专题08 综合与实践（创新型函数相关压轴题，27题）（广西专用）-【好题汇编】5年（2021-2025）中考1年模拟数学真题分类汇编

专题08 综合与实践（创新型压轴题，27题） 1．（2025·广西·中考真题）综合与实践 树人中学组织一次“爱心义卖”活动．九（5）班分配到了一块矩形义卖区和一把遮阳伞，遮阳伞在地面上的投影是一个平行四边形（如图1） 初始时，矩形义卖区与遮阳伞投影的平面图如图2所示，在上，，，，，，由于场地限制，参加义卖的同学只能左右平移遮阳伞．在移动过程中，也随之移动（始终在边所在直线上），且形状大小保持不变，但落在义卖区内的部分（遮阳区）会呈现不同的形状．如图3为移动到落在上的情形． 【问题提出】 西西同学打算用数学方法，确定遮阳区面积最大时的位置． 设遮阳区的面积为，从初始时向右移动的距离为． 【直观感知】（1）从初始起右移至图3情形的过程中，随的增大如何变化？ 【初步探究】（2）求图3情形的与的值； 【深入研究】（3）从图3情形起右移至与重合，求该过程中关于的解析式； 【问题解决】（4）当遮阳区面积最大时，向右移动了多少？（直接写出结果） 【答案】（1）随的增大而增大；（2），；（3）；（4） 【分析】（1）根据矩形的性质得，根据平行四边形的面积公式得，然后分别求出当时，当时，关于的解析式，即可得出结论； （2）根据（1）的结论可得答案； （3）当时，如图，设向右移动后得到，设交于点，交于点，交于点，则，， 此时遮阳区的面积为六边形的面积，推出，，得，，再根据即可得出结论； （4）分别确定：当时，当时，当时，各个范围内的最大值，即可得出结论． 【详解】解：（1）∵四边形是矩形，四边形是平行四边形，，，，在边所在直线上， ∴，，， 又∵如图2，在上，，， ∴， ， 当时，如图，设交于点，交于点，则， 此时遮阳区的面积为的面积， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴当时，随的增大而增大，的值从增大到； 当时，如图，设交于点，则，，， 此时遮阳区的面积为四边形的面积， ∵， ∴四边形为梯形， ∴， ∴当时，随的增大而增大，的值从增大到； 综上所述，从初始起右移至图3情形的过程中，随的增大而增大； （2）如图3，此时点落在上，则， 由（1）知：当时，； ∴图3情形时，，； （3）当时，如图，设向右移动后得到，设交于点，交于点，交于点，则，， 此时遮阳区的面积为六边形的面积， ∴，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴ ， ∴从图3情形起右移至与重合，该过程中关于的解析式为； （4）当时，， 当时，的最大值为：； 当时，， 当时，的最大值为：； 当时，， ∵ ∴当时，的最大值为：， 综上所述，当时，取得最大值，最大值为， ∴当遮阳区面积最大时，向右移动了． 【点睛】本题考查平移的性质，矩形的性质，平行四边形的性质，锐角三角函数的定义，列函数关系式，二次函数的最值，等积变换等知识点，利用分类讨论的思想及数形结合的思想解决问题是解题的关键． 2．（2024·广西·中考真题）课堂上，数学老师组织同学们围绕关于x的二次函数的最值问题展开探究． 【经典回顾】二次函数求最值的方法． （1）老师给出，求二次函数的最小值． ①请你写出对应的函数解析式； ②求当x取何值时，函数y有最小值，并写出此时的y值； 【举一反三】老师给出更多a的值，同学们即求出对应的函数在x取何值时，y的最小值．记录结果，并整理成下表： a … 0 2 4 … x … * 2 0 … y的最小值 … * … 注：*为②的计算结果． 【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你的发现．” 甲同学：“我发现，老师给了a值后，我们只要取，就能得到y的最小值．” 乙同学：“我发现，y的最小值随a值的变化而变化，当a由小变大时，y的最小值先增大后减小，所以我猜想y的最小值中存在最大值．” （2）请结合函数解析式，解释甲同学的说法是否合理？ （3）你认为乙同学的猜想是否正确？若正确，请求出此最大值；若不正确，说明理由． 【答案】（1）①；②当时，有最小值为（2）见解析（3）正确， 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键： （1）①把代入解析式，写出函数解析式即可；②将一般式转化为顶点式，进行求解即可； （2）将一般式转化为顶点式，根据二次函数的性质进行解释即可； （3）将一般式转化为顶点式，表示出的最大值，再利用二次函数求最值即可． 【详解】解：（1）①把代入，得： ； ∴； ②∵， ∴当时，有最小值为； （2）∵， ∵抛物线的开口向上， ∴当时，有最小值； ∴甲的说法合理； （3）正确； ∵， ∴当时，有最小值为， 即：， ∴当时，有最大值，为． 3．（2023·广西·中考真题）【综合与实践】 有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心”．某兴趣小组将利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤.小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请完成下列方案设计中的任务． 【知识背景】如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：.其中秤盘质量克，重物质量m克，秤砣质量M克，秤纽与秤盘的水平距离为l厘米，秤纽与零刻线的水平距离为a厘米，秤砣与零刻线的水平距离为y厘米．    【方案设计】 目标：设计简易杆秤．设定，，最大可称重物质量为1000克，零刻线与末刻线的距离定为50厘米． 任务一：确定l和a的值． (1)当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程； (2)当秤盘放入质量为1000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程； (3)根据（1）和（2）所列方程，求出l和a的值． 任务二：确定刻线的位置． (4)根据任务一，求y关于m的函数解析式； (5)从零刻线开始，每隔100克在秤杆上找到对应刻线，请写出相邻刻线间的距离． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5)相邻刻线间的距离为5厘米 【分析】（1）根据题意可直接进行求解； （2）根据题意可直接代值求解； （3）由（1）（2）可建立二元一次方程组进行求解； （4）根据（3）可进行求解； （5）分别把，，，，，，，，，，代入求解，然后问题可求解． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴， ∴； （2）解：由题意得：， ∴， ∴； （3）解：由（1）（2）可得：， 解得：； （4）解：由任务一可知：， ∴， ∴； （5）解：由（4）可知， ∴当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有； ∴相邻刻线间的距离为5厘米． 【点睛】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意． 4．（2025·广西来宾·模拟预测）综合与实践 【问题背景】 数学活动课上，某数学兴趣小组的同学探究在水速相同的条件下，往容器中注水时，注水时间与水面高度之间的函数关系，同学们制作了一个特殊的容器（如图①），这个特殊的容器由上、下两个高度相同的圆柱体组合而成，且上面的圆柱体底面圆的半径是下面圆柱体底面圆的半径的一半，已知这个特殊容器的高为20cm． 【实验过程】 注水前，容器内的水面高度是4cm，现向容器内匀速注水，当容器恰好注满时停止，每5s记录一次水面的高度（单位：cm），前5次数据如下表所示： 注水时间 0 5 10 15 20 … 水面高度 4 5 6 7 8 … 【问题解决】 (1)请你求出水面高度关于注水时间的函数解析式，写出自变量的取值范围，并在给定的平面直角坐标系（如图②）中，画出关于的函数图象； (2)求当注水时间满足时，水面高度的取值范围． 【答案】(1)，函数图象见解析 (2) 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握圆柱体的体积计算公式是解题的关键． （1）由表格得出下面容器中水面上升的速度并计算当下面容器注满水时所用时间及对应函数关系式，根据两圆柱体底面圆的半径的数量关系求出两圆柱体底面面积的数量关系，从而求得上面容器水面上升的速度并计算当上面容器注满水时所用时间及对应函数关系式，最终写成分段函数的形式即可； （2）分别计算当时对应h的值，从而得到水面高度h的取值范围． 【详解】（1）解：由题意知，两个圆柱的高都为， 由表知，时间每增加，高度增加， 则当下面的圆柱注满水时，所用时间为， 当时，； 由于上面的圆柱底面圆的半径是下面的圆柱底面圆的半径的一半， 上面的圆柱底面积是下面的圆柱底面积的， 每注水，上面的圆柱的水面高度增加， 当该特殊容器注满水时，注水时间， 当时，， 综上所述，水面高度关于注水时间的函数解析式为 画出函数图象如答图： （2）解：将代入中，得， 将代入中，得， 当注水时间满足时，水面高度的取值范围是． 5．（2025·广西崇左·模拟预测）综合与实践 【问题背景】 刻漏是中国古代一种利用水流计时的工具，计时的准确度取决于水流的均匀程度．某数学综合与实践小组仿照其原理，用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作了如图所示的简易计时装置． 【实践操作】 该数学综合与实践小组在某天上午开始实验，先在甲容器里加满水，此时水面高度为，开始放水后，每隔观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表： 记录时间 7：30 7：40 7：50 8：00 8：10 … 流水时间 0 10 20 30 40 … 水面高度（观察值） 30 29 28.1 27 25.8 … 【建立模型】 小组讨论发现：在实验过程中，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系． 【问题解决】 (1)利用当时，；当时，这两组数据，求水面高度h与流水时间t的函数关系式； (2)在（1）的条件下，当流水时间为时，求水面高度h的值； (3)在（1）的条件下，当甲容器中的水全部流入乙容器时，实验结束，求实验结束时的时间． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设，把当时，；当时，代入解析式，得，解答即可； （2）根据自变量的值求函数值即可； （3）当时，实验结束，得，解答即可； 本题考查了待定系数法求解析式，根据自变量值求函数值，根据函数值求自变量值，熟练掌握待定系数法，借助解析式计算是解题的关键． 【详解】（1）解：设，把当时，；当时，代入解析式，得， 解得， 故． （2）解：当时，， 答：水面高度h的值． （3）解：当时，实验结束，得， 解得， 实验结束时的时间． 6．（2025·广西·模拟预测）综合与实践： 某数学小组为了了解汽车的速度和制动非安全距离的关系，通过查询资料获得以下信息： 材料一：由于人的反应和惯性的作用，行驶中的汽车发现情况到刹车停止前还要继续向前行驶一段距离才能停下，这段距离称为制动非安全距离，从发现情况到刹车起作用的路程称为反应距离，这段距离普通人反应时间为秒．从刹车起作用到最后停止的距离称为制动距离． 材料二：某公司设计了一款新型汽车，现在对它的制动性能（车速不超过）进行测试，测得数据如表： 车速（） 制动距离（） 探究任务： (1)以车速为横坐标，制动距离为纵坐标，在坐标系中描出表中各组数值所对应的点，并用平滑曲线连接这些点； (2)已知该款新型汽车的制动距离和车速之间存在已学过的某种函数关系，请根据上面提供的数据，求出这个函数的表达式； (3)若在该款新型汽车的某次测试中，通过测量刹车痕迹得到它的制动距离约为，请通过计算估计该款汽车开始刹车时的速度； (4)若某驾驶员驾驶这种新型汽车以5的速度在单行道上行驶，发现前方处有一辆大货车停在公路上挡住去路，驾驶员紧急刹车，请问是否有碰撞危险？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3) (4)有碰撞危险，理由见解析 【分析】本题考查二次函数的应用．一元二次方程的应用，根据所给表格和函数图象判断出相应的函数为哪种函数是解决本题的易错点；关键是理解并应用得到的函数解析式． （1）根据题意描点连线，即可求解； （2）观察函数和表格中的数据可猜测函数关系式为过原点的抛物线，设出抛物线解析式，把表格中的任意两点代入可得和的值，即可求得函数表达式； （3）取，代入（2）中得到的函数解析式，求得合适的的值即可； （4）取，代入（2）中得到的函数解析式，求得制动距离的值，进而计算出制动非安全距离与所给的比较即可得到是否有碰撞危险． 【详解】（1）解：如图所示， （2）解：设与的关系式为：， 经过点，， ， 解得：， 这个函数的表达式为：； （3）解：当时，， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：制动距离约为时该款汽车开始刹车时的速度约为； （4）解：有碰撞危险，理由如下： 当时，， 制动非安全距离为：， 有碰撞危险． 7．（2025·广西钦州·一模）综合与实践 现有三个款式的杯子，它们的高度不同．数学兴趣小组对杯子叠放的总高度与杯子数量之间的数学问题开展研究． 【实践操作】 （1）把A款杯子按如图①所示的方式整齐地叠放成一摞，6只杯子叠放的总高度为，已知一只A款杯子的高度为，且叠放总高度与杯子数量的函数解析式为，请求出的值； （2）把A款杯子按如图②所示的方式整齐地叠放成一摞，7只杯子叠放的总高度为，已知一只B款杯子的高度为，请求出叠放总高度与杯子数量的函数解析式； （3）把C款杯子按如图③所示的方式整齐地叠放成两摞，3只杯子叠放的总高度为，8只杯子叠放的总高度为，请直接写出叠放总高度与杯子数量的函数解析式； 【知识运用】 （4）已知杯子摆放区的高度为，若把款杯子叠放成一摞放入杯子摆放区，请问一摞最多能叠放多少只杯子？ 【答案】（1）3；（2）；（3）；（4）最多能叠放17只杯子 【分析】本题考查了一次函数实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）把时，代入即可求解； （2）运用待定系数法求解； （3）运用待定系数法求解； （4）由题意得，解不等式即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴， 解得： （2）解：设叠放总高度与杯子数量的函数解析式为， 当时，，时，， ∴， 解得：， ∴叠放总高度与杯子数量的函数解析式为； （3）解：设叠放总高度与杯子数量的函数解析式为， 当；， ∴， 解得：， ∴叠放总高度与杯子数量的函数解析式为； （4）解：由题意，， 解得：， ∴最多能叠放17只杯子． 8．（2025·广西崇左·三模）综合与实践 【问题情境】在校园运动会开幕式中，如图，运动会火炬手小明需要用火种点燃的箭头，然后射向距离发射点水平距离为70米、距地面的竖直高度为20米处的一个点火台上，已知点火台是一个弓形，其中米，且垂直平分这支箭（大小忽略不计）飞行的轨迹可以看作是抛物线的一部分．记这支箭飞行的水平距离为d（单位：m），距地面的竖直高度为h（单位：m）．获得的数据如表： 0 10 20 30 40 50 60 70 k 【问题解决】 (1)k的值为 ． (2)在平面直角坐标系中，描点，并用平滑的曲线将8个点依次连接； (3)求出h与d的函数解析式； (4)小明射出的箭的运动轨迹与线段有公共点时，说明这支箭就可以射入点火台内了，请判断小明射出的箭是否射入了点火台内？说明理由． 【答案】(1)22.5 (2)图见解析 (3) (4)小王不能将这支箭射入圣火台，理由见解析 【分析】本题考查二次函数的实际应用，包括抛物线的对称性，描点法画函数图像，二次函数图像的平移．根据函数图像获取信息解题的关键． （1）根据抛物线的对称性结合表格数据可知当与时的函数值相等，据此即可求解； （2）先根据表格中的数据在直角坐标系中描点，然后用光滑的曲线连接即可； （3）先根据抛物线的顶点坐标为，代入即可求得抛物线的解析式； （4）求出当，时所对应的的值，再和作比较即可； 【详解】（1）解：∵这只箭飞行的轨迹可以看作是抛物线的一部分， 根据表格数据与时的函数值相等， ∴对称轴为直线， ∴与时的函数值相等， ∵当时，， ∴当时，． 故答案为：． （2）解：描点，用平滑的曲线依次连接如图所示．   （3）解：依题意可知，抛物线的顶点坐标为 ∴设二次函数的解析式为：，     当时，， ∴， 解得：， ∴二次函数的解析式为， （4）解：小王不能将这支箭射入圣火台，理由： ∵水平距离为70米、距地面的竖直高度为20米处的一个点火台上，已知点火台是一个弓形，其中米，垂直平分， 当时， ， 当时， ， ∵，， ∴箭的轨迹在点火台的上方， ∴小王不能将这支箭射入圣火台． 9．（2025·广西南宁·一模）综合与实践：生物生长规律的模型研究 如图1，砗磲（chēqú）是地球上最大的双壳类动物，某海洋研究院对南海的砗磲样本进行分析，得到某砗磲样本年龄x（单位：岁）与平均日生长速率y（单位：天）的数据如下表： 0 5 10 15 20 25 26.0 19.0 14.0 9.5 7.0 5.5 【模型构建1】如图2，数学小组A在直角坐标系中描出以表中的值为坐标的点，根据点的分布情况，猜想其函数图象是过的抛物线，设解析式为． （1）选取两个点，，求抛物线解析式，并直接写出该砗磲样本平均日生长速率最小时的年龄． 【模型构建2】数学小组B观察表格中数据，发现后四组数据中x与y的乘积分别为，，，，猜想当时y与x符合反比例关系，设解析式为． （2）为减少偏差，取，求反比例函数解析式． 【模型应用】研究发现，正常情况下砗磲的平均日生长速率总体随年龄增长持续降低． （3）为求该砗磲样本35岁时的平均日生长速率，请从上述模型中选择其一，说明选择的理由并计算； （4）该砗磲样本35岁时受厄尔尼诺现象（海表温度异常增暖的气候现象）影响，其实际平均日生长速率为天，请说明该现象对砗磲平均日生长速率的影响． 【答案】（1）该砗磲样本平均日生长速率最小时的年龄为29岁；（2）；（3）该砗磲样本35岁时的平均日生长速率为天，理由见解析；（4）见解析 【分析】本题考查二次函数、反比例函数的实际应用，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求二次函数解析式即可； （2）求出平均数，然后根据待定系数法求出反比例函数解析式； （3）根据函数的性质解答即可； （4）根据（3）的计算结果和作比较解答即可． 【详解】（1）将，代入， 得， ． ． 该砗磲样本平均日生长速率最小时的年龄为29岁． （2）当，， ． （3）由模型1可知，当时，随的增大而增大，不符合砗磲的生长规律； （或由模型2可知，当时，随的增大而减小，符合砗磲的生长规律．） 选择模型2． 当时，． 答：该砗磲样本35岁时的平均日生长速率为天． （4）因为，由此可推测厄尔尼诺现象会增大砗磲的平均日生长速率． 10．（2025·广西南宁·模拟预测）综合与实践 【问题背景】某课外科学活动小组研究一个小球在一条足够长且平直的轨道上的运动问题．如图，轨道起始段（段）绝对光滑，不存在阻力；剩余部分（段）粗糙，存在恒定的摩擦力，会使小球速度逐渐减小直至停止． 【实验操作】活动小组经过研究，得出小球运动过程中速度（单位：）与时间（单位：）的关系（如图1所示），以及路程（单位：）与时间（单位：）的关系（如图2所示）．其中，图2中段是抛物线的一部分．已知小球初速度． 【建立模型】 任务1：根据图1和图2提供的信息，确定轨道初段的长度为_____； 任务2：求小球在粗糙轨道（射线对应部分）上运动时，速度与时间之间的函数关系式． 求小球从开始出发到最终停止，行进的总路程． 【拓展延伸】任务3：在任务2的条件下，探究在粗糙轨道段（射线上）是否存在一节长为的轨道，使得小球在通过该段过程中，所用时间恰好为1秒．若存在，请求出这节轨道的起点与点之间的距离；若不存在，请说明理由． 【答案】任务1：；任务2： ；行进的总路程为；任务3：轨道起点与点A之间的距离为 【分析】本题考查二次函数的应用，一次函数的应用，关键是用待定系数法求出函数解析式． 任务1：由图2可以得出轨道初段的总长； 任务2：用待定系数法求出v与t的函数解析式；先求出抛物线的解析式，由中解析式求出运动停止的时间，即可解答； （3）假设存在这节轨道，且小球第m秒行驶至轨道起点，则第秒行驶至轨道终点，由小球在通过该段过程中，所用时间恰好为，求出m的值，再把m的值代入抛物线解析式求出轨道的起点与点A之间的距离． 【详解】解：任务1：由题意得：轨道初段的总长为 故答案为：； 任务2：设， 则， 解得， ∴； 根据题意将代入得：， 解得， ∴； 由知小球在段速度与时间之间的函数关系式为， 当时，解得， 将代入得， ∴行进的总路程为； 任务3：解：存在，假设存在这节轨道，且小球第m秒行驶至轨道起点，则第秒行驶至轨道终点， 由题意得：， 解得：， 当时，，即这节轨道的起点刚好为C点（符合题意）， ∴轨道起点与点A之间的距离为． 11．（2025·广西柳州·模拟预测）综合与实践 【发现问题】 海边洗浴时，往往因没有合适的地方更换衣服而尴尬．小明妈妈买来一块长宽的加厚不透明的布料用来围成一个无盖的长方体形状的临时换衣间（地面是长方形，布料接头部分忽略不计），小明发现高的换衣间空间大小取决于所围空间的地面的面积，而地面的面积会随长方形地面的一边长的变化而变化． 【提出问题】 设临时换衣间长方形地面的一边长为，临时换衣间地面面积为，那么与之间有什么关系呢？ 【分析问题】 一方面发现临时换衣间的底面周长是，于是另一边长可以用含的代数式表示，于是利用矩形的面积长宽，就可以直接列出面积与的关系式．另一方面可以依据实际操作和计算得到一边长和面积的相关数据，如表： 长方形地面的一边长 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 … 长方形地面的面积 0.84 1.14 1.36 1.5 1.56 … 然后在平面直角坐标系中，分别描出上面表格中的各对数值对应的点，得到如图，再由图象猜想与之间函数关系，最后利用待定系数法即可求出对应的函数解析式． 【解决问题】 (1)求出与的函数关系； (2)求为何值时，临时换衣间的空间最大？最大空间是多少？ (3)小明发现离洗浴地不远处有一栋长高的建筑外墙．若利用部分墙体，你能帮小明设计空间更大的临时换衣间吗？若能，请结合具体数据进行表达． 【答案】(1) (2)当时，临时换衣间的空间最大，最大空间是 (3)小明的空间可以更大，当长为2.5时，空间的最大面积为 【分析】本题考查二次函数的应用，二次函数的性质，正确理解题意是解题的关键： （1）由题意得，长方形的宽为：，根据长方形的面积公式即可得出答案； （2）根据二次函数的性质即可得出答案； （3）设长方形的长为，则宽为，面积为，根据二次函数的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得，长方形的宽为：， 则； （2）解：； ，故函数有最大值， 当时，函数的最大值为：， 即当时，临时换衣间的空间最大，最大空间是； （3）解：能．设长方形的长为，则宽为， 则， ． 故函数有最大值， 当时，函数的最大值为， 即小明的空间可以更大，当长为2.5m时，空间的最大面积为． 12．（2025·广西河池·一模）综合与实践 【问题背景】某校为在操场举办“辞旧迎新”活动，采购了一批彩色的塑料凳子，如图，该塑料凳子高为，若将其叠放在一起，每增加一张，高度就会增加，老师给数学兴趣小组布置了以下任务． 【问题解决】任务1：若该校购买了n张凳子，将其全部叠放在一起，求叠放高度h（单位：）与凳子张数n的表达式； 任务2：现有甲、乙两种包装纸箱，其长宽与凳子的长宽正好相等，其中甲纸箱的高度为，乙纸箱的高度为，每个纸箱的上下底都要装上厚的泡沫，求甲、乙每个纸箱最多能装下多少张凳子； 任务3：已知甲、乙纸箱的单价分别为5元/个和3元/个，该校要采购1200张凳子，计划用甲、乙两种纸箱共90个来包装，如何选用甲、乙两种纸箱，使得支出的包装费用最少？最少是多少？ 【答案】任务1：；任务2：甲纸箱最多能装下20张凳子，乙纸箱最多能装下10张凳子；任务3：选用甲纸箱30个，乙纸箱60个，使得支出的包装费用最少，最少为330元 【分析】本题考查函数关系式，一元一次不等式的应用，一次函数的实际应用： 任务1：根据每增加一张，高度就会增加，由叠放高度一张凳子的高度加上，列关系式即可； 任务2：由任务1知凳子叠放的高度，分别根据甲乙两种包装的高度列出不等式求解即可； 任务3：设甲纸箱选用x个，则乙纸箱选用个，求解的取值范围，设支出的总包装费用为y，则，根据一次函数的性质即可解答． 【详解】解：任务1：； ∴叠放高度h（单位：）与凳子张数n的表达式为； 任务2：甲：，解得， 乙：，解得， ∴甲纸箱最多能装下20张凳子，乙纸箱最多能装下10张凳子； 任务3：设甲纸箱选用x个，则乙纸箱选用个， 由题意得，解得， 设支出的总包装费用为y，则， ∵， ∴y随x的增大而增大， 当时，y有最小值为（元） ∴选用甲纸箱30个，乙纸箱（个），使得支出的包装费用最少，最少为330元． 13．（2025·广西柳州·一模）［综合探究］运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况．在大自然里，有很多数学的奥秘．图1是一片美丽的心形叶片，图2是一棵生长的幼苗都可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成． 【探究一】确定心形叶片的形状 （1）如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，已知图像过原点，求抛物线的解析式及顶点的坐标； 【探究二】研究心形叶片的宽度： （2）如图3，在（1）的条件下，心形叶片的对称轴，即直线与坐标轴交于，两点，抛物线与轴交于另一点，点，是叶片上的一对对称点，交直线于点．求叶片此处的宽度； 【探究三】探究幼苗叶片的长度 （3）小李同学在观察幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线都可以看作是二次函数图象的一部分；如图4，幼苗叶片下方轮廓线正好对应探究一中的二次函数．已知直线（点为叶尖）与水平线的夹角为，求幼苗叶片的长度． 【答案】（1），顶点的坐标为；（2）；（3） 【分析】（1）把原点代入解析式，求得值，将抛物线化成顶点式即可确定顶点坐标； （2）先求出点的坐标为，再求出的解析式为：．然后求出点的坐标为，最后求出结果即可； （3）作抛物线的对称轴于点，则，设点的横坐标为，得出，根据点在抛物线上，列出方程，得出点的坐标为，最后求出即可． 【详解】解：（1）抛物线经过原点， ． 解得：． 抛物线的解析式为：． 顶点的坐标为； （2）取，， 解得：，， 点的坐标为， 心形叶片的对称轴是直线，点，是叶片上的一对对称点， 设的解析式为：． 经过点， ． 解得：． 的解析式为：． ， 解得： 点的坐标为． ． ． （3）作抛物线的对称轴于点，则， 直线与水平线的夹角为， ． 设点的横坐标为， 抛物线的对称轴为直线， ． 顶点的坐标为， 点的纵坐标为． 点在抛物线上， ． 解得：． 点的坐标为． ． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，等腰直角三角形的判定和性质，抛物线与坐标轴的交点，对称思想，两点间的距离公式，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 14．（2025·广西南宁·三模）阅读与思考在一次数学探究活动中，某学习小组成员通过测量计算等方式，在平面直角坐标系中标记出了一些特殊的点，、，，，，…这些点总是满足某种数学规律． 【规律探究】（1）若平面直角坐标系中的点满足上述规律，请直接写出x与y之间的关系：______． 【感知定义】（2）该小组成员将满足上述关系的点称为“邂逅点”．请判断，，中，点______是“邂逅点”（填“A”或“B”或“C”）； 【综合应用】（3）运用“邂逅点”的定义，解决下列的问题： ①若点是反比例函数图象上的“邂逅点”，求k的值； ②已知的图象上有两个“邂逅点”，求证：这两个“邂逅点”的横坐标互为相反数． 【答案】（1）；（2）A；（3）①；②见解析 【分析】本题考查一次函数与二次函数的综合应用，解题关键是先确定“邂逅点”满足的这一关系，再结合函数性质与方程根与系数关系求解． （1）观察已知点坐标，计算的值，发现均为，直接得与关系：． （2）根据“邂逅点”满足，分别代入、、三点坐标验证，即可解答． （3）综合应用①由“邂逅点”定义，满足，解得，即．将代入反比例函数，得，解得答案．②联立“邂逅点”直线与抛物线，消去得．设方程两根（即“邂逅点”横坐标）为、，根据韦达定理，，即可得出结论． 【详解】解：（1）∵点，，，， 分别验证：， ， ， ， ∵与的关系为． 故答案为：； （2）根据“邂逅点”满足： 对于：，满足，是“邂逅点”． 对于：，不满足，不是“邂逅点”． 对于：，不满足，不是“邂逅点”． 故点A是“邂逅点”． 故答案为：A； （3）①∵P是“邂逅点”， ∴， ∴， 将代入中，得 ， 即k的值为． ②证明：由题意知，“邂逅点”所在直线为， 设两个“邂逅点”的横坐标分别为，， 联立，得 ， 则， ∴两个“邂逅点”的横坐标互为相反数． 15．（2025·广西柳州·二模）综合与探索 【探索发现】如图，等腰直角三角形中，，，过点作交于点，过点作交于点，易得，我们称这种全等模型为“型全等”．（不需要证明） 【迁移应用】如图，在直角坐标系中，直线：分别与轴，轴交于点、， (1)直接写出______，______； (2)将直线绕点顺时针旋转得直线，求出直线解析式： 小明的解题思路是：在第二象限构造等腰直角，使得，，根据型全等和坐标之间的关系，求出点的坐标为______；通过，两点坐标求出直线的解析式______； (3)如图，将直线绕点顺时针旋转得到，求的函数解析式． 【答案】(1)，； (2)，； (3)的函数表达式为． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，一次函数的图象与性质，等腰直角三角形等知识点，熟练掌握其性质，正确作出辅助线是解题的关键． （）由即可求出点的坐标为，点的坐标为，从而求解； （）根据“型全等”证明，则有点的坐标为，设解析式为，然后把，坐标代入求解即可； （）过点作交于点，过点作轴，过点作轴与交于点，与轴交于点，证明，则有，设，则，，得出，最后通过待定系数法即可求解． 【详解】（1）解：如图，在直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点， 令，解得，令，得，解得：， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴，， 故答案为：，； （2）解：过点作轴于，如图， 则， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴点的坐标为， 设解析式为， ∴，解得：， ∴解析式为， 故答案为：，； （3）解：过点作交于点，过点作轴，过点作轴与交于点，与轴交于点，如图， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∴，解得， ∴， ∴设直线解析式为 ，解得， ∴的函数表达式为． 16．（2025·广西南宁·三模）数学小组利用刻度尺对二次函数图象的相关性质进行研究．如图1，点为两条开口向上的抛物线的公共顶点，将刻度尺绕点旋转，与两条抛物线分别交于点，点（异于点）． 【猜想】学生先对，进行探究，对进行多次测量，部分数据如表： （单位：） … … （单位：） … 1 … （1）猜想：与的数量关系是______． 【验证】（2）如图2，直线与二次函数，分别交于点，点．与的数量关系是什么？请完成填空，并补全推导过程． 证明：过点分别作轴于轴于． 设点的横坐标为，由点是，的交点，得，解得； 设点的横坐标为，由点是，的交点，得______，解得______． 又∵，∴______． 易证． ∴…… 请完成证明过程． 【应用】（3）①如图3，若直线与抛物线，分别交于点，直线与抛物线，分别交于点，其中异于点．若关于轴对称点分别是，则线段与线段的数量关系是什么？请说明理由． ②若直线与抛物线相交于点，直线与抛物线相交于点，且，直接写出的值．          【答案】 （1） （2） （3）①；② 【分析】本题主要一次函数，二次函数图象的性质，理解材料提示方法，掌握一次函数，二次函数图象的性质是关键． （1）根据表格信息求解即可； （2）根据题意得到，证明，即可求解； （3）①根据材料提示的方法得到，根据两点之间距离的计算即可求解；②根据题意分段得到的坐标，得到的值，代入计算即可求解． 【详解】解：（1）根据表格信息得到，； （2）证明：过点分别作轴于轴于． 设点的横坐标为，由点是，的交点，得， 解得； 设点的横坐标为，由点是，的交点，得， 解得． 又∵， ∴ ∴，即， ∴， ∴，即． （3）①直线与抛物线分别交于点， 设点的横坐标为，则，， ∴，即， 解得，， ∴， 直线与抛物线分别交于点， 设点的横坐标为，则，， ∴，即， 解得，， ∴， 同理，直线与抛物线交于点， ∴， 直线与抛物线交于点， ∴， ∴关于轴对称点分别是， ∴， ∴； ②直线与抛物线相交于点， ∴， 解得，， ∴， ∴， 直线与抛物线相交于点， ，整理得， 解得，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 17．（2025·广西·二模）探究与证明 【问题背景】在四边形中，（E，F分别为边上的动点），的延长线交延长线于点M，的延长线交延长线于点N，连接． 【构建联系】 （1）如图1，若四边形是正方形，求证：； （2）如图2所示平面直角坐标系，在中，，点A坐标为，B，C分别在x轴和y轴上，且反比例函数图象经过BC上的点D，且，求k的值． 【深入探究】 （3）如图3，若四边形是菱形，连接，当且时，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）4；（3）1 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，正方形的性质，菱形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据正方形的性质得到，得到，即，根据相似三角形的判定定理得到结论； （2）过点A作轴于E，作轴于F，过点 D作轴于G，作轴于H，则，得到根据相似三角形的性质得到，根据平行线分线段成比例定理得到，同理得得到求得 计算即可； （3）连接交于G，根据等腰三角形的性质得到，根据菱形的性质得到 ，根据相似三角形的性质得到，设，结合三角函数的定义和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：如图， ∵四边形是正方形， ∴， ∵ ， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）如图，过点A作轴于E，作轴于F，过点 D作轴于G，作轴于H，则， ∵ ， ∴ ∴ ∴， 即， ， ∴ ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴ 同理 ∵， ∴； （3）如图，连接交于G， ∵， ， ∵四边形是菱形， ∴ ∵ ， ∴，     ∴ 设， 在中， ∴ ∴ ， ∴ 由(1)知， ∴ ∵， ， 故答案为：1． 18．（2025·广西玉林·三模）我们约定：若两条抛物线与轴有两个相同的交点，且开口方向相反，我们就把两条抛物线构成的封闭曲线叫做“山水线”，如图所示．根据约定，解答下列问题： (1)判断下列每组的两条抛物线是否构成“山水线”．若是，请在横线上画“√”；若不是，请在横线上画“×”． ①和；________ ②和；________ ③和．________ (2)若抛物线和抛物线恰好构成“山水线”，求的值． (3)若抛物线和构成的“山水线”关于轴对称，该“山水线”与轴交于点，，点在点左侧．设点，是线段上的动点，过点作轴的垂线交该“山水线”于点，，过点作轴的垂线交该“山水线”于点，，点，在轴下方．试探究：是否存在以线段长为斜边、线段，长为直角边的等腰直角三角形？若存在，请求出该三角形的面积；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①×，②√；③√； (2)2； (3)存在，2． 【分析】（1）分别判断每个抛物线的开口方向以及轴的交点的坐标，再根据“山水线”的定义进行逐个判断，即可作答． （2）结合抛物线和抛物线恰好构成“山水线”，得出抛物线和抛物线的交点为，且开口方向相反，即，则，即可作答． （3）因为以线段长为斜边、线段长为直角边的等腰直角三角形，则，整理得结合抛物线和构成“山水线”关于轴对称，得，然后表达，则，得出，故令，则，再结合勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，①的图象开口向上， 当时，则， 解得； 即抛物线与轴的交点的坐标为； 的图象开口向下， 当时，则， ∴， 解得； 即抛物线与轴的交点的坐标为； ∴和这两条抛物线不构成“山水线”； 故答案为：×； ②的图象开口向下， 则则 解得 的图象开口向上， 则则 解得 ∴和这两条抛物线构成“山水线”； 故答案为：√ ③的图象开口向上， 则， 当时，则， ∴， 即抛物线与轴的交点的坐标为； 则的开口方向向下， ∴当时，则， ∴ ∴， 即抛物线与轴的交点的坐标为； ∴抛物线与这两条抛物线构成“山水线”； 故答案为：√； （2）解：依题意，， ∴当时，则， ∴， ∴抛物线与轴的交点的坐标为； 抛物线和抛物线恰好构成“山水线” ∴抛物线和抛物线的交点为，且开口方向相反， ， ， . （3）解：存在，理由如下： 若存在以线段长为斜边、线段长为直角边的等腰直角三角形， 则， 点，关于对称轴对称， 对称轴为直线，对称轴为直线， ， ∴ 抛物线和构成“山水线”关于轴对称， ， ， ， 当时， ， ， ， ， ， ∴ 令， 则， ， 解得（负值舍去）， 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，新定义，勾股定理，等腰直角三角形，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 19．（2025·广西南宁·二模）探究与拓展 如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，点的坐标为，点是此函数图象在轴上方部分的动点，连接，．设点的横坐标为，的面积为，关于的函数图象如图2所示． (1)请直接写出点的坐标，和图2中的值； (2)当时，求点的坐标； (3)当点仅在函数图象上点至点之间的部分运动时，连接，交于点，则是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值并直接写出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点的坐标为，， (2)点的坐标为或 (3)最大值为，的值为9 【分析】（1）根据点的坐标，代入二次函数解析式中，可求得，从而可得二次函数解析式，再求出点的坐标，然后求出点的坐标，再求出关于的函数解析式，从而可求得； （2）先根据，求出的值，再求出点的坐标； （3）先说明四边形为平行四边形，再求出直线的解析式，然后设点的坐标为，用表示出与，再根据，得出，求出的最大值． 【详解】（1）解：∵二次函数，点的坐标为， ∴，解得：， ∴二次函数的解析式为， 当时，，解得：，， ∵二次函数的图象与轴交于，两点， ∴点的坐标为． 二次函数，当时，， ∴点的坐标为， ∴， 设点的横坐标为，的面积为， ∴， 当时，， ∴； （2）当时，，解得：， 当点的横坐标为时， ，此时点的坐标为； 当点的横坐标为时， ， 此时点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或； （3）如图，连接，过点作轴于点，交于点，作，交轴于点， ∴四边形为平行四边形， 设直线的解析式为， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 记点的坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴的最大值为， 此时的值为9． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，由平行截线求相关线段的长或比值，的最值，求一次函数的解析式等知识点，解题关键是利用待定系数法求出函数解析式． 20．（2025·广西钦州·二模）探究与拓展 如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为，点D是此函数图象在x轴上方部分的动点，连接CD，OD．设点D的横坐标为n，的面积为S，S关于n的函数图象如图2所示． (1)请直接写出点A的坐标，b和图2中c的值； (2)当时，求点D的坐标； (3)当点D仅在函数图象上点C至点B之间的部分运动时，连接BC，交OD于点E，则是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值并直接写出此时S的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点A的坐标为，， (2)点D的坐标为或 (3)存在，的最大值为，此时S的值为9 【分析】（1）代入，得，得，得，得，得，得； （2）由， 得，代入得，或．得点D的坐标为或； （3）连接，过点D作轴于点F，交于点G，作，交y轴于点H，得四边形为平行四边形，可得直线的解析式为，记点D的坐标为，则，得，，由平行线性质得，，得的最大值为，得S的值为9． 【详解】（1）解：代入， 得， ∴， ∴， 当时， ， ∴， 中，当时，， ∴， ∴， ∴， 将代入， 得； 故，，； （2）解：由（1）知，， ， ， ， 点D是此二次函数图象上的点 将代入得， 或． 点D的坐标为或． （3）解：如图，连接，过点D作轴于点F，交于点G，作，交y轴于点H， 四边形为平行四边形， ∵， ∴设直线的解析式为， 将代入，得， ∴， ∴直线的解析式为， 记点D的坐标为， ∴ ， ， ， ， ，， 的最大值为， 此时S的值为9． 【点睛】本题考查了一次函数与二次函数综合．熟练掌握待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，二次函数与面积综合，一次函数与面积综合，平行四边形判定和性质，平行线分线段性质，是解题的关键． 21．（2025·广西南宁·模拟预测）【项目式学习】 【项目主题】安全用电，防患未然． 项目背景：近年来，随着电动自行车保有量不断增多，火灾风险持续上升．据悉，约的火灾都在充电时发生．某校九年级数学创新小组，开展以“安全用电，防患未然”为主题的项目式学习，对电动自行车充电车棚的消防设备进行研究． 【任务一】调查分析 （1）图悬挂的是公斤干粉灭火器，图为其喷射截面示意图，在中，，喷射角，地面有效保护直径为米，喷嘴距离地面的高度为____________米； 【任务二】模型构建 由于干粉灭火器只能扑灭明火，并不能扑灭电池内部的燃烧，在火灾发生时需要大量的水持续给电池降温，才能保证电池内部自燃熄灭，不会复燃．学校考虑给新建的电动自行车充电车棚安装消防喷淋头． （2）如图，喷淋头喷洒的水柱最外层的形状为抛物线．已知学校的停车棚左侧靠墙建造，其截面示意图为矩形，创新小组以点为坐标原点，墙面所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系．他们查阅资料后，提议消防喷淋头安装在离地高度为米，距离墙面水平距离为米处，即米，米，水喷射到墙面处，且米． ①求该水柱外层所在抛物线的函数解析式； ②按照此安装方式，喷淋头的地面有效保护直径为多少米？ 任务三：问题解决 （3）已知充电车棚宽度为米，电动车电池的离地高度为米．创新小组想在喷淋头的同一水平线上加装同一种喷淋头，使消防喷淋头喷洒的水柱可以覆盖所有的电动车电池，那么喷淋头距离喷淋头至少多少米？（直接写出结果） 【答案】（1）； （2）①求该水柱外层所在抛物线的函数解析式为； ②喷淋头的地面有效保护直径米； （3）喷淋头距离喷淋头至少米． 【分析】（1）根据等边三角形的性质，结合勾股定理解直角三角形即可得解； （2）由题意得出，，，①设该水柱外层所在抛物线的函数解析式为，将点代入即可得到函数解析式；②将代入①中求出的抛物线解析式即可得到点坐标，从而得出； （3）结合抛物线的平移规律设喷淋头距离喷淋头至少米，加装同一种喷头，则可得喷淋头喷出的水柱所在抛物线解析式，分析可得，要使消防喷淋头喷洒的水柱可以覆盖所有的电动车电池，则坐标为须在新水柱的抛物线上，将其代入解析式即可求解． 【详解】解：（1），， 是等边三角形， 米， ， 是的中线， 即米， 则中，米． 故答案为：． （2）依题得：，，， ①设该水柱外层所在抛物线的函数解析式为， 将代入可得， 解得， 则抛物线的函数解析式为； ②当时，， 解得， 点在的正半轴上， ，喷淋头的地面有效保护直径米． （3）设喷淋头距离喷淋头至少米， 则可用表示喷淋头喷出的水柱所在抛物线， 要使消防喷淋头喷洒的水柱可以覆盖所有的电动车电池，则坐标为须在新水柱的抛物线上， 即， 解得， 则喷淋头距离喷淋头至少米． 【点睛】本题考查的知识点是喷水问题(实际问题与二次函数)、等边三角形的判定与性质、三线合一、勾股定理、待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象与性质，解题关键是熟练掌握二次函数的综合性问题解法． 22．（2025·广西玉林·一模）小明家有一栋附带小庭院的楼房，为提高居住的舒适度，他在楼房的窗子上方安装一个圆弧形遮阳棚（如图1所示）．图2是安装遮阳棚一侧的院子的俯视图，设房子墙壁与院墙分别为、，这两面墙间距米，经观测，太阳光线常从院墙方向照进院子中，房子墙壁下方紧挨着矩形花圃（花圃高度忽略不计），花圃的另一边紧贴着左侧院墙，米．图3是院子的左视图，已知弧所在的圆的圆心O恰好在墙壁上，测得遮阳棚的顶部到地面的距离，外边缘B到墙壁的距离，．在太阳光的照射下，遮阳棚对面院墙落在地面上的影子是，． (1)根据以上数据求圆心O到地面的距离； (2)小明说：“当遮阳棚边缘B的影子正好落在圆心O处时，围墙的影子顶部F与围墙顶端G的距离正好等于弧的半径．”，你认为他的说法正确吗？请说明理由． (3)如图4，从某一时刻开始，过点G的太阳光线正好落在花圃边沿H处，随着时间的推移，光线逐渐向左移动．假设太阳光线可照射在花圃上的宽度为l米，影长为n米（），试判断l与n有什么关系？并说明理由． (4)在（3）的条件下，若要求太阳光线照在花圃上的宽度不得小于米，则n的取值范围是多少？ 【答案】(1)圆心O到地面的距离为 (2)小明的说法正确，理由见解析 (3)或； (4) 【分析】（1）由题意可得：，，设，再利用勾股定理求解，从而可得答案； （2）如图，设光线的延长线交于，证明，可得，从而可得结论； （3）当重合时，过作交于，过作于，证明，可得，证明四边形为矩形，可得，，如图，当光线时，可得，如图，当时，光线时，求解，结合，可得：，如图，当时，结合，可得，从而可得答案； （4）当时，，此时：，当时，，可得，再进一步解答即可. 【详解】（1）解：由题意可得：，， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴圆心O到地面的距离为； （2）解：小明的说法正确。理由如下： 如图，设光线的延长线交于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，而， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当遮阳棚边缘B的影子正好落在圆心O处时，围墙的影子顶部F与围墙顶端G的距离正好等于弧的半径，小明的说法正确. （3）解：当重合时，过作交于，过作于， ∴，， ∴， ∴， ∵，结合题意可得四边形为矩形， ∴，， 如图，当光线时， 同理可得：， ∴，解得：， 如图，当时，光线时， 同理可得：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理得：， 如图，当时， ∵， ∴， ∴， 综上：或； （4）解：当时，， ∴， 此时：， 当时，， ∴， 解得：， ∴， 综上：太阳光线照在花圃上的宽度不得小于米时，. 【点睛】本题考查的是圆的基本性质，勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，一次函数的应用，平行投影，本题的难度很大，清晰的分类讨论是解本题的关键. 23．（2025·广西南宁·模拟预测）请根据以下素材，完成探究任务． 飞行汽车 背景 飞行汽车是一种结合了传统汽车和飞行器功能的交通工具，旨在实现地面行驶与空中飞行的双重模式．它被视为未来城市交通的重要解决方案之一，尤其在缓解交通拥堵和拓展三维交通空间方面具有潜力． 建模 某数学小组运用信息技术模拟飞行汽车飞行过程．如图，以飞行汽车的地面起飞点为原点，地平线为轴，垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系．它在起飞后的初始飞行路径呈现抛物线形状，当飞行汽车到达抛物线最高点后下降到点．此时点距离地面千米，保持这个高度以100千米/时的速度水平飞行一定距离后到达点，切换到直线下降飞行模式降落至地面点．得到抛物线直线和直线． 任务 （1）若仪表监测到水平飞行时间为小时，此时点距离起飞点的水平距离为10千米，求和的值； （2）若飞行汽车在最高点时，距离起飞点的水平距离为千米．水平飞行了小时到达点后降落，求的取值范围． 【答案】（1）、；（2） 【分析】本题考查二次函数和一次函数的应用，理解题意，从图象上获取作息是解题的关键． （1）根据题意先求出水平飞行时的距离，根据点距离起飞点的水平距离为10千米，求出，，分别代入，直线，即可求解． （2）根据对称轴为最高点的横坐标求出，得出抛物线，令，求出，将代入直线．求出，结合，求解即可． 【详解】解：（1）由题意得，水平飞行时的距离为：， ∵， ∴，， 把代入中得，解得； 把代入中得，解得； （2）∵飞行汽车在最高点时，距离起飞点的水平距离为千米， ∴抛物线对称轴为直线， ∴， ∴． ∴抛物线解析式为， 在中，当时， 解得或， ， 将代入直线．得：， ∴， ， ∴， ． 24．（2025·广西来宾·一模）我们常借助图象来探究二次函数的性质及其变化规律． 【初步探究】如图1，我们将二次函数的图象向上平移得到的图象．过上点作轴交于点．    （1）点在上运动的过程中，线段的长度是否会发生变化？若不变，请求出定值；若变化，请说明理由． 【拓展探究】如图2，线段分别交轴、轴于点，．平移得到，且使其顶点始终在线段上．过点作轴交于点． （2）若的顶点横坐标为4，，求点的横坐标． （3）若点的坐标为，的顶点横坐标为，的长为． ①求关于的函数解析式； ②求的最大值． 【答案】（1）的长度不变，；（2）点的横坐标为或；（3）①当时，；当时，；② 【分析】本题主要考查二次函数的性质，涉及二次函数的平移、根据顶点坐标求函数解析式和二次函数的性质，解题的关键是熟悉二次函数的性质和分类讨论思想的应用． （1）理由一：因为是由向上平移3个单位长度得到，相同的对应的函数值相差3． 理由二：作差求得，则． （2）根据点的横坐标和直线，求得的顶点坐标，则的函数解析式为，设，，分点在点上方和点在点上方两种情况求解即可； （3）①根据题意得顶点为，则的函数解析式为，进一步求得，当点和点重合时求得m，分当和时，分别求得； ②结合①利用二次函数的性质分别求得最大值即可； 【详解】解：（1）的长度不变，． 理由一：因为是由向上平移3个单位长度得到，相同的对应的函数值相差3． 理由二：∵， ∴． （2）∵，的顶点横坐标为4， ∴的顶点坐标为， ∴的函数解析式为． 设，． 当点在点上方时，，则； 当点在点上方时，，则． ∴点的横坐标为或． （3）①∵的顶点横坐标为， ∴顶点为． ∴的函数解析式为． ∵， ∴． 当点，重合时，，解得，． 当时，； 当时，． ②当时，． ∵，对称轴为直线， ∴当时，的最大值． 当时，． ∵，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，的最大值． ∵． ∴的最大值为． 25．（2025·广西崇左·模拟预测）课堂上，数学老师组织同学们围绕二次函数展开探究． 【问题探究】 （1）求该二次函数图象的对称轴； （2）若，当时，函数的最大值为，求实数的值； 【问题拓展】 （3）若，当时，，当时，总有，求实数的取值范围． 【答案】（1）对称轴直线为 （2） （3）实数的取值范围为或 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握二次函数对称轴直线，图象开口，增减性是解题的关键． （1）根据对称轴直线的计算公式计算即可； （2）根据函数图象及对称轴得到，当时，函数取得最大值，最大值为：，结合自变量的取值范围得到，由此即可求解； （3）根据题意，确定二次函数图象的开口，对称轴直线，根据自变量取值范围得到对应函数值的取值范围，，即对应点的坐标为，根据，函数图象的对称性即可求解． 【详解】解：（1）二次函数， ∴对称轴直线为； （2）∵， ∴二次函数图象开口向下，且对称轴直线为， ∴当时，函数取得最大值，最大值为：， 当时，函数的最大值为， ∴，整理得，， 解得，（舍去）， ∴； （3）当时，二次函数为， ∴函数图象开口向上，对称轴直线为， ∵， ∴， ∴当在范围时，随的增大而增大， 当时，， 当时，， ∵， ∴当时，，整理得，，且， 解得，（负值舍去）， ∴， ∵当时，总有，当时，随的增大而增大， ∴，即， ∵点关于对称轴直线的对称点为， ∴当时，， 综上所述，实数的取值范围为或． 26．（2025·广西钦州·二模）项目式学习 背景 我国是水资源最为紧缺的国家之一，然而在日常生活中，水龙头漏水造成水资源浪费现象仍较为突出．某校园内有一个漏水的水龙头，数学活动小组要探究其漏水造成的浪费情况．同学们用一个带有刻度的量筒放在水龙头下面接水，探究量筒中的总水量（毫升）是否为时间（分钟）的函数？ 素材 每隔1分钟记录量筒中的总水量，但因操作延误，开始计时时量筒中已有少量水，因而得到如下表的一组数据： 时间t（分钟） 1 2 3 4 5 总水量y（毫升） 10 15 20 25 30 问题探究和问题解决 任务1 请在下图的平面直角坐标系内描出上表每对数据所对应的点． 任务2 请根据上表中的数据和所描的点，判断总水量y与时间t的函数关系？请求出这个关系式． 任务3 ①同学们继续观察，当量简中的水刚好有65毫升时，所需时间是多少分钟？ ②照这个漏水速度，请预测此水龙头1小时会浪费多少毫升水？ ③请你根据以上的探索和结论，提一条关于水龙头节水管理方面的建议． 【答案】任务1：见解析；任务2：（k、b为常数）能正确反映总水量y与时间t的函数关系，；任务3：①当量筒中的水刚好有65毫升时，所需时间为12分钟；②照此漏水速度，此水龙头1小时会浪费300毫升水；③建议水龙头要定期检查，对漏水的水龙头要及时更换． 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数，一次函数的应用，正确读懂题意，求得正确的一次函数解析式是解题的关键． 任务1：根据表格数据描点即可； 任务2：根据上表中的数据和所描的点，（k、b为常数）能正确反映总水量y与时间t的函数关系；再利用待定系数法求解解析式即可； 任务3：①把代入解析式即可得到答案； ②把代入解析式即可得到答案； ③答案不唯一，合理即可． 【详解】解：任务1：如图，描点如下： 任务2：由数据和画图可知（k，b为常数）才能正确反映总水量y与时间t的函数关系； 点和都在此函数的图象上 ， 解得：， ； 任务3：①当时，则， 解得：， 当量筒中的水刚好有65毫升时，所需时间为12分钟； ②当时，， 照此漏水速度，此水龙头1小时会浪费300毫升水； ③建议水龙头要定期检查，对漏水的水龙头要及时更换． 27．（2025·广西·三模）问题：在平面直角坐标系中，点P的坐标为（a为实数），当a变化时，点P的位置也随之改变．点P的位置有何变化规律呢？ 【方法探究】 （1）甲同学将a取了部分特殊值来确定点P的坐标以便观察其变化规律．列表： 点的坐标 ①请直接写出点的坐标； ②描点：如图1，建立平面直角坐标系，现已描出了点，请描出点； ③请观察点的位置，猜想点P的位置随a的变化有何规律？ 【问题解决】 （2）同学们认为通过观察，实验，归纳得到的结论不一定正确，还需要进一步验证． 甲同学根据（1）中的猜想，用待定系数法，选择其中的点，求出y与x的解析式，再将点的坐标代入验证． 乙同学则设点P的坐标为，令得①，得②，消掉字母a，求出y与x的解析式． 问题解决：请分别用甲、乙同学的方法求出y与x的解析式，并简要比较这两种方法； 【拓展应用】 （3）如图2，点，分别为轴，轴正半轴上的一点，，求周长的最小值． 【答案】（1）①；②描点见解析；③点随的变化始终在直线上运动；（2）见解析；（3）的周长最小值为 【分析】本题考查了一次函数的几何应用，求一次函数的解析式，勾股定理，等腰三角形的性质，一次函数的交点问题，轴对称的性质，理解题意是解题的关键． （1）把代入可求出点纵坐标，再把各点描出来，可得点的位置变化规律； （2）分别根据题待定系数法和消元法，求得解析式，即可求解； （3）作出点关于直线的对称点，进而根据轴对称的性质得出的周长最小值为，进而勾股定理，即可求解． 【详解】（1）解：①当时，， ∴， ②描点如下：    猜想：点的横坐标为，纵坐标为，点在一条直线上运动， （2）设出y与x的解析式为，代入， ∴ 解得： 将，代入验证符合解析式， 在直线上； 乙同学设点P的坐标为， ， 得，即． 在直线上； （3）如图， 设直线与轴交于点，与轴交于点， 当时，，则，当时，，则 ∴，是等腰直角三角形， ∴ ∵，则 过点作，且 ∴关于的对称轴点为，则， 的周长最小值为． ∵ ∴， 又∵ ∴ ∴ 试卷第58页，共59页 试卷第59页，共59页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 综合与实践（创新型压轴题，27题） 1．（2025·广西·中考真题）综合与实践 树人中学组织一次“爱心义卖”活动．九（5）班分配到了一块矩形义卖区和一把遮阳伞，遮阳伞在地面上的投影是一个平行四边形（如图1） 初始时，矩形义卖区与遮阳伞投影的平面图如图2所示，在上，，，，，，由于场地限制，参加义卖的同学只能左右平移遮阳伞．在移动过程中，也随之移动（始终在边所在直线上），且形状大小保持不变，但落在义卖区内的部分（遮阳区）会呈现不同的形状．如图3为移动到落在上的情形． 【问题提出】 西西同学打算用数学方法，确定遮阳区面积最大时的位置． 设遮阳区的面积为，从初始时向右移动的距离为． 【直观感知】（1）从初始起右移至图3情形的过程中，随的增大如何变化？ 【初步探究】（2）求图3情形的与的值； 【深入研究】（3）从图3情形起右移至与重合，求该过程中关于的解析式； 【问题解决】（4）当遮阳区面积最大时，向右移动了多少？（直接写出结果） 2．（2024·广西·中考真题）课堂上，数学老师组织同学们围绕关于x的二次函数的最值问题展开探究． 【经典回顾】二次函数求最值的方法． （1）老师给出，求二次函数的最小值． ①请你写出对应的函数解析式； ②求当x取何值时，函数y有最小值，并写出此时的y值； 【举一反三】老师给出更多a的值，同学们即求出对应的函数在x取何值时，y的最小值．记录结果，并整理成下表： a … 0 2 4 … x … * 2 0 … y的最小值 … * … 注：*为②的计算结果． 【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你的发现．” 甲同学：“我发现，老师给了a值后，我们只要取，就能得到y的最小值．” 乙同学：“我发现，y的最小值随a值的变化而变化，当a由小变大时，y的最小值先增大后减小，所以我猜想y的最小值中存在最大值．” （2）请结合函数解析式，解释甲同学的说法是否合理？ （3）你认为乙同学的猜想是否正确？若正确，请求出此最大值；若不正确，说明理由． 3．（2023·广西·中考真题）【综合与实践】 有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心”．某兴趣小组将利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤.小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请完成下列方案设计中的任务． 【知识背景】如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：.其中秤盘质量克，重物质量m克，秤砣质量M克，秤纽与秤盘的水平距离为l厘米，秤纽与零刻线的水平距离为a厘米，秤砣与零刻线的水平距离为y厘米．    【方案设计】 目标：设计简易杆秤．设定，，最大可称重物质量为1000克，零刻线与末刻线的距离定为50厘米． 任务一：确定l和a的值． (1)当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程； (2)当秤盘放入质量为1000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程； (3)根据（1）和（2）所列方程，求出l和a的值． 任务二：确定刻线的位置． (4)根据任务一，求y关于m的函数解析式； (5)从零刻线开始，每隔100克在秤杆上找到对应刻线，请写出相邻刻线间的距离． 4．（2025·广西来宾·模拟预测）综合与实践 【问题背景】 数学活动课上，某数学兴趣小组的同学探究在水速相同的条件下，往容器中注水时，注水时间与水面高度之间的函数关系，同学们制作了一个特殊的容器（如图①），这个特殊的容器由上、下两个高度相同的圆柱体组合而成，且上面的圆柱体底面圆的半径是下面圆柱体底面圆的半径的一半，已知这个特殊容器的高为20cm． 【实验过程】 注水前，容器内的水面高度是4cm，现向容器内匀速注水，当容器恰好注满时停止，每5s记录一次水面的高度（单位：cm），前5次数据如下表所示： 注水时间 0 5 10 15 20 … 水面高度 4 5 6 7 8 … 【问题解决】 (1)请你求出水面高度关于注水时间的函数解析式，写出自变量的取值范围，并在给定的平面直角坐标系（如图②）中，画出关于的函数图象； (2)求当注水时间满足时，水面高度的取值范围． 5．（2025·广西崇左·模拟预测）综合与实践 【问题背景】 刻漏是中国古代一种利用水流计时的工具，计时的准确度取决于水流的均匀程度．某数学综合与实践小组仿照其原理，用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作了如图所示的简易计时装置． 【实践操作】 该数学综合与实践小组在某天上午开始实验，先在甲容器里加满水，此时水面高度为，开始放水后，每隔观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表： 记录时间 7：30 7：40 7：50 8：00 8：10 … 流水时间 0 10 20 30 40 … 水面高度（观察值） 30 29 28.1 27 25.8 … 【建立模型】 小组讨论发现：在实验过程中，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系． 【问题解决】 (1)利用当时，；当时，这两组数据，求水面高度h与流水时间t的函数关系式； (2)在（1）的条件下，当流水时间为时，求水面高度h的值； (3)在（1）的条件下，当甲容器中的水全部流入乙容器时，实验结束，求实验结束时的时间． 6．（2025·广西·模拟预测）综合与实践： 某数学小组为了了解汽车的速度和制动非安全距离的关系，通过查询资料获得以下信息： 材料一：由于人的反应和惯性的作用，行驶中的汽车发现情况到刹车停止前还要继续向前行驶一段距离才能停下，这段距离称为制动非安全距离，从发现情况到刹车起作用的路程称为反应距离，这段距离普通人反应时间为秒．从刹车起作用到最后停止的距离称为制动距离． 材料二：某公司设计了一款新型汽车，现在对它的制动性能（车速不超过）进行测试，测得数据如表： 车速（） 制动距离（） 探究任务： (1)以车速为横坐标，制动距离为纵坐标，在坐标系中描出表中各组数值所对应的点，并用平滑曲线连接这些点； (2)已知该款新型汽车的制动距离和车速之间存在已学过的某种函数关系，请根据上面提供的数据，求出这个函数的表达式； (3)若在该款新型汽车的某次测试中，通过测量刹车痕迹得到它的制动距离约为，请通过计算估计该款汽车开始刹车时的速度； (4)若某驾驶员驾驶这种新型汽车以5的速度在单行道上行驶，发现前方处有一辆大货车停在公路上挡住去路，驾驶员紧急刹车，请问是否有碰撞危险？请说明理由． 7．（2025·广西钦州·一模）综合与实践 现有三个款式的杯子，它们的高度不同．数学兴趣小组对杯子叠放的总高度与杯子数量之间的数学问题开展研究． 【实践操作】 （1）把A款杯子按如图①所示的方式整齐地叠放成一摞，6只杯子叠放的总高度为，已知一只A款杯子的高度为，且叠放总高度与杯子数量的函数解析式为，请求出的值； （2）把A款杯子按如图②所示的方式整齐地叠放成一摞，7只杯子叠放的总高度为，已知一只B款杯子的高度为，请求出叠放总高度与杯子数量的函数解析式； （3）把C款杯子按如图③所示的方式整齐地叠放成两摞，3只杯子叠放的总高度为，8只杯子叠放的总高度为，请直接写出叠放总高度与杯子数量的函数解析式； 【知识运用】 （4）已知杯子摆放区的高度为，若把款杯子叠放成一摞放入杯子摆放区，请问一摞最多能叠放多少只杯子？ 8．（2025·广西崇左·三模）综合与实践 【问题情境】在校园运动会开幕式中，如图，运动会火炬手小明需要用火种点燃的箭头，然后射向距离发射点水平距离为70米、距地面的竖直高度为20米处的一个点火台上，已知点火台是一个弓形，其中米，且垂直平分这支箭（大小忽略不计）飞行的轨迹可以看作是抛物线的一部分．记这支箭飞行的水平距离为d（单位：m），距地面的竖直高度为h（单位：m）．获得的数据如表： 0 10 20 30 40 50 60 70 k 【问题解决】 (1)k的值为 ． (2)在平面直角坐标系中，描点，并用平滑的曲线将8个点依次连接； (3)求出h与d的函数解析式； (4)小明射出的箭的运动轨迹与线段有公共点时，说明这支箭就可以射入点火台内了，请判断小明射出的箭是否射入了点火台内？说明理由． 9．（2025·广西南宁·一模）综合与实践：生物生长规律的模型研究 如图1，砗磲（chēqú）是地球上最大的双壳类动物，某海洋研究院对南海的砗磲样本进行分析，得到某砗磲样本年龄x（单位：岁）与平均日生长速率y（单位：天）的数据如下表： 0 5 10 15 20 25 26.0 19.0 14.0 9.5 7.0 5.5 【模型构建1】如图2，数学小组A在直角坐标系中描出以表中的值为坐标的点，根据点的分布情况，猜想其函数图象是过的抛物线，设解析式为． （1）选取两个点，，求抛物线解析式，并直接写出该砗磲样本平均日生长速率最小时的年龄． 【模型构建2】数学小组B观察表格中数据，发现后四组数据中x与y的乘积分别为，，，，猜想当时y与x符合反比例关系，设解析式为． （2）为减少偏差，取，求反比例函数解析式． 【模型应用】研究发现，正常情况下砗磲的平均日生长速率总体随年龄增长持续降低． （3）为求该砗磲样本35岁时的平均日生长速率，请从上述模型中选择其一，说明选择的理由并计算； （4）该砗磲样本35岁时受厄尔尼诺现象（海表温度异常增暖的气候现象）影响，其实际平均日生长速率为天，请说明该现象对砗磲平均日生长速率的影响． 10．（2025·广西南宁·模拟预测）综合与实践 【问题背景】某课外科学活动小组研究一个小球在一条足够长且平直的轨道上的运动问题．如图，轨道起始段（段）绝对光滑，不存在阻力；剩余部分（段）粗糙，存在恒定的摩擦力，会使小球速度逐渐减小直至停止． 【实验操作】活动小组经过研究，得出小球运动过程中速度（单位：）与时间（单位：）的关系（如图1所示），以及路程（单位：）与时间（单位：）的关系（如图2所示）．其中，图2中段是抛物线的一部分．已知小球初速度． 【建立模型】 任务1：根据图1和图2提供的信息，确定轨道初段的长度为_____； 任务2：求小球在粗糙轨道（射线对应部分）上运动时，速度与时间之间的函数关系式． 求小球从开始出发到最终停止，行进的总路程． 【拓展延伸】任务3：在任务2的条件下，探究在粗糙轨道段（射线上）是否存在一节长为的轨道，使得小球在通过该段过程中，所用时间恰好为1秒．若存在，请求出这节轨道的起点与点之间的距离；若不存在，请说明理由． 11．（2025·广西柳州·模拟预测）综合与实践 【发现问题】 海边洗浴时，往往因没有合适的地方更换衣服而尴尬．小明妈妈买来一块长宽的加厚不透明的布料用来围成一个无盖的长方体形状的临时换衣间（地面是长方形，布料接头部分忽略不计），小明发现高的换衣间空间大小取决于所围空间的地面的面积，而地面的面积会随长方形地面的一边长的变化而变化． 【提出问题】 设临时换衣间长方形地面的一边长为，临时换衣间地面面积为，那么与之间有什么关系呢？ 【分析问题】 一方面发现临时换衣间的底面周长是，于是另一边长可以用含的代数式表示，于是利用矩形的面积长宽，就可以直接列出面积与的关系式．另一方面可以依据实际操作和计算得到一边长和面积的相关数据，如表： 长方形地面的一边长 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 … 长方形地面的面积 0.84 1.14 1.36 1.5 1.56 … 然后在平面直角坐标系中，分别描出上面表格中的各对数值对应的点，得到如图，再由图象猜想与之间函数关系，最后利用待定系数法即可求出对应的函数解析式． 【解决问题】 (1)求出与的函数关系； (2)求为何值时，临时换衣间的空间最大？最大空间是多少？ (3)小明发现离洗浴地不远处有一栋长高的建筑外墙．若利用部分墙体，你能帮小明设计空间更大的临时换衣间吗？若能，请结合具体数据进行表达． 12．（2025·广西河池·一模）综合与实践 【问题背景】某校为在操场举办“辞旧迎新”活动，采购了一批彩色的塑料凳子，如图，该塑料凳子高为，若将其叠放在一起，每增加一张，高度就会增加，老师给数学兴趣小组布置了以下任务． 【问题解决】任务1：若该校购买了n张凳子，将其全部叠放在一起，求叠放高度h（单位：）与凳子张数n的表达式； 任务2：现有甲、乙两种包装纸箱，其长宽与凳子的长宽正好相等，其中甲纸箱的高度为，乙纸箱的高度为，每个纸箱的上下底都要装上厚的泡沫，求甲、乙每个纸箱最多能装下多少张凳子； 任务3：已知甲、乙纸箱的单价分别为5元/个和3元/个，该校要采购1200张凳子，计划用甲、乙两种纸箱共90个来包装，如何选用甲、乙两种纸箱，使得支出的包装费用最少？最少是多少？ 13．（2025·广西柳州·一模）［综合探究］运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况．在大自然里，有很多数学的奥秘．图1是一片美丽的心形叶片，图2是一棵生长的幼苗都可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成． 【探究一】确定心形叶片的形状 （1）如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，已知图像过原点，求抛物线的解析式及顶点的坐标； 【探究二】研究心形叶片的宽度： （2）如图3，在（1）的条件下，心形叶片的对称轴，即直线与坐标轴交于，两点，抛物线与轴交于另一点，点，是叶片上的一对对称点，交直线于点．求叶片此处的宽度； 【探究三】探究幼苗叶片的长度 （3）小李同学在观察幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线都可以看作是二次函数图象的一部分；如图4，幼苗叶片下方轮廓线正好对应探究一中的二次函数．已知直线（点为叶尖）与水平线的夹角为，求幼苗叶片的长度． 14．（2025·广西南宁·三模）阅读与思考在一次数学探究活动中，某学习小组成员通过测量计算等方式，在平面直角坐标系中标记出了一些特殊的点，、，，，，…这些点总是满足某种数学规律． 【规律探究】（1）若平面直角坐标系中的点满足上述规律，请直接写出x与y之间的关系：______． 【感知定义】（2）该小组成员将满足上述关系的点称为“邂逅点”．请判断，，中，点______是“邂逅点”（填“A”或“B”或“C”）； 【综合应用】（3）运用“邂逅点”的定义，解决下列的问题： ①若点是反比例函数图象上的“邂逅点”，求k的值； ②已知的图象上有两个“邂逅点”，求证：这两个“邂逅点”的横坐标互为相反数． 15．（2025·广西柳州·二模）综合与探索 【探索发现】如图，等腰直角三角形中，，，过点作交于点，过点作交于点，易得，我们称这种全等模型为“型全等”．（不需要证明） 【迁移应用】如图，在直角坐标系中，直线：分别与轴，轴交于点、， (1)直接写出______，______； (2)将直线绕点顺时针旋转得直线，求出直线解析式： 小明的解题思路是：在第二象限构造等腰直角，使得，，根据型全等和坐标之间的关系，求出点的坐标为______；通过，两点坐标求出直线的解析式______； (3)如图，将直线绕点顺时针旋转得到，求的函数解析式． 16．（2025·广西南宁·三模）数学小组利用刻度尺对二次函数图象的相关性质进行研究．如图1，点为两条开口向上的抛物线的公共顶点，将刻度尺绕点旋转，与两条抛物线分别交于点，点（异于点）． 【猜想】学生先对，进行探究，对进行多次测量，部分数据如表： （单位：） … … （单位：） … 1 … （1）猜想：与的数量关系是______． 【验证】（2）如图2，直线与二次函数，分别交于点，点．与的数量关系是什么？请完成填空，并补全推导过程． 证明：过点分别作轴于轴于． 设点的横坐标为，由点是，的交点，得，解得； 设点的横坐标为，由点是，的交点，得______，解得______． 又∵，∴______． 易证． ∴…… 请完成证明过程． 【应用】（3）①如图3，若直线与抛物线，分别交于点，直线与抛物线，分别交于点，其中异于点．若关于轴对称点分别是，则线段与线段的数量关系是什么？请说明理由． ②若直线与抛物线相交于点，直线与抛物线相交于点，且，直接写出的值．          17．（2025·广西·二模）探究与证明 【问题背景】在四边形中，（E，F分别为边上的动点），的延长线交延长线于点M，的延长线交延长线于点N，连接． 【构建联系】 （1）如图1，若四边形是正方形，求证：； （2）如图2所示平面直角坐标系，在中，，点A坐标为，B，C分别在x轴和y轴上，且反比例函数图象经过BC上的点D，且，求k的值． 【深入探究】 （3）如图3，若四边形是菱形，连接，当且时，求的值． 18．（2025·广西玉林·三模）我们约定：若两条抛物线与轴有两个相同的交点，且开口方向相反，我们就把两条抛物线构成的封闭曲线叫做“山水线”，如图所示．根据约定，解答下列问题： (1)判断下列每组的两条抛物线是否构成“山水线”．若是，请在横线上画“√”；若不是，请在横线上画“×”． ①和；________ ②和；________ ③和．________ (2)若抛物线和抛物线恰好构成“山水线”，求的值． (3)若抛物线和构成的“山水线”关于轴对称，该“山水线”与轴交于点，，点在点左侧．设点，是线段上的动点，过点作轴的垂线交该“山水线”于点，，过点作轴的垂线交该“山水线”于点，，点，在轴下方．试探究：是否存在以线段长为斜边、线段，长为直角边的等腰直角三角形？若存在，请求出该三角形的面积；若不存在，请说明理由． 19．（2025·广西南宁·二模）探究与拓展 如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，点的坐标为，点是此函数图象在轴上方部分的动点，连接，．设点的横坐标为，的面积为，关于的函数图象如图2所示． (1)请直接写出点的坐标，和图2中的值； (2)当时，求点的坐标； (3)当点仅在函数图象上点至点之间的部分运动时，连接，交于点，则是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值并直接写出此时的值；若不存在，请说明理由． 20．（2025·广西钦州·二模）探究与拓展 如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为，点D是此函数图象在x轴上方部分的动点，连接CD，OD．设点D的横坐标为n，的面积为S，S关于n的函数图象如图2所示． (1)请直接写出点A的坐标，b和图2中c的值； (2)当时，求点D的坐标； (3)当点D仅在函数图象上点C至点B之间的部分运动时，连接BC，交OD于点E，则是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值并直接写出此时S的值；若不存在，请说明理由． 21．（2025·广西南宁·模拟预测）【项目式学习】 【项目主题】安全用电，防患未然． 项目背景：近年来，随着电动自行车保有量不断增多，火灾风险持续上升．据悉，约的火灾都在充电时发生．某校九年级数学创新小组，开展以“安全用电，防患未然”为主题的项目式学习，对电动自行车充电车棚的消防设备进行研究． 【任务一】调查分析 （1）图悬挂的是公斤干粉灭火器，图为其喷射截面示意图，在中，，喷射角，地面有效保护直径为米，喷嘴距离地面的高度为____________米； 【任务二】模型构建 由于干粉灭火器只能扑灭明火，并不能扑灭电池内部的燃烧，在火灾发生时需要大量的水持续给电池降温，才能保证电池内部自燃熄灭，不会复燃．学校考虑给新建的电动自行车充电车棚安装消防喷淋头． （2）如图，喷淋头喷洒的水柱最外层的形状为抛物线．已知学校的停车棚左侧靠墙建造，其截面示意图为矩形，创新小组以点为坐标原点，墙面所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系．他们查阅资料后，提议消防喷淋头安装在离地高度为米，距离墙面水平距离为米处，即米，米，水喷射到墙面处，且米． ①求该水柱外层所在抛物线的函数解析式； ②按照此安装方式，喷淋头的地面有效保护直径为多少米？ 任务三：问题解决 （3）已知充电车棚宽度为米，电动车电池的离地高度为米．创新小组想在喷淋头的同一水平线上加装同一种喷淋头，使消防喷淋头喷洒的水柱可以覆盖所有的电动车电池，那么喷淋头距离喷淋头至少多少米？（直接写出结果） 22．（2025·广西玉林·一模）小明家有一栋附带小庭院的楼房，为提高居住的舒适度，他在楼房的窗子上方安装一个圆弧形遮阳棚（如图1所示）．图2是安装遮阳棚一侧的院子的俯视图，设房子墙壁与院墙分别为、，这两面墙间距米，经观测，太阳光线常从院墙方向照进院子中，房子墙壁下方紧挨着矩形花圃（花圃高度忽略不计），花圃的另一边紧贴着左侧院墙，米．图3是院子的左视图，已知弧所在的圆的圆心O恰好在墙壁上，测得遮阳棚的顶部到地面的距离，外边缘B到墙壁的距离，．在太阳光的照射下，遮阳棚对面院墙落在地面上的影子是，． (1)根据以上数据求圆心O到地面的距离； (2)小明说：“当遮阳棚边缘B的影子正好落在圆心O处时，围墙的影子顶部F与围墙顶端G的距离正好等于弧的半径．”，你认为他的说法正确吗？请说明理由． (3)如图4，从某一时刻开始，过点G的太阳光线正好落在花圃边沿H处，随着时间的推移，光线逐渐向左移动．假设太阳光线可照射在花圃上的宽度为l米，影长为n米（），试判断l与n有什么关系？并说明理由． (4)在（3）的条件下，若要求太阳光线照在花圃上的宽度不得小于米，则n的取值范围是多少？ 23．（2025·广西南宁·模拟预测）请根据以下素材，完成探究任务． 飞行汽车 背景 飞行汽车是一种结合了传统汽车和飞行器功能的交通工具，旨在实现地面行驶与空中飞行的双重模式．它被视为未来城市交通的重要解决方案之一，尤其在缓解交通拥堵和拓展三维交通空间方面具有潜力． 建模 某数学小组运用信息技术模拟飞行汽车飞行过程．如图，以飞行汽车的地面起飞点为原点，地平线为轴，垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系．它在起飞后的初始飞行路径呈现抛物线形状，当飞行汽车到达抛物线最高点后下降到点．此时点距离地面千米，保持这个高度以100千米/时的速度水平飞行一定距离后到达点，切换到直线下降飞行模式降落至地面点．得到抛物线直线和直线． 任务 （1）若仪表监测到水平飞行时间为小时，此时点距离起飞点的水平距离为10千米，求和的值； （2）若飞行汽车在最高点时，距离起飞点的水平距离为千米．水平飞行了小时到达点后降落，求的取值范围． 24．（2025·广西来宾·一模）我们常借助图象来探究二次函数的性质及其变化规律． 【初步探究】如图1，我们将二次函数的图象向上平移得到的图象．过上点作轴交于点．    （1）点在上运动的过程中，线段的长度是否会发生变化？若不变，请求出定值；若变化，请说明理由． 【拓展探究】如图2，线段分别交轴、轴于点，．平移得到，且使其顶点始终在线段上．过点作轴交于点． （2）若的顶点横坐标为4，，求点的横坐标． （3）若点的坐标为，的顶点横坐标为，的长为． ①求关于的函数解析式； ②求的最大值． 25．（2025·广西崇左·模拟预测）课堂上，数学老师组织同学们围绕二次函数展开探究． 【问题探究】 （1）求该二次函数图象的对称轴； （2）若，当时，函数的最大值为，求实数的值； 【问题拓展】 （3）若，当时，，当时，总有，求实数的取值范围． 26．（2025·广西钦州·二模）项目式学习 背景 我国是水资源最为紧缺的国家之一，然而在日常生活中，水龙头漏水造成水资源浪费现象仍较为突出．某校园内有一个漏水的水龙头，数学活动小组要探究其漏水造成的浪费情况．同学们用一个带有刻度的量筒放在水龙头下面接水，探究量筒中的总水量（毫升）是否为时间（分钟）的函数？ 素材 每隔1分钟记录量筒中的总水量，但因操作延误，开始计时时量筒中已有少量水，因而得到如下表的一组数据： 时间t（分钟） 1 2 3 4 5 总水量y（毫升） 10 15 20 25 30 问题探究和问题解决 任务1 请在下图的平面直角坐标系内描出上表每对数据所对应的点． 任务2 请根据上表中的数据和所描的点，判断总水量y与时间t的函数关系？请求出这个关系式． 任务3 ①同学们继续观察，当量简中的水刚好有65毫升时，所需时间是多少分钟？ ②照这个漏水速度，请预测此水龙头1小时会浪费多少毫升水？ ③请你根据以上的探索和结论，提一条关于水龙头节水管理方面的建议． 27．（2025·广西·三模）问题：在平面直角坐标系中，点P的坐标为（a为实数），当a变化时，点P的位置也随之改变．点P的位置有何变化规律呢？ 【方法探究】 （1）甲同学将a取了部分特殊值来确定点P的坐标以便观察其变化规律．列表： 点的坐标 ①请直接写出点的坐标； ②描点：如图1，建立平面直角坐标系，现已描出了点，请描出点； ③请观察点的位置，猜想点P的位置随a的变化有何规律？ 【问题解决】 （2）同学们认为通过观察，实验，归纳得到的结论不一定正确，还需要进一步验证． 甲同学根据（1）中的猜想，用待定系数法，选择其中的点，求出y与x的解析式，再将点的坐标代入验证． 乙同学则设点P的坐标为，令得①，得②，消掉字母a，求出y与x的解析式． 问题解决：请分别用甲、乙同学的方法求出y与x的解析式，并简要比较这两种方法； 【拓展应用】 （3）如图2，点，分别为轴，轴正半轴上的一点，，求周长的最小值． 试卷第58页，共59页 试卷第59页，共59页 学科网（北京）股份有限公司 $$