精品解析：山东省淄博市周村区2023-2024学年八年级下学期期末数学模拟试题

2023-2024学年山东省淄博市周村区八年级（下）期末数学模拟试卷 一、选择题（本大题共12小题，共60分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（　　） A B. C. D. 2. 如果，那么的值是（　　） A B. C. D. 3. 如图，在中，，，则的长为（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 4. 如图，直线，直线与分别交于点和点．若，，则的长是（　　） A. 4 B. 6 C. 7 D. 12 5. 一元二次方程，配方后可形（ ） A. B. C. D. 6. 如图，边长为1的正方形网格图中，点，都在格点上，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在矩形中，，点E为的中点，将沿折叠，使点B落在矩形内点F处，连接，则的长为（　　） A. B. C. D. 8. 如图所示，点D、E、F分别位于△ABC的三边上，且DEBC，EFAB．如果△ADE的面积为2，△CEF的面积为8，则四边形BFED的面积是（　　） A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 9. 如图，D、E分别是的边上的点，，若，则的值为（　　） A. B. C. D. 10. 菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点的坐标是，点的纵坐标是，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在中，，，，若内接正方形的边长是x，则h、c、x的数量关系为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，BE是的中线，点F在BE上，延长AF交BC于点D，若，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题 13. 已知a、b是一元二次方程的两个根，那么的值是______． 14 若，则________． 15. 如图，正方形的边长为6，点E，F分别是边和的中点，连接，在上取点G，连接，若，则的长为__________． 16. 如图，直线l1∥l2∥l3，且l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3．把一块含有45°角的直角三角板如图所示放置，顶点A，B，C恰好分别落在三条直线上，AC与直线l2交于点D，则线段BD的长度为_____． 17. 如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E在BC边上，且BE：EC＝1：3．动点P从点B出发，沿BA运动到点A停止．过点E作EF⊥PE交边AD或CD于点F，设M是线段EF的中点，则在点P运动的整个过程中，点M运动路线的长为__________． 三、解答题：解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 18. 按要求计算下列各题 （1）计算：； （2）解方程：． 19. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示． （1）这个反比例函数的解析式是 （）． （2）若使用时电阻，则电流I是 ； （3）如果以蓄电池为电源的用电器的电流不能超过10A，那么用电器的可变电阻至少是多少？ 20. 已知：如图，在△ABC中，点M为AC边的中点，点E为AB上一点，且AB=4AE，连接EM并延长交BC的延长线于点D， 求证：BC=2CD. 21. 已知关于的一元二次方程． （1）当为何值时，方程有两个不相等的实数根？ （2）若边长为5的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，求的值． 22. 2017年5月14日——5月15日．“一带一路”国际合作高峰论坛在北京成功举办，高峰论坛期间及前夕，各国政府、地方、企业等达成一系列合作共识、重要举措及务实成果．中方对其中具有代表性的一些成果进行了梳理和汇总，形成高峰论坛成果清单．清单主要涵盖政策沟通、设施联通、贸易畅通、资金融通、民心相通5大类，共76大项、270多项具体成果．我市新能源产业受这一利好因素，某企业的利润逐月提高．据统计，2017年第一季度的利润为2000万元，第三季度的利润为2880万元． （1）求该企业从第一季度到第三季度利润的平均增长率； （2）若第四季度保持前两季度利润的平均增长率不变，该企业2017年的年利润总和能否突破1亿元？ 23. 如图，在中，，点E在边BC上移动（点E不与点B、C重合），满足，且点D、F分别在边AB、AC上． （1）求证：； （2）当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分． 24. 【综合与实践】：数学实践活动是一种非常有效的学习方式，通过活动可以激发我们的学习兴趣，提高动手动脑能力，拓展思维空间，丰富数学体验，下面让我们一起动手来折一折，转一转，剪一剪，体验数学实践活动带给我们的乐趣吧． （1）折一折：如图1，将正方形纸片ABCD折叠，使边AB，AD都落在对角线AC上，展开得折痕AE，AF，连接EF，则______度；若，则△AEF的面积______； （2）转一转： ①如图2，将图1中的绕点A旋转，使它的两边分别交边BC，CD于点P，Q，连接PQ．若，，求△APQ的面积； ②如图3，连接正方形对角线BD，若图2中的的边AP、AQ分别交对角线BD于点M、点N，请判断线段BM与CQ之间的数量关系，并说明理由； （3）剪一剪：如图4，将图3中正方形纸片沿对角线BD剪开．若，，请求MN的长（用含有a和b的代数式表达）． 25. 【阅读理解】 配方法是中学数学的重要方法，用配方法可求最大(小)值．对于任意正实数，，可作如下变形： ∵ 又∵ ∴ 即． 根据上述内容，回答问题：______；______；______．(用“”“”“”填空) 【思考验证】 如图1，中，，于点，为边上中线，，，试根据图形验证成立，并指出等号成立时的条件． 【探索应用】 (1)请利用上述结论解决下面问题，某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，一面利用墙体将该区域用篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，如图所示，为了围成面积为的花圃，所用的篱笆至少为多少米？ (2)如图3，四边形的对角线，相交于点，，的面积分别是和．试问四边形的面积是否存在最小值？若存在，请直接写出四边形面积的最小值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年山东省淄博市周村区八年级（下）期末数学模拟试卷 一、选择题（本大题共12小题，共60分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义，即可一一判定． 【详解】解：A.是最简二次根式，符合题意； B.，该选项含有开得尽方的因式，故不是最简二次根式，不符合题意； C.，该选项被开方数含有分母，故不是最简二次根式，不符合题意； D.，该选项含有开得尽方的因数，故不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了最简二次根式，最简二次根式是被开方数不含分母，被开方数不含开得尽方的因数或因式． 2. 如果，那么的值是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据比例的性质即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 3. 如图，在中，，，则的长为（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】题目主要考查平行线分线段成比例，理解题意，结合图形求解是解题关键 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 解得：， 故选：C． 4. 如图，直线，直线与分别交于点和点．若，，则的长是（　　） A. 4 B. 6 C. 7 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理得出，再求出答案即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键． 5. 一元二次方程，配方后可形为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把常数项移到方程右边，再把方程两边加上16，然后把方程作边写成完全平方形式即可 【详解】解： x2-8x=2， x2-8x+16=18， （x-4）2=18． 故选：A． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． 6. 如图，边长为1的正方形网格图中，点，都在格点上，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用勾股定理求出AB，再减去BC可得AC的长． 【详解】解：由图可知： AB==， ∵BC=， ∴AC=AB-BC==， 故选B． 【点睛】本题考查了二次根式的加减，勾股定理与网格问题，解题的关键是利用勾股定理求出线段AB的长． 7. 如图，在矩形中，，点E为的中点，将沿折叠，使点B落在矩形内点F处，连接，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查翻折变换性质和矩形性质，三角形面积公式，勾股定理．根据题意连接，根据三角形面积公式求出，得到，根据直角三角形判定得到，再根据勾股定理即可得到本题答案． 【详解】解：连接交于点， ， ∵，点E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵将沿折叠，使点B落在矩形内点F处， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 8. 如图所示，点D、E、F分别位于△ABC的三边上，且DEBC，EFAB．如果△ADE的面积为2，△CEF的面积为8，则四边形BFED的面积是（　　） A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件证明．相似三角形面积比等于相似比的平方可得，设，则，．再证明，利用相似三角形面积比等于相似比的平方即可得结论． 【详解】解：，， ，，， ， ． ， 而，， ， 设，则，． 则， 设； ， ， ， 即， 解得：， 即四边形的面积为8． 故选：B． 【点睛】考查了相似三角形的判定与性质，熟悉相关性质是解题的关键． 9. 如图，D、E分别是的边上的点，，若，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知条件易求得，由可证，，可得的值，再利用相似三角形的性质即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了等高的两个三角形的面积之间的关系和相似三角形的判定和性质，属于基本题型，熟练掌握相似三角形的判定和性质是关键． 10. 菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点的坐标是，点的纵坐标是，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接AB交OC于点D，由菱形OACB中，根据菱形的性质可得OD=CD=4，BD=AD=2，由此即可求得点B的坐标． 【详解】∵连接AB交OC于点D， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB⊥OC，OD=CD，AD=BD， ∵点C的坐标是（8，0），点A的纵坐标是2， ∴OC=8，BD=AD=2， ∴OD=4， ∴点B的坐标为：（4，-2）． 故选B． 【点睛】本题考查了菱形的性质与点与坐标的关系．熟练运用菱形的性质是解决问题的关键，解题时注意数形结合思想的应用． 11. 如图，在中，，，，若内接正方形的边长是x，则h、c、x的数量关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据正方形的性质得到，继而证明，根据相似三角形的性质即可列出比例式，再通过证明四边形DHMG是矩形表示出CM的长度，即可求解． 【详解】解：设CH与GF交于点M， 正方形， ，， ， ， ， ， 四边形DHMG是矩形， ， ，，正方形的边长是x， ， ， ， 整理得， 故选：D． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、正方形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 12. 如图，BE是的中线，点F在BE上，延长AF交BC于点D，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用三角形的中线的定义得到，过点E作EG∥DC交AD于G，再根据相似三角形的性质得到，由得到，最后由相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：如图， ∵BE是的中线， ∴， 过点E作交AD于G， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，过点E作，构造相似三角形是解题的关键． 二、填空题 13. 已知a、b是一元二次方程的两个根，那么的值是______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据根与系数的关系，进行计算即可． 【详解】解：∵a、b是一元二次方程的两个根， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查根与系数的关系，因式分解，代数式求值．熟练掌握根与系数的关系，是解题的关键． 14. 若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据根式加减运算法则求解即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， ， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查根式加减运算，及根式相等的条件，解题的关键是熟练掌握合并同类二次根式及根式相等即被开方数相同． 15. 如图，正方形的边长为6，点E，F分别是边和的中点，连接，在上取点G，连接，若，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】连接交于，根据正方形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，，推出是等腰直角三角形，根据勾股定理和三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：连接交于， 四边形是正方形， ，， 点、分别是边，的中点， ， 在与中， ， ， ，， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ∵， ∴ ∴ ∵ ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 16. 如图，直线l1∥l2∥l3，且l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3．把一块含有45°角的直角三角板如图所示放置，顶点A，B，C恰好分别落在三条直线上，AC与直线l2交于点D，则线段BD的长度为_____． 【答案】 【解析】 【分析】分别过点A、B、D作AF⊥l3，BE⊥l3，DG⊥l3，先根据全等三角形的判定定理得出△BCE≌△ACF，故可得出CF及CE的长，在Rt△ACF中根据勾股定理求出AC的长，再由相似三角形的判定得出△CDG∽△CAF，故可得出CD的长，在Rt△BCD中根据勾股定理即可求出BD的长． 【详解】别过点A、B、D作AF⊥l3，BE⊥l3，DG⊥l3， ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴AC＝BC， ∵∠EBC+∠BCE＝90°，∠BCE+∠ACF＝90°，∠ACF+∠CAF＝90°， ∴∠EBC＝∠ACF，∠BCE＝∠CAF， △BCE与△ACF中， ∴△BCE≌△ACF（ASA） ∴CF＝BE，CE＝AF， ∵l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3， ∴CF＝BE＝3，CE＝AF＝3+1＝4， 在Rt△ACF中， ∵AF＝4，CF＝3， ∴AC＝5， ∵AF⊥l3，DG⊥l3， ∴△CDG∽△CAF， ， ， ， 在Rt△BCD中， ∵，BC＝5， 所以． 故答案为． 【点睛】本题主要考查的是相似三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形是解答此题的关键． 17. 如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E在BC边上，且BE：EC＝1：3．动点P从点B出发，沿BA运动到点A停止．过点E作EF⊥PE交边AD或CD于点F，设M是线段EF的中点，则在点P运动的整个过程中，点M运动路线的长为__________． 【答案】9. 【解析】 【分析】过点M作GH⊥AD，证明△EGM≌△FHM，得到MG=MH，从而可知：点M的轨迹是一条平行于BC的线段，然后证明△EF1A∽△∠EF1F2，求得F1F2=18，最后根据三角形中位线定理可求得答案． 【详解】 解：∵AD∥CB，GH⊥AD， ∴GH⊥BC． 在△EGM和△FHM中， ∴△EGM≌△FHM． ∴MG=MH． ∴点M的轨迹是一条平行于BC的线段． 当点P与B重合时，AF1=BE=2， 当点P与点A重合时，∠F2+∠EAF1=90°，∠AEF1+∠EAF1=90°， ∴∠F2=∠AEF1． ∵∠EF1A=∠EF1F2， ∴△EF1A∽△∠F2F1E． ∴， ∴， ∴=18， ∵M1M2是△EF1F2的中位线， ∴M1M2=F1F2=9． 故答案为：9． 【点睛】本题主要考查的是点的轨迹问题，题目涉及了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，探究出动点经过的路径是解题的关键． 三、解答题：解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 18. 按要求计算下列各题 （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）4 （2）， 【解析】 【分析】（1）先按照二次根式的性质化简，然后再按照二次根式的混合运算法则计算即可； （2）直接运用公式法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∴， ∴，． 【点睛】本题主要考查二次根式的性质、二次根式的混合运算、解一元二次方程等知识点，灵活运用相关运算法则是解答本题的关键． 19. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示． （1）这个反比例函数的解析式是 （）． （2）若使用时电阻，则电流I是 ； （3）如果以蓄电池为电源的用电器的电流不能超过10A，那么用电器的可变电阻至少是多少？ 【答案】（1） （2） （3）用电器的可变电阻至少是 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用； （1）先由电流是电阻的反比例函数，可设，结合点在函数图象上，利用待定系数法即可求出这个反比例函数的解析式； （2）中，令，求出对应的的值即可； （3）将代入所求的函数解析式，即可确定电阻的取值范围． 【小问1详解】 设反比例函数式． 把代入反比例函数式， ． ． 故答案为：． 【小问2详解】 当，． 故答案为：； 【小问3详解】 当时，则， ， 用电器的可变电阻至少是． 20. 已知：如图，在△ABC中，点M为AC边的中点，点E为AB上一点，且AB=4AE，连接EM并延长交BC的延长线于点D， 求证：BC=2CD. 【答案】证明见解析. 【解析】 【分析】方法一：过C点作CP∥AB，交DE于P，如图，证明方法与方法一类似； 方法一：作CF∥DE于DE，交AB于F，如图，根据平行线分线段成比例定理，由ME∥CF得到= ，加上AM=MC，则AE=EF，由于AB=4 AE，所以 又因为 ，可得 ，即． 【详解】证明:（方法一）过点作∥交于点， ∴∽ ∴ ∵点为的中点， ∴ ∵ ∵ 又∵ ∴ ∴ ∵ ，， ∴ ∴ ∵ ∴，即. 又∵ ∴ （方法二）过点作 交于点， ∴ 又∵点为的中点， ∴ ∴ ∴ 又∵， ∴ 又∵ ∴ ∴． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 21. 已知关于的一元二次方程． （1）当为何值时，方程有两个不相等的实数根？ （2）若边长为5的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，求的值． 【答案】（1）当m＞﹣时，方程有两个不相等的实数根；（2）m的值为﹣4． 【解析】 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=4m+17＞0，解之即可得出结论； （2）设方程的两根分别为a、b，根据根与系数的关系结合菱形的性质，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再根据a+b=﹣2m﹣1＞0，即可确定m的值． 【详解】（1）∵方程x2+（2m+1）x+m2﹣4=0有两个不相等的实数根， ∴△=（2m+1）2﹣4（m2﹣4）=4m+17＞0， 解得：m＞﹣． ∴当m＞﹣时，方程有两个不相等的实数根． （2）设方程的两根分别为a、b， 根据题意得：a+b=﹣2m﹣1，ab=m2﹣4． ∵2a、2b为边长为5的菱形的两条对角线的长， ∴a2+b2=（a+b）2﹣2ab=（﹣2m﹣1）2﹣2（m2﹣4）=2m2+4m+9=52=25， 解得：m=﹣4或m=2． ∵a＞0，b＞0， ∴a+b=﹣2m﹣1＞0， ∴m=﹣4． 若边长为5的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，则m的值为﹣4． 考点：1.根的判别式；2.根与系数的关系；3.菱形的性质． 22. 2017年5月14日——5月15日．“一带一路”国际合作高峰论坛在北京成功举办，高峰论坛期间及前夕，各国政府、地方、企业等达成一系列合作共识、重要举措及务实成果．中方对其中具有代表性的一些成果进行了梳理和汇总，形成高峰论坛成果清单．清单主要涵盖政策沟通、设施联通、贸易畅通、资金融通、民心相通5大类，共76大项、270多项具体成果．我市新能源产业受这一利好因素，某企业的利润逐月提高．据统计，2017年第一季度的利润为2000万元，第三季度的利润为2880万元． （1）求该企业从第一季度到第三季度利润的平均增长率； （2）若第四季度保持前两季度利润的平均增长率不变，该企业2017年的年利润总和能否突破1亿元？ 【答案】（1）该企业从第一季度到第三季度利润的平均增长率为20%．（2）该企业2017年的年利润总和能突破1亿元． 【解析】 【分析】（1）设该企业从第一季度到第三季度利润的平均增长率为x，根据第一季度及第三季度的利润，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，取其正值即可； （2）根据平均增长率求出四个季度的利润和，与1亿元比较后即可得出结论． 【详解】解：（1）设该企业从第一季度到第三季度利润的平均增长率为x， 根据题意得：2000（1+x）2＝2880， 解得：x＝0.2＝20%或x＝﹣2.2（不合题意，舍去）． 答：该企业从第一季度到第三季度利润的平均增长率为20%； （2）2000+2000×（1+20%）+2880+2880×（1+20%）＝10736（万元）， 10736万元＞1亿元． 答：该企业2017年的年利润总和突破1亿元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据平均增长率求出四个季度的利润和． 23. 如图，在中，，点E在边BC上移动（点E不与点B、C重合），满足，且点D、F分别在边AB、AC上． （1）求证：； （2）当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得∠B=∠C，再由∠DEF+∠CEF=∠B+∠BDE，，即可判定，根据相似三角形的判定方法即可得△BDE∽△CEF； （2）由相似三角形的性质可得，再由点E是BC的中点，可得BE=CE，即可得，又因，即可判定△CEF∽△EDF，根据相似三角形的性质可得，即可证得即FE平分∠DFC． 【详解】解：（1）∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∵∠DEF+∠CEF=∠B+∠BDE， ∴, ∴△BDE∽△CEF； （2）∵△BDE∽△CEF， ∴, ∵点E是BC的中点， ∴BE=CE,即, ∴， 又∵, ∴△CEF∽△EDF, ∴,即FE平分∠DFC． 24. 【综合与实践】：数学实践活动是一种非常有效的学习方式，通过活动可以激发我们的学习兴趣，提高动手动脑能力，拓展思维空间，丰富数学体验，下面让我们一起动手来折一折，转一转，剪一剪，体验数学实践活动带给我们的乐趣吧． （1）折一折：如图1，将正方形纸片ABCD折叠，使边AB，AD都落在对角线AC上，展开得折痕AE，AF，连接EF，则______度；若，则△AEF的面积______； （2）转一转： ①如图2，将图1中的绕点A旋转，使它的两边分别交边BC，CD于点P，Q，连接PQ．若，，求△APQ的面积； ②如图3，连接正方形对角线BD，若图2中的的边AP、AQ分别交对角线BD于点M、点N，请判断线段BM与CQ之间的数量关系，并说明理由； （3）剪一剪：如图4，将图3中的正方形纸片沿对角线BD剪开．若，，请求MN的长（用含有a和b的代数式表达）． 【答案】（1）； （2）①；②，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用翻折变换的性质可得∠EAF=45°，证明△BAE≌△DAF（ASA），推出BE=DF，AE=AF，可得结论，再根据勾股定理求出BE，即可求出答案． （2）①如图，将△ADQ绕点A顺时针旋转90°，得到△ABQ′，点D与B重合，证明△PAQ≌△PAQ′，求出PQ=4，最后用勾股定理求出AB，可得结论． ②证明△CAQ∽△BAM，可得； （3）如图4中，如图，将△ADN绕点A顺时针旋转90°，得△ABN′，点D与B重合，证明△MAN≌△MAN′（SAS），∠RBM=90°，可得结论． 【小问1详解】 解：如图1中， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD=BC=CD，∠BAD=90°， ∴△ABC，△ADC都是等腰三角形， ∵∠BAE=∠CAE，∠DAF=∠CAF， ∴∠EAF=（∠BAC+∠DAC）=45°， ∵∠BAE=∠DAF=22.5°，∠B=∠D=90°，AB=AD， ∴△BAE≌△DAF（ASA）， ∴BE=DF，AE=AF， ∴AC⊥EF， 由折叠知，EK=BE，FK=DF， 设BE=m，则DF=EK=FK=m， ∵AC是正方形ABCD的对角线， ∴AC=AB=，∠ACB=45°， ∴∠CEF=45°=∠ACB， ∴CK=EK=m， 根据勾股定理得，CE=EK=m， ∴BE+CE=m+m=1， ∴m=， ∴ 故答案：45，； 【小问2详解】 ①如图，将△ADQ绕点A顺时针旋转90°，得到，点D与B重合， ∴，， ∴ ∵ ∴点C，B（D），共线 在和中， ∵ ∴ ∴ ∴ 设，则， 在中，由勾股定理，得解，得，（舍去） ∴作于点M， ∴ ∴ ②∵正方形ABCD ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 【小问3详解】 如图，将绕点A顺时针旋转90°，得，点D与B重合， ∴，，， ∴ 在和△MAN中， ∵ ∴ ∴ 在中，由勾股定理，得 ∴ ∴ 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题． 25. 【阅读理解】 配方法是中学数学的重要方法，用配方法可求最大(小)值．对于任意正实数，，可作如下变形： ∵ 又∵ ∴ 即． 根据上述内容，回答问题：______；______；______．(用“”“”“”填空) 【思考验证】 如图1，中，，于点，为边上中线，，，试根据图形验证成立，并指出等号成立时的条件． 【探索应用】 (1)请利用上述结论解决下面问题，某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，一面利用墙体将该区域用篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，如图所示，为了围成面积为的花圃，所用的篱笆至少为多少米？ (2)如图3，四边形的对角线，相交于点，，的面积分别是和．试问四边形的面积是否存在最小值？若存在，请直接写出四边形面积的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】[阅读理解] ，， ； [思考验证]验证见解析，当时，等式成立 [探索应用]（1）60米；（2）存在，最小值是 【解析】 【分析】[阅读理解]根据实数的大小比较即可求解； [思考验证] 根据直角三角形的性质得出，勾股定理可得，再由（1）中结论即可得出等号成立时的条件； [探索应用]（1）设花圃的长为米，宽为米，则，根据题意，，即可求解； （2）根据三角形等高得出，得出，确定四边形的面积形式，利用题干中的方法求解即可得出结果． 【详解】解：[阅读理解]∵，， ， ∴； ∵，， ∵， ∴； ∵， ， 故答案为：，，． [思考验证] ∵中，，，为边上中线，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴当时等号成立， 即有， ∴斜边的高线和中线重合， ∴是等腰直角三角形， ∴当是等腰直角三角形时，等号成立； [探索应用]（1）设花圃的长为米，宽为米，则 ∵， ∴篱笆至少为米 （2）设的面积为， ∵， 即， ∴． 四边形的面积， 当时， 即时，四边形面积最小为． 【点睛】本题考查了等腰三角形性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，实数的大小比较、二次根式的化简及完全平方公式的运用，用配方法求最值，理解在（、均为正实数）中，当且仅当、满足时，有最小值是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$