专题15 概率（50题）（陕西专用）-【好题汇编】5年（2021-2025）中考1年模拟数学真题分类汇编

专题15 概率（50题） 1．（2025·陕西·中考真题）某班开展主题为“我爱陕西”的综合实践活动，班委会决定设置“山水”“历史”“文学”“艺术”“科技”（分别记作，，，，）共五个研究方向，并采取小组合作的研究方式．同学们在五张完全相同的不透明卡片的正面绘制了如图所示的图案，卡片背面保持完全相同． (1)将这五张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“科技”的概率为______； (2)各小组从这五张卡片中随机抽取一张，将卡片内容作为本小组的研究方向．将这五张卡片背面朝上洗匀后，小秦代表第一小组从中随机抽取一张，记下结果，放回，背面朝上洗匀后，小博代表第二小组从中随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法，求这两个小组研究方向不同的概率． 2．（2024·陕西·中考真题）一个不透明的袋子中共装有五个小球，其中3个红球，1个白球，1个黄球，这些小球除颜色外都相同．将袋中小球摇匀，从中随机摸出一个小球记下颜色后放回，记作随机摸球一次． (1)随机摸球10次，其中摸出黄球3次，则这10次摸球中，摸出黄球的频率是________． (2)随机摸球2次，用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的小球都是红球的概率． 3．（2023·陕西·中考真题）一个不透明的袋子中装有四个小球，这四个小球上各标有一个数字，分别是1，1，2，3，这些小球除标有的数字外都相同． (1)从袋中随机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标有的数字是1的概率为 　　； (2)先从袋中随机摸出一个小球，记下小球上标有的数字后，放回，摇匀，再从袋中随机摸出一个小球，记下小球上标有的数字，请利用画树状图或列表的方法、求摸出的这两个小球上标有的数字之积是偶数的概率． 4．（2022·陕西·中考真题）有五个封装后外观完全相同的纸箱，且每个纸箱内各装有一个西瓜，其中，所装西瓜的重量分别为6kg，6kg，7kg，7kg，8kg．现将这五个纸箱随机摆放． (1)若从这五个纸箱中随机选1个，则所选纸箱里西瓜的重量为6kg的概率是______； (2)若从这五个纸箱中随机选2个，请利用列表或画树状图的方法，求所选两个纸箱里西瓜的重量之和为15kg的概率．      第二个 第一个 6 6 7 7 8 6 12 13 13 14 6 12 13 13 14 7 13 13 14 15 7 13 13 14 15 8 14 14 15 15 5．（2021·陕西·中考真题）从一副普通的扑克牌中取出四张牌，它们的牌面数字分别为2，3，3，6． （1）将这四张扑克牌背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，则抽取的这张牌的牌面数字是3的概率为 ； （2）将这四张扑克牌背面朝上，洗匀．从中随机抽取一张，不放回，再从剩余的三张牌中随机抽取一张．请利用画树状图或列表的方法，求抽取的这两张牌的面数字恰好相同的概率． 第二次 第一次 2 3 3 6 2 3 3 6 6．（2025·陕西渭南·三模）《中国诗词大会》在向人们宣传古诗词文化的同时也在学生群体中掀起了古诗词的热潮．喜欢古诗的小明和小华两人制作了四张完全相同的不透明卡片，并在卡片正面分别写上诗句： A．“长风破浪会有时，直挂云帆济沧海．”； B．“清明时节雨纷纷，路上行人欲断魂．”； C．“忽如一夜春风来，千树万树梨花开．”； D．“借问酒家何处有，牧童遥指杏花村．”，两人商量将卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，并说出所抽卡片上诗句的作者和诗名． (1)从这四张卡片中随机抽取一张，则抽到的卡片上写有诗句“长风破浪会有时，直挂云帆济沧海．”的概率是________； (2)小明先从这四张卡片中随机抽取了一张，不放回，小华再从剩余的三张卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求他们抽取的诗句恰好出自同一首诗的概率． 7．（2025·陕西宝鸡·二模）春节前夕，某商场举行“抽奖返现”促销活动，凡购物每满元，即可抽奖一次抽奖规则如下：在一个不透明的箱子中装有个红球、个黄球、个白球仅颜色不同，每次抽奖前将其摇匀后，抽奖者从中随机摸出个球，记下颜色后，放回若是红球，则获得奖金元；若是黄球，则得奖金元；若是白球，则为感谢参与无奖金． (1)若抽奖者从该箱子中随机摸出一个球，摸到白球的概率是______； (2)王丹当天在该商场消费元，抽了两次奖，请用列表或画树状图的方法求她两次抽奖的和等于元的概率． 红 黄 白 白 红 （红，红） （红，黄） （红，白） （红，白） 黄 （黄，红） （黄，黄） （黄，白） （黄，白） 白 （白，红） （白，黄） （白，白） （白，白） 白 （白，红） （白，黄） （白，白） （白，白） 8．（2025·陕西·一模）一个不透明的袋子中装有5个小球，这5个小球上各标有1个数字，分别是1，2，2，3，3，这些小球除标有的数字外其他都相同． (1)小明从袋子中随机摸出1个小球，则摸到的小球上标有的数字是3的概率为_____． (2)小亮从袋子中随机摸出1个小球，不放回，再随机摸出一个小球，请利用画树状图或列表的方法，求摸出的两个小球上标有的数字是连续整数的概率． 9．（2025·陕西西安·三模）中国诗起源于先秦，鼎盛于唐代；中国词起源于隋唐，流行于宋代．诗词文化作为中华优秀传统文化的代表，已经融入我们的文化基因．一天，悦悦和哥哥在玩“经典诗词背诵”游戏，他们制作了一个如图所示的均匀转盘，将转盘平均分成等份，并在每个扇形中标上不同的朝代，悦悦先转动一次转盘，转盘停止转动后，以指针所指扇形中的朝代为准，背诵一首该朝代的经典诗词，然后哥哥再转动一次转盘，转盘停止转动后，以指针所指扇形中的朝代为准，背诵一首该朝代的经典诗词．（若指针指在分割线上，则重转） (1)悦悦转动一次转盘，转盘停止转动后，指针所指扇形中的朝代为唐代的概率为 ； (2)请用列表或画树状图法，求悦悦和哥哥应该背诵的都不是唐代经典诗词的概率． 10．（2025·陕西榆林·三模）中国古代的“四书”是指《论语》、《孟子》、《大学》和《中庸》，它蕴含了儒家思想的核心内容，是儒学认识论和方法论的集中体现，也是中国传统文化的重要组成部分．某校准备开展以“四书”为主题的校园文化黑板报活动，为公平起见，校团委制作了如图所示的可自由转动的转盘，将圆形转盘四等分并分别标上《论语》、《孟子》、《大学》和《中庸》，各班班长转动转盘一次，转盘停止后，指针所指扇形部分的书名即为该班黑板报主题(当指针指在分界线上时不计次数，重转)． (1)随机转动转盘一次，转盘停止后指针所指扇形部分的书名为《论语》属于______事件；(填“随机”“不可能”或“必然”) (2)甲、乙分别是该校九（1）班、九（2）班的班长，请用列表或画树状图的方法，求甲和乙选到的黑板报主题不同的概率． 11．（2025·陕西咸阳·三模）《防震减灾基本知识与技能大纲》于2025年5月12日发布，这是全国层面首次编制的防震减灾基本知识与行为技能规范，大纲含第一部分的基本知识和理念与第二部分的基本行为和技能，共18条内容．某次班会课上，班主任挑选了与我们生活息息相关的8条内容（分别为图中第一部分的和第二部分的供全班学习，学习委员先从第一部分的4条内容中随机选择一条进行讲解，纪律委员再从第二部分的4条内容中随机选择一条进行讲解．（每条内容被选择的可能性均相同） (1)“学习委员讲解的是B．地震观测”是___________事件；（选填“随机”或“必然”或“不可能”） (2)请用列表法或画树状图的方法求学习委员讲解的不是．震害防御，且纪律委员讲解的是．做好应急准备的概率． 12．（2025·陕西西安·三模）端午节是中国四大传统节日之一．为了让学生进一步了解端午节民俗，学校在端午节前的某天开展了以下七项活动（上午四项，下午三项）．由于参加活动的人数较多，每位参加活动的学生最多只能选择其中两项活动，且每项活动被选择的可能性均相同． (1)该校的小玲从这七项活动中随机选择一项，则她选择的是包粽子的概率是__________ ； (2)该校的婷婷先从上午的四项活动中随机选择一项，再从下午的三项活动中随机选择一项，请用列表或画树状图的方法，求婷婷选择的是包粽子和做香包的概率． 13．（2025·陕西榆林·三模）如图所示，一个圆形转盘，它是由圆心角为的两个白色扇形和和一个黑色扇形组成的，转盘的圆心处有一个固定的指针．小王和小吴玩转盘游戏，他们让这个转盘自由转动两次，规定：若指针至少有一次落在黑色区域，则小王胜；若指针两次都落在白色区域，则小吴胜；若指针落在两个扇形的中缝处，则重新转动转盘．这个规则公平吗？请运用你学过的概率知识，通过画树状图或列表，计算说明你的理由． 第二次转第一次转                               14．（2025·陕西延安·三模）自然界大部分彩色的光都可以通过红、绿、蓝三种颜色的光按照不同比例混合而成，所以这三种色光又被称为光的“三原色”．在一次数学课上，老师利用光的三原色设计了一个“配紫色”游戏（红色和蓝色配在一起为紫色），如图，甲转盘被均匀地分成个扇形，分别涂为红、绿、蓝三种颜色，乙转盘被涂上红色与蓝色，蓝色部分的扇形圆心角是，同时转动两个转盘，当转盘停止转动时，用两个转盘指针所指的颜色配色．（若指针指在分割线上，需重新转动，直到指针指向某一扇形为止） (1)转动乙转盘，指针指向蓝色的概率为______； (2)同时转动两个转盘，请用画树状图或列表的方法求转盘停止时指针所指的颜色可配成紫色的概率． 红 绿 蓝 红 （红，红） （绿，红） （蓝，红） 红 （红，红） （绿，红） （蓝，红） 蓝 （红，蓝） （绿，蓝） （蓝，蓝） 15．（2025·陕西榆林·二模）如图是小宇家新安装的一个开关面板，面板上的5个开关分别控制走廊主灯、饭厅主灯，客厅灯带、厨房主灯和墙面射灯，工人师傅安装完之后忘记给每个开关上面做标记，小宇不知道每个开关具体控制的是哪一盏灯，于是他随机打开一个开关，观察亮灯位置后在开关面板上做好对应标记，再随机打开下一个开关……，直到将5个开关全部做好标记． (1)小字第一次打开的开关控制的是厨房主灯的概率为________； (2)已知这5盏灯中，只有客厅灯带打开时会伴随短暂的音乐声，请用画树状图或列表的方法求小宇前两次打开开关都没有听到音乐声的概率． 16．（2025·陕西汉中·二模）万物皆有灵，草木亦有心．“梅兰竹菊”作为国画四君子，是中国传统文化的题材，梅之傲骨、兰之谦逊、竹之坚韧、菊之淡泊，皆为中华民族精神之寄托．美术爱好者悦悦和欣欣两位同学想在活动课上临摹下面这四幅美术作品，但由于时间有限，她们只能各自选择其中一幅进行临摹，一时间不知道如何选择，于是她们制作了如图所示的均匀转盘，将转盘四等分，并对转盘进行标注，两人各转动转盘一次，转盘停止后，以指针所指扇形中的内容为准进行临摹（当指针指在分界线上时重转）． (1)“悦悦转动转盘一次，转盘停止转动后，指针所指扇形中的内容为‘竹’”是__________事件；（选填“随机”或“不可能”或“必然”） (2)请用列表法或画树状图的方法，求悦悦和欣欣两人中，至少有一人临摹作品“兰”的概率． 17．（2025·陕西渭南·二模）为了让艺术教育回归美育初心，培养学生的艺术素养，某校开设了美术兴趣班，该兴趣班某天进行了一次艺术鉴赏，班长准备了如图1所示的四幅作品，要求每位学生对其中的一幅作品进行赏析．为公平起见，班长将一个均匀转盘平均分成4等份，并分别标上字母A、B、C、D，如图2，每位同学转动一次转盘，转盘停止后指针所指扇形中的字母对应的作品即为这位同学要赏析的作品（若指针指在分割线上，则重转，直到指针指向某一扇形为止）． (1)任意转动一次转盘，转盘停止后指针所指扇形中的字母是A的概率为________； (2)甲、乙是该兴趣班的两位学生，请用列表法或画树状图的方法，求甲和乙赏析的作品都不是C．陶艺的概率． 18．（2025·陕西西安·二模）“宫、商、角、徽、羽”是中国五声音阶中的五个基本音阶，某音乐玩具的大致结构如图所示，音乐小球从中心A处进入周围的5个音槽内，就可以发出相应的声音，且小球每次进入每个音槽内的可能性均相同，现有一个音乐小球从A处先后两次进入音槽． (1)第一次发出“羽”音的概率为______； (2)请用列表法或画树状图的方法求这两次先发出“角”音，再发出“徽”音的概率（注：“宫、商、角、徽、羽”分别用“①、②、③、④、⑤”表示）． ① ② ③ ④ ⑤ ① ①① ①② ①③ ①④ ①⑤ ② ②① ②② ②③ ②④ ②⑤ ③ ③① ③② ③③ ③④ ③⑤ ④ ④① ④② ④③ ④④ ④⑤ ⑤ ⑤① ⑤② ⑤③ ⑤④ ⑤⑤ 19．（2025·陕西咸阳·二模）2025年春节电影贺岁档《哪吒之魔童闹海》《封神第二部：战火西岐》《唐探1900》《蛟龙行动》等多部电影上线，精彩纷呈．小雅和小宣想从上面4部影片中选择两部观看，她们用4张完全一样的空白卡片写上影片名称，随机抽取两张决定看哪两部电影． (1)随机抽取一张，抽到《哪吒之魔童闹海》的概率是__________________． (2)用画树状图或列表的方法，求出随机抽取两张卡片，恰好抽到写有《哪吒之魔童闹海》和《蛟龙行动》的两张卡片的概率． 20．（2025·陕西榆林·二模）为了让艺术教育回归美育初心，培养学生的艺术素养，某校开设了美术兴趣班，该兴趣班某天进行了一次艺术鉴赏，班长准备了如图所示的四幅作品，要求每位学生对其中的一幅作品进行赏析．为公平起见，班长将分别标有字母A、B、C、D的4个小球（小球除所标字母不同外其余完全相同）装在一个不透明的盒子里，摇匀后某位学生从盒子里随机摸出一个小球，记下小球上的字母并放回，摇匀，剩下每位学生都重复以上操作，每位学生摸到小球上的字母对应的作品即为他要赏析的作品． (1)任意摸出一个小球，摸出的小球上的字母是的概率为_____； (2)甲、乙是该兴趣班的两位学生，请用列表法或画树状图的方法，求甲和乙赏析的作品都不是C．陶艺的概率． A B C D A B C D 21．（2025·陕西延安·二模）为大力弘扬中华优秀传统文化，在某次班会上，甲、乙两名同学准备从“A．女娲补天；B．木兰从军；C．武松打虎；D．梁山伯与祝英台”这四个故事中，各选一个进行讲解，班长做了4张背面完全相同的卡片，如图，卡片正面分别绘制了这4个故事传说的插画，将卡片背面朝上洗匀后，让甲先从这4张卡片中随机抽取一张，不放回，乙再从剩下的3张卡片中随机抽取一张、以所抽取卡片正面的内容进行讲解． A．女娲补天    B．木兰从军     C．武松打虎    D．梁山伯与祝英台 (1)甲从这四张卡片中随机抽取一张，抽到“B．木兰从军”的概率是___________； (2)请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两人都没有抽到“C．武松打虎”的概率． 22．（2025·陕西榆林·三模）为了丰富校园文化生活，提高学生的综合素质，促进中学生全面发展，学校开展了多种社团活动．小明和小亮喜欢的社团有：合唱社团（M）、篮球社团（F）、书法社团（W）、排球社团（S），并把这四个字母分别写在四张完全相同的不透明的卡片的正面上，然后将这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上． (1)小明从中随机抽取一张卡片是足球社团的是________事件（选填“随机”或“必然”或“不可能”）； (2)小明先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母后放回，小亮再随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母．请你用列表法或画树状图法求出两人抽取的卡片中有一张是排球社团（S）的概率． 小亮 小明 23．（2025·陕西咸阳·三模）某学校为扎实推进劳动教育，根据学生参与劳动的情况设置了劳动积分．该学校随机抽取了50名学生的劳动积分进行收集、整理，并评定等级，等级A的学生有4人． (1)在这50名学生中，随机选取1名学生，其中等级是A的概率为 ． (2)已知A等级中有两名男同学和两名女同学，该学校要从A等级中随机选取2人进行经验分享，请用画树状图法或列表法，求恰好选取的是1名男同学和1名女同学的概率． 24．（2025·陕西西安·三模）在两个木盒里分别装进除颜色外质地、大小均相同的小球，①号木盒中有2个白球、1个黄球，②号木盒中有2个红球、2个黄球． (1)若从②号盒子中随机取出1个球，取出的是黄球的概率是　　　　； (2)分别从每个盒子中随机取出1个球，请用列表或画树状图的方法求取出的2个球恰好都是黄球的概率． 红 红 黄 黄 白 （白，红） （白，红） （白，黄） （白，黄） 白 （白，红） （白，红） （白，黄） （白，黄 黄 （黄，红） （黄，红） （黄，黄） （黄，黄） 25．（2025·陕西榆林·二模）围棋是一种古老的中国传统游戏，起源于中国古代．赵婷和李海是围棋爱好者，他们在某次对弈前约定规则来决定由谁执黑棋（围棋的第一原则：黑棋先下子，白棋后下子，然后双方轮流下子）．将两枚白棋和三枚黑棋装入不透明的围棋罐中，摇匀． (1)从罐中随机摸出一枚棋子，记下颜色后放回罐中摇匀，不断重复这个过程，共摸棋子20次，其中有7次摸到白棋．则这20次摸棋子中，摸出白棋的频率是________； (2)他们约定的规则如下：赵婷先从罐子中随机摸出一枚棋子，记下颜色后放回，摇匀，然后李海再从罐子中随机摸出一枚棋子，记下颜色．若摸出的两枚棋子颜色不同由赵婷执黑棋，若摸出的两枚棋子颜色相同由李海执黑棋．请用画树状图或列表的方法判断这个规则对双方是否公平？若不公平，他们两人中谁执黑棋的概率更大． 26．（2025·陕西咸阳·一模）2025春晚宛如一座绚丽的文化宝库，向世人展示了众多精美绝伦、承载着深厚历史底蕴的非物质文化遗产手工艺品，以下是几种手工艺品的图片：A．潍坊风筝；B．东明粮画；C．青神竹编；D．延安剪纸． A．B．C．D． (1)小乐从这四幅图中随机选择一幅，恰好选中“C．青神竹编”的概率是_____． (2)小乐和小欢分别从这四幅图中任选一幅，用于宣传春晚中展示的非物质文化遗产，请用画树状图或列表的方法分析，两人恰好选中同一幅图的概率． 27．（2025·陕西咸阳·三模）小宇和小辰所在的数学兴趣小组做抽卡片游戏，小宇将文学名著中的四位人物的肖像制成四张卡片，如图，这些卡片除正面不同外，其余均相同，然后将其洗匀背面朝止放置在桌面上．游戏规则：小辰从中随机抽取一张，记录下卡片人物，然后放回；小宇再随机抽取一张，记录下卡片人物．若他们取出的两张卡片上对应的人物均出自同一本名著，则小辰胜，否则小宇胜． (1)小辰从中随机抽取一张是“．鲁智深”的概率是_____； (2)请你用列表或画树状图的方法判断这个游戏是否公平． A B C D A （A，A） （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，B） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，C） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） （D，D） 28．（2025·陕西宝鸡·二模）在一个不透明的袋子里装有分别标有数字1，2，3，4的四个小球，除数字不同外，小球没有任何区别，每次试验先搅拌均匀． (1)若从袋中任取一个球，球上的数字为1的概率为________． (2)若从袋中一次性取出两个球，请用列表法或画树状图法，求两个球上的数字之差的绝对值为1的概率． 1 2 3 4 1 2 3 4 29．（2025·陕西西安·三模）课间，小兰用如图所示的两个可以自由转动的转盘进行“配紫色”游戏，转盘被分成两个扇形，分别为红色区域和蓝色区域，且红色区域和蓝色区域所在扇形的面积之比为；转盘被分成三个面积相等的扇形，分别为红色区域、黄色区域、蓝色区域．游戏者同时转动两个转盘，如果两个转盘的指针分别指向蓝色区域和红色区域，那么游戏者就获胜了（指针指向区域分界线则重新转动转盘）． (1)转动转盘，转到红色区域的概率为______． (2)请用画树状图或列表的方法，求游戏者获胜的概率． B盘A盘 红 黄 蓝 红 （红，红） （红，黄） （红，蓝） 蓝1 （蓝1，红） （蓝1，黄） （蓝1，蓝） 蓝2 （蓝2，红） （蓝2，黄） （蓝2，蓝） 蓝3 （蓝3，红） （蓝3，黄） （蓝3，蓝） 30．（2025·陕西西安·三模）2025年春节联欢晚会惊艳四方，小明跟妹妹对语言类节目：小品《小明一家》、杂技类节目：魔术《画蛇添福》、舞蹈类节目：创意融合舞蹈《秧BOT》、歌曲类节目：歌曲《孤勇者》、语言类节目：相声《我们一起说相声》非常喜欢，他们决定从这5个节目中选出最喜欢的节目，由于节目都很好，一时难以挑选，他们打算用随机抽卡片的方式来选择最喜欢的节目，于是妹妹将5个节目名称分别写在5张形状、大小、背面图案和颜色完全一样的卡片上． (1)妹妹喜欢歌曲《孤勇者》，在这5张卡片里随机抽取一张卡片，抽到卡片上写有歌曲《孤勇者》的概率为________； (2)为了公平起见，小明和妹妹商量决定每人从这5张卡片中抽一张卡片，抽出后不放回，则小明和妹妹抽到两个节目是同一类节目的概率是多少？ 妹妹 小明 A B C D E A × B × C × D × E × 31．（2025·陕西榆林·三模）甲、乙两人玩一种抽卡片游戏，背面完全相同，正面分别写有，，，的四张卡片背面朝上洗匀后，甲从中随机抽取一张，记下数字，把卡片放回后，背面朝上洗匀，乙再从中随机抽取一张，记下数字．若所得两数之和大于，则甲胜；若所得两数之和不大于，则乙胜．这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？请用画树状图或列表的方法说明理由． 数字和 32．（2025·陕西商洛·二模）2025年央视春晚的主题为“巳巳如意，生生不息”，双巳合璧，事事如意，这是乙巳蛇年与如意之间吉祥曼妙的创意链接，饱含喜庆美好的家国祝福，更彰显着中华民族精神根脉生生不息的时代力量，现将如图所示分别印有“巳”“ 巳”“如”“意”的四张卡片装在一个不透明的盒子中，这些卡片除字外其余均相同． (1)若从盒子中随机摸出一张卡片，则摸出的这张卡片上印有“意”的概率为___________； (2)若从盒子中随机摸出一张卡片，记下这张卡片上印有的字后放回摇匀，再从盒子中随机摸出一张卡片，请你用列表法或画树状图法，求摸出的这两张卡片上分别印有“巳”和“如”的概率． 33．（2025·陕西商洛·二模）国家邮政局发布：2025年纪特邮票发行计划（第一批）共21套，其中2025年3月14日（国际圆周率日）发行的邮票名称为《数学之美》，枚数是4枚，分别为“圆周率”、“勾股定理”、“欧拉公式”和“莫比乌斯带”．数学兴趣小组的同学对邮票的发布充满欣喜，如图，小组利用邮票图案设计了卡片A，卡片B，卡片C，卡片D共四张卡片．卡片背面朝上洗匀放在桌面上（卡片背面完全相同）． (1)从中随机抽取一张卡片，抽到卡片C“欧拉公式”的概率是______； (2)小文从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，请用画树状图或列表的方法，求小文抽到的两张卡片的图案恰好是卡片A“圆周率”和卡片D“莫比乌斯带”的概率． A B C D A — B — C — D — 34．（2025·陕西商洛·二模）中医药发祥于中华大地，是中国各族人民在几千年生产生活实践和与疾病作斗争中逐步形成并不断丰富发展起来的，蕴含了中华民族深邃的哲学思想，是中华文明的杰出代表．在学术界，A．《黄帝内经》、B．《难经》、C．《伤寒杂病论》、D．《神农本草经》被誉为中医四大经典．青青和弟弟对中医很感兴趣，两人准备分别选出一本进行研读，青青先从这四本中医经典中随机选出一本进行研读，弟弟再从剩下的三本中医经典中随机选出一本进行研读． (1)青青选择的中医经典是C．《伤寒杂病论》的概率为___________； (2)请用列表或画树状图的方法求青青和弟弟所选的中医经典中有D．《神农本草经》的概率 / / / / 35．（2025·陕西西安·二模）据统计，全国5棵树龄在5000年以上的古树名木均在陕西省境内，分别为延安市的“黄帝手植柏”（A）、“老君柏”（）、“保生柏”（），渭南市的“仓颉手植柏”（）和商洛市的“洛南古柏”（）．小伟和小峰想在周末去参观这些古树名木，并各自选择其中一棵制作宣传手抄报．他们制作了如图所示五等分的转盘；转动转盘，转盘停止后，指针所指的树木作为制作手抄报的素材（当指针指在分界线上时重转） (1)小伟转动转盘一次，转盘停止转动后，指针所指扇形中的树木是“老君柏”（）的概率为______． (2)两人各转动转盘一次，请用列表法或画树状图法，求小伟和小峰选择的树木都位于延安市的概率． 小伟小峰 A B C D E A B C D E 36．（2025·陕西咸阳·二模）小华一家打算周末外出游玩，小华想去参观兵马俑，弟弟想去爬华山，由于时间紧张，只能选择其中一个景点旅游，于是爸爸设计了如下转盘游戏来决定由谁选择景点，规则如下：把转盘、分别分成等份、等份，并在每一份内标上数字，如图所示，小华转动转盘，弟弟转动转盘，当转盘停止后，指针各指向一个数字（如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一个数字为止），计算这两个数字的乘积，若两数的乘积为正数，则由小华选择景点，若两数的乘积为负数，则由弟弟选择景点，其他情况视为平局． (1)弟弟转动转盘，当转盘停止后，指针所指的数字是的概率为______； (2)你认为这个游戏对双方公平吗？请用列表或画树状图的方法说明理由．        哥哥 弟 弟 37．（2025·陕西渭南·二模）小西和小安在社会实践活动中选择调查乘客对西安地铁8号线的满意度，如图是西安地铁8号线其中四个站的站点图． (1)若小西准备在寒窑、植物园和大风阁这三站中随机选取一站作为调查的站点，则他选取的站点是“A寒窑”的概率为 ； (2)若小西和小安分别从这四个站点中各自随机选取一站作为调查的站点（所选站点相互不受影响），请用列表或画树状图的方法，求出小西和小安两人所选站点相同的概率． 38．（2025·陕西渭南·二模）从同一副扑克牌中选出五张牌，分别为方块2，方块5，黑桃6，方块6，梅花6．将这五张牌背面朝上，洗匀． (1)乐乐从这五张牌中随机抽出一张牌，则抽到的这张牌的牌面花色是______的可能性最大；（填“方块”“黑桃”或“梅花”） (2)乐乐先从五张牌中随机抽取一张，不放回，记下数字后，将剩下的牌背面朝上洗匀，欢欢再从剩下的四张牌中随机抽取一张．请用画树状图或列表的方法，求两人抽到的牌上的牌面数字相同的概率． 乐乐欢欢 2 5 6 6 6 2 5 6 6 6 39．（2025·陕西咸阳·二模）以诗词为媒，赴文化盛宴．为激发全民诗词热情，感悟中华优秀文化内涵，领略中华诗词之美，提升语言文化素养，进一步增强文化自信．某地举办以“华韵悠扬，诗润心田”为主题的诗词大赛，比赛的规则为：组委会提供“春”“夏”“秋”“冬”四个关键字（依次记为，，，），第一轮为飞花令，由电脑随机给每位参赛选手抽取上述关键字中的一个，选手背诵以抽到的关键字为主题的诗句；第二轮为诗词讲解，由电脑在剩下的三个关键字中随机给每位参赛选手派发一个关键字，选手根据对应关键字的题目要求进行诗词讲解．青青参加了此次诗词大赛，并完成了两轮比赛． (1)“青青第一轮中抽到关键字‘夏’”属于___________事件；（填“必然”“随机”或“不可能”） (2)利用画树状图或列表的方法，求青青第一轮抽到“春”且第二轮被派发的题目关键字是“夏”的概率． 40．（2025·陕西咸阳·一模）在学习过溶液的酸碱性后，小明和小莉想用紫色石蕊溶液作为酸碱指示剂，来辨别4瓶缺失标签的无色液体：蒸馏水、白醋溶液、食用碱溶液、柠檬水溶液，其中白醋溶液、柠檬水溶液是酸性，食用碱溶液是碱性，蒸馏水是中性，通常情况下紫色石蕊溶液遇酸性溶液变红．遇碱性溶液变蓝，遇中性溶液不变色．现有两人各取了4个烧杯，分别倒入这4种不同的无色液体． (1)小明将紫色石蕊溶液滴入自己面前的任意一个烧杯，呈现蓝色的概率是_____； (2)小莉随机从四个装有不同溶液的烧杯中取出两个，滴入紫色石蕊溶液，用画树状图或列表法求一杯变红、一杯变蓝的概率． 41．（2025·陕西西安·一模）一个不透明的口袋里装有四张卡片，卡片上分别标有汉字“活”“力”“西”“安”．除汉字不同之外，卡片没有任何区别． (1)若从中任取一张卡片，卡片上标有的汉字恰好是“活”的概率为_____________； (2)若从中任取两张卡片，请用画树状图或列表法，求取出的两张卡片上的汉字恰能组成“西安”的概率． 活 力 西 安 活 活，力 活，西 活，安 力 力，活 力，西 力，安 西 西，活 西，力 西，安 安 安，活 安，力 安，西 42．（2025·陕西咸阳·二模）氧气和二氧化碳在生态系统和人类活动中扮演着不可或缺的角色．这些气体不仅可以由动植物的活动产生，也可以通过化学反应产生．在化学课上，张老师带来了下面四个制取气体的实验，让同学们随机选择一个实验来做． A．过氧化氢制取氧气 B．碳酸钙制取二氧化碳 C．高锰酸钾制取氧气 D．小苏打和白醋制取二氧化碳 (1)优优从中随机抽取一个实验，抽到制取氧气的实验的概率为_______________； (2)明明先从这四个实验中随机抽取一个实验，亮亮再从剩下的三个实验中随机抽取一个实验，利用列表或画树状图的方法求他们两人抽取的实验均能制取二氧化碳的概率． 43．（2025·陕西宝鸡·一模）数学课上，老师在复习尺规作图五种基本作图时，制作了、、、、五张卡片，正面分别写有不同的作图内容，卡片除正面的内容不同外，其余均相同．要求将五张卡片背面向上，洗匀后放在桌面上，从中随机抽取一张卡片，讲解卡片上对应的尺规作图画法． (1)“从这五张卡片中随机抽取一张卡片，则抽到是”这一事件属于 事件；（填“必然”“不可能”或“随机”） (2)若甲同学从这五张卡片中随机抽取一张卡片不放回，将剩下的卡片洗匀后，乙同学再从剩下的四张卡片中随机抽取一张卡片，请用画树状图或列表的方法，求他们两人所抽卡片中有卡片的概率． 44．（2025·陕西西安·三模）课间十分钟是学生释放学习压力，自我调节的放松时间．课间同学们玩抽卡片游戏，他们在一个不透明的箱子中放了4张卡片，卡片上分别写有数字-2，3，5，6这些卡片除上面的数字外，其余均相同． (1)小晴从箱子中随机摸10次卡片，其中摸到写有数字“6”的卡片2次，则这10次摸卡片中，摸出写有数字“6”的卡片的频率是___________； (2)佳佳和乐乐同时从箱子中各取出1张卡片，如果两张卡片上的数字之和为奇数，则佳佳胜；如果两张卡片上的数字之和为偶数，则乐乐胜．这个游戏规则对双方公平吗？请用列表或画树状图的方法说明． 45．（2025·陕西咸阳·三模）字谜是一种文字游戏，也是汉字特有的一种语言文化现象．现有四张大小、形状、质地都相同的字谜卡片，依次记作A、B、C、D（如图），将这四张卡片背面朝上洗匀．小虎和小麦两人玩猜字谜游戏，规则为：小虎先从四张卡片中随机抽取一张并猜卡片上字谜的谜底，卡片不放回，然后，小麦再从剩下的三张卡片中随机抽取一张并猜卡片上字谜的谜底． (1)小虎抽出A卡片的概率是________； (2)若小虎能猜出A、D卡片上的谜底，猜不出B、C卡片上的谜底；小麦能猜出A、B、C卡片上的谜底，猜不出D卡片上的谜底．请用画树状图或列表法求小虎和小麦都能猜出自己所抽取卡片上字谜谜底的概率． 小虎     小麦 A B C D A （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） 46．（2025·陕西安康·二模）陕西历史博物馆馆藏文物丰富，上起远古人类初始阶段使用的简单石器，下至上千年前社会生活中的各类器物，时间跨度长达一百多万年．馆内文创店新推出四款特色明信片（除画面不同，其他完全相同），分别是：．秦代杜虎符；．唐代三彩佣；．西周多友鼎；．汉代鎏金铜蚕．店员随机将明信片背面朝上放于展示台上． (1)小萱随机抽取一张明信片，则抽到“．秦代杜虎符”的概率是______； (2)小萱想随机抽取两张明信片（先抽取一张，不放回，再抽取一张），一张送给朋友，一张自己收藏．请用列表法或画树状图法，求抽取的两张明信片中含有“．唐代三彩佣”的概率． 47．（2025·陕西西安·二模）张老师用四个外观相同的不透明盒子分别装着（镁）、（铝）、（锌）、（铜）四种金属屑，让同学们随机选择一种金属与盐酸反应来制取氢气．（根据金属活动顺序可知：可以与盐酸发生置换反应，不能与盐酸发生置换反应） (1)小进从四个盒子中随机选了一个，则选到（镁）的概率为___________； (2)小明和小红先后从四个盒子中随机挑选了一个进行实验（挑选后不放回），请用列表或画树状图的方法，求二人所选金属均能与盐酸发生置换反应的概率． 小红小明 （A，B） （A，C） （A，m） （B，A） （B，C） （B，m） （C，A） （C，B） （C，m） （m，A） （m，B） （m，C） 48．（2025·陕西咸阳·三模）3支业余足球队即将比赛，他们各派出一名代表甲、乙、丙，3人随机且同时做出“石头、剪刀布”3种手势中的1种来决定比赛顺序． (1)求甲做出“石头”手势的概率； (2)求甲、乙、丙做出的手势均不相同的概率．（用画树状图或列表的方法加以说明） 49．（2025·陕西宝鸡·二模）十二生肖是我国历史悠久的民俗文化符号，是十二地支的形象化代表；根据文献资料记载，最早并广为流传的完整十二生肖循环，是由东汉王充在公元1世纪期间所著《论衡》中提出的．下列四幅十二生肖图片的大小、形状、质地及背面完全相同，将其背面朝上洗匀置于桌面上． (1)事件“小萌从这四张图片中随机抽取一张，抽到的图片正面的生肖是兔”是______事件；（选填“必然”“随机”或“不可能”） (2)小乐从这四张图片中同时随机抽取两张，利用列表或画树状图的方法求抽到的两张图片正面的生肖恰好是“牛”和“虎”的概率． 50．（2025·陕西渭南·二模）随着电影《哪吒之魔童闹海》的爆火，海内外越来越多的观众纷纷走进电影院观看这部国产动画电影．周末秦奋相约和朋友们观看了电影《哪吒之魔童闹海》后，制作了张印有电影中主要角色图案的卡片，分别为哪吒，敖丙，太乙真人，申公豹．他将这张卡片（形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中并摇匀． (1)请问秦奋随机取出一张卡片，卡片的图案是“太乙真人”的概率为________； (2)秦奋邀请他的朋友小明从不透明盒中随机抽取两张卡片，请用画树状图或列表的方法，求取出的张卡片为“哪吒”和“敖丙”的概率． 试卷第46页，共47页 试卷第47页，共47页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题15 概率（50题） 1．（2025·陕西·中考真题）某班开展主题为“我爱陕西”的综合实践活动，班委会决定设置“山水”“历史”“文学”“艺术”“科技”（分别记作，，，，）共五个研究方向，并采取小组合作的研究方式．同学们在五张完全相同的不透明卡片的正面绘制了如图所示的图案，卡片背面保持完全相同． (1)将这五张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“科技”的概率为______； (2)各小组从这五张卡片中随机抽取一张，将卡片内容作为本小组的研究方向．将这五张卡片背面朝上洗匀后，小秦代表第一小组从中随机抽取一张，记下结果，放回，背面朝上洗匀后，小博代表第二小组从中随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法，求这两个小组研究方向不同的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了用列表或画树状图求概率，概率公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，得一共有五张卡片，卡片内容是“科技”的有一张，运用概率公式进行计算，即可作答． （2）先理解题意，再画树状图，得到一共有种等可能的结果，其中这两个小组研究方向不同的等可能结果有种，运用概率公式进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，一共有五张卡片，卡片内容是“科技”的有一张， ∴将这五张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“科技”的概率为， 故答案为：． （2）解：依题意，画树状图如下所示： ∴一共有种等可能的结果，其中这两个小组研究方向不同的等可能结果有种， ∴这两个小组研究方向不同的概率． 2．（2024·陕西·中考真题）一个不透明的袋子中共装有五个小球，其中3个红球，1个白球，1个黄球，这些小球除颜色外都相同．将袋中小球摇匀，从中随机摸出一个小球记下颜色后放回，记作随机摸球一次． (1)随机摸球10次，其中摸出黄球3次，则这10次摸球中，摸出黄球的频率是________． (2)随机摸球2次，用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的小球都是红球的概率． 【答案】(1)0.3 (2) 【分析】本题考查求频率、画树状图或列表法求概率、概率公式，熟练掌握画树状图或列表法求概率的方法是解题的关键． （1）根据“频数除以总数等于频率”求解即可； （2）画出树状图可得，共有25种等可能的结果，其中两次摸出的小球都是红球有9种结果，再利用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，摸出黄球的频率是， 故答案为：0.3； （2）解：画树状图得， 共有25种等可能的结果，其中两次摸出的小球都是红球有9种结果， ∴两次摸出的小球都是红球的概率为． 3．（2023·陕西·中考真题）一个不透明的袋子中装有四个小球，这四个小球上各标有一个数字，分别是1，1，2，3，这些小球除标有的数字外都相同． (1)从袋中随机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标有的数字是1的概率为 　　； (2)先从袋中随机摸出一个小球，记下小球上标有的数字后，放回，摇匀，再从袋中随机摸出一个小球，记下小球上标有的数字，请利用画树状图或列表的方法、求摸出的这两个小球上标有的数字之积是偶数的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意和题目中的数据，可以计算出从袋中机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标有的数字是1的概率； （2）根据题意可以画出相应的树状图，然后即可求出摸出的这两个小球上标有的数字之积是偶数的概率． 【详解】（1）由题意可得，数字1，1，2，3中，数字1有2个， 所以，从袋中机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标有的数字是1的概率为， 故答案为：； （2）树状图如下：   由上可得，一共有16种等可能性，其中两数之积是偶数的可能性有7种， 摸出的这两个小球上标有的数字之积是偶数的概率． 【点睛】本题考查列表法与树状图法、概率公式，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概率． 4．（2022·陕西·中考真题）有五个封装后外观完全相同的纸箱，且每个纸箱内各装有一个西瓜，其中，所装西瓜的重量分别为6kg，6kg，7kg，7kg，8kg．现将这五个纸箱随机摆放． (1)若从这五个纸箱中随机选1个，则所选纸箱里西瓜的重量为6kg的概率是______； (2)若从这五个纸箱中随机选2个，请利用列表或画树状图的方法，求所选两个纸箱里西瓜的重量之和为15kg的概率． 【答案】(1) (2)见解析， 【分析】（1）直接根据概率公式计算； （2）先列表，展示所有20种等可能的结果数，再找出两个数字之和等于15kg所占的结果数，再根据概率公式计算． 【详解】（1）解：所选纸箱里西瓜的重量为6kg的概率是， 故答案为：； （2）解：列表如下：      第二个 第一个 6 6 7 7 8 6 12 13 13 14 6 12 13 13 14 7 13 13 14 15 7 13 13 14 15 8 14 14 15 15 由列表可知，共有20种等可能的结果，其中两个西瓜的重量之和为15kg的结果有4种． ∴． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法求概率，解题的关键是利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，从而求出概率． 5．（2021·陕西·中考真题）从一副普通的扑克牌中取出四张牌，它们的牌面数字分别为2，3，3，6． （1）将这四张扑克牌背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，则抽取的这张牌的牌面数字是3的概率为 ； （2）将这四张扑克牌背面朝上，洗匀．从中随机抽取一张，不放回，再从剩余的三张牌中随机抽取一张．请利用画树状图或列表的方法，求抽取的这两张牌的面数字恰好相同的概率． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据事件发生的概率计算公式：，（k为包含事件的结果数，n为该事件所有等可能出现的结果数），抽到牌面数字是3的结果有两种，共有4种结果，可得出答案； （2）注意题目中是不放回的抽取，可用列表法或树状图法得出符合条件的结果和总的结果数（如下图），牌面数字相同的有两种，共有12种结果，故可得出答案． 【详解】（1）四张牌为：2,3,3,6，从中抽取一张，共有四种等可能结果，抽到牌面数字是3的有两种， ∴； （2）解：列表如下： 第二次 第一次 2 3 3 6 2 3 3 6 由上表可知，共有12种等可能的结果，其中牌面数字恰好相同的结果有2种， ∴． 【点睛】题目主要考查简单事件的概率问题，找准题意中满足条件的等可能性结果及总的等可能结果是解题关键（特别注意题目中是抽取后不放回）． 6．（2025·陕西渭南·三模）《中国诗词大会》在向人们宣传古诗词文化的同时也在学生群体中掀起了古诗词的热潮．喜欢古诗的小明和小华两人制作了四张完全相同的不透明卡片，并在卡片正面分别写上诗句： A．“长风破浪会有时，直挂云帆济沧海．”； B．“清明时节雨纷纷，路上行人欲断魂．”； C．“忽如一夜春风来，千树万树梨花开．”； D．“借问酒家何处有，牧童遥指杏花村．”，两人商量将卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，并说出所抽卡片上诗句的作者和诗名． (1)从这四张卡片中随机抽取一张，则抽到的卡片上写有诗句“长风破浪会有时，直挂云帆济沧海．”的概率是________； (2)小明先从这四张卡片中随机抽取了一张，不放回，小华再从剩余的三张卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求他们抽取的诗句恰好出自同一首诗的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列表法与树状图法以及概率公式，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图． （1）利用概率公式直接计算即可； （2）先画出相应的树状图，然后即可求得抽取的诗句恰好出自同一首诗的结果数，再利用概率公式计算即可． 【详解】（1）解：从这四张卡片中随机抽取一张，则抽到的卡片上写有诗句“长风破浪会有时，直挂云帆济沧海．”的概率是． 故答案为：； （2）画树状图如下： 由上可得，共有12种等可能性，其中他们抽取的诗句恰好出自同一首诗的结果有2种， ∴他们抽取的诗句恰好出自同一首诗的概率为． 7．（2025·陕西宝鸡·二模）春节前夕，某商场举行“抽奖返现”促销活动，凡购物每满元，即可抽奖一次抽奖规则如下：在一个不透明的箱子中装有个红球、个黄球、个白球仅颜色不同，每次抽奖前将其摇匀后，抽奖者从中随机摸出个球，记下颜色后，放回若是红球，则获得奖金元；若是黄球，则得奖金元；若是白球，则为感谢参与无奖金． (1)若抽奖者从该箱子中随机摸出一个球，摸到白球的概率是______； (2)王丹当天在该商场消费元，抽了两次奖，请用列表或画树状图的方法求她两次抽奖的和等于元的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式． （1）由题意知，共有种等可能的结果，其中摸到白球的结果有种，利用概率公式可得答案； （2）列表可得出所有等可能的结果数以及她两次抽奖的和等于元的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：由题意知，共有种等可能的结果，其中摸到白球的结果有种， 摸到白球的概率为． 故答案为：； （2）解：列表如下： 红 黄 白 白 红 （红，红） （红，黄） （红，白） （红，白） 黄 （黄，红） （黄，黄） （黄，白） （黄，白） 白 （白，红） （白，黄） （白，白） （白，白） 白 （白，红） （白，黄） （白，白） （白，白） 共有种等可能的结果，其中她两次抽奖的和等于元的结果有：（红，黄），（黄，红），共种， 她两次抽奖的和等于元的概率为． 8．（2025·陕西·一模）一个不透明的袋子中装有5个小球，这5个小球上各标有1个数字，分别是1，2，2，3，3，这些小球除标有的数字外其他都相同． (1)小明从袋子中随机摸出1个小球，则摸到的小球上标有的数字是3的概率为_____． (2)小亮从袋子中随机摸出1个小球，不放回，再随机摸出一个小球，请利用画树状图或列表的方法，求摸出的两个小球上标有的数字是连续整数的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是根据概率公式求概率，用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图求概率即可求解． 【详解】（1）解：共有5个小球，分别是1，2，2，3，3，则摸到的小球上标有的数字是3的概率为； 故答案为：． （2）解：根据题意，画树状图如下： 由树状图可知，一共有20种等可能的结果，其中摸出的两个小球上标有的数字是连续整数的结果有12种， （两个小球上标有的数字是连续整数）． 9．（2025·陕西西安·三模）中国诗起源于先秦，鼎盛于唐代；中国词起源于隋唐，流行于宋代．诗词文化作为中华优秀传统文化的代表，已经融入我们的文化基因．一天，悦悦和哥哥在玩“经典诗词背诵”游戏，他们制作了一个如图所示的均匀转盘，将转盘平均分成等份，并在每个扇形中标上不同的朝代，悦悦先转动一次转盘，转盘停止转动后，以指针所指扇形中的朝代为准，背诵一首该朝代的经典诗词，然后哥哥再转动一次转盘，转盘停止转动后，以指针所指扇形中的朝代为准，背诵一首该朝代的经典诗词．（若指针指在分割线上，则重转） (1)悦悦转动一次转盘，转盘停止转动后，指针所指扇形中的朝代为唐代的概率为 ； (2)请用列表或画树状图法，求悦悦和哥哥应该背诵的都不是唐代经典诗词的概率． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查列表法或画树状图法求随机事件的概率，掌握列表法或画树状图法是关键． （）直接利用概率公式即可求解； （）运用列表法或画树状图法把所有等可能结果表示出来，再根据概率公式计算即可． 【详解】（1）解：悦悦转动一次转盘，转盘停止转动后，指针所指扇形中的朝代共有种等可能的情况，其中为唐代的只有种情况，因此所求概率为， 故答案为：； （2）解：根据题意画树状图如下： 由树状图可知，共有种等可能的结果，其中悦悦和哥哥应该背诵的都不是唐代经典诗词的结果有种， ∴悦悦和哥哥应该背诵的都不是唐代经典诗词的概率． 10．（2025·陕西榆林·三模）中国古代的“四书”是指《论语》、《孟子》、《大学》和《中庸》，它蕴含了儒家思想的核心内容，是儒学认识论和方法论的集中体现，也是中国传统文化的重要组成部分．某校准备开展以“四书”为主题的校园文化黑板报活动，为公平起见，校团委制作了如图所示的可自由转动的转盘，将圆形转盘四等分并分别标上《论语》、《孟子》、《大学》和《中庸》，各班班长转动转盘一次，转盘停止后，指针所指扇形部分的书名即为该班黑板报主题(当指针指在分界线上时不计次数，重转)． (1)随机转动转盘一次，转盘停止后指针所指扇形部分的书名为《论语》属于______事件；(填“随机”“不可能”或“必然”) (2)甲、乙分别是该校九（1）班、九（2）班的班长，请用列表或画树状图的方法，求甲和乙选到的黑板报主题不同的概率． 【答案】(1)随机 (2) 【分析】本题考查事件的分类和用列表或画树状图的方法求概率等知识，掌握用列表或画树状图的方法求概率是解题的关键． （1）根据随机事件、不可能事件和必然事件的定义选择即可； （2）根据题意画出树状图或表格，再根据概率公式计算即可． 【详解】（1）由题意可知：随机转动转盘一次，转盘停止后指针所指扇形部分的书名为《论语》属于随机事件； 故答案为：随机； （2）解：《论语》、《孟子》、《大学》、《中庸》分别用字母、、、表示， 树状图如图所示： 一共有16种等可能性，其中甲和乙选到的黑板报主题不同的可能性有12种， 故甲和乙选到的黑板报主题不同的概率是， 11．（2025·陕西咸阳·三模）《防震减灾基本知识与技能大纲》于2025年5月12日发布，这是全国层面首次编制的防震减灾基本知识与行为技能规范，大纲含第一部分的基本知识和理念与第二部分的基本行为和技能，共18条内容．某次班会课上，班主任挑选了与我们生活息息相关的8条内容（分别为图中第一部分的和第二部分的供全班学习，学习委员先从第一部分的4条内容中随机选择一条进行讲解，纪律委员再从第二部分的4条内容中随机选择一条进行讲解．（每条内容被选择的可能性均相同） (1)“学习委员讲解的是B．地震观测”是___________事件；（选填“随机”或“必然”或“不可能”） (2)请用列表法或画树状图的方法求学习委员讲解的不是．震害防御，且纪律委员讲解的是．做好应急准备的概率． 【答案】(1)随机 (2) 【分析】本题考查事件的分类，树状图法求概率： （1）根据事件的分类，进行作答即可； （2）画出树状图，利用概率公式进行计算即可． 【详解】（1）解“学习委员讲解的是．地震观测”这个事件可能发生也可能不发生． 故为随机事件； （2）根据题意画树状图如下： 由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中学习委员讲解的不是．震害防御，且纪律委员讲解的是．做好应急准备的结果有3种， （学习委员讲解的不是．震害防御，且纪律委员讲解的是．做好应急准备）． 12．（2025·陕西西安·三模）端午节是中国四大传统节日之一．为了让学生进一步了解端午节民俗，学校在端午节前的某天开展了以下七项活动（上午四项，下午三项）．由于参加活动的人数较多，每位参加活动的学生最多只能选择其中两项活动，且每项活动被选择的可能性均相同． (1)该校的小玲从这七项活动中随机选择一项，则她选择的是包粽子的概率是__________ ； (2)该校的婷婷先从上午的四项活动中随机选择一项，再从下午的三项活动中随机选择一项，请用列表或画树状图的方法，求婷婷选择的是包粽子和做香包的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据概率公式计算即可求解； （）画出树状图，根据树状图解答即可求解； 本题考查了用树状图或列表法求概率，掌握树状图或列表法是解题的关键． 【详解】（1）解：小玲从这七项活动中随机选择一项，共有种等结果， ∴她选择的是包粽子的概率是， 故答案为：； （2）解：画树状图如下： 由树状图可知，共有种等结果，其中婷婷选择的是包粽子和做香包的结果有种， ∴婷婷选择的是包粽子和做香包的概率是． 13．（2025·陕西榆林·三模）如图所示，一个圆形转盘，它是由圆心角为的两个白色扇形和和一个黑色扇形组成的，转盘的圆心处有一个固定的指针．小王和小吴玩转盘游戏，他们让这个转盘自由转动两次，规定：若指针至少有一次落在黑色区域，则小王胜；若指针两次都落在白色区域，则小吴胜；若指针落在两个扇形的中缝处，则重新转动转盘．这个规则公平吗？请运用你学过的概率知识，通过画树状图或列表，计算说明你的理由． 【答案】不公平，理由见解析． 【分析】本题考查了列表法求概率，列表可知共有个等可能的结果，指针至少有一次落在黑色区域的情况有种，指针两次都落在白色区域的情况有种，再通过概率公式求出概率，最后比较即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：不公平，理由如下，列表如下： 第二次转第一次转                               由表可知，共有种等可能的结果，指针至少有一次落在黑色区域的情况有种，分别为，，，，， ∴小王胜的概率为， ∵指针两次都落在白色区域的情况有种，分别为，，，， ∴小吴胜的概率为， ∵， ∴这个规则不公平． 14．（2025·陕西延安·三模）自然界大部分彩色的光都可以通过红、绿、蓝三种颜色的光按照不同比例混合而成，所以这三种色光又被称为光的“三原色”．在一次数学课上，老师利用光的三原色设计了一个“配紫色”游戏（红色和蓝色配在一起为紫色），如图，甲转盘被均匀地分成个扇形，分别涂为红、绿、蓝三种颜色，乙转盘被涂上红色与蓝色，蓝色部分的扇形圆心角是，同时转动两个转盘，当转盘停止转动时，用两个转盘指针所指的颜色配色．（若指针指在分割线上，需重新转动，直到指针指向某一扇形为止） (1)转动乙转盘，指针指向蓝色的概率为______； (2)同时转动两个转盘，请用画树状图或列表的方法求转盘停止时指针所指的颜色可配成紫色的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了列表法与树状图法，概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）根据几何概率求解即可； （2）列表求出所有等可能的结果数，再找出能配出紫色的结果数，然后利用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：转动乙转盘，指针指向蓝色的概率为， 故答案为：； （2）解：列表如下： 红 绿 蓝 红 （红，红） （绿，红） （蓝，红） 红 （红，红） （绿，红） （蓝，红） 蓝 （红，蓝） （绿，蓝） （蓝，蓝） 共有种等可能的结果，转盘停止时指针所指的颜色可配成紫色的结果数有种， 转盘停止时指针所指的颜色可配成紫色的概率为． 15．（2025·陕西榆林·二模）如图是小宇家新安装的一个开关面板，面板上的5个开关分别控制走廊主灯、饭厅主灯，客厅灯带、厨房主灯和墙面射灯，工人师傅安装完之后忘记给每个开关上面做标记，小宇不知道每个开关具体控制的是哪一盏灯，于是他随机打开一个开关，观察亮灯位置后在开关面板上做好对应标记，再随机打开下一个开关……，直到将5个开关全部做好标记． (1)小字第一次打开的开关控制的是厨房主灯的概率为________； (2)已知这5盏灯中，只有客厅灯带打开时会伴随短暂的音乐声，请用画树状图或列表的方法求小宇前两次打开开关都没有听到音乐声的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查运用列表法或画树状图法求随机事件的概率，掌握列表法或画树状图法是关键． （1）运用概率公式计算即可； （2）运用列表法或画树状图法把所有等可能结果表示出来，再根据概率公式计算即可． 【详解】（1）解：面板上的5个开关分别控制走廊主灯、饭厅主灯，客厅灯带、厨房主灯和墙面射灯，第一次打开的开关控制的是厨房主灯，有一种情况， ∴小字第一次打开的开关控制的是厨房主灯的概率为， 故答案为：； （2）解：将走廊主灯、饭厅主灯，客厅灯带、厨房主灯和墙面射灯这5盏灯的开关依次记为、、、、，根据题意画树状图如下： 由树状图可知，共有20种等可能的结果，其中小宇前两次打开开关都没有听到音乐声的结果有12种， （小宇前两次打开开关都没有听到音乐声）． 16．（2025·陕西汉中·二模）万物皆有灵，草木亦有心．“梅兰竹菊”作为国画四君子，是中国传统文化的题材，梅之傲骨、兰之谦逊、竹之坚韧、菊之淡泊，皆为中华民族精神之寄托．美术爱好者悦悦和欣欣两位同学想在活动课上临摹下面这四幅美术作品，但由于时间有限，她们只能各自选择其中一幅进行临摹，一时间不知道如何选择，于是她们制作了如图所示的均匀转盘，将转盘四等分，并对转盘进行标注，两人各转动转盘一次，转盘停止后，以指针所指扇形中的内容为准进行临摹（当指针指在分界线上时重转）． (1)“悦悦转动转盘一次，转盘停止转动后，指针所指扇形中的内容为‘竹’”是__________事件；（选填“随机”或“不可能”或“必然”） (2)请用列表法或画树状图的方法，求悦悦和欣欣两人中，至少有一人临摹作品“兰”的概率． 【答案】(1)随机 (2) 【分析】（）根据随机事件的定义即可判断求解； （）画出树状图，根据树状图解答即可求解； 本题考查了事件的分类，用树状图或列表法求概率，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：指针所指扇形中的内容为‘竹’”是随机事件， 故答案为：随机； （2）解：画树状图如下： ， 由树状图可知，共有种等可能的结果，其中悦悦和欣欣两人中，至少有一人临摹作品“兰”的结果有种， ∴至少有一人临摹作品“兰”的概率为． 17．（2025·陕西渭南·二模）为了让艺术教育回归美育初心，培养学生的艺术素养，某校开设了美术兴趣班，该兴趣班某天进行了一次艺术鉴赏，班长准备了如图1所示的四幅作品，要求每位学生对其中的一幅作品进行赏析．为公平起见，班长将一个均匀转盘平均分成4等份，并分别标上字母A、B、C、D，如图2，每位同学转动一次转盘，转盘停止后指针所指扇形中的字母对应的作品即为这位同学要赏析的作品（若指针指在分割线上，则重转，直到指针指向某一扇形为止）． (1)任意转动一次转盘，转盘停止后指针所指扇形中的字母是A的概率为________； (2)甲、乙是该兴趣班的两位学生，请用列表法或画树状图的方法，求甲和乙赏析的作品都不是C．陶艺的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率；熟知概率计算公式是解题的关键． （1）直接根据概率计算公式求解即可； （2）先画树状图得到所有等可能性的结果数，再找到甲和乙赏析的作品都不是C．陶艺的结果数，最后根据概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解：∵一共有四个区域，每个区域被转到的概率相同， ∴任意转动一次转盘，转盘停止后指针所指扇形中的字母是A的概率为； （2）解：根据题意画树状图如下： 由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中甲和乙赏析的作品都不是C．陶艺的结果有9种， P（甲和乙赏析的作品都不是C．陶艺）． 18．（2025·陕西西安·二模）“宫、商、角、徽、羽”是中国五声音阶中的五个基本音阶，某音乐玩具的大致结构如图所示，音乐小球从中心A处进入周围的5个音槽内，就可以发出相应的声音，且小球每次进入每个音槽内的可能性均相同，现有一个音乐小球从A处先后两次进入音槽． (1)第一次发出“羽”音的概率为______； (2)请用列表法或画树状图的方法求这两次先发出“角”音，再发出“徽”音的概率（注：“宫、商、角、徽、羽”分别用“①、②、③、④、⑤”表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了概率公式和列表法或树状图法求概率，准确找到所有等可能情况是解题的关键． （1）根据概率公式进行解答即可； （2）列表得到所有等可能情况，利用符合题意的情况数除以所有等可能情况数进行解答即可． 【详解】（1）由题意知，共有5种等可能的结果，其中第一次发出“羽”音的结果有1种， 第一次发出“羽”音的概率为 故答案为： （2）列表如下： ① ② ③ ④ ⑤ ① ①① ①② ①③ ①④ ①⑤ ② ②① ②② ②③ ②④ ②⑤ ③ ③① ③② ③③ ③④ ③⑤ ④ ④① ④② ④③ ④④ ④⑤ ⑤ ⑤① ⑤② ⑤③ ⑤④ ⑤⑤ 共有25种等可能的结果，其中这两次先发出“角”音，再发出“徽”音的结果有1种， 这两次先发出“角”音，再发出“徽”音的概率为 19．（2025·陕西咸阳·二模）2025年春节电影贺岁档《哪吒之魔童闹海》《封神第二部：战火西岐》《唐探1900》《蛟龙行动》等多部电影上线，精彩纷呈．小雅和小宣想从上面4部影片中选择两部观看，她们用4张完全一样的空白卡片写上影片名称，随机抽取两张决定看哪两部电影． (1)随机抽取一张，抽到《哪吒之魔童闹海》的概率是__________________． (2)用画树状图或列表的方法，求出随机抽取两张卡片，恰好抽到写有《哪吒之魔童闹海》和《蛟龙行动》的两张卡片的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求简单事件的概率，用画树状图或列表法求概率，掌握概率公式是关键． （1）由概率公式直接计算即可； （2）记写有《哪吒之魔童闹海》《封神第二部：战火西岐》《唐探1900》《蛟龙行动》的卡片分别为A，B，C，D，画树状图即可求解． 【详解】（1）解：一共有4种等可能的结果，抽到《哪吒之魔童闹海》有1种结果， 则抽到《哪吒之魔童闹海》的概率为． 故答案为：． （2）解：记写有《哪吒之魔童闹海》《封神第二部：战火西岐》《唐探1900》《蛟龙行动》的卡片分别为A，B，C，D，画树状图如下： 一共有12种等可能的结果，其中抽取的两张卡片上写有《哪吒之魔童闹海》和《蛟龙行动》的结果有2种， （恰好抽到写有《哪吒之魔童闹海》和《蛟龙行动》的两张卡片）． 20．（2025·陕西榆林·二模）为了让艺术教育回归美育初心，培养学生的艺术素养，某校开设了美术兴趣班，该兴趣班某天进行了一次艺术鉴赏，班长准备了如图所示的四幅作品，要求每位学生对其中的一幅作品进行赏析．为公平起见，班长将分别标有字母A、B、C、D的4个小球（小球除所标字母不同外其余完全相同）装在一个不透明的盒子里，摇匀后某位学生从盒子里随机摸出一个小球，记下小球上的字母并放回，摇匀，剩下每位学生都重复以上操作，每位学生摸到小球上的字母对应的作品即为他要赏析的作品． (1)任意摸出一个小球，摸出的小球上的字母是的概率为_____； (2)甲、乙是该兴趣班的两位学生，请用列表法或画树状图的方法，求甲和乙赏析的作品都不是C．陶艺的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列表法或树状图法求随机事件的概率，列举出所有可能出现的结果的情况是解决问题的关键． （1）共有4个小球，其中A只有1个，因此随机摸出1球，是A的概率为； （2）用列表法列举出所有可能出现的结果，进而求出相应的概率即可． 【详解】（1）解：一共有4个小球，其中写A的只有1个，所以随机摸出1球，摸到小球上的字母是A的概率是； （2）解：用列表法表示所有可能出现的结果如下： A B C D A B C D 由表可知共有16种结果，每种结果出现的可能性相同，其中甲和乙赏析的作品都不是C的结果有9种 ∴甲和乙赏析的作品都不是C的概率为. 21．（2025·陕西延安·二模）为大力弘扬中华优秀传统文化，在某次班会上，甲、乙两名同学准备从“A．女娲补天；B．木兰从军；C．武松打虎；D．梁山伯与祝英台”这四个故事中，各选一个进行讲解，班长做了4张背面完全相同的卡片，如图，卡片正面分别绘制了这4个故事传说的插画，将卡片背面朝上洗匀后，让甲先从这4张卡片中随机抽取一张，不放回，乙再从剩下的3张卡片中随机抽取一张、以所抽取卡片正面的内容进行讲解． A．女娲补天    B．木兰从军     C．武松打虎    D．梁山伯与祝英台 (1)甲从这四张卡片中随机抽取一张，抽到“B．木兰从军”的概率是___________； (2)请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两人都没有抽到“C．武松打虎”的概率． 【答案】(1) (2)，图见解析 【分析】本题主要考查了用树状图或列表法求等可能事件的概率，方法是用树状图或列表法列举出所有可能出现的结果总数，找出符合条件的结果数，用分数表示即可，注意每种情况发生的可能性相等． （1）根据概率公式进行计算即可； （2）利用画树状图或列表的方法，得出所有可能出现的结果总数，从中找到符合条件的结果数，进而求出概率即可． 【详解】（1）解：∵有4张卡片， ∴甲从这四张卡片中随机抽取一张，抽到“B．木兰从军”的概率是． （2）解：画树状图如下： 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中甲、乙两人都没有抽到“C．武松打虎”的结果有，共6种， ∴甲、乙两人都没有抽到“C．武松打虎”的概率为：． 22．（2025·陕西榆林·三模）为了丰富校园文化生活，提高学生的综合素质，促进中学生全面发展，学校开展了多种社团活动．小明和小亮喜欢的社团有：合唱社团（M）、篮球社团（F）、书法社团（W）、排球社团（S），并把这四个字母分别写在四张完全相同的不透明的卡片的正面上，然后将这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上． (1)小明从中随机抽取一张卡片是足球社团的是________事件（选填“随机”或“必然”或“不可能”）； (2)小明先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母后放回，小亮再随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母．请你用列表法或画树状图法求出两人抽取的卡片中有一张是排球社团（S）的概率． 【答案】(1)随机 (2) 【分析】本题考查事件的分类，列表法求概率，熟练掌握列表法求概率是解题的关键： （1）根据事件的分类进行作答即可； （2）根据题意，列出表格，利用概率公式进行计算即可． 【详解】（1）小明从中随机抽取一张卡片是足球社团的是随机事件； （2）列表如下： 小亮 小明 共有16种等可能结果，其中符合题意的共7种． ∴． 23．（2025·陕西咸阳·三模）某学校为扎实推进劳动教育，根据学生参与劳动的情况设置了劳动积分．该学校随机抽取了50名学生的劳动积分进行收集、整理，并评定等级，等级A的学生有4人． (1)在这50名学生中，随机选取1名学生，其中等级是A的概率为 ． (2)已知A等级中有两名男同学和两名女同学，该学校要从A等级中随机选取2人进行经验分享，请用画树状图法或列表法，求恰好选取的是1名男同学和1名女同学的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查简单概率的计算，利用列表法或树状图求概率． （1）根据概率公式计算即可； （2）先画出树状图，得到所有等可等结果，然后找出符合题意的结果数，根据概率公式计算即可． 【详解】（1）解：根据题意，在50名学生的劳动积分进行收集、整理，并评定等级，等级A的学生有4人， 则随机选取1名学生，其中等级是A的概率为． （2）解：根据题意，画树状图如下： 由树状图可知共有12种等可能的结果，其中恰好选取的是1名男同学和1名女同学的结果有8种， 恰好选取的是1名男同学和1名女同学的概率为． 24．（2025·陕西西安·三模）在两个木盒里分别装进除颜色外质地、大小均相同的小球，①号木盒中有2个白球、1个黄球，②号木盒中有2个红球、2个黄球． (1)若从②号盒子中随机取出1个球，取出的是黄球的概率是　　　　； (2)分别从每个盒子中随机取出1个球，请用列表或画树状图的方法求取出的2个球恰好都是黄球的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了概率的计算，列表法或树状图法求概率，弄清题意，熟练运用相关知识是解题的关键； （1）根据概率公式直接得到答案； （2）列树状图或表格求概率即可． 【详解】（1）解：从②号盒子2个红球、2个黄球中随机取出1个球，取出的是黄球的概率是． （2）方法一：列表如下： 红 红 黄 黄 白 （白，红） （白，红） （白，黄） （白，黄） 白 （白，红） （白，红） （白，黄） （白，黄 黄 （黄，红） （黄，红） （黄，黄） （黄，黄） 共有12种等可能的结果，其中取出的2个球恰好都是黄球的结果有2种， ∴取出的2个球恰好都是黄球的概率为． 方法二：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中取出的2个球恰好都是黄球的结果有2种， ∴取出的2个球恰好都是黄球的概率为． 25．（2025·陕西榆林·二模）围棋是一种古老的中国传统游戏，起源于中国古代．赵婷和李海是围棋爱好者，他们在某次对弈前约定规则来决定由谁执黑棋（围棋的第一原则：黑棋先下子，白棋后下子，然后双方轮流下子）．将两枚白棋和三枚黑棋装入不透明的围棋罐中，摇匀． (1)从罐中随机摸出一枚棋子，记下颜色后放回罐中摇匀，不断重复这个过程，共摸棋子20次，其中有7次摸到白棋．则这20次摸棋子中，摸出白棋的频率是________； (2)他们约定的规则如下：赵婷先从罐子中随机摸出一枚棋子，记下颜色后放回，摇匀，然后李海再从罐子中随机摸出一枚棋子，记下颜色．若摸出的两枚棋子颜色不同由赵婷执黑棋，若摸出的两枚棋子颜色相同由李海执黑棋．请用画树状图或列表的方法判断这个规则对双方是否公平？若不公平，他们两人中谁执黑棋的概率更大． 【答案】(1)0.35（或） (2)这个规则对双方不公平，李海执黑棋的概率更大 【分析】此题考查了频率的计算，游戏的公平性、用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件． （1）用摸到白球的个数除以摸球的总数即可； （2）画出树状图，分别求出李海执黑棋和李海执黑棋的概率即可求解． 【详解】（1）； （2）画树状图如下： 由树状图可知，共有25种等可能的结果，其中摸出的两枚棋子颜色不同的结果有12种，颜色相同的结果有13种， （赵婷执黑棋），P（李海执黑棋）， （赵婷执黑棋）（李海执黑棋）， 这个规则对双方不公平，李海执黑棋的概率更大． 26．（2025·陕西咸阳·一模）2025春晚宛如一座绚丽的文化宝库，向世人展示了众多精美绝伦、承载着深厚历史底蕴的非物质文化遗产手工艺品，以下是几种手工艺品的图片：A．潍坊风筝；B．东明粮画；C．青神竹编；D．延安剪纸． A．B．C．D． (1)小乐从这四幅图中随机选择一幅，恰好选中“C．青神竹编”的概率是_____． (2)小乐和小欢分别从这四幅图中任选一幅，用于宣传春晚中展示的非物质文化遗产，请用画树状图或列表的方法分析，两人恰好选中同一幅图的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查求概率，树状图法求概率，正确的画出树状图，熟练掌握概率公式，是解题的关键： （1）直接利用概率公式进行计算即可； （2）画出树状图，利用概率公式进行计算即可． 【详解】（1）解：小乐从这四幅图中随机选择一幅，恰好选中“C．青神竹编”的概率是； （2）画树状图如下： 共有16种等可能的结果，其中两人恰好选中同一幅图的结果有4种， （两人恰好选中同一幅图）． 27．（2025·陕西咸阳·三模）小宇和小辰所在的数学兴趣小组做抽卡片游戏，小宇将文学名著中的四位人物的肖像制成四张卡片，如图，这些卡片除正面不同外，其余均相同，然后将其洗匀背面朝止放置在桌面上．游戏规则：小辰从中随机抽取一张，记录下卡片人物，然后放回；小宇再随机抽取一张，记录下卡片人物．若他们取出的两张卡片上对应的人物均出自同一本名著，则小辰胜，否则小宇胜． (1)小辰从中随机抽取一张是“．鲁智深”的概率是_____； (2)请你用列表或画树状图的方法判断这个游戏是否公平． 【答案】(1)； (2)小宇胜的概率更高，因此游戏不公平．理由见解析． 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽到“．鲁智深”的结果有1种，利用概率公式可得答案； （2）通过列举所有可能的抽取结果，计算两人抽到同一本名著的概率，并比较双方胜负概率是否相等来判断游戏公平性． 【详解】（1）解：四张卡片分别对应人物（诸葛亮）、（曹操）、（鲁智深）、（贾宝玉），抽取一张共有4种等可能结果， 鲁智深对应卡片，只有一种情况，因此概率为； 故答案为：； （2）列表如下： A B C D A （A，A） （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，B） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，C） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） （D，D） 共有16种等可能的结果， 诸葛亮、曹操出自《三国演义》；鲁智深出自《水浒传》；贾宝玉出自《红楼梦》； 因此，两人抽到同一本名著的条件为： 两人均抽到或（三国演义）；或均抽到（水浒传）；或均抽到（红楼梦）； 其中取出的两张卡片上对应的人物均出自同一本名著的结果有6种， 不相同的结果有10种， 小辰胜的概率为：； 小宇胜的概率为：； 由于，所以小宇胜的概率更高，因此游戏不公平． 28．（2025·陕西宝鸡·二模）在一个不透明的袋子里装有分别标有数字1，2，3，4的四个小球，除数字不同外，小球没有任何区别，每次试验先搅拌均匀． (1)若从袋中任取一个球，球上的数字为1的概率为________． (2)若从袋中一次性取出两个球，请用列表法或画树状图法，求两个球上的数字之差的绝对值为1的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了概率的计算，熟练掌握列表法或画树状图法求概率是解题的关键． （1）根据概率的计算公式即可求解； （2）根据题意列表，得出所有等可能的结果数以及符合题意的情况数，再利用概率的公式计算即可． 【详解】（1）解：从袋中任取一个球，共有4种等可能的结果，其中球上的数字为1的情况有1种， 球上的数字为1的概率为． 故答案为：． （2）解：列表如下： 1 2 3 4 1 2 3 4 由表格可得，共有12种等可能的结果，其中两个球上的数字之差的绝对值为1的情况有6种， 两个球上的数字之差的绝对值为1的概率． 答：两个球上的数字之差的绝对值为1的概率为． 29．（2025·陕西西安·三模）课间，小兰用如图所示的两个可以自由转动的转盘进行“配紫色”游戏，转盘被分成两个扇形，分别为红色区域和蓝色区域，且红色区域和蓝色区域所在扇形的面积之比为；转盘被分成三个面积相等的扇形，分别为红色区域、黄色区域、蓝色区域．游戏者同时转动两个转盘，如果两个转盘的指针分别指向蓝色区域和红色区域，那么游戏者就获胜了（指针指向区域分界线则重新转动转盘）． (1)转动转盘，转到红色区域的概率为______． (2)请用画树状图或列表的方法，求游戏者获胜的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了几何概率，树状图法或列表法求解概率，熟知概率计算公式是解题的关键． （1）直接用红色区域的面积除以整个圆的面积即可得到答案； （2）通过画树状图或列表的方法，列出所有可能情况，再找到两个转盘的指针分别指向蓝色区域和红色区域的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解：∵转盘A中，红色区域和蓝色区域所在扇形的面积之比为， ∴转动转盘，转到红色区域的概率为； （2）解：把转盘A的蓝色区域等分成3份，分别记作“蓝1”“蓝2”“蓝3”． 根据题意，列表如下： B盘A盘 红 黄 蓝 红 （红，红） （红，黄） （红，蓝） 蓝1 （蓝1，红） （蓝1，黄） （蓝1，蓝） 蓝2 （蓝2，红） （蓝2，黄） （蓝2，蓝） 蓝3 （蓝3，红） （蓝3，黄） （蓝3，蓝） 由表格可知，共有12种等可能的结果，其中游戏者获胜的结果有4种， 游戏者获胜的概率为． 30．（2025·陕西西安·三模）2025年春节联欢晚会惊艳四方，小明跟妹妹对语言类节目：小品《小明一家》、杂技类节目：魔术《画蛇添福》、舞蹈类节目：创意融合舞蹈《秧BOT》、歌曲类节目：歌曲《孤勇者》、语言类节目：相声《我们一起说相声》非常喜欢，他们决定从这5个节目中选出最喜欢的节目，由于节目都很好，一时难以挑选，他们打算用随机抽卡片的方式来选择最喜欢的节目，于是妹妹将5个节目名称分别写在5张形状、大小、背面图案和颜色完全一样的卡片上． (1)妹妹喜欢歌曲《孤勇者》，在这5张卡片里随机抽取一张卡片，抽到卡片上写有歌曲《孤勇者》的概率为________； (2)为了公平起见，小明和妹妹商量决定每人从这5张卡片中抽一张卡片，抽出后不放回，则小明和妹妹抽到两个节目是同一类节目的概率是多少？ 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了求简单事件的概率，列表法或画树状图法求概率； （1）由简单事件的概率即可求出； （2）用列表法求出所有等可能性的结果，其中两个节目都是同一类节目的结果，由概率公式即可求解． 【详解】（1）解：共有5种等可能性的结果，其中抽到歌曲《孤勇者》只有1种，所以概率为； 故答案为：． （2）解：将语言类节目：小品《小明一家》记为A、杂技类节目：魔术《画蛇添福》记为B、舞蹈类节目：创意融合舞蹈《秧BOT》记为C、歌曲类节目：歌曲《孤勇者》记为D、语言类节目：相声《我们一起说相声》记为E 妹妹 小明 A B C D E A × B × C × D × E × ∴共有20种等可能性的结果，其中两个节目都是同一类节目有2种， ∴P（两个节目都是同一类节目） 31．（2025·陕西榆林·三模）甲、乙两人玩一种抽卡片游戏，背面完全相同，正面分别写有，，，的四张卡片背面朝上洗匀后，甲从中随机抽取一张，记下数字，把卡片放回后，背面朝上洗匀，乙再从中随机抽取一张，记下数字．若所得两数之和大于，则甲胜；若所得两数之和不大于，则乙胜．这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？请用画树状图或列表的方法说明理由． 【答案】这个游戏规则对甲、乙双方不公平，见解析 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．游戏双方获胜的概率相同，游戏就公平，否则游戏不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．解决本题的关键是利用列表法分别求出甲、乙获胜的概率，根据概率判断游戏是否公平即可 ． 【详解】解：这个游戏规则对甲、乙双方不公平， 理由：列表如下： 数字和 由表格可知，会出现个等可能的结果，其中两数之和大于的有个，两数之和不大于的有个， 所以，， 所以这个游戏规则对甲、乙双方不公平． 32．（2025·陕西商洛·二模）2025年央视春晚的主题为“巳巳如意，生生不息”，双巳合璧，事事如意，这是乙巳蛇年与如意之间吉祥曼妙的创意链接，饱含喜庆美好的家国祝福，更彰显着中华民族精神根脉生生不息的时代力量，现将如图所示分别印有“巳”“ 巳”“如”“意”的四张卡片装在一个不透明的盒子中，这些卡片除字外其余均相同． (1)若从盒子中随机摸出一张卡片，则摸出的这张卡片上印有“意”的概率为___________； (2)若从盒子中随机摸出一张卡片，记下这张卡片上印有的字后放回摇匀，再从盒子中随机摸出一张卡片，请你用列表法或画树状图法，求摸出的这两张卡片上分别印有“巳”和“如”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中卡片上的是“意”的结果有1种，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及两次抽取的卡片上为“巳”和“如”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中卡片上是“意”的结果有1种， ∴从盒子中随机抽取一张卡片，卡片上是“意”的概率为． （2）解：根据题意，画树状图，得 由树状图可知，共有16种结果，每种结果出现的可能性都相等，其中摸出的这两张卡片上印有“巳”和“如”的结果有2种， ∴摸出的这两张卡片上分别印有“巳”和“如”的概率． 33．（2025·陕西商洛·二模）国家邮政局发布：2025年纪特邮票发行计划（第一批）共21套，其中2025年3月14日（国际圆周率日）发行的邮票名称为《数学之美》，枚数是4枚，分别为“圆周率”、“勾股定理”、“欧拉公式”和“莫比乌斯带”．数学兴趣小组的同学对邮票的发布充满欣喜，如图，小组利用邮票图案设计了卡片A，卡片B，卡片C，卡片D共四张卡片．卡片背面朝上洗匀放在桌面上（卡片背面完全相同）． (1)从中随机抽取一张卡片，抽到卡片C“欧拉公式”的概率是______； (2)小文从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，请用画树状图或列表的方法，求小文抽到的两张卡片的图案恰好是卡片A“圆周率”和卡片D“莫比乌斯带”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． （1）根据概率公式求解即可； （2）列表或画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽到卡片C“欧拉公式”的结果有1种， ∴抽到卡片C“欧拉公式”的概率为； （2）解：利用表格列出所有可能的结果： A B C D A — B — C — D — 共有12种等可能的结果，其中恰好抽取卡片A和D的有2种， ∴所求的概率为． 34．（2025·陕西商洛·二模）中医药发祥于中华大地，是中国各族人民在几千年生产生活实践和与疾病作斗争中逐步形成并不断丰富发展起来的，蕴含了中华民族深邃的哲学思想，是中华文明的杰出代表．在学术界，A．《黄帝内经》、B．《难经》、C．《伤寒杂病论》、D．《神农本草经》被誉为中医四大经典．青青和弟弟对中医很感兴趣，两人准备分别选出一本进行研读，青青先从这四本中医经典中随机选出一本进行研读，弟弟再从剩下的三本中医经典中随机选出一本进行研读． (1)青青选择的中医经典是C．《伤寒杂病论》的概率为___________； (2)请用列表或画树状图的方法求青青和弟弟所选的中医经典中有D．《神农本草经》的概率 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查的是用列表法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．解题的关键是掌握概率所求情况数与总情况数之比． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）列出图表得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】（1）解： 共有4本书，分别是“A．《黄帝内经》、B．《难经》、C．《伤寒杂病论》、D．《神农本草经》”，青青选择的中医经典是“C．《伤寒杂病论》”只有一本， 青青选择的中医经典是“C．《伤寒杂病论》”的概率为； 故答案为：； （2）解：根据题意列表如下： / / / / 共有12中等可能的情况数，青青和弟弟所选的中医经典中有D．《神农本草经》的有6种， 则青青和弟弟所选的中医经典中有D．《神农本草经》的概率是． 35．（2025·陕西西安·二模）据统计，全国5棵树龄在5000年以上的古树名木均在陕西省境内，分别为延安市的“黄帝手植柏”（A）、“老君柏”（）、“保生柏”（），渭南市的“仓颉手植柏”（）和商洛市的“洛南古柏”（）．小伟和小峰想在周末去参观这些古树名木，并各自选择其中一棵制作宣传手抄报．他们制作了如图所示五等分的转盘；转动转盘，转盘停止后，指针所指的树木作为制作手抄报的素材（当指针指在分界线上时重转） (1)小伟转动转盘一次，转盘停止转动后，指针所指扇形中的树木是“老君柏”（）的概率为______． (2)两人各转动转盘一次，请用列表法或画树状图法，求小伟和小峰选择的树木都位于延安市的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查公式法求概率，列表法或与树状图法求概率，解题的关键是明确题意，正确列出表格或画出树状图． （1）根据概率公式即可求解； （2）首先利用列表法求出所有可能的情况，即一共有25种不同的情况，从中找出小伟和小峰选择的树木都位于延安市的情况，共9种，再根据概率公式即可解答． 【详解】（1）解：由题意可知∶ 小伟转动转盘一次可出现5种等可能的情况，由于老君柏占其中1份， 所以，指针所指扇形中的是“老君柏”（）的概率为； 故答案为：； （2）由题意，列表如下图所示∶ 小伟小峰 A B C D E A B C D E 共有25种等可能的结果，其中小伟和小峰选择的树木都位于延安市,即结果为A、B、C的组合包含9种结果， ∴小伟和小峰选择的树木都位于延安市的概率为． 36．（2025·陕西咸阳·二模）小华一家打算周末外出游玩，小华想去参观兵马俑，弟弟想去爬华山，由于时间紧张，只能选择其中一个景点旅游，于是爸爸设计了如下转盘游戏来决定由谁选择景点，规则如下：把转盘、分别分成等份、等份，并在每一份内标上数字，如图所示，小华转动转盘，弟弟转动转盘，当转盘停止后，指针各指向一个数字（如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一个数字为止），计算这两个数字的乘积，若两数的乘积为正数，则由小华选择景点，若两数的乘积为负数，则由弟弟选择景点，其他情况视为平局． (1)弟弟转动转盘，当转盘停止后，指针所指的数字是的概率为______； (2)你认为这个游戏对双方公平吗？请用列表或画树状图的方法说明理由． 【答案】(1) (2)公平，见解析 【分析】本题考查了概率公式求概率，画树状图或列表法求概率，解题的关键是掌握相关知识． （1）利用概率公式求解即可； （2）列表得出所有等可能的结果数，乘积为正数的结果数和乘积为负数的结果数，再利用概率公式求出小华和弟弟选择景点的概率，即可求解． 【详解】（1）解：弟弟转动转盘，针所指的数字有，，三种情况，指针所指的数字是的概率为， 故答案为：； （2）公平，理由如下： 列表如下：        哥哥 弟 弟 由表知，共有种等可能结果，其中两数的乘积为正数的有种结果，两数的乘积为负数的有种结果， 小华选择景点的概率， 弟弟选择景点的概率， ． 游戏对双方公平． 37．（2025·陕西渭南·二模）小西和小安在社会实践活动中选择调查乘客对西安地铁8号线的满意度，如图是西安地铁8号线其中四个站的站点图． (1)若小西准备在寒窑、植物园和大风阁这三站中随机选取一站作为调查的站点，则他选取的站点是“A寒窑”的概率为 ； (2)若小西和小安分别从这四个站点中各自随机选取一站作为调查的站点（所选站点相互不受影响），请用列表或画树状图的方法，求出小西和小安两人所选站点相同的概率． 【答案】(1) (2)小西和小安两人所选站点相同的概率为 【分析】本题考查用列表法或画树状图法求概率，概率公式，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）根据简单随机事件的概率公式求解，即可解题； （2）根据题意画出树状图，得到总的情况数，与小西和小安两人所选站点相同的情况数，再结合概率公式求解，即可解题． 【详解】（1）解：小西在寒窑、植物园和大风阁这三站中选取的站点是“A寒窑”的概率为， 故答案为：； （2）解：根据题意可画树状图如下： 由图知，总共有种等可能情况，其中小西和小安两人所选站点相同的情况有4种， 小西和小安两人所选站点相邻的概率为． 38．（2025·陕西渭南·二模）从同一副扑克牌中选出五张牌，分别为方块2，方块5，黑桃6，方块6，梅花6．将这五张牌背面朝上，洗匀． (1)乐乐从这五张牌中随机抽出一张牌，则抽到的这张牌的牌面花色是______的可能性最大；（填“方块”“黑桃”或“梅花”） (2)乐乐先从五张牌中随机抽取一张，不放回，记下数字后，将剩下的牌背面朝上洗匀，欢欢再从剩下的四张牌中随机抽取一张．请用画树状图或列表的方法，求两人抽到的牌上的牌面数字相同的概率． 【答案】(1)方块； (2)． 【分析】此题考查了判断事件发生的可能性大小，用列表法或画树状图法求概率掌握相关知识是解题的关键． （1）根据可能性大小求解即可； （2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：牌面花色是方块的最多， ∴乐乐从这五张牌中随机抽出一张牌，则抽到的这张牌的牌面花色是方块的可能性最大 故答案为：方块； （2）解：列表如下： 乐乐欢欢 2 5 6 6 6 2 5 6 6 6 由表可知，所有等可能的情况数有20种，两人抽到的牌上的牌面数字相同的有6种， 两人抽到的牌上的牌面数字相同的概率为． 39．（2025·陕西咸阳·二模）以诗词为媒，赴文化盛宴．为激发全民诗词热情，感悟中华优秀文化内涵，领略中华诗词之美，提升语言文化素养，进一步增强文化自信．某地举办以“华韵悠扬，诗润心田”为主题的诗词大赛，比赛的规则为：组委会提供“春”“夏”“秋”“冬”四个关键字（依次记为，，，），第一轮为飞花令，由电脑随机给每位参赛选手抽取上述关键字中的一个，选手背诵以抽到的关键字为主题的诗句；第二轮为诗词讲解，由电脑在剩下的三个关键字中随机给每位参赛选手派发一个关键字，选手根据对应关键字的题目要求进行诗词讲解．青青参加了此次诗词大赛，并完成了两轮比赛． (1)“青青第一轮中抽到关键字‘夏’”属于___________事件；（填“必然”“随机”或“不可能”） (2)利用画树状图或列表的方法，求青青第一轮抽到“春”且第二轮被派发的题目关键字是“夏”的概率． 【答案】(1)随机 (2) 【分析】本题考查了事件的分类，用列表法或画树状图法求概率，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据随机事件的定义即可得到答案； （2）画树状图，得到共有种等可能的结果，其中青青第一轮抽到“春”且第二轮被派发的题目关键字是“夏”的结果有种，用概率公式计算即可． 【详解】（1）解：第一轮抽字是随机过程，四个字中每个字都有可能被抽到， “青青第一轮中抽到关键字‘夏’”属于随机事件； 故答案为：随机； （2）解：根据题意画树状图如下， 由树状图可知，共有种等可能的结果，其中青青第一轮抽到“春”且第二轮被派发的题目关键字是“夏”的结果有种， 青青第一轮抽到“春”且第二轮被派发的题目关键字是“夏”的概率为． 40．（2025·陕西咸阳·一模）在学习过溶液的酸碱性后，小明和小莉想用紫色石蕊溶液作为酸碱指示剂，来辨别4瓶缺失标签的无色液体：蒸馏水、白醋溶液、食用碱溶液、柠檬水溶液，其中白醋溶液、柠檬水溶液是酸性，食用碱溶液是碱性，蒸馏水是中性，通常情况下紫色石蕊溶液遇酸性溶液变红．遇碱性溶液变蓝，遇中性溶液不变色．现有两人各取了4个烧杯，分别倒入这4种不同的无色液体． (1)小明将紫色石蕊溶液滴入自己面前的任意一个烧杯，呈现蓝色的概率是_____； (2)小莉随机从四个装有不同溶液的烧杯中取出两个，滴入紫色石蕊溶液，用画树状图或列表法求一杯变红、一杯变蓝的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）直接由概率公式求解即可； （2）列表得出共有12种等可能的结果，其中一杯变红、一杯变蓝的有4种结果，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：小明和小莉两人各取了4个烧杯，分别倒入这4种不同的无色液体，将石蕊试剂滴入，食用碱溶液呈现蓝色， 小明将石蕊试剂滴入任意一个烧杯，呈现蓝色的概率是， 故答案为：； （2）把分别倒入蒸馏水、白醋溶液、食用碱溶液、柠檬水溶液的4个烧杯分别记为、、、，列表如下： 由表知，共有12种等可能的结果，将石蕊试剂滴入，食用碱溶液（C）呈现蓝色，白醋溶液（B）、柠檬水溶液（D）呈现红色，故其中一杯变红、一杯变蓝的有4种结果， 一杯变红、一杯变蓝的概率为． 41．（2025·陕西西安·一模）一个不透明的口袋里装有四张卡片，卡片上分别标有汉字“活”“力”“西”“安”．除汉字不同之外，卡片没有任何区别． (1)若从中任取一张卡片，卡片上标有的汉字恰好是“活”的概率为_____________； (2)若从中任取两张卡片，请用画树状图或列表法，求取出的两张卡片上的汉字恰能组成“西安”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中卡片上标有的汉字恰好是“活”的结果有1种，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及取出的两张卡片上的汉字恰能组成“西安”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中卡片上标有的汉字恰好是“活”的结果有1种， 卡片上标有的汉字恰好是“活”的概率为 （2）解：列表如下： 活 力 西 安 活 活，力 活，西 活，安 力 力，活 力，西 力，安 西 西，活 西，力 西，安 安 安，活 安，力 安，西 共有12种等可能的结果，其中取出的两张卡片上的汉字恰能组成“西安”的结果有：西，安，安，西，共2种， 取出的两张卡片上的汉字恰能组成“西安”的概率为 ． 42．（2025·陕西咸阳·二模）氧气和二氧化碳在生态系统和人类活动中扮演着不可或缺的角色．这些气体不仅可以由动植物的活动产生，也可以通过化学反应产生．在化学课上，张老师带来了下面四个制取气体的实验，让同学们随机选择一个实验来做． A．过氧化氢制取氧气 B．碳酸钙制取二氧化碳 C．高锰酸钾制取氧气 D．小苏打和白醋制取二氧化碳 (1)优优从中随机抽取一个实验，抽到制取氧气的实验的概率为_______________； (2)明明先从这四个实验中随机抽取一个实验，亮亮再从剩下的三个实验中随机抽取一个实验，利用列表或画树状图的方法求他们两人抽取的实验均能制取二氧化碳的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率： （1）用概率计算公式求解即可； （2）先列表得到所有等可能性的结果数，再找到二人所选实验均能制取氧气的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解：； 故答案为． （2）画树状图如下：    由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中他们两人抽取的实验均能制取二氧化碳的情况有2种， 他们两人抽取的实验均能制取二氧化碳的概率为． 43．（2025·陕西宝鸡·一模）数学课上，老师在复习尺规作图五种基本作图时，制作了、、、、五张卡片，正面分别写有不同的作图内容，卡片除正面的内容不同外，其余均相同．要求将五张卡片背面向上，洗匀后放在桌面上，从中随机抽取一张卡片，讲解卡片上对应的尺规作图画法． (1)“从这五张卡片中随机抽取一张卡片，则抽到是”这一事件属于 事件；（填“必然”“不可能”或“随机”） (2)若甲同学从这五张卡片中随机抽取一张卡片不放回，将剩下的卡片洗匀后，乙同学再从剩下的四张卡片中随机抽取一张卡片，请用画树状图或列表的方法，求他们两人所抽卡片中有卡片的概率． 【答案】(1)随机； (2)他们两人所抽卡片中有卡片的概率是． 【分析】本题考查的知识点是事件的分类、列表法或树状图法求概率、根据概率公式计算概率，解题关键是熟练掌握列表法或树状图法求概率． （1）根据事件的分类即可得解； （2）画出树状图后得出所有等可能的结果，再找出符合要求的结果数，根据简单的概率公式即可得解． 【详解】（1）解：五张卡片中只有一张卡片， 五张卡片中随机抽取一张卡片，抽到是的概率是， 该事件可能发生，也可能不发生， 该事件属于随机事件． 故答案为：随机． （2）解：画树状图如下： 由树状图知，共有种等可能结果，其中他们两人所抽卡片中有卡片的有种结果， （他们两人所抽卡片中有卡片）． 答：他们两人所抽卡片中有卡片的概率是． 44．（2025·陕西西安·三模）课间十分钟是学生释放学习压力，自我调节的放松时间．课间同学们玩抽卡片游戏，他们在一个不透明的箱子中放了4张卡片，卡片上分别写有数字-2，3，5，6这些卡片除上面的数字外，其余均相同． (1)小晴从箱子中随机摸10次卡片，其中摸到写有数字“6”的卡片2次，则这10次摸卡片中，摸出写有数字“6”的卡片的频率是___________； (2)佳佳和乐乐同时从箱子中各取出1张卡片，如果两张卡片上的数字之和为奇数，则佳佳胜；如果两张卡片上的数字之和为偶数，则乐乐胜．这个游戏规则对双方公平吗？请用列表或画树状图的方法说明． 【答案】(1) (2)游戏不公平 【分析】本题考查频率和列表法或树状图求概率； （1）利用频率公式计算解题； （2）画树状图得到所有等可能的结果数，然后得到和为偶数、奇数的结果数，求出佳佳和乐乐获胜的概率解答即可． 【详解】（1）解：摸出写有数字“6”的卡片的频率是， 故答案为：； （2）解：游戏不公平，理由为： 画树状图如下： 由树状图可知共有种等可能结果，其中抽取的两张卡片上数字之和为奇数的结果有种，数字之和为偶数的结果有种， 所以佳佳胜的概率为，乐乐胜的概率为， ∵， ∴游戏不公平． 45．（2025·陕西咸阳·三模）字谜是一种文字游戏，也是汉字特有的一种语言文化现象．现有四张大小、形状、质地都相同的字谜卡片，依次记作A、B、C、D（如图），将这四张卡片背面朝上洗匀．小虎和小麦两人玩猜字谜游戏，规则为：小虎先从四张卡片中随机抽取一张并猜卡片上字谜的谜底，卡片不放回，然后，小麦再从剩下的三张卡片中随机抽取一张并猜卡片上字谜的谜底． (1)小虎抽出A卡片的概率是________； (2)若小虎能猜出A、D卡片上的谜底，猜不出B、C卡片上的谜底；小麦能猜出A、B、C卡片上的谜底，猜不出D卡片上的谜底．请用画树状图或列表法求小虎和小麦都能猜出自己所抽取卡片上字谜谜底的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列举法或列表法来求概率，解题关键是掌握概率的计算公式． （1）利用概率公式，将其中抽出A的情况数除以所有情况数即可求解； （2）列表求出12种情况，将符合条件的情况数5除以12即可求解． 【详解】（1）解：小虎抽出的卡片为A、B、C、D共4种情况，其中抽出A的情况数为1种，故小虎抽出A卡片的概率是． （2）解：所有情况数列表如下： 小虎     小麦 A B C D A （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） 由表格可知，一共有12种情况，其中小虎和小麦都能猜出自己所抽取卡片上字谜谜底共5种情况，所以小虎和小麦都能猜出自己所抽取卡片上字谜谜底的概率为． 46．（2025·陕西安康·二模）陕西历史博物馆馆藏文物丰富，上起远古人类初始阶段使用的简单石器，下至上千年前社会生活中的各类器物，时间跨度长达一百多万年．馆内文创店新推出四款特色明信片（除画面不同，其他完全相同），分别是：．秦代杜虎符；．唐代三彩佣；．西周多友鼎；．汉代鎏金铜蚕．店员随机将明信片背面朝上放于展示台上． (1)小萱随机抽取一张明信片，则抽到“．秦代杜虎符”的概率是______； (2)小萱想随机抽取两张明信片（先抽取一张，不放回，再抽取一张），一张送给朋友，一张自己收藏．请用列表法或画树状图法，求抽取的两张明信片中含有“．唐代三彩佣”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了概率公式、画树状图求概率等知识点，正确画出树状图是解题的关键． （1）直接运用概率公式求解即可； （2）先根据题意画出树状图确定所有等可能结果数和满足题意的结果数，然后运用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：小萱随机抽取一张明信片共有4种等可能结果，抽到“．秦代杜虎符”的结果只有1种，则抽到“．秦代杜虎符”的概率是． 故答案为：． （2）解：画树状图如下： 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中抽取的两张明信片中含有“．唐代三彩佣”的结果有6种，故所求的概率． 47．（2025·陕西西安·二模）张老师用四个外观相同的不透明盒子分别装着（镁）、（铝）、（锌）、（铜）四种金属屑，让同学们随机选择一种金属与盐酸反应来制取氢气．（根据金属活动顺序可知：可以与盐酸发生置换反应，不能与盐酸发生置换反应） (1)小进从四个盒子中随机选了一个，则选到（镁）的概率为___________； (2)小明和小红先后从四个盒子中随机挑选了一个进行实验（挑选后不放回），请用列表或画树状图的方法，求二人所选金属均能与盐酸发生置换反应的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查概率的计算，熟练掌握概率的计算方法是解题的关键． （1）小进从四个盒子中随机选择一个，其中只有1个是，因此概率可直接计算； （2）小明和小红不放回地选择，利用列表法列出所有可能组合，然后筛选出两者均能与盐酸反应的情况，最后计算概率． 【详解】（1）解：四个盒子中只有1个装有，因此概率为； 故答案为：； （2）记（镁）、（铝）、（锌）、（铜）为 列表得： 小红小明 （A，B） （A，C） （A，m） （B，A） （B，C） （B，m） （C，A） （C，B） （C，m） （m，A） （m，B） （m，C） 由列表知，共有12种等可能结果，其中都能发生置换反应的共6种． ． 答：二人所选金属均能与盐酸发生置换反应的概率为． 48．（2025·陕西咸阳·三模）3支业余足球队即将比赛，他们各派出一名代表甲、乙、丙，3人随机且同时做出“石头、剪刀布”3种手势中的1种来决定比赛顺序． (1)求甲做出“石头”手势的概率； (2)求甲、乙、丙做出的手势均不相同的概率．（用画树状图或列表的方法加以说明） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）根据题意，数出所有的情况和符合条件的情况数，再根据概率公式求解即可； （2）根据题意，画出树状图，数出所有的情况和符合条件的情况数，再根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：甲做出的手势共有3种等可能的结果，其中甲做出“石头”手势的结果数为1种， 所以甲做出“石头”手势的概率； （2）解：画树状图为：（1、2、3分别表示“石头、剪刀、布”三种手势） 甲、乙、丙做出的手势共有27种等可能的结果，其中甲、乙、丙做出的手势均不相同的结果数为6种， 所以甲、乙、丙做出的手势均不相同的概率是． 49．（2025·陕西宝鸡·二模）十二生肖是我国历史悠久的民俗文化符号，是十二地支的形象化代表；根据文献资料记载，最早并广为流传的完整十二生肖循环，是由东汉王充在公元1世纪期间所著《论衡》中提出的．下列四幅十二生肖图片的大小、形状、质地及背面完全相同，将其背面朝上洗匀置于桌面上． (1)事件“小萌从这四张图片中随机抽取一张，抽到的图片正面的生肖是兔”是______事件；（选填“必然”“随机”或“不可能”） (2)小乐从这四张图片中同时随机抽取两张，利用列表或画树状图的方法求抽到的两张图片正面的生肖恰好是“牛”和“虎”的概率． 【答案】(1)随机； (2)． 【分析】本题考查列表法与树状图法求概率，事件的分类，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）根据“必然事件”，“随机事件”和“不可能事件”的定义求解即可； （2）画树状图可得出所有等可能的结果数以及两张图片恰好是“牛”“虎”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）事件“小萌从这四张图片中随机抽取一张，抽到的图片正面的生肖是兔”是随机事件； （2）画树状图如下： 由上图可知共有12种等可能的结果，其中抽到的两张图片正面的生肖恰好是“牛”和“虎”的有2种结果， ∴抽到的两张图片正面的生肖恰好是“牛”和“虎”的概率． 50．（2025·陕西渭南·二模）随着电影《哪吒之魔童闹海》的爆火，海内外越来越多的观众纷纷走进电影院观看这部国产动画电影．周末秦奋相约和朋友们观看了电影《哪吒之魔童闹海》后，制作了张印有电影中主要角色图案的卡片，分别为哪吒，敖丙，太乙真人，申公豹．他将这张卡片（形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中并摇匀． (1)请问秦奋随机取出一张卡片，卡片的图案是“太乙真人”的概率为________； (2)秦奋邀请他的朋友小明从不透明盒中随机抽取两张卡片，请用画树状图或列表的方法，求取出的张卡片为“哪吒”和“敖丙”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（）直接根据概率公式计算即可； （）画出树状图，根据树状图解答即可求解； 本题考查了用树状图或列表法求概率，掌握树状图或列表法是解题的关键． 【详解】（1）解：秦奋随机取出一张卡片，卡片的图案是“太乙真人”的概率为， 故答案为：； （2）解：画树状图如下： 由树状图知，共有种等可能的结果，其中取出的张卡片为“哪吒”和“敖丙”的结果有种， ∴取出的张卡片为“哪吒”和“敖丙”的概率为． 试卷第46页，共47页 试卷第47页，共47页 学科网（北京）股份有限公司 $$