教版2019高二选择性必修第一册

专题1.6 两直线的交点 教学目标 1. 会求两条直线的交点． 2. 理解两条直线的三种位置关系(平行、相交、重合)与相应的直线方程所组成的二元一次方程组的解(无解、有唯一解、有无数个解)的对应关系． 3. 会运用这种对应关系通过方程判断两直线的位置关系，以及由已知两直线的位置关系求它们方程的系数所满足的条件． 4. 通过学习两直线的位置关系与它们所对应的方程组的解的对应关系，培养学生的转化思想． 教学重难点 1.重点 根据直线的方程判断两条直线的位置关系和已知两条直线相交求交点； 2.难点 分类讨论方程组系数与两条直线位置关系的对应情况． 知识点01 两条直线的交点坐标 1、点与坐标的一一对应关系 几何元素及关系 代数表示 点 直线 点在直线上 直线与的交点是 方程组的解是 2、直线的交点与方程的解 求两直线与的交点坐标， 只需求两直线方程联立所得方程组的解即可． 若有，则______________________________； 若有，则______________________________； 若有，则__________________________________________________． 【即学即练】 1．直线与直线的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 2.已知直线与直线垂直，则与的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 3.若直线经过两直线和的交点，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 4.已知直线过直线和的交点，且与平行，则的方程是（   ） A． B． C． D． 题型01 求直线的交点坐标 【典例1】已知直线与相交于点，若直线经过点，且与垂直，则直线与的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 求与已知两直线的交点有关的问题，先通过解二元一次方程组求出交点坐标，然后再利用其他条件求解. 【变式1】直线和的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知直线经过两点，则直线与的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知，，，则ABC垂心的坐标为（    ） A． B． C． D． 题型02 利用直线交点的个数求参数 【典例1】若三条直线，与共有两个交点，则实数的值为（    ） A．1 B．-2 C．1或-2 D．-1 【变式1】已知三条直线交于一点，则实数=（    ） A． B．1 C． D． 【变式2】若三条直线，与共有两个交点，则实数的值为（    ） A．1 B．-2 C．1或-2 D．-1 【变式3】已知线段AB两端点的坐标分别为和，若直线与线段AB有交点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4】（多选）已知点，，直线与线段有交点，则可以为（    ） A． B． C．1 D．3 题型03 利用直线的交点坐标求参数 【典例1】若直线与直线的交点在直线上，则实数（    ） A．4 B．2 C． D． 【变式1】已知直线与直线互相垂直，交点坐标为，则的值为（    ） A．20 B． C．0 D．24 【变式2】三条直线相交于两点.已知，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3】若直线与直线的交点在第一象限内，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 题型04 经过两直线交点的直线方程 【典例1】经过两条直线与的交点，且垂直于直线的直线的方程为_______________ 【变式1】已知直线过直线和直线的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线的方程为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【变式2】直线，，经过与的交点，且与垂直的直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式3】若点是直线和的公共点，则相异两点和所确定的直线方程是________________ 题型05 三线能围成三角形的问题 【典例1】已知三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值集合为____________ 【变式1】已知直线，若直线不能围成三角形，写出一个符合要求的实数的值 ． 【变式2】使三条直线不能围成三角形的实数m的值最多有几个（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式3】已知直线ax+y+1=0，x+ay+1=0和x+y+a=0能构成三角形，则a的取值范围是（    ） A．a≠ B．a≠ C．a≠且a≠ D．a≠且a≠1 题型06 直线交点系方程及应用 【典例1】过两直线和的交点和原点的直线方程为（    ） A．3x-19y=0 B．19x-3y=0 C．19x+3y=0 D．3x+19y=0 【变式1】经过直线和的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为____________ 【变式2】已知直线：，点，，若直线与线段相交，则的取值范围为_______________ 1．斜率为，且过两条直线和交点的直线方程为（    ） A． B． C． D． 2．若三直线：，：，：经过同一个点，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 3．已知与是直线（为常数）上两个不同的点，则关于：和：的交点情况是（    ） A．存在、、使之无交点 B．存在、、使之有无穷多交点 C．无论、、如何，总是无交点 D．无论、、如何，总是唯一交点 4．若的图象与直线有两个不同的交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．若三条不同的直线，，不能围成一个三角形，则a的取值集合为（    ） A． B． C． D． 6．平面上三条直线，若这三条直线将平面划分为六个部分，则实数k可能的取值情况是（    ） A．只有唯一值 B．有两个不同值 C．有三个不同值 D．无穷多个值 7．（多选）已知直线与，则下列说法正确的是（    ） A．与的交点坐标是 B．过与的交点且与垂直的直线的方程为 C．，与x轴围成的三角形的面积是 D．的倾斜角是锐角 8．（多选）已知直线与，则（    ） A．与的交点坐标为 B．过与的交点且平行于直线的直线方程为 C．直线与坐标轴围成的三角形面积是直线与坐标轴围成的三角形面积的倍 D．过与的交点且垂直于直线的直线方程为 9．（多选）直线：与直线的交点位于第一象限，则直线的倾斜角可能是（    ） A． B． C． D． 10．已知直线l经过直线和的交点，且直线l在坐标轴上的截距相等，则直线l的方程是 . 11．若过点的直线l与直线的交点位于第一象限，则直线l斜率的范围是___________ 12．已知，直线：和直线：与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形的面积最小的k值为 ． 13．已知直线l经过直线与的交点P． (1)若直线l与直线垂直，求直线l的方程； (2)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程． 14.已知三条直线：，：，：． (1)若，且过点，求a、b的值； (2)若，且、、三条直线能围成三角形，求a的取值范围． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.6 两直线的交点 教学目标 1. 会求两条直线的交点． 2. 理解两条直线的三种位置关系(平行、相交、重合)与相应的直线方程所组成的二元一次方程组的解(无解、有唯一解、有无数个解)的对应关系． 3. 会运用这种对应关系通过方程判断两直线的位置关系，以及由已知两直线的位置关系求它们方程的系数所满足的条件． 4. 通过学习两直线的位置关系与它们所对应的方程组的解的对应关系，培养学生的转化思想． 教学重难点 1.重点 根据直线的方程判断两条直线的位置关系和已知两条直线相交求交点； 2.难点 分类讨论方程组系数与两条直线位置关系的对应情况． 知识点01 两条直线的交点坐标 1、点与坐标的一一对应关系 几何元素及关系 代数表示 点 直线 点在直线上 直线与的交点是 方程组的解是 2、直线的交点与方程的解 求两直线与的交点坐标， 只需求两直线方程联立所得方程组的解即可． 若有，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合； 若有，则方程组无解，此时两直线平行； 若有，则方程组由唯一解，此时两直线相交，此解即两直线的交点坐标． 【即学即练】 1．直线与直线的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将两直线方程联立，解方程组即可求解. 【解析】联立方程组，解得：， 所以直线与直线的交点坐标是， 故选：. 2.已知直线与直线垂直，则与的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两直线垂直充要条件列式求出，再联立方程组求出交点坐标. 【解析】因为直线与直线垂直， 所以，解得， 直线的方程为. 由，解得，故交点坐标为. 故选：A. 3.若直线经过两直线和的交点，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】先求出两条已知直线的交点，再将求得的交点代入直线即可得解. 【解析】联立，解得， 将点代入到直线，得，故. 故选：C. 4.已知直线过直线和的交点，且与平行，则的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出直线、的交点坐标，根据题意，设直线的方程为，将交点坐标代入直线的方程，求出实数的值，即可得出直线的方程. 【解析】联立直线、的方程，，解得， 故直线、的交点坐标为， 因为直线与直线平行，设直线的方程为， 将点的坐标代入直线的方程可得，解得. 因此，直线的方程为. 故选：B 题型01 求直线的交点坐标 【典例1】已知直线与相交于点，若直线经过点，且与垂直，则直线与的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】联立方程组，求得，结合与垂直，利用点斜式方程，求得的直线方程，再由直线和，联立方程组，即可求解. 【解析】联立方程组，解得，即， 又因为直线与垂直，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 再联立方程组，解得， 所以与的交点坐标为． 故选：D. 求与已知两直线的交点有关的问题，先通过解二元一次方程组求出交点坐标，然后再利用其他条件求解 【变式1】直线和的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解二元一次方程组即得交点坐标. 【解析】解方程组，得， 所以所求交点坐标为. 故选：B 【变式2】已知直线经过两点，则直线与的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出直线的方程与的方程联立,即可解得交点坐标为. 【解析】设直线的方程为，因为直线经过两点， 所以，解得， 所以的方程为， 将直线与直线的方程联立，解得， 所以直线与的交点坐标为． 故选：C. 【变式3】已知，，，则ABC垂心的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，求出AB和BC边上的高所在直线的方程，然后联立方程，求解出交点坐标即为ABC垂心的坐标. 【解析】因为，，， 所以，， 所以AB边上的高所在直线的方程为x＝1， BC边上的高所在直线的斜率为1，方程为y＝x， 联立，得， 所以垂心的坐标为． 故选：D． 题型02 利用直线交点的个数求参数 【典例1】若三条直线，与共有两个交点，则实数的值为（    ） A．1 B．-2 C．1或-2 D．-1 【答案】C 【分析】由题意可得三条直线中，有两条直线互相平行，利用直线平行即求. 【解析】由题意可得三条直线中，有两条直线互相平行， ∵直线和直线不平行， ∴直线和直线平行或直线和直线平行， ∵直线的斜率为1，直线的斜率为，直线的斜率为， ∴或. 故选：C. 【变式1】已知三条直线交于一点，则实数=（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】联立不含参直线求出交点坐标，再代入含参直线方程求参数即可. 【解析】由，即两直线交点坐标为， 代入得：. 故选：C. 【变式2】若三条直线，与共有两个交点，则实数的值为（    ） A．1 B．-2 C．1或-2 D．-1 【答案】C 【分析】由题意可得三条直线中，有两条直线互相平行，利用直线平行即求. 【解析】由题意可得三条直线中，有两条直线互相平行， ∵直线和直线不平行， ∴直线和直线平行或直线和直线平行， ∵直线的斜率为1，直线的斜率为，直线的斜率为， ∴或. 故选：C. 【变式3】已知线段AB两端点的坐标分别为和，若直线与线段AB有交点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判断出直线所过定点，结合图象求得的取值范围 【解析】直线恒过的定点，. 当时，直线方程为，与线段有交点，符合题意. 当时，直线的斜率为，则， 解得或，综上，. 故选：C 【变式4】（多选）已知点，，直线与线段有交点，则可以为（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】AD 【分析】求得直线l恒过定点Q，求得与，结合图象可求得m的范围进而可得结果. 【解析】因为，即直线过定点，斜率为， 因为，， 如图所示， 所以或，解得：或， 故选：AD. 题型03 利用直线的交点坐标求参数 【典例1】若直线与直线的交点在直线上，则实数（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】求出直线与直线的交点，再代入求解作答. 【解析】解方程组，得直线与直线的交点， 依题意，，解得， 所以实数. 故选：A 【变式1】已知直线与直线互相垂直，交点坐标为，则的值为（    ） A．20 B． C．0 D．24 【答案】B 【分析】根据两直线垂直可求出的值，将公共点的坐标代入直线的方程，可得出的值，再将公共点的坐标代入直线的方程，可得出的值，由此可得出的值. 【解析】已知直线的斜率为，直线的斜率为． 又两直线垂直，则，解得． ，即， 将交点代入直线的方程中，得． 将交点代入直线的方程中，得． 所以，． 故选：B． 【变式2】三条直线相交于两点.已知，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先求两直线的交点，进而得是直线上的点，将点代入直线即可得解. 【解析】联立，解得， 所以是直线上的点， 代入直线得，解得. 故选：B. 【变式3】若直线与直线的交点在第一象限内，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】求出两直线的交点坐标，再根据交点在第一象限建立不等式组求解. 【解析】方法一：由直线，有交点，得．由，得，即交点坐标为．又交点在第一象限内，所以，解得 故选：C. 题型04 经过两直线交点的直线方程 【典例1】经过两条直线与的交点，且垂直于直线的直线的方程为_______________ 【答案】 【分析】先求直线与的交点，再根据直线垂直求斜率，利用点斜式可得所求直线方程. 【解析】联立与，得交点坐标为. 又垂直于直线的直线的斜率为， 故所求直线的方程为，即. 故答案为： 【变式1】已知直线过直线和直线的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线的方程为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】先求得两直线的交点坐标，根据题意，分直线与两坐标轴的截距不为和直线在两坐标轴的截距等于，两种情况讨论，即可求解. 【解析】由方程组，解得，所以两直线的交点坐标为， 因为直线在两坐标轴上的截距互为相反数， 当直线与两坐标轴的截距不为时，可设直线的方程为， 因为直线过两直线的交点，代入可得， 所以直线的方程为； 当直线在两坐标轴的截距等于时，设直线的方程为， 因为直线过两直线的交点，代入可得，即直线的方程为， 综上可得，直线的方程为或. 故选：C. 【变式2】直线，，经过与的交点，且与垂直的直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】联立方程组求得交点坐标，由垂直求出直线斜率，然后写出直线方程. 【解析】联立方程组解得，即交点为， ，∴，∴，即. 故选：B. 【变式3】若点是直线和的公共点，则相异两点和所确定的直线方程是________________ 【答案】 【分析】根据点与直线的位置关系即可求解. 【解析】因为是直线和的公共点， 所以，且， 所以两点和都在同一条直线上， 故两点和所确定的直线方程是， 故答案为:. 题型05 三线能围成三角形的问题 【典例1】已知三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值集合为____________ 【答案】 【分析】根据给定条件，求出直线的斜率及直线交点坐标，再利用斜率相等及3条直线共点求出值. 【解析】直线的斜率分别为，纵截距分别为 由，解得，即直线的交点为， 由直线不能围成三角形，得直线或或点在直线上， 则或或，解得或或， 所以实数的取值集合为. 故答案为: 【变式1】已知直线，若直线不能围成三角形，写出一个符合要求的实数的值 ． 【答案】 【分析】联立方程组解得交点坐标，列出直线不能围成三角形的条件，分别解出即可. 【解析】由解得，所以的交点坐标为， 过定点， 若直线不能围成三角形，只需经过点，或与平行，或与平行， 当经过点时，，解得； 当与平行时，，解得； 当与平行时，，解得. 故的值为. 故答案为：（只需写出其中一个即可）. 【变式2】使三条直线不能围成三角形的实数m的值最多有几个（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】根据题设，讨论存在两条直线平行或三条直线交于一点，分别求出对应m值，进而验证是否满足题设，即可得答案. 【解析】要使三条直线不能围成三角形，存在两条直线平行或三条直线交于一点， 若平行，则，即； 若平行，则，即无解； 若平行，则，即； 若三条直线交于一点，，可得或； 经检验知：均满足三条直线不能围成三角形，故m最多有4个. 故选：B 【变式3】已知直线ax+y+1=0，x+ay+1=0和x+y+a=0能构成三角形，则a的取值范围是（    ） A．a≠ B．a≠ C．a≠且a≠ D．a≠且a≠1 【答案】C 【分析】由三条直线两两不平行，且不交于同一点可得． 【解析】已知三条直线能构成三角形，首先不平行， 若，则三条直线围成三角形， 若，则，，解得， 时，由，得，代入得，或，因此 综上：且． 故选：C． 题型06 直线交点系方程及应用 【典例1】过两直线和的交点和原点的直线方程为（    ） A．3x-19y=0 B．19x-3y=0 C．19x+3y=0 D．3x+19y=0 【答案】D 【分析】设过两直线交点的直线系方程为，代入原点坐标，得，求解即可. 【解析】设过两直线交点的直线系方程为， 代入原点坐标，得，解得， 故所求直线方程为，即. 故选：D. 【变式1】经过直线和的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为____________ 【答案】或 【分析】设直线方程为，求出其在两坐标轴上的截距，令其相等，解方程即可求出结果. 【解析】设直线方程为， 即 令，得， 令，得. 由， 得或. 所以直线方程为或. 故答案为：或 【变式2】已知直线：，点，，若直线与线段相交，则的取值范围为_______________ 【答案】 【分析】根据题意得直线恒过点，进而得直线的斜率的取值范围为：或，再根据，解不等式即可得答案. 【解析】直线方程变形得：. 由得，∴直线恒过点， ，， 由图可知直线的斜率的取值范围为：或， 又， ∴或，即或， 又时直线的方程为，仍与线段相交， ∴的取值范围为. 故答案为：. 1．斜率为，且过两条直线和交点的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】 【分析】求两条直线交点，再由斜截式方程可得. 【解析】联立方程组，解得， 由题意斜率为，且过的直线方程为. 即所求直线方程为. 故选：B. 2．若三直线：，：，：经过同一个点，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】先求出直线与的交点坐标，然后将交点坐标代入直线的方程后可求得. 【解析】由，解得， ∴直线与的交点坐标坐标为． 由题意得点在直线上， ∴，解得． 故选：A． 3．已知与是直线（为常数）上两个不同的点，则关于：和：的交点情况是（    ） A．存在、、使之无交点 B．存在、、使之有无穷多交点 C．无论、、如何，总是无交点 D．无论、、如何，总是唯一交点 【答案】D 【分析】判断直线的斜率存在，通过点在直线上，推出的关系，然后解方程组，即可得出结论. 【解析】因为与是直线上两个不同的点，直线斜率存在， 所以，即， 并且， 则， 联立，消得， 即， 所以， 所以方程组有唯一解， 即无论、、如何，总是唯一交点. 故选：D 4．若的图象与直线有两个不同的交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，分与讨论，结合条件，列出不等式，即可得到结果. 【解析】当时，由可得，，当时，解得； 当时，由可得，，由可知，方程的解是， 又的图象与直线有两个不同的交点， 所以，其中，解得； 综上所述，. 故选：B. 5．若三条不同的直线，，不能围成一个三角形，则a的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分线线平行和三线共点讨论即可. 【解析】若，则，解得．若，则，解得． 若，，交于一点，联立方程组，解得得， 代入，得，解得，故a的取值集合为． 故选：D. 6．平面上三条直线，若这三条直线将平面划分为六个部分，则实数k可能的取值情况是（    ） A．只有唯一值 B．有两个不同值 C．有三个不同值 D．无穷多个值 【答案】C 【分析】由题意可知，任意两条直线平行，且与第三条直线相交或三条直线相交于同一点即可，分情况求出结果即可. 【解析】由题意可知，任意两条直线平行，且与第三条直线相交或三条直线相交于同一点即可， 因为直线与不平行，因此分三种情况： ①直线与直线平行，则； ②直线与直线平行，则； ③直线过直线与直线的交点，因为，所以，所以， 故实数k可能的取值是， 故选：C. 7．（多选）已知直线与，则下列说法正确的是（    ） A．与的交点坐标是 B．过与的交点且与垂直的直线的方程为 C．，与x轴围成的三角形的面积是 D．的倾斜角是锐角 【答案】ABC 【分析】由已知联立方程即可求解直线的交点坐标可判断A；由直线垂直确定垂直的直线的斜率则可求得直线方程，即可判断B；根据直线与直线的位置确定，与x轴围成的三角形的对应坐标即可得面积，从而可判断C；由直线斜率与倾斜角的关系即可判断D. 【解析】与 可得，， 解得交点坐标为，所以A正确； 由所求直线与直线垂直得所求直线的斜率为， 由点斜式得，即，所以B正确； 如图，与轴相交于，与轴相交于， 与相交于    所以，与x轴围成的三角形的面积，所以C正确； 的斜率，所以的倾斜角是钝角，所以D错误. 故选：ABC. 8．（多选）已知直线与，则（    ） A．与的交点坐标为 B．过与的交点且平行于直线的直线方程为 C．直线与坐标轴围成的三角形面积是直线与坐标轴围成的三角形面积的倍 D．过与的交点且垂直于直线的直线方程为 【答案】ABD 【分析】求出两直线的交点坐标可判断A选项的正误；利用两直线平行求出所求直线方程，可判断B选项的正误；利用三角形的面积公式可判断C选项的正误；由两直线垂直求出所求直线的方程，可判断D选项的正误. 【解析】对于A，由，解得，所以与的交点坐标是，A正确． 对于B，设过与的交点且平行于直线的直线的方程为， 把点代入得，得，故所求直线的方程为，B正确； 对于C，直线交轴于点，交轴于点， 故直线与坐标轴围成的三角形面积为， 直线交轴于点，交轴于点， 直线与坐标轴围成的三角形面积为，所以C不正确； 对于D，设过与的交点且垂直于直线的直线的方程为， 把点代入得，得， 故所求直线的方程为，D正确． 故选：ABD. 9．（多选）直线：与直线的交点位于第一象限，则直线的倾斜角可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】联立两直线方程得到一个二元一次方程组，求出方程组的解集即可得到交点的坐标，根据交点在第一象限得到横纵坐标都大于0，联立得到关于的不等式组，求出不等式组的解集即可得到的范围，然后根据直线的倾斜角的正切值等于斜率，根据两角和的正切及正切函数单调性得到倾斜角的范围． 【解析】联立两直线方程得： 当时，两直线平行，不满足题意. 当时解得 ，所以两直线的交点坐标为 因为两直线的交点在第一象限，所以得到 解得： ， 设直线的倾斜角为，则， 又， 因为，正切函数在单调递增，所以. 故选：BC 10．已知直线l经过直线和的交点，且直线l在坐标轴上的截距相等，则直线l的方程是 . 【答案】或 【分析】求出给定的两条直线交点坐标，再按直线是否过原点分类求解即可. 【解析】由，解得，即直线过点， 当直线过原点时，直线的方程为， 当直线不过原点时，设直线的方程为，则，解得，方程为， 所以直线的方程为或. 故答案为：或 11．若过点的直线l与直线的交点位于第一象限，则直线l斜率的范围是___________ 【答案】 【分析】用直线l斜率表示出l方程，再求出直线l与直线的交点坐标，利用其位于第一象限，可得答案. 【解析】由题直线l斜率存在，则设直线l斜率为，则l方程为：. 将其与联立得：，解得， 故交点坐标为.因其在第一象限，则， 解得. 故答案为： 12．已知，直线：和直线：与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形的面积最小的k值为 ． 【答案】 【分析】分割四边形为三角形和梯形求面积可得答案. 【解析】由题意知直线l1,l2恒过定点P(2,4),直线l1的纵截距为4-k,直线l2的横截距为2k2+2,如图所示: 所以四边形的面积S= [(4-k)+4]×2+×4×[(2k2+2)-2]=4k2-k+8,故面积最小时,k=. 故答案为： 13．已知直线l经过直线与的交点P． (1)若直线l与直线垂直，求直线l的方程； (2)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）联立方程组得出点坐标，根据已知设出直线l的方程为，代入点坐标，求解即可得出答案； （2）分直线过原点以及不过原点，两种情况，设出直线的方程，代入点坐标，求解即可得出答案. 【解析】（1）联立可得，，所以点. 由已知可设直线l的方程为， 代入点坐标有，解得， 所以，直线l的方程为. （2）当直线过原点时，设方程为， 代入点坐标有，解得， 所以直线l的方程为，整理可得； 当直线不过原点时，设方程为， 代入点坐标有，解得， 所以，直线l的方程为. 综上所述，直线l的方程为或. 14.已知三条直线：，：，：． (1)若，且过点，求a、b的值； (2)若，且、、三条直线能围成三角形，求a的取值范围． 【答案】(1)或；(2)． 【分析】（1）根据垂直满足的关系，结合直线经过的点，即可联立方程求解. （2）根据任意两条直线平行不可构成三角形，以及三条直线交于一点不能构成三角形，结合两直线平行满足的系数关系，以及两直线的交点坐标，即可求解. 【解析】（1）因为：，：，且，所以， 又直线过点，所以，所以， 即，即，解得或 所以或； （2）因为，则：，：， ①当时，由得， 此时为，为，为，都与相交，不能构成三角形； ②当时，由得，此时为，为，为，都与相交，不能构成三角形； ③当时，由得，此时为，为，为，都与相交，不能构成三角形； ④当，，交于一点时，，则由,解得 所以与的交点，将M代入到方程得，解得； 综上所述：时，，，三条直线能围成三角形时a的取值范围为． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$