专题05 圆锥曲线中的证明与探究性问题（压轴题专项训练）高二数学北师大版2019选择性必修第一册

专题05 圆锥曲线中的证明与探究性问题 目录 典例详解 类型一、圆锥曲线中的证明问题 类型二、圆锥曲线中的探究性问题 压轴专练 类型一、圆锥曲线中的证明问题 · 圆锥曲线证明问题的类型及求解策略 1.圆锥曲线中的证明问题，主要有两类： （1）证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如:某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等； （2）证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等). 2.解决证明问题时，主要根据直线与圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通过相关性质的应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明. 例1．已知点为双曲线的右焦点，为的左顶点，过的直线交于点，当直线垂直于轴时，的面积为9． （1）求的值； （2）连接，分别交直线于点，设为线段的中点，求证：． 【答案】（1）；（2）证明见解析 【分析】（1）结合双曲线的性质表示出的面积可得； （2）设直线，直曲联立，表示出韦达定理，再由点斜式得到直线，结合韦达定理进而得到，由斜率之积为可得. 【详解】（1）由题意，得． 设的焦距为，则．将代入方程，可得， 所以的面积为，解得． 所以的方程为． （2）由方程得，． 设直线，，， 与的方程联立可得， 所以，，． 设直线，令，解得，所以． 同理可得， 所以 ， 故． 所以． 又，所以． 所以． 变式1-1．在直角坐标系中，点与点的连线的斜率的乘积为定值，记点的轨迹为. （1）求的方程； （2）若点是上两点，且满足直线与的斜率之和为. （ⅰ）若点坐标为，求直线的斜率； （ⅱ）若为△PMN的外心，证明：平分. 【答案】（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）根据两点间的斜率公式及题中条件即可求解； （2）（ⅰ）设直线的斜率为.则由直线的点斜式方程可得直线的方程，联立直线的方程与椭圆的方程，消去整理化简后结合韦达定理及点是直线与的交点，可求得，将其代入直线的方程可得点的坐标，同理可得点的坐标，根据斜率公式即可求解直线的斜率； （ⅱ）设，直线的方程分别为.令曲线，化简可得：，由曲线为过点的圆，可取，即可求得点的坐标与直线的斜率，进而比较与的大小即可证明. 【详解】（1）由题意得：，化简可得的方程为：. （2）（i）设直线的斜率为.则直线的方程为：， 与联立方程组，消去可得：， 整理得：， 由于直线与交于两点，则由韦达定理可得： ，即，代入直线的方程可得， 所以点的坐标为. 因为直线的斜率为，同理可得点的坐标为. 故直线的斜率. （ⅱ）设，直线的方程分别为. 令曲线， 化简可得：， 因为曲线为过点的圆，可取，即， 此时曲线， 所以点的坐标为， 所以直线的斜率为， 则， 所以，即平分. 变式1-2．已知抛物线的焦点为F，若△ABC的三个顶点都在抛物线E上，且满足，则称该三角形为“核心三角形”． （1）设“核心三角形”的一边所在直线的斜率为2，求直线的方程； （2）已知△ABC是“核心三角形”，证明：△ABC三个顶点的横坐标都小于2． 【答案】（1）；（2）证明见解析 【分析】（1）设的方程为，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，根据及得到点C的坐标为，代入抛物线方程，求出，得到直线方程； （2）设直线的方程，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，求出点A的坐标为，代入抛物线方程，得到，由根的判别式得到，所以，所以点A的横坐标，同理可证另两个顶点横坐标也小于2. 【详解】（1）设直线的方程为，与联立得， 由得， 设，则， 所以， 由题意知， 因为， 所以， 所以，故 即点C的坐标为，代入抛物线E的方程得：，解得， 满足条件， 所以直线的方程为． （2）证明：设直线的方程为，与联立得， ，所以， 所以． 由（1）知，所以， 即点A的坐标为． 又点A在抛物线上，所以，所以， 又，所以，所以点A的横坐标， 同理可证，B，C两点的横坐标也小于2． 所以△ABC三个顶点的横坐标均小于2． 变式1-3．已知椭圆，左右顶点为，，上下顶点为，，若四边形面积为，周长为，过右焦点且斜率为的直线交椭圆于，，直线，交于点，直线，交于点. （1）求椭圆的标准方程； （2）证明：点在定直线上； （3）证明：. 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【分析】（1）根据题意得到关于的方程组，解出即可； （2）设，利用定比点差法得，再写出两直线方程，最后相除即可； （3）设，，联立相关直线方程，再求得，，最后证明直线斜率相等即可. 【详解】（1）由题意得，则. （2）记右焦点，,， 设，则 (*)，由， . ， 代回(*)式可得，. ，， 则两者相除得，则, 即在定直线上. （3）设，，代入可得 ，. 即 即， 解得，， 则，则，则点和到直线的距离相等. 故.    类型二、圆锥曲线中的探究性问题 1.存在性问题的解题步骤 探索性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化，一般步骤为： （1）假设满足条件的元素(常数、点、直线或曲线)存在；引入参变量，根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式(组)； （2）解此方程(组)或不等式(组)； （3）若方程(组)有实数解，则元素(常数、点、直线或曲线)存在，否则不存在. 2.解决存在性问题的注意事项 探索性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在. （1）当条件和结论不唯一时，要分类讨论. （2）当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件. （3）当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径. 例2．如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率，且椭圆过点，过点作斜率为的直线交椭圆于点，交轴于点．    （1）求椭圆的方程； （2）已知为的中点，是否存在定点，对于任意的都有，若存在，求出点的坐标：若不存在说明理由． 【答案】（1）；（2）存在， 【分析】（1）根据题意，结合椭圆的几何性质，列出方程组，起度呃的值，得出椭圆的方程； （2）设直线的方程为，联立方程组，得到，求得和，设，使得，根据，得到恒成立，求得的值，即可得到答案. 【详解】（1）因为椭圆的离心率，且椭圆过点， 可得 ，解得，所以椭圆的方程为. （2）由题意，显然直线的斜率存在，设直线的方程为， 联立方程组，整理得， 设，则， 因为点为的中点，可得， 则，即， 令，可得，即， 假设存在点，使得，此时 因为，可得， 整理得， 因为，所以，即恒成立， 所以 ，解得，即， 即存在定点，使得.    变式2-1．已知抛物线的准线为，以为圆心，面积为的圆与轴的负半轴交于点，动点到直线的距离为. （1）求动点的轨迹的方程； （2）若直线与轴的交点为，是否存在过点且斜率存在的直线交于，两点，使？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）求出，设，则，化简即可； （2）设直线的方程为，联立椭圆方程得到韦达定理式，化简，代入韦达定理式，求出方程即可. 【详解】（1）以为圆心，面积为的圆的方程为， 令，得或，因为点在轴的负半轴上，所以， 易得抛物线的准线为， 设，则， 整理得的方程为． （2）依题意可知，设直线的方程为，， 联立整理得，， 故， 于是. 因为，，三点共线，结合图象可得，同向， 所以， 又因为， 若，即， 解得，满足，故存在直线，其方程为． 变式2-2．已知椭圆（）的离心率为，，分别是椭圆的左，右焦点.过点且斜率不为0的直线l与椭圆交于A，B两点.的周长为8. （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线l的斜率为1，求线段AB的长； （3）若点P在椭圆上，且，试问是否存在直线l，使得的重心在y轴上？若存在，请求出直线l的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）；（2）；（3）存在，或或 【分析】（1）运用椭圆定义，结合离心率公式计算即可； （2）直曲联立，运用弦长公式计算即可； （3）设直线l的方程为.直曲联立，借助韦达定理和中点坐标公式得到,根据重心坐标公式，求得，进而得，求出，代入椭圆方程，解得，得到直线即可. 【详解】（1）因为的周长为8，所以，得. 因为椭圆的离心率为，所以，， 故椭圆的标准方程为. （2）由题意，，，所以直线的方程是， 设，.由得， 所以，， 所以. （3）设直线l的方程为. 由得，. 设，，，线段AB的中点为H， 则，，. 若△ABP的重心在y轴上，则，即，所以. 由，得， 解得，所以， 因为点P在椭圆上，所以， 解得或.故存在直线l，使得△ABP的重心在y轴上， 其方程为或或. 变式2-3．已知双曲线经过点，一条渐近线方程为． （1）求双曲线的方程； （2）设为原点，若点为双曲线上的动点，点在直线上，且． （ⅰ）求△AOB面积的最小值； （ⅱ）判断是否存在定圆与直线相切，若存在，求出定圆方程；若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）存在定圆 【分析】（1）根据题意可得，求解即可得解； （2）（ⅰ）设，，由，得，表示出△AOB面积，结合基本不等式求最值； （ⅱ）由对称性可知，若存在定圆，则定圆圆心在轴上，当点趋于顶点时，点趋于无穷远处，此时切线的极限位置为，由此猜想定圆为，进行证明即可. 【详解】（1）双曲线经过点， 且一条渐近线方程为， 所以，解得， 所以的标准方程为； （2）设，， （ⅰ）由点双曲线上的动点，则， 由于，则，显然，可得， 且， 所以 ， 则当且仅当时，等号成立，； （ⅱ）由对称性可知，若存在定圆，则定圆圆心在轴上， 当点趋于顶点时，点趋于无穷远处，此时切线的极限位置为， 由此猜想定圆为，下面进行证明： 显然，直线， 即， 点到直线的距离为 ， 所以存在定圆与直线相切.    【点睛】关键点证明：由对称性可知，若存在定圆，则定圆圆心在轴上，当点趋于顶点时，点趋于无穷远处，此时切线的极限位置为，由此猜想定圆为，进行证明即可. 一、单选题 1．已知椭圆上存在两点关于直线对称，若椭圆离心率为，则的中点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点、，线段的中点为，由已知条件可得出，利用点差法以及点在直线上，可得出关于、的等式，解出这两个量的值，即可得出线段的中点坐标. 【详解】设点、，线段的中点为，则， 由题意，椭圆的离心率为，可得， 因为、关于直线对称，且直线的斜率为， 则， 将点、的坐标代入椭圆方程可得， 上述两个等式作差可得， 可得， 即，即，即， 又因为点在直线上，则， 则有，解得，故线段的中点为. 故选：A. 2．设椭圆的一个焦点为，为内一点，若上存在一点，使得，则的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可知，椭圆的左焦点为，利用三角形三边关系求出的取值范围，即可得出椭圆的离心率的取值范围. 【详解】由题意可知，椭圆的左焦点为，由椭圆的定义可得， ，即，解得， 当且仅当为射线与椭圆的交点时，等号成立（此时点与图中的点重合）， 又因为， 当且仅当为射线与椭圆的交点时，等号成立（此时点与图中的点重合）， 所以，解得，所以， 因此，. 故选：C. 3．公元前 300 年前后，欧几里得撰写的《几何原本》是最早有关黄金分割的论著，书中描述：把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值， 则这个比值即为“黄金分割比”， 把离心率为 “黄金分割比” 倒数的双曲线叫做 “黄金双曲线”． 黄金双曲线 的一个顶点为，与不在轴同侧的焦点为，的一个虚轴端点为，为双曲线任意一条不过原点且斜率存在的弦， 为中点． 设双曲线的离心率为， 则下列说法中，错误的有（ ） A． B． C． D．若， 则恒成立 【答案】D 【分析】由黄金分割双曲线定义求得双曲线的离心率，判断A，证明，利用射影定理证明，判断B，利用点差法求判断C，联立方程求出坐标，计算，判断D. 【详解】由为黄金分割双曲线可得，即，对两边同除以可得，则，A正确； 变形得，， ，， 所以，又， 所以，，所以， 所以，所以， B正确；    设，，，将坐标代入双曲线方程可得， ，作差后整理可得，即 所以，故C正确； 设直线，则直线，将代入双曲线方程， 可得，则， ，将换成即得 ， 则与，的值有关，故D错误， 故选：D. 4．设双曲线的焦距为，离心率为，且成等比数列，A是的一个顶点，是与A不在轴同侧的焦点，是的虚轴的一个端点，为的任意一条不过原点且斜率为的弦，为中点，为坐标原点，则下列判断错误的是（    ） A．的一条渐近线的斜率为 B． C．（分别为直线的斜率） D．若，则恒成立 【答案】D 【分析】A选项，由等比中项的性质得到离心率，进而得到，A正确；B选项，求出和的斜率，得到，得到；C选项，利用点差法得到；D选项，设直线，与双曲线方程联立，求出，再求出，计算出，判断出结论. 【详解】A选项，因为成等比数列，所以，所以且，解得（负根舍），所以，所以，即的一条渐近线的斜率为，故正确； B选项，不妨设为左焦点，为虚轴的上端点，则A为右顶点， 则的斜率的斜率，所以， 所以，故B正确； C选项，设，则， 作差后整理得，即， 所以，故C正确； D选项，设直线，则直线，将代入双曲线方程，得，则， ， 将换成得， 则与的值有关，故D错误. 故选：D. 5．已知点为双曲线上任意一点，、为其左、右焦点，为坐标原点．过点向双曲线两渐近线作垂线，设垂足分别为、，则下列所述错误的是（    ） A．为定值 B．、、、四点一定共圆 C．的最小值为 D．存在点满足、、三点共线时，、、三点也共线 【答案】D 【分析】对于A，设，表示出，即可判断A；对于B，由题目可得，M，N两点在以OP为直径的圆上，故可判断B；对于C，由双曲线的对称性可知， 由，故可判断C；对于D，利用双曲线的对称性，不妨设直线垂直一条渐近线，垂足为N；直线垂直另一条渐近线且交双曲线于点P，易知直线与直线的交点始终落在y轴上，可判断D. 【详解】设，点到渐近线的距离为， 同理，则， ∵，即， ∴（定值），故A正确； ∵， ∴和均为直角三角形，，两点在以为直径的圆上，故B正确； 由双曲线的对称性可知，其中， ∵∴成立，故C正确； 如图利用双曲线的对称性，不妨设直线垂直一条渐近线，垂足为；直线垂直另一条渐近线且交双曲线于点，易知直线与直线的交点始终落在轴上，故D不正确. 故选：D. 6．双曲线，左､右顶点分别为为坐标原点，如图，已知动直线与双曲线左､右两支分别交于两点，与其两条渐近线分别交于两点，则下列命题正确的是（    ） A．存在直线，使得 B．在运动的过程中，始终有 C．若直线的方程为，存在，使得取到最大值 D．若直线的方程为，则双曲线的离心率为 【答案】B 【分析】根据与渐近线平行的直线不可能与双曲线有两个交点可对A项判断；设直线分别与双曲线联立，渐近线联立，分别求出和坐标，从而可对B、C项判断；根据，求出，从而可对D项判断. 【详解】对于A项：与渐近线平行的直线不可能与双曲线有两个交点，故A项错误； 对于项：设直线，与双曲线联立，得：， 设，由根与系数关系得：， 所以线段中点， 将直线，与渐近线联立得点坐标为， 将直线与渐近线联立得点坐标为， 所以线段中点， 所以线段与线段的中点重合，所以，故B项正确； 对于C项：由B项可得，因为为定值， 当越来越接近渐近线的斜率时，趋向于无穷， 所以会趋向于无穷，不可能有最大值，故C项错误； 对于D项：联立直线与渐近线，解得， 联立直线与渐近线，解得由题可知，， 所以即，，解得， 所以，故D项错误. 故选：B. 二、多选题 7．已知抛物线与圆相交于A，B，线段AB恰为圆M的直径，且直线AB过抛物线W的焦点F，则正确的结论是（    ）    A． B．圆M与抛物线W的准线有公共点 C．在抛物线W上存在关于直线AB对称的两点 D．线段AB的垂直平分线与抛物线W交于C，D，则有 【答案】ABD 【分析】选项B分别过A，B，M作抛物线准线的垂线，垂足分别为，，，画出图形，结合已知条件分析即可；选项A利用选项B分析的结论即可得选项；选项CD利用直线与抛物线的位置关系联立方程组，利用韦达定理及弦长公式化简计算即可解决. 【详解】对于A，B，如图，分别过A，B，M作抛物线准线的垂线，垂足分别为，，， 由于圆的直径AB过焦点F，则到准线的距离为， 故以AB为直径的圆与抛物线的准线相切，故B正确； 由上分析，有，解得，故A正确； 对于C，过焦点和点，则，则直线AB的方程是， 假设抛物线上存在两点T，关于直线AB对称，则可设直线的方程是：， 代入中，得，由韦达定理可得的中点为， 又N在直线AB上，则，解得， 此时方程没有实根，即直线不存在.故C不正确； 对于D，如图，由上分析易得直线CD的方程为：，即， 代入，得  由韦达定理得，. 因在轴上的投影长为，而直线的倾斜角为， 故，同理， 于是， 而即，故D正确. 故选：ABD. 8．已知双曲线，直线m与双曲线的右支交于点A，B（A在x轴上方），与双曲线的两条渐近线交于点M，N（M在x轴上方），O为坐标原点．当直线m的斜率存在时，下列结论中正确的是（ ） A．恒成立 B．的面积的最小值为1 C．若，则 D．若，则的面积为定值 【答案】ACD 【分析】对于A选项，设直线方程为，分别与双曲线方程以及双曲线的渐近线方程联立，求出中点坐标，并判断是否相等即可；对于B选项，设直线方程为，直线分别与渐近线方程联立，求出坐标，进而求出的面积，根据的范围，求出的面积的范围即可；对于C选项，由，得到，结合A选项的结果，即可判断选项C是否正确；对于D选项，由已知可得，利用选项A的方程，得到关系，求出的面积即可． 【详解】对于A，设，代入得，① 显然，即， 设，则是方程①的两个根， 有， 设， 由得，由，得； 所以，所以和的中点重合， 所以，所以恒成立．故A正确． 对于B，设直线方程为， 由得,由得， ，，故B错误． 对于C，因为和的中点重合为，所以， 又，所以，所以，故C正确． 对于D，因为，所以， 得，即， 所以，又， 所以是定值．故D正确． 故选：ACD． 9．已知抛物线的焦点为，准线为为上的两个动点，则（    ） A．当时，直线的斜率为 B．记与轴交于点，存在，使得 C．过点作圆的两条切线，切点分别为，则的取值范围为 D．若以线段为直径的圆与相切，则三点共线 【答案】ACD 【分析】由抛物线的定义以及斜率的定义，即可判断A，联立直线与抛物线方程，即可得到直线的斜率，再由直线与相切时最大，即可判断B，表示出，从而得到其范围，即可判断C，l建立直线与抛物线方程，结合韦达定理代入计算，即可得到直线过定点，从而判断D. 【详解】对于A，如图1所示，过点分别作准线的垂线，垂足分别为，过点作于点， 则由和抛物线的定义得，， 所以，所以，此时， 根据对称性可知直线的斜率为，故A正确； 对于B，如图2所示， 设直线的方程为，代入，得， 令，解得， 当直线与相切时，最大， 同理，当直线与相切时，最大，此时的最大值为，所以不存在，使得，故B错误； 对于C，如图3所示， 由题可知圆的圆心为，半径为， 设，，则，，， 易知在上单调递增，所以， 即，所以的取值范围为，故C正确； 对于D，易知直线斜率不为，设直线， 以线段为直径的圆与相切于点， 设，，，则. 由，得，， 则，， 所以，，. 由，得， 则， 即， 所以，解得， 故直线，所以直线过， 所以三点共线，故D正确. 故选：ACD. 三、解答题 10．已知双曲线（，）的焦距为，右顶点为A，直线l与双曲线E相交于P，Q两点，且与E的一条渐近线相交于点． （1）求双曲线E的方程； （2）是否存在直线l，使得与的面积相等？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由； （3）若直线AP，AQ分别与y轴相交于M，N两点，证明：为定值． 【答案】（1）；（2）不存在，理由见解析；（3）证明见解析 【分析】（1）由焦距可得，由渐近线方程可得，据此可得双曲线方程； （2）由题可得B为PQ中点，设，，由点差法可得直线PQ斜率为渐近线斜率，据此可完成判断； （3）方法1，设直线，将其与双曲线联立，由韦达定理结合题意可得MN的中点为，据此可完成证明；方法2，设，，由题可得，，将双曲线的方程化为，将其与直线联立，然后由韦达定理可得，据此可完成证明. 【详解】（1）由题，设双曲线E的焦距为2c，则，即， 根据双曲线的性质可知，点在渐近线上， 所以，即①， 又，所以② 又①②解得，， 所以E的标准方程为． （2）不存在，理由如下： 假设存在直线l，使得与的面积相等， 则点B为PQ的中点，设，，代入E的方程得：， 两式作差得， 因为点为PQ的中点，所以，， 故，即直线l的斜率为， 故直线，即， 此时，直线l与E的渐近线重合，与E没有交点，与已知矛盾， 所以不存在直线l，使得与的面积相等. （3）证明：由题可知，直线l的斜率存在， 设直线，与E的方程联立，得， 由题，，得，且， 设，，则，， 设，，又，所以， 令得，同理可得， 故， 又 ， ， 所以， 所以MN的中点为， 因为，所以， 所以为定值．得证． 另解：设，，又，所以， 令得，同理可得， 双曲线的方程化为：，即， 设直线，即， 联立得， 所以， 等式两边同时除以得：， 设，，易得满足方程， 则为方程两根，由韦达定理可得 ，故， 所以MN的中点为， 因为，所以， 所以为定值．得证. 【点睛】对于存在性问题，常假设相关条件成立，然后得到相关方程，不等式，通过判断方程，不等式是否有解来解决问题，或利用反证法；对于定值问题，常利用所设参数得到所研究数学量的表达式，随后设法消去参数来解决问题. 11．已知抛物线焦点为F，准线为，为E上一点，，垂足为M，且. （1）求E的标准方程； （2）过点（其中）且斜率为k的直线与E交于，两点，C，D是E上的两点（异于A，B），且满足，. （i）证明：，； （ii）是否存在k和a，使得？若存在，求k和a的所有取值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）；（2）（i）证明见解析；（ii）存在，， 【分析】（1）利用抛物线的定义可得是等边三角形，进而根据定义求； （2）（i）利用过焦点的直线与抛物线的两交点的纵坐标之积为定值，再结合向量的坐标运算，即得到证明； （ii）利用直线与抛物线的两交点的横坐标之积为定值，再把线段长度问题转化为坐标问题，来进行化简求解可得，再利用判别式可得的范围. 【详解】（1） 连接，过作,根据抛物线的定义可知，，又因为， 所以是等边三角形，由，可知等边的高为， 可知，根据抛物线方程， 可知准线为，焦点为，所以， 故抛物线方程为； （2）（i）由，，，可设，则 因为，所以即， 又因为，可得， 再因为，代入上式可得， 整理得：，由于，所以， 则由，即， 同理可证明； （ii）根据题意可知直线的斜率显然存在且不为0，可设方程为， 与抛物线联立方程组，消得：， 因为有两个交点为，所以 由韦达定理得：，分析的充要条件： 由得，，即，同理， 代入可得：， 再由抛物线的定义可得： 结合， ，可得， 整理得：，又因为，所以， 又因为，所以，又因为，所以， 代入，得，由于， 所以当的取值范围为，且时，有. 12．已知点是直线外的一个动点，，垂足为，且在线段外，，记点的轨迹为曲线．不过原点的直线交于两点，关于轴的对称点为，直线和的斜率之积为． （1）求的方程； （2）判断是否过定点，若是则求出该定点，若不是则说明理由； （3）证明：不可能为锐角三角形． 【答案】（1）1；（2）过定点；（3）证明见解析 【分析】（1）先设动点坐标，将几何关系转化为坐标关系后可得曲线的方程； （2）设直线方程并联立，代入双曲线方程得到关于的一元二次方程，利用韦达定理化简目标代数式后可得定点； （3）利用向量的数量积可判断三角形的形状. 【详解】（1）设，因为，且，垂足为，则点坐标为． 则， 已知，即． 因为在线段外，所以， 则，整理可得曲线的方程为． （2）设，则． 显然的斜率不为零，否则有， 此时，与直线和的斜率之积为6，矛盾． 故可设，由得， 依题意，且， ∴且． 由得， ∴， ∵直线和的斜率之积为6，∴， 即，，，解得． 此时恒成立，∴，过定点． （3）由（2）知，． ①当，即时，，∴均在的右支，如图． 此时， ∴是钝角，是钝角三角形． ②当，即或时，， ∴分别在的两支．不妨设在的右支，则，如图． 设，则， ∴． ∵过点，∴， ∴是钝角，是钝角三角形． 综上可知，不可能是锐角三角形． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 圆锥曲线中的证明与探究性问题 目录 典例详解 类型一、圆锥曲线中的证明问题 类型二、圆锥曲线中的探究性问题 压轴专练 类型一、圆锥曲线中的证明问题 · 圆锥曲线证明问题的类型及求解策略 1.圆锥曲线中的证明问题，主要有两类： （1）证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如：某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等； （2）证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等). 2.解决证明问题时，主要根据直线与圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通过相关性质的应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明. 例1．已知点为双曲线的右焦点，为的左顶点，过的直线交于点，当直线垂直于轴时，的面积为9． （1）求的值； （2）连接，分别交直线于点，设为线段的中点，求证：． 变式1-1．在直角坐标系中，点与点的连线的斜率的乘积为定值，记点的轨迹为. （1）求的方程； （2）若点是上两点，且满足直线与的斜率之和为. （ⅰ）若点坐标为，求直线的斜率； （ⅱ）若为△PMN的外心，证明：平分. 变式1-2．已知抛物线的焦点为F，若△ABC的三个顶点都在抛物线E上，且满足，则称该三角形为“核心三角形”． （1）设“核心三角形”的一边所在直线的斜率为2，求直线的方程； （2）已知△ABC是“核心三角形”，证明：△ABC三个顶点的横坐标都小于2． 变式1-3．已知椭圆，左右顶点为，，上下顶点为，，若四边形面积为，周长为，过右焦点且斜率为的直线交椭圆于，，直线，交于点，直线，交于点. （1）求椭圆的标准方程； （2）证明：点在定直线上； （3）证明：. 类型二、圆锥曲线中的探究性问题 1.存在性问题的解题步骤 探索性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化，一般步骤为： （1）假设满足条件的元素(常数、点、直线或曲线)存在；引入参变量，根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式(组)； （2）解此方程(组)或不等式(组)； （3）若方程(组)有实数解，则元素(常数、点、直线或曲线)存在，否则不存在. 2.解决存在性问题的注意事项 探索性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在. （1）当条件和结论不唯一时，要分类讨论. （2）当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件. （3）当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径. 例2．如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率，且椭圆过点，过点作斜率为的直线交椭圆于点，交轴于点．    （1）求椭圆的方程； （2）已知为的中点，是否存在定点，对于任意的都有，若存在，求出点的坐标：若不存在说明理由． 变式2-1．已知抛物线的准线为，以为圆心，面积为的圆与轴的负半轴交于点，动点到直线的距离为. （1）求动点的轨迹的方程； （2）若直线与轴的交点为，是否存在过点且斜率存在的直线交于，两点，使？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 变式2-2．已知椭圆（）的离心率为，，分别是椭圆的左，右焦点.过点且斜率不为0的直线l与椭圆交于A，B两点.的周长为8. （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线l的斜率为1，求线段AB的长； （3）若点P在椭圆上，且，试问是否存在直线l，使得的重心在y轴上？若存在，请求出直线l的方程；若不存在，请说明理由. 变式2-3．已知双曲线经过点，一条渐近线方程为． （1）求双曲线的方程； （2）设为原点，若点为双曲线上的动点，点在直线上，且． （ⅰ）求△AOB面积的最小值； （ⅱ）判断是否存在定圆与直线相切，若存在，求出定圆方程；若不存在，说明理由． 一、单选题 1．已知椭圆上存在两点关于直线对称，若椭圆离心率为，则的中点坐标为（    ） A． B． C． D． 2．设椭圆的一个焦点为，为内一点，若上存在一点，使得，则的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．公元前 300 年前后，欧几里得撰写的《几何原本》是最早有关黄金分割的论著，书中描述：把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值， 则这个比值即为“黄金分割比”， 把离心率为 “黄金分割比” 倒数的双曲线叫做 “黄金双曲线”． 黄金双曲线 的一个顶点为，与不在轴同侧的焦点为，的一个虚轴端点为，为双曲线任意一条不过原点且斜率存在的弦， 为中点． 设双曲线的离心率为， 则下列说法中，错误的有（ ） A． B． C． D．若， 则恒成立 4．设双曲线的焦距为，离心率为，且成等比数列，A是的一个顶点，是与A不在轴同侧的焦点，是的虚轴的一个端点，为的任意一条不过原点且斜率为的弦，为中点，为坐标原点，则下列判断错误的是（    ） A．的一条渐近线的斜率为 B． C．（分别为直线的斜率） D．若，则恒成立 5．已知点为双曲线上任意一点，、为其左、右焦点，为坐标原点．过点向双曲线两渐近线作垂线，设垂足分别为、，则下列所述错误的是（    ） A．为定值 B．、、、四点一定共圆 C．的最小值为 D．存在点满足、、三点共线时，、、三点也共线 6．双曲线，左､右顶点分别为为坐标原点，如图，已知动直线与双曲线左､右两支分别交于两点，与其两条渐近线分别交于两点，则下列命题正确的是（    ） A．存在直线，使得 B．在运动的过程中，始终有 C．若直线的方程为，存在，使得取到最大值 D．若直线的方程为，则双曲线的离心率为 二、多选题 7．已知抛物线与圆相交于A，B，线段AB恰为圆M的直径，且直线AB过抛物线W的焦点F，则正确的结论是（    ）    A． B．圆M与抛物线W的准线有公共点 C．在抛物线W上存在关于直线AB对称的两点 D．线段AB的垂直平分线与抛物线W交于C，D，则有 8．已知双曲线，直线m与双曲线的右支交于点A，B（A在x轴上方），与双曲线的两条渐近线交于点M，N（M在x轴上方），O为坐标原点．当直线m的斜率存在时，下列结论中正确的是（ ） A．恒成立 B．的面积的最小值为1 C．若，则 D．若，则的面积为定值 9．已知抛物线的焦点为，准线为为上的两个动点，则（    ） A．当时，直线的斜率为 B．记与轴交于点，存在，使得 C．过点作圆的两条切线，切点分别为，则的取值范围为 D．若以线段为直径的圆与相切，则三点共线 三、解答题 10．已知双曲线（，）的焦距为，右顶点为A，直线l与双曲线E相交于P，Q两点，且与E的一条渐近线相交于点． （1）求双曲线E的方程； （2）是否存在直线l，使得与的面积相等？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由； （3）若直线AP，AQ分别与y轴相交于M，N两点，证明：为定值． 11．已知抛物线焦点为F，准线为，为E上一点，，垂足为M，且. （1）求E的标准方程； （2）过点（其中）且斜率为k的直线与E交于，两点，C，D是E上的两点（异于A，B），且满足，. （i）证明：，； （ii）是否存在k和a，使得？若存在，求k和a的所有取值；若不存在，请说明理由. 12．已知点是直线外的一个动点，，垂足为，且在线段外，，记点的轨迹为曲线．不过原点的直线交于两点，关于轴的对称点为，直线和的斜率之积为． （1）求的方程； （2）判断是否过定点，若是则求出该定点，若不是则说明理由； （3）证明：不可能为锐角三角形． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$