专题15 图形的变化（100题）（广西专用）-【好题汇编】5年（2021-2025）中考1年模拟数学真题分类汇编

专题15 图形的变化（100题） 一、单选题 1．（2025·广西·中考真题）如图是一个正三棱柱，则它的俯视图是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·广西·中考真题）在中，，则（   ） A． B． C． D． 3．（2024·广西·中考真题）榫卯是我国传统建筑及家具的基本构件．燕尾榫是“万榫之母”，为了防止受拉力时脱开，榫头成梯台形，形似燕尾，如图是燕尾榫正面的带头部分，它的主视图是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·广西·中考真题）端午节是中国传统节日，下列与端午节有关的文创图案中，成轴对称的是（    ） A． B． C． D． 5．（2023·广西·中考真题）下列数学经典图形中，是中心对称图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   6．（2022·广西柳州·中考真题）下列交通标志中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 7．（2022·广西河池·中考真题）下列几何体中，三视图的三个视图完全相同的几何体是(   ) A． B． C． D． 8．（2022·广西贵港·中考真题）如图，某数学兴趣小组测量一棵树的高度，在点A处测得树顶C的仰角为，在点B处测得树顶C的仰角为，且A，B，D三点在同一直线上，若，则这棵树的高度是（    ） A． B． C． D． 9．（2022·广西贵港·中考真题）若点与点关于y轴对称，则的值是（    ） A． B． C．1 D．2 10．（2022·广西贵港·中考真题）一个圆锥如图所示放置，对于它的三视图，下列说法正确的是（    ） A．主视图与俯视图相同 B．主视图与左视图相同 C．左视图与俯视图相同 D．三个视图完全相同 11．（2022·广西·中考真题）如图，在△ABC中，点A（3，1），B（1，2），将△ABC向左平移2个单位，再向上平移1个单位，则点B的对应点B′的坐标为（    ） A．（3，-3） B．（3，3） C．（－1，1） D．（－1，3） 12．（2022·广西·中考真题）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（    ） A．  平行四边形 B．  等腰梯形 C．  正三角形 D．  圆 13．（2022·广西·中考真题）已知△ABC与△A1B1C1是位似图形，位似比是1：3，则△ABC与△A1B1C1的面积比（    ） A．1 ：3 B．1：6 C．1：9 D．3：1 14．（2022·广西·中考真题）下列几何体中，主视图为矩形的是（    ） A． B． C． D． 15．（2022·广西桂林·中考真题）下列图形中，是中心对称图形的是（    ） A．等边三角形   B．圆   C．正五边形   D．扇形   16．（2022·广西梧州·中考真题）如图，以点O为位似中心，作四边形的位似图形﹐已知，若四边形的面积是2，则四边形的面积是（    ） A．4 B．6 C．16 D．18 17．（2022·广西梧州·中考真题）在下列立体图形中，主视图为矩形的是（    ） A． B． C． D． 18．（2022·广西贺州·中考真题）某餐厅为了追求时间效率，推出一种液体“沙漏”免单方案（即点单完成后，开始倒转“沙漏”， “沙漏”漏完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免费用餐）．“沙漏”是由一个圆锥体和一个圆柱体相通连接而成．某次计时前如图（1）所示，已知圆锥体底面半径是，高是；圆柱体底面半径是，液体高是．计时结束后如图（2）所示，求此时“沙漏”中液体的高度为（    ） A． B． C． D． 19．（2022·广西贺州·中考真题）如图，在中，，则的值是（    ） A． B． C． D． 20．（2022·广西贺州·中考真题）下面四个几何体中，主视图为矩形的是（    ） A． B． C． D． 21．（2022·广西·中考真题）如图，在中，，将绕点A逆时针旋转，得到，连接并延长交AB于点D，当时，的长是（    ） A． B． C． D． 22．（2022·广西·中考真题）如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB的长为12米，AB与AC的夹角为，则高BC是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 23．（2022·广西·中考真题）如图，数轴上的点A表示的数是，则点A关于原点对称的点表示的数是（    ） A． B．0 C．1 D．2 24．（2022·广西·中考真题）2022北京冬残奥会的会徽是以汉字“飞”为灵感来设计的，展现了运动员不断飞跃，超越自我，奋力拼搏，激励世界的冬残奥精神下列的四个图中，能由如图所示的会徽经过平移得到的是（    ） A． B． C． D． 25．（2022·广西玉林·中考真题）如图，从热气球A看一栋楼底部C的俯角是(   ) A． B． C． D． 26．（2022·广西玉林·中考真题）如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是(   ) A． B． C． D． 27．（2021·广西河池·中考真题）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 28．（2021·广西河池·中考真题）如图是由几个小正方体组成的几何体，它的左视图是（   ） A． B． C． D． 29．（2021·广西百色·中考真题）如图，在⊙O中，尺规作图的部分作法如下：（1）分别以弦AB的端点A、B为圆心，适当等长为半径画弧，使两弧相交于点M；（2）作直线OM交AB于点N．若OB＝10，AB＝16，则tan∠B等于（    ） A． B． C． D． 30．（2021·广西桂林·中考真题）如图，在平面直角坐标系内有一点P（3，4），连接OP，则OP与x轴正方向所夹锐角α的正弦值是（　　） A． B． C． D． 31．（2021·广西桂林·中考真题）下列图形中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 32．（2021·广西梧州·中考真题）如图是由5个大小相同的正方体搭成的几何体，则这个几何体的主视图是（　　） A． B． C． D． 33．（2021·广西贵港·中考真题）在平面直角坐标系中，若点P(a－3，1)与点Q(2，b＋1)关于x轴对称，则a＋b的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 34．（2021·广西贺州·中考真题）如图，在中，，，点在上，，以为半径的与相切于点，交于点，则的长为（    ） A． B． C． D．1 35．（2021·广西贺州·中考真题）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（    ） A．（－3，2） B．（3，－2） C．（－2，－3） D．（－3，－2） 二、填空题 36．（2023·广西·中考真题）如图，焊接一个钢架，包括底角为的等腰三角形外框和3m高的支柱，则共需钢材约 m（结果取整数）．（参考数据：，，）    37．（2022·广西柳州·中考真题）如图，某水库堤坝横断面迎水坡的坡角为α，sinα＝，堤坝高BC＝30m，则迎水坡面AB的长度为 m． 38．（2022·广西河池·中考真题）如图，把边长为1：2的矩形ABCD沿长边BC，AD的中点E，F对折，得到四边形ABEF，点G，H分别在BE，EF上，且BG＝EH＝BE＝2，AG与BH交于点O，N为AF的中点，连接ON，作OM⊥ON交AB于点M，连接MN，则tan∠AMN＝ ． 39．（2022·广西贵港·中考真题）如图，在中，，以点A为圆心、为半径画弧交于点E，连接，若，则图中阴影部分的面积是 ． 40．（2022·广西·中考真题）数学兴趣小组通过测量旗杆的影长来求旗杆的高度，他们在某一时刻测得高为2米的标杆影长为1.2米，此时旗杆影长为7.2米，则旗杆的高度为 米． 41．（2022·广西桂林·中考真题）如图，某雕塑MN位于河段OA上，游客P在步道上由点O出发沿OB方向行走．已知∠AOB＝30°，MN＝2OM＝40m，当观景视角∠MPN最大时，游客P行走的距离OP是 米．    42．（2022·广西·中考真题）古希腊数学家泰勒斯曾利用立杆测影的方法，在金字塔影子的顶部直立一根木杆，借助太阳光测金字塔的高度．如图，木杆EF长2米，它的影长FD是4米，同一时刻测得OA是268米，则金字塔的高度BO是 米． 43．（2021·广西百色·中考真题）如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝72°，∠ACB的平分线CD交AB于点D，则点D是线段AB的黄金分割点．若AC＝2，则BD＝ ． 44．（2021·广西百色·中考真题）数学活动小组为测量山顶电视塔的高度，在塔的椭圆平台遥控无人机．当无人机飞到点P处时，与平台中心O点的水平距离为15米，测得塔顶A点的仰角为30°，塔底B点的俯角为60°，则电视塔的高度为 米． 45．（2021·广西梧州·中考真题）某市跨江大桥即将竣工，某学生做了一个平面示意图（如图），点A到桥的距离是40米，测得∠A＝83°，则大桥BC的长度是 米．（结果精确到1米）（参考数据：sin83°≈0.99，cos83°≈0.12，tan83°≈8.14） 三、解答题 46．（2024·广西·中考真题）如图1，中，，．的垂直平分线分别交，于点M，O，平分． (1)求证：； (2)如图2，将绕点O逆时针旋转得到，旋转角为．连接， ①求面积的最大值及此时旋转角的度数，并说明理由； ②当是直角三角形时，请直接写出旋转角的度数． 47．（2023·广西·中考真题）如图，平分，与相切于点A，延长交于点C，过点O作，垂足为B．    (1)求证：是的切线； (2)若的半径为4，，求的长． 48．（2022·广西柳州·中考真题）如图，已知AB是⊙O的直径，点E是⊙O上异于A，B的点，点F是的中点，连接AE，AF，BF，过点F作FC⊥AE交AE的延长线于点C，交AB的延长线于点D，∠ADC的平分线DG交AF于点G，交FB于点H． (1)求证：CD是⊙O的切线； (2)求sin∠FHG的值； (3)若GH＝，HB＝2，求⊙O的直径． 49．（2022·广西河池·中考真题）如图，小敏在数学实践活动中，利用所学知识对他所在小区居民楼AB的高度进行测量，从小敏家阳台C测得点A的仰角为33°，测得点B的俯角为45°，已知观测点到地面的高度CD＝36m，求居民楼AB的高度（结果保留整数．参考数据：sin33°≈0.55，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65）． 50．（2022·广西河池·中考真题）如图、在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（1，2），B（2，3），C（4，1）．    (1)画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； (2)以原点O为位似中心，在第三象限内画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比为，并写出点B2的坐标． 51．（2022·广西·中考真题）如图，AB为圆的直径， C是⊙O上一点，过点C的直线交AB的延长线于点M．作AD⊥MC，垂足为D，已知AC平分∠MAD ． (1)求证：MC是⊙O的切线： (2)若 AB＝BM＝4，求 tan∠MAC的值 52．（2022·广西梧州·中考真题）今年，我国“巅峰使命”2022珠峰科考团对珠穆朗玛峰进行综合科学考察，搭建了世界最高海拔的自动气象站，还通过释放气球方式进行了高空探测．某学校兴趣小组开展实践活动，通过观测数据，计算气球升空的高度AB．如图，在平面内，点B，C，D在同一直线上，垂足为点B，，， ，求AB的高度．（精确到）（参考数据：﹐﹐，） 53．（2022·广西贺州·中考真题）如图，在小明家附近有一座废旧的烟囱，为了乡村振兴，美化环境，政府计划把这片区域改造为公园．现决定用爆破的方式拆除该烟囱，为确定安全范围，需测量烟囱的高度AB，因为不能直接到达烟囱底部B处，测量人员用高为的测角器在与烟囱底部B成一直线的C，D两处地面上，分别测得烟囱顶部A的仰角，同时量得CD为．问烟囱AB的高度为多少米？（精确到，参考数据：） 54．（2022·广西玉林·中考真题）如图，是的直径，C，D都是上的点，平分，过点D作的垂线交的延长线于点E，交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的值． 55．（2021·广西河池·中考真题）如图，小明同学在民族广场A处放风筝，风筝位于B处，风筝线AB长为，从A处看风筝的仰角为，小明的父母从C处看风筝的仰角为． （1）风筝离地面多少m？ （2）AC相距多少m？（结果保留小数点后一位，参考数据：，，，，，） 56．（2021·广西桂林·中考真题）如图，四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，点E为BC中点，AE⊥DE于点E．点O是线段AE上的点，以点O为圆心，OE为半径的⊙O与AB相切于点G，交BC于点F，连接OG． （1）求证：△ECD∽△ABE； （2）求证：⊙O与AD相切； （3）若BC＝6，AB＝3，求⊙O的半径和阴影部分的面积． 57．（2021·广西桂林·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点的坐标分别是A（﹣1，4），B（﹣3，1）． （1）画出线段AB向右平移4个单位后的线段A1B1； （2）画出线段AB绕原点O旋转180°后的线段A2B2． 58．（2021·广西梧州·中考真题）如图，在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，点O在CD上，作⊙O，使⊙O与AD相切于点B，⊙O与CD交于点E，过点D作DF∥AC，交AO的延长线于点F，且∠OAB＝∠F． （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）若OC＝3，DE＝2，求tan∠F的值． 59．（2021·广西贺州·中考真题）如图，在中，，是上的一点，以为直径的与相切于点，连接，． （1）求证：平分； （2）若，求的值． 60．（2021·广西贺州·中考真题）如图，一艘轮船离开港沿着东北方向直线航行海里到达处，然后改变航向，向正东方向航行20海里到达处，求的距离． 四、单选题 61．（2025·广西南宁·二模）下列四张新能源图标是中心对称图形的是（   ） A．水能 B．风能 C．太阳能 D．氢能 62．（2025·广西玉林·三模）如图，将点向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则所得点的坐标为（    ） A． B． C． D． 63．（2025·广西玉林·三模）小李在做“小孔成像”实验时，蜡烛到挡板的距离与挡板到屏幕的距离之比是．若烛焰的高是，则实像的商是（    ） A． B． C． D． 64．（2025·广西梧州·二模）如图所示的几何体，它的俯视图是（   ） A． B． C． D． 65．（2025·广西贺州·三模）下列图形中，是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 66．（2025·广西钦州·二模）下列交通指示标志的图案是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 67．（2025·广西崇左·模拟预测）西汉弦纹玻璃杯出土于广西壮族自治区北海市合浦县文昌塔70号汉墓，现藏于广西壮族自治区博物馆．如图是西汉弦纹玻璃杯，它的俯视图可近似看作（   ） A． B． C． D． 68．（2025·广西柳州·模拟预测）在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则（   ） A． B． C．1 D．5 69．（2025·广西南宁·模拟预测）为培养学生运用人工智能技术解决数学问题的能力，学校组织九年级同学开展了“AI图形设计大赛”．下列图形是部分参赛作品，其中属于中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 70．（2025·广西防城港·模拟预测）下列化学仪器中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 71．（2025·广西梧州·一模）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点O．若点的对应点为，则点的对应点E的坐标为（   ）． A． B． C． D． 72．（2025·广西南宁·二模）“准、绳、规、矩”是古代使用的测量工具，一个简单结构的“矩”（如图1），根据使用时安放的位置测定物体的高低远近及大小，把“矩”放置在如图2所示的位置，令 ，若，，，则关于的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 73．（2025·广西玉林·三模）随着人工智能技术的普及，出现众多具有广泛影响力的人工智能应用，以下是一些常见人工智能应用的图案，其中属于中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 74．（2025·广西南宁·模拟预测）在2025年某学校举行的数学文化活动节中，有同学设计了如下的徽章．下列的四个图中，能由如图所示的徽章经过平移得到的是（    ） A． B． C． D． 75．（2025·广西南宁·模拟预测）2025年4月24日，我国神舟二十号载人飞船成功升空．中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量．下面有关我国航天领域的图标中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 76．（2025·广西柳州·三模）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形，其中，，，则高约为（   ）（参考数据：，，） A．9.98cm B．11.22cm C．19.58cm D．22.44cm 77．（2025·广西贺州·三模）人字梯为现代家庭常用的工具．如图，若的长都为4米，当时，人字梯顶端离地面的高度约为(　　)(结果保留小数点后1位，参考数据：) A．3.8米 B．3.5米 C．3.4米 D．2.82米 78．（2025·广西来宾·模拟预测）中国传统纹样指的是由历代沿传下来的具有独特民族艺术风格的图案，下列纹样的示意图，是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 79．（2025·广西梧州·三模）下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 80．（2025·广西贵港·一模）如图，扇形的半径为，菱形的顶点、、分别在、、上，若，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 81．（2025·广西柳州·二模）如图所示，在洞孔成像问题中，已知玻璃棒与它的物像平行，已知玻璃棒厘米，根据图中给定的尺寸，那么它的物像的长是（   ）厘米． A． B． C． D． 82．（2025·广西河池·一模）小郑在做“小孔成像”实验时，蜡烛到挡板的距离与挡板到屏幕的距离之比是．若烛焰的高是，则实像的高是（   ） A． B． C． D． 83．（2025·广西梧州·一模）如图是6个相同的正方形搭成的几何体，将标有①②③④⑤的五个正方体随机拿掉1个，比较前后两个几何体，左视图不改变的概率是（   ）    A． B． C． D． 84．（2025·广西南宁·模拟预测）下列几何体中，主视图是三角形的是（　　） A． B． C． D． 85．（2025·广西玉林·三模）如图，菱形的四个顶点均在坐标轴上，对角线、交于原点，于点，交于点，反比例函数的图象经过线段的中点，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 86．（2025·广西·一模）将图1所示的七巧板，拼成图2所示的四边形，连接，则的值为（    ） A． B． C． D． 五、填空题 87．（2025·广西贵港·一模）如图，在中，，，点为的中点，，若过点作交于点，则的长为 ． 88．（2025·广西南宁·二模）如图，在一块长为，宽为的长方形草坪上，有一条的弯曲小路，小路的右边线向左平移就是它的左边线，则这块草地的面积为 ． 89．（2025·广西崇左·三模）如图，是一条坡角为的滑雪道，滑雪道长为500米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度 的长为 米（精确到米．参考数据： ）． 90．（2025·广西来宾·模拟预测）如图①是广西传统“干栏式”民居，是壮族最具标志性的民居形式，是壮族先民适应自然生存智慧的集中体现，其屋顶可看作等腰三角形（如图②），其中，若是的中点， ，，则的长约为 m．（结果保留整数，参考数据： ） 91．（2025·广西梧州·二模）“海棠花窗”是中国建筑中常见的一种设计．如图是一个海棠花窗的制作示意图，点是正方形的边心距上的一点，以点为圆心，长为半径画弧，同样的作法得到其余三条和弧一样的等弧，已知正方形的边长是6，当时，这个海棠花窗的周长是 ． 92．（2025·广西钦州·二模）如图，在中，，，，点D是边的中点，点E是上的动点，连接，将沿翻折得到，连结，则的最小值为 ． 93．（2025·广西梧州·三模）如图，某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，当车辆经过时，栏杆最多只能升起到如图所示的位置，其示意图如图所示（栏杆宽度忽略不计），其中，，，米，那么适合该地下车库的车辆限高的高度为 ．（结果精确到）（参考数据：，，） 六、解答题 94．（2025·广西贵港·一模）随着人们对于提高身体素质的重视，喜欢步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对如图1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前的斜坡米，坡度为：斜坡改造为斜坡，斜坡米，其坡度为． (1)求的长； (2)求斜坡下降的高度．（结果保留根号） 95．（2025·广西梧州·二模）如图，一辆卡车使用一条不可伸缩的长绳通过岸边的定滑轮向左牵引小船靠岸，已知长绳段与水面平行，且岸边，当长绳段与水平方向的夹角时，船头离岸边的距离为米，已知甲板始终保持与水面平行，且到水面的距离为0.65米． (1)求定滑轮到水面的距离． (2)当小船受长绳牵引，船头前进到点处，此时长绳段与水平方向的夹角，求卡车向左移动了多少米？（结果精确到0.1米．参考数据：，，） 96．（2025·广西钦州·二模）如图，在平面直角坐标系中，每个正方形小方格的边长都是一个单位长度，的三个顶点，，均在格点上． (1)将向下平移4个单位长度，请你画出平移后得到的； (2)将绕点O顺时针旋转后得到的，请你画出； (3)在（2）的条件下，求点C运动路径的长． 97．（2025·广西钦州·二模）在某次物理实验中，楠楠将一个试验小物件静止地放在斜面上，其受力情况分析如图所示，重力G的方向竖直向下，其方向线交于点E，交水平面于点D，支持力F的方向垂直于，摩擦力P的方向线与平行，已知斜面的坡角． (1)求摩擦力P的方向与重力G的方向的夹角的度数； (2)若在此次实验中，，，求小物件的铅垂高（结果取整数）． （参考数据：，，） 98．（2025·广西南宁·二模）在某次物理实验中，楠楠将一个试验小物件静止地放在斜面上，其受力情况分析如图所示，重力的方向竖直向下，其方向线交于点，交水平面于点，支持力的方向垂直于，摩擦力的方向线与平行，已知斜面的坡角． (1)求摩擦力的方向与重力的方向的夹角的度数； (2)若在此次实验中，，，求小物件的铅垂高（结果取整数）． （参考数据：，，） 99．（2025·广西南宁·二模）如图，在平面直角坐标系中，每个正方形小方格的边长都是一个单位长度，的三个顶点，，均在格点上． (1)将向下平移4个单位长度，请你画出平移后得到的； (2)将绕点顺时针旋转后得到的，请你画出； (3)在（2）的条件下，求点运动路径的长． 100．（2025·广西南宁·三模）在《测量物体的高度》的综合实践课上，老师先带领同学们制作简易测角仪，随后再用所制作的测角仪测量物体的高度． 小明同学提出如下方法制作测角仪（图1）： 步骤一：以量角器为主要器材进行设计，在经过中心点O处安置一根可绕点O旋转的空心直管，眼睛可通过空心管的C端瞄准目标物E进行测量，此时的方向即为视线的方向． 步骤二：在量角器的中心点O处悬挂重锤，由物理知识可知只要重锤悬挂线与线重合，则即为水平线．此时读出角的度数，就是所测目标的仰角． (1)步骤二中蕴含的一个数学知识是：______； (2)测角仪制作出来后，小明便利用这个测角仪测量某高楼顶部的一信号发射塔的高度．如图2，小明在矩形建筑物的D、C两点处测得该塔顶端E仰角分别为，，矩形建筑物高度．计算该信号塔顶端到地面的高度．（参考数据：，，）． 试卷第82页，共82页 试卷第81页，共82页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题15 图形的变化（100题） 一、单选题 1．（2025·广西·中考真题）如图是一个正三棱柱，则它的俯视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题属于基础应用题，解题的关键是熟练掌握几何体的三视图． 根据俯视图是从上面看到的图形结合几何体是特征即可作出判断． 【详解】解：它的俯视图是 故选：D 2．（2025·广西·中考真题）在中，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查锐角三角函数的定义．根据锐角三角函数定义直接进行解答，即可． 【详解】解：∵在中，， ∴． 故选：B 3．（2024·广西·中考真题）榫卯是我国传统建筑及家具的基本构件．燕尾榫是“万榫之母”，为了防止受拉力时脱开，榫头成梯台形，形似燕尾，如图是燕尾榫正面的带头部分，它的主视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三视图，根据主视图是从前往后看，得到的图形，进行判断即可． 【详解】解：由图可知：几何体的主视图为： 故选A． 4．（2024·广西·中考真题）端午节是中国传统节日，下列与端午节有关的文创图案中，成轴对称的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查成轴对称的定义，掌握成轴对称的定义是解题的关键．把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫作对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫作对称点．根据两个图形成轴对称的定义，逐一判断选项即可． 【详解】A．图案不成轴对称，故不符合题意； B．图案成轴对称，故符合题意； C．图案不成轴对称，故不符合题意； D．图案不成轴对称，故不符合题意； 故你：B． 5．（2023·广西·中考真题）下列数学经典图形中，是中心对称图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据中心对称图形的概念：一个图形如果绕某个点旋转180度后能与原图形完全重合的图形；由此问题可求解． 【详解】解：选项中符合中心对称图形的只有A选项； 故选A． 【点睛】本题主要考查中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的概念是解题的关键． 6．（2022·广西柳州·中考真题）下列交通标志中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可． 【详解】A不是轴对称图形，故此选项不合题意； B不是轴对称图形，故此选项不合题意； C不是轴对称图形，故此选项不合题意； D是轴对称图形，故此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查的是轴对称图形的概念，图形两部分折叠后可重合，轴对称图形的关键是寻找对称轴． 7．（2022·广西河池·中考真题）下列几何体中，三视图的三个视图完全相同的几何体是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】找到从物体正面、左面和上面看得到的图形全等的几何体即可． 【详解】解：A.三棱柱的俯视图与主视图和左视图都不同，故此选项错误； B.圆柱的俯视图与主视图和左视图不同，故此选项错误； C.圆锥的俯视图与主视图和左视图不同，故此选项错误； D.球的三视图完全相同，都是圆，故此选项正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了三视图的有关知识，注意三视图都相同的常见的几何体有球和正方体． 8．（2022·广西贵港·中考真题）如图，某数学兴趣小组测量一棵树的高度，在点A处测得树顶C的仰角为，在点B处测得树顶C的仰角为，且A，B，D三点在同一直线上，若，则这棵树的高度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设CD=x，在Rt△ADC中，∠A=45°，可得CD=AD=x，BD=16-x，在Rt△BCD中，用∠B的正切函数值即可求解． 【详解】设CD=x，在Rt△ADC中，∠A=45°， ∴CD=AD=x， ∴BD=16-x， 在Rt△BCD中，∠B=60°， ∴， 即：， 解得， 故选A． 【点睛】本题考查三角函数，根据直角三角形的边的关系，建立三角函数模型是解题的关键． 9．（2022·广西贵港·中考真题）若点与点关于y轴对称，则的值是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数解答即可． 【详解】∵点与点关于y轴对称， ∴a=-2，b=-1， ∴a-b=-1， 故选A． 【点睛】本题考查了关于y轴对称的点坐标的关系，代数式求值，解题的关键在于明确关于y轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数． 10．（2022·广西贵港·中考真题）一个圆锥如图所示放置，对于它的三视图，下列说法正确的是（    ） A．主视图与俯视图相同 B．主视图与左视图相同 C．左视图与俯视图相同 D．三个视图完全相同 【答案】B 【分析】根据三视图的定义即可求解． 【详解】解：主视图为等腰三角形，左视图为等腰三角形，俯视图为有圆心的圆， 故主视图和左视图相同，主视图与俯视图、左视图与俯视图都不相同， 故选：B． 【点睛】本题考查了几何体的三视图，掌握三视图的定义，得出三视图是解题的关键． 11．（2022·广西·中考真题）如图，在△ABC中，点A（3，1），B（1，2），将△ABC向左平移2个单位，再向上平移1个单位，则点B的对应点B′的坐标为（    ） A．（3，-3） B．（3，3） C．（－1，1） D．（－1，3） 【答案】D 【分析】根据图形的平移性质求解． 【详解】解：根据图形平移的性质，B′（1-2，2+1），即B′（-1，3）； 故选：D． 【点睛】本题主要考查图形平移的点坐标求解，掌握图形平移的性质是解题的关键． 12．（2022·广西·中考真题）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（    ） A．  平行四边形 B．  等腰梯形 C．  正三角形 D．  圆 【答案】D 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合． 【详解】A．平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误； B．等腰梯形不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误； C．正三角形不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误； D．圆是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念是解题的关键． 13．（2022·广西·中考真题）已知△ABC与△A1B1C1是位似图形，位似比是1：3，则△ABC与△A1B1C1的面积比（    ） A．1 ：3 B．1：6 C．1：9 D．3：1 【答案】C 【分析】根据位似图形的面积比等于位似比的平方，即可得到答案． 【详解】∵△ABC与△A1B1C1是位似图形，位似比是1：3， ∴△ABC与△A1B1C1的面积比为1：9， 故选：C． 【点睛】本题主要考查位似图形的性质，熟练掌握位似图形的面积比等于位似比的平方是解题的关键． 14．（2022·广西·中考真题）下列几何体中，主视图为矩形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据常见几何体的主视图，依次判断即可． 【详解】A．该三棱锥的主视图为中间有条线段的三角形，故不符合题意； B．该圆锥的主视图为三角形，故不符合题意； C．该圆柱的主视图为矩形，故符合题意； D．该圆台的主视图为梯形，故不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查常见几何体的三视图，掌握常见几何体的三视图是解答本题的关键． 15．（2022·广西桂林·中考真题）下列图形中，是中心对称图形的是（    ） A．等边三角形   B．圆   C．正五边形   D．扇形   【答案】B 【分析】根据中心对称图形的定义进行判断，即可得出答案．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 【详解】解：A、不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形， B、能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形， C、不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形， D、不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形， 故选：B． 【点睛】本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 16．（2022·广西梧州·中考真题）如图，以点O为位似中心，作四边形的位似图形﹐已知，若四边形的面积是2，则四边形的面积是（    ） A．4 B．6 C．16 D．18 【答案】D 【分析】两图形位似必相似，再由相似的图形面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：由题意可知，四边形与四边形相似， 由两图形相似面积比等于相似比的平方可知：， 又四边形的面积是2， ∴四边形的面积为18， 故选：D． 【点睛】本题考查相似多边形的性质，属于基础题，熟练掌握相似图形的性质是解决本题的关键． 17．（2022·广西梧州·中考真题）在下列立体图形中，主视图为矩形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据各个几何体的主视图的形状进行判断即可． 【详解】解：选项A：圆柱的主视图为矩形； 选项B：球的主视图为圆； 选项C：圆锥的主视图为三角形； 选项D：四面体的主视图为三角形； 故选：A． 【点睛】本题考查简单几何体的三视图，主视图是指立体图从前往后看得到的平面图形，理解三种视图的意义是正确解答的前提． 18．（2022·广西贺州·中考真题）某餐厅为了追求时间效率，推出一种液体“沙漏”免单方案（即点单完成后，开始倒转“沙漏”， “沙漏”漏完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免费用餐）．“沙漏”是由一个圆锥体和一个圆柱体相通连接而成．某次计时前如图（1）所示，已知圆锥体底面半径是，高是；圆柱体底面半径是，液体高是．计时结束后如图（2）所示，求此时“沙漏”中液体的高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由圆锥的圆锥体底面半径是6cm，高是6cm，可得CD=DE，根据园锥、圆柱体积公式可得液体的体积为63πcm3，圆锥的体积为72πcm3，设此时“沙漏”中液体的高度AD=xcm，则DE=CD=（6-x）cm，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】解：如图，作圆锥的高AC，在BC上取点E，过点E作DE⊥AC于点D，则AB=6cm，AC=6cm， ∴△ABC为等腰直角三角形， ∵DE∥AB， ∴△CDE∽△CAB， ∴△CDE为等腰直角三角形， ∴CD=DE， 圆柱体内液体的体积为： 圆锥的体积为， 设此时“沙漏”中液体的高度AD=xcm，则DE=CD=（6-x）cm， ∴， ∴， 解得：x=3， 即此时“沙漏”中液体的高度3cm． 故选：B． 【点睛】本题考查圆柱体、圆锥体体积问题，解题的关键是掌握圆柱体、圆锥体体积公式，列出方程解决问题． 19．（2022·广西贺州·中考真题）如图，在中，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相似三角形的判定定理得到，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案． 【详解】解： ∴ ， ∴， 故选：B． 【点睛】此题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 20．（2022·广西贺州·中考真题）下面四个几何体中，主视图为矩形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依次分析每个选项中的主视图，找出符合题意的选项即可． 【详解】解：A选项图形的主视图为矩形，符合题意； B选项图形的主视图为三角形，中间由一条实线，不符合题意； C选项图形的主视图为三角形，不符合题意； D选项图形的主视图为梯形，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了几何体的主视图，解题关键是理解主视图的定义． 21．（2022·广西·中考真题）如图，在中，，将绕点A逆时针旋转，得到，连接并延长交AB于点D，当时，的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先证，再求出AB的长，最后根据弧长公式求得． 【详解】解：， ， 是绕点A逆时针旋转得到， ，， 在中，， ， ， ， ， ， ， 的长=， 故选：B． 【点睛】本题考查了图形的旋转变换，等腰三角形的性质，三角函数定义，弧长公式，正确运用三角函数定义求线段的长度是解本题的关键． 22．（2022·广西·中考真题）如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB的长为12米，AB与AC的夹角为，则高BC是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】在Rt△ACB中，利用正弦定义，sinα=，代入AB值即可求解． 【详解】解：在Rt△ACB中，∠ACB=90°， ∴sinα=， ∴BC= sinαAB=12 sinα（米）， 故选：A． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握直角三角形边角关系是解题的关键． 23．（2022·广西·中考真题）如图，数轴上的点A表示的数是，则点A关于原点对称的点表示的数是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据数轴上表示一对相反数的点关于原点对称即可求得答案． 【详解】∵数轴上的点A表示的数是−1， ∴点A关于原点对称的点表示的数为1， 故选：C． 【点睛】本题考查了实数与数轴之间的对应关系，熟练掌握对称的性质是解题的关键． 24．（2022·广西·中考真题）2022北京冬残奥会的会徽是以汉字“飞”为灵感来设计的，展现了运动员不断飞跃，超越自我，奋力拼搏，激励世界的冬残奥精神下列的四个图中，能由如图所示的会徽经过平移得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平移的特点分析判断即可． 【详解】根据题意，得 不能由平移得到， 故A不符合题意； 不能由平移得到， 故B不符合题意； 不能由平移得到， 故C不符合题意； 能由平移得到， 故D符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查了平移的特点，熟练掌握平移的特点是解题的关键． 25．（2022·广西玉林·中考真题）如图，从热气球A看一栋楼底部C的俯角是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据俯角的定义可直接得出结果． 【详解】解：根据俯角的定义，朝下看时，视线与水平面的夹角为俯角， ∴∠DAC为对应的俯角， 故选D． 【点睛】题目主要考查对俯角定义的理解，深刻理解俯角的定义是解题关键． 26．（2022·广西玉林·中考真题）如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据几何体的三视图可进行求解． 【详解】解：由题意可知该几何体的主视图为 ； 故选B． 【点睛】本题主要考查三视图，熟练掌握三视图是解题的关键． 27．（2021·广西河池·中考真题）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，即可解答． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意； B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故B符合题意； C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故C不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，理解轴对称图形要找到对称轴，图形关于对称轴折叠能完全重合；中心对称图形要找到对称中心，图形绕着对称中心旋转180°能与自身重合是解题的关键． 28．（2021·广西河池·中考真题）如图是由几个小正方体组成的几何体，它的左视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据左视图的定义：从左边看到的图形进行判断求解即可. 【详解】解：主视图是由前向后看得到的物体的视图，由前向后看共3列，中间一列有3个小正方形，左右两列各一个小正方形． 故从坐左边看只有1列，三行，每一行都只有一个小正方形， 故选A. 【点睛】本题主要考查了三视图的知识，解题的关键在于能够准确观察出图形的样子. 29．（2021·广西百色·中考真题）如图，在⊙O中，尺规作图的部分作法如下：（1）分别以弦AB的端点A、B为圆心，适当等长为半径画弧，使两弧相交于点M；（2）作直线OM交AB于点N．若OB＝10，AB＝16，则tan∠B等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据尺规作图的作法，可得 垂直平分 ，在 中，利用勾股定理求出ON，即可解答． 【详解】解：根据尺规作图的作法，得： 垂直平分 ， 即 ， ∵AB＝16， ∴， 在 中， ， ∴ ， ∴ 故选：B 【点睛】本题主要考查了尺规作图—垂直平分线的作法和解直角三角形，解题的关键是熟练掌握垂直平分线的作法和用勾股定理解直角三角形及求锐角三角函数值． 30．（2021·广西桂林·中考真题）如图，在平面直角坐标系内有一点P（3，4），连接OP，则OP与x轴正方向所夹锐角α的正弦值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作PM⊥x轴于点M，构造直角三角形，根据三角函数的定义求解． 【详解】解：作PM⊥x轴于点M， ∵P（3，4）， ∴PM=4，OM=3， 由勾股定理得：OP=5， ∴， 故选：D 【点睛】本题考查了勾股定理和锐角三角函数的定义，一个角的正弦值等于它所在直角三角形的对边与斜边之比． 31．（2021·广西桂林·中考真题）下列图形中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用轴对称图形的定义得出答案．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】解：A．不是轴对称图形，不符合题意； B．是轴对称图形，符合题意； C．不是轴对称图形，不符合题意； D.不是轴对称图形，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 32．（2021·广西梧州·中考真题）如图是由5个大小相同的正方体搭成的几何体，则这个几何体的主视图是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据主视图的定义即可求解． 【详解】由图可得这个几何体的主视图是 故选C． 【点睛】此题主要考查三视图的判断，解题的关键是熟知主视图的定义． 33．（2021·广西贵港·中考真题）在平面直角坐标系中，若点P(a－3，1)与点Q(2，b＋1)关于x轴对称，则a＋b的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】直接利用关于轴对称点的性质：横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可得出，的值，进而得出答案． 【详解】解：点与点关于轴对称， ，， ，， 则． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了关于轴对称点的性质，正确记忆关于轴对称点的符号关系是解题关键． 34．（2021·广西贺州·中考真题）如图，在中，，，点在上，，以为半径的与相切于点，交于点，则的长为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】连接OD，EF，可得OD∥BC，EF∥AC，从而得，，进而即可求解． 【详解】解：连接OD，EF， ∵与相切于点，BF是的直径， ∴OD⊥AC，FE⊥BC， ∵， ∴OD∥BC，EF∥AC， ∴，， ∵，， ∴OD=OB=2，AO=5-2=3，BF=2×2=4， ∴，， ∴BC=，BE=， ∴CE=-=． 故选：B． 【点睛】本题主要考查圆的基本性质，平行线分线段成比例定理，掌握圆周角定理的推论，添加辅助线，是解题的关键． 35．（2021·广西贺州·中考真题）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（    ） A．（－3，2） B．（3，－2） C．（－2，－3） D．（－3，－2） 【答案】D 【分析】由两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反特点进行求解． 【详解】∵两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反， ∴点关于原点对称的点的坐标是（-3，-2）． 故选：D． 【点睛】考查了关于原点对称的点的坐标，解题关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 二、填空题 36．（2023·广西·中考真题）如图，焊接一个钢架，包括底角为的等腰三角形外框和3m高的支柱，则共需钢材约 m（结果取整数）．（参考数据：，，）    【答案】21 【分析】根据解直角三角形及等腰三角形的性质可进行求解． 【详解】解：∵是等腰三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∴共需钢材约为； 故答案为21． 【点睛】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数是解题的关键． 37．（2022·广西柳州·中考真题）如图，某水库堤坝横断面迎水坡的坡角为α，sinα＝，堤坝高BC＝30m，则迎水坡面AB的长度为 m． 【答案】50 【分析】直接利用坡角的定义结合锐角三角函数关系得出答案． 【详解】解：根据题意得：∠ACB=90°，sinα＝， ∴， ∵BC＝30m， ∴， 解得：AB=50m， 即迎水坡面AB的长度为50m． 故答案为：50 【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键． 38．（2022·广西河池·中考真题）如图，把边长为1：2的矩形ABCD沿长边BC，AD的中点E，F对折，得到四边形ABEF，点G，H分别在BE，EF上，且BG＝EH＝BE＝2，AG与BH交于点O，N为AF的中点，连接ON，作OM⊥ON交AB于点M，连接MN，则tan∠AMN＝ ． 【答案】/0.625 【分析】先判断出四边形ABEF是正方形，进而判断出△ABG≌△BEH，得出∠BAG=∠EBH，进而求出∠AOB=90°，再判断出△AOB~△ABG，求出，再判断出△OBM～△OAN，求出BM=1，即可求出答案． 【详解】解：∵点E，F分别是BC，AD的中点， ∴， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A=90°，AD∥BC，AD=BC， ∴， ∴四边形ABEF是矩形， 由题意知，AD=2AB， ∴AF=AB， ∴矩形ABEF是正方形， ∴AB=BE，∠ABE=∠BEF=90°， ∵BG=EH， ∴△ABG≌△BEH（SAS）， ∴∠BAG=∠EBH， ∴∠BAG+∠ABO=∠EBH+∠ABO=∠ABG=90°， ∴∠AOB=90°， ∵BG＝EH＝BE＝2， ∴BE=5， ∴AF=5， ∴， ∵∠OAB=∠BAG，∠AOB=∠ABG， ∴△AOB∽△ABG， ∴，即， ∴， ∵OM⊥ON， ∴∠MON=90°=∠AOB， ∴∠BOM=∠AON， ∵∠BAG+∠FAG=90°，∠ABO+∠EBH=90°，∠BAG=∠EBH， ∴∠OBM=∠OAN， ∴△OBM～△OAN， ∴， ∵点N是AF的中点， ∴， ∴，解得：BM=1， ∴AM=AB-BM=4， ∴． 故答案为： 【点睛】此题主要考查了矩形性质，正方形性质和判定，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，求出BM是解本题的关键． 39．（2022·广西贵港·中考真题）如图，在中，，以点A为圆心、为半径画弧交于点E，连接，若，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】过点D作DF⊥AB于点F，根据等腰直角三角形的性质求得DF，从而求得EB，最后由S阴影=S▱ABCD−S扇形ADE−S△EBC结合扇形面积公式、平行四边形面积公式、三角形面积公式解题即可． 【详解】解：过点D作DF⊥AB于点F， ∵， ∴AD= ∴DF=ADsin45°= ， ∵AE=AD=2 ， ∴EB=AB−AE= ， ∴S阴影=S▱ABCD−S扇形ADE−S△EBC = 故答案为：． 【点睛】本题考查等腰直角三角形、平行四边形的性质、扇形的面积公式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 40．（2022·广西·中考真题）数学兴趣小组通过测量旗杆的影长来求旗杆的高度，他们在某一时刻测得高为2米的标杆影长为1.2米，此时旗杆影长为7.2米，则旗杆的高度为 米． 【答案】12 【分析】根据同时、同地物高和影长的比不变，构造相似三角形，然后根据相似三角形的性质解答． 【详解】解：设旗杆为AB，如图所示： 根据题意得：， ∴ ∵米，米，米， ∴ 解得：AB=12米． 故答案为：12． 【点睛】本题考查了中心投影、相似三角形性质的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题． 41．（2022·广西桂林·中考真题）如图，某雕塑MN位于河段OA上，游客P在步道上由点O出发沿OB方向行走．已知∠AOB＝30°，MN＝2OM＝40m，当观景视角∠MPN最大时，游客P行走的距离OP是 米．    【答案】20 【分析】先证OB是⊙F的切线，切点为E，当点P与点E重合时，观景视角∠MPN最大，由直角三角形的性质可求解． 【详解】解：如图，取MN的中点F，过点F作FE⊥OB于E，以直径MN作⊙F，      ∵MN＝2OM＝40m，点F是MN的中点， ∴MF＝FN＝20m，OF＝40m， ∵∠AOB＝30°，EF⊥OB， ∴EF＝20m，OE＝EF＝20m， ∴EF＝MF， 又∵EF⊥OB， ∴OB是⊙F的切线，切点为E， ∴当点P与点E重合时，观景视角∠MPN最大， 此时OP＝20m， 故答案为：20． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，切线的判定，直角三角形的性质，证明OB是⊙F的切线是解题的关键． 42．（2022·广西·中考真题）古希腊数学家泰勒斯曾利用立杆测影的方法，在金字塔影子的顶部直立一根木杆，借助太阳光测金字塔的高度．如图，木杆EF长2米，它的影长FD是4米，同一时刻测得OA是268米，则金字塔的高度BO是 米． 【答案】134 【分析】在同一时刻物高和影子成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似，根据相似三角形的性质即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：134． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是了解：同一时刻物高和影长成正比． 43．（2021·广西百色·中考真题）如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝72°，∠ACB的平分线CD交AB于点D，则点D是线段AB的黄金分割点．若AC＝2，则BD＝ ． 【答案】 【分析】先根据AB=AC，∠B=72°求出∠A的度数，再根据CD是∠CAB的角平分线得到∠A=∠ACD，即AD=CD，再根据大角对大边得到AD>BD，最后利用黄金分割公式计算求解即可. 【详解】解：∵AB=AC，∠B=72° ∴∠ACB=∠B=72° ∴∠A=180°-∠B-∠ACB=36° ∵CD是∠CAB的角平分线 ∴∠ACD=∠BCD= ∴∠A=∠ACD ∴AD=CD 在△ABC与△CBD中 ∠A=∠BCD=36°，∠B=∠B ∴△ABC∽△CBD ∴ 在三角形CDB中，∠B=72°，∠BCD=36° ∴∠CDB=72° ∴∠CDB=∠B=72° ∴AD=CD=BC ∴ 即 ∴D点为AB的黄金分割点 在三角形CDB中，∠B=72°，∠BCD=36° ∴CD>BD（大角对大边） ∴AD>BD ∵D是AB的黄金分割点，AD>BD ∴ ∴ 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，相似三角形的性质与判定，黄金分割点，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 44．（2021·广西百色·中考真题）数学活动小组为测量山顶电视塔的高度，在塔的椭圆平台遥控无人机．当无人机飞到点P处时，与平台中心O点的水平距离为15米，测得塔顶A点的仰角为30°，塔底B点的俯角为60°，则电视塔的高度为 米． 【答案】 【分析】根据题意可知： ， ，， ，然后分别在 中在中，利用锐角三角函数求解即可． 【详解】解：根据题意可知： ， ，， ， 在 中， ， 在中，， ∴ ， 即电视塔的高度为 米． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了利用特殊角锐角三角函数值解直角三角形，解题的关键是熟练掌握特殊角锐角三角函数值． 45．（2021·广西梧州·中考真题）某市跨江大桥即将竣工，某学生做了一个平面示意图（如图），点A到桥的距离是40米，测得∠A＝83°，则大桥BC的长度是 米．（结果精确到1米）（参考数据：sin83°≈0.99，cos83°≈0.12，tan83°≈8.14） 【答案】326 【分析】根据正切的定义即可求出BC． 【详解】解：在Rt△ABC中，AC=40米，∠A=83°， ， ∴（米） 故答案为：326 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 三、解答题 46．（2024·广西·中考真题）如图1，中，，．的垂直平分线分别交，于点M，O，平分． (1)求证：； (2)如图2，将绕点O逆时针旋转得到，旋转角为．连接， ①求面积的最大值及此时旋转角的度数，并说明理由； ②当是直角三角形时，请直接写出旋转角的度数． 【答案】(1)见解析 (2)①，；②或 【分析】（1）利用线段垂直平分线的性质得出，利用等边对等角得出，结合角平分线定义可得出，最后根据相似三角形的判定即可得证； （2）先求出，然后利用含的直角三角形性质求出，，，利用勾股定理求出，，取中点，连接，，作于N，由旋转的性质知，为旋转所得线段，则，，，根据点到直线的距离，垂线段最短知，三角形三边关系得出，故当M、O、三点共线，且点O在线段时，取最大值，最大值为，此时，最后根据三角形面积公式求解即可； ②先利用三角形三边关系判断出，，则当为直角三角形时，只有，然后分A和重合，和C重合，两种情况讨论即可． 【详解】（1）证明：∵垂直平分， ∴， ∴， ∵平分 ∴， ∴， 又； ∴； （2）解：①∵， ∴， ∴， ∴， 又， ∴，， ∵垂直平分， ∴，， ∴， ∴， 取中点，连接，，作于N， 由旋转的性质知，为旋转所得线段， ∴，，， 根据垂线段最短知， 又， ∴当M、O、三点共线，且点O在线段时，取最大值，最大值为， 此时， ∴面积的最大值为； ②∵，， ∴， 同理 ∴为直角三角形时，只有， 当A和重合时，如图， ∵ ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴、O、M三点共线， ∴为直角三角形， 此时旋转角； 当和C重合时，如图， 同理，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴、O、M三点共线， 又 ∴为直角三角形， 此时旋转角； 综上，旋转角的度数为或时，为直角三角形． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，含的直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质等知识，明确题意，正确画出图形，添加辅助线，合理分类讨论是解题的关键． 47．（2023·广西·中考真题）如图，平分，与相切于点A，延长交于点C，过点O作，垂足为B．    (1)求证：是的切线； (2)若的半径为4，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）首先根据切线的性质得到，然后根据角平分线的性质定理得到即可证明； （2）首先根据勾股定理得到，然后求得，最后利用，代入求解即可． 【详解】（1）∵与相切于点A， ∴， ∵平分，， ∴， ∴是的切线； （2）∵的半径为4， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 【点睛】此题考查了圆切线的性质和判定，勾股定理，三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 48．（2022·广西柳州·中考真题）如图，已知AB是⊙O的直径，点E是⊙O上异于A，B的点，点F是的中点，连接AE，AF，BF，过点F作FC⊥AE交AE的延长线于点C，交AB的延长线于点D，∠ADC的平分线DG交AF于点G，交FB于点H． (1)求证：CD是⊙O的切线； (2)求sin∠FHG的值； (3)若GH＝，HB＝2，求⊙O的直径． 【答案】(1)见解析 (2) (3)⊙O的直径为 【分析】（1）连接OF，先证明OFAC，则∠OFD＝∠C＝，根据切线的判定定理可得出结论． （2）先证∠DFB＝∠OAF，∠ADG＝∠FDG，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和得出∠FGH＝∠FHG＝，从而可求出sin∠FHG的值． （3）先在△GFH中求出FH的值为4，根据等积法可得，再证△DFB∽△DAF，根据对应边成比例可得，又由角平分线的性质可得，从而可求出AG、AF．在Rt△AFＢ中根据勾股定理可求出AB的长，即⊙O的直径． 【详解】（1）证明：连接OF． ∵OA＝OF， ∴∠OAF＝∠OFA， ∵     ∴∠CAF＝∠FAB， ∴∠CAF＝∠AFO， ∴OFAC， ∵AC⊥CD， ∴OF⊥CD， ∵OF是半径， ∴CD是⊙O的切线． （2）∵AB是直径， ∴∠AFB＝90°， ∵OF⊥CD， ∴∠OFD＝∠AFB＝90°， ∴∠AFO＝∠DFB， ∵∠OAF＝∠OFA， ∴∠DFB＝∠OAF， ∵GD平分∠ADF， ∴∠ADG＝∠FDG， ∵∠FGH＝∠OAF+∠ADG，∠FHG＝∠DFB+∠FDG， ∴∠FGH＝∠FHG＝45°， ∴sin∠FHG= （3）解：过点H作HM⊥DF于点M，HN⊥AD于点N． ∵HD平分∠ADF， ∴HM＝HN， S△DHF∶S△DHB= FH∶HB=DF ∶DB ∵△FGH是等腰直角三角形，GH＝ ∴FH＝FG＝4， ∴ 设DB＝k，DF＝2k， ∵∠FDB＝∠ADF，∠DFB＝∠DAF， ∴△DFB∽△DAF， ∴DF2＝DB•DA， ∴AD＝4k， ∵GD平分∠ADF      ∴ ∴AG＝8， ∵∠AFB＝90°，AF＝12，FB＝6， ∴⊙O的直径为 【点睛】本题是一道综合性题目，考查了圆的相关性质、切线的判定、相似三角形的判定和性质、角平分线性、勾股定理等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 49．（2022·广西河池·中考真题）如图，小敏在数学实践活动中，利用所学知识对他所在小区居民楼AB的高度进行测量，从小敏家阳台C测得点A的仰角为33°，测得点B的俯角为45°，已知观测点到地面的高度CD＝36m，求居民楼AB的高度（结果保留整数．参考数据：sin33°≈0.55，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65）． 【答案】59m 【分析】过点C作CE⊥AB于点E，则∠AEC＝∠BEC＝90°，先证明四边形BECD是矩形，BE＝CD＝36m，在Rt△BCE中，∠BCE＝45°，BE＝CE＝CD＝36m，在Rt△ACE中，∠ACE＝33°，CE＝36m，求得AE≈23.4m，进而得到居民楼AB的高度． 【详解】解：如图，过点C作CE⊥AB于点E，则∠AEC＝∠BEC＝90°， 由题意可知∠CDB＝∠DBE＝90°， ∴四边形BECD是矩形， ∴BE＝CD＝36m， 由题意得，CD＝36m，∠BCE＝45°，∠ACE＝33°， 在Rt△BCE中，∠BCE＝45°， ∴∠EBC＝90°－∠BCE＝45°， ∴∠EBC＝∠BCE， ∴BE＝CE＝CD＝36m， 在Rt△ACE中，∠ACE＝33°，CE＝36m， ∴AE＝CEtan33°≈23.4m， ∴AB＝AE＋BE＝23.4＋36＝59.4≈59（m）． 答：居民楼AB的高度约为59m． 【点睛】此题考查了解直角三角形的应用中的仰角俯角问题，熟练掌握直角三角形的边角关系是解题的关键． 50．（2022·广西河池·中考真题）如图、在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（1，2），B（2，3），C（4，1）．    (1)画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； (2)以原点O为位似中心，在第三象限内画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比为，并写出点B2的坐标． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】（1）根据关于y轴对称的点的坐标得到A1、B1、C1的坐标，然后描点连线得到△A1B1C1． （2）把A、B、C的坐标都乘以-2得到A2、B2、C2的坐标，然后描点连线即可． 【详解】（1）如图，为所作． （2）如图，为所作，点B2的坐标为（-4，-6）． 【点睛】本题考查位似变换、轴对称变换，解题的关键是注意位似中心及相似比、对称轴． 51．（2022·广西·中考真题）如图，AB为圆的直径， C是⊙O上一点，过点C的直线交AB的延长线于点M．作AD⊥MC，垂足为D，已知AC平分∠MAD ． (1)求证：MC是⊙O的切线： (2)若 AB＝BM＝4，求 tan∠MAC的值 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接得∠由平分∠得∠可知∠故得由得从而可得结论； （2）证明△可求出过点作得△得从而求出进一步可求出 【详解】（1）连接如图， ∴ ∴∠ ∵平分∠， ∴∠ ∴∠ ∴AD//OC， ∴∠OCM=∠ADC， ∵， ∴∠ADC=90°， ∴∠OCM=90°， ∴ ∵是⊙O的半径， ∴MC是⊙O的切线 （2）∵ ∴∠ ∴∠ ∵是⊙O的直径， ∴∠ ∵∠ ∴∠ ∵∠ ∴∠， 又∠， ∴△ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ (负值舍去) 过作于点 ∵ ∴ ∴△ ∴ ∴ ∴， ∴ ∴ 【点睛】本题考查了切线的判定，半径所对的圆周角是直角，相似三角形的判定与性质，求锐角的正切值，正确作出辅助线是解答本题的关键． 52．（2022·广西梧州·中考真题）今年，我国“巅峰使命”2022珠峰科考团对珠穆朗玛峰进行综合科学考察，搭建了世界最高海拔的自动气象站，还通过释放气球方式进行了高空探测．某学校兴趣小组开展实践活动，通过观测数据，计算气球升空的高度AB．如图，在平面内，点B，C，D在同一直线上，垂足为点B，，， ，求AB的高度．（精确到）（参考数据：﹐﹐，） 【答案】984 m 【分析】设AB=xm，分别在Rt△ABC和Rt△ABD中求出BC=，BD=，然后根据BC=CD+BD，构建关于x的方程即可求解． 【详解】解：设AB=xm， 在Rt△ABC中，∠ACB=52°， ∴BC=， 在Rt△ABD中，∠ADB=60°， ∴BD=， 又∵CD=200m，BC=CD+BD， ∴， 解得， 答：AB的高度约为984m． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，理解题意，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键． 53．（2022·广西贺州·中考真题）如图，在小明家附近有一座废旧的烟囱，为了乡村振兴，美化环境，政府计划把这片区域改造为公园．现决定用爆破的方式拆除该烟囱，为确定安全范围，需测量烟囱的高度AB，因为不能直接到达烟囱底部B处，测量人员用高为的测角器在与烟囱底部B成一直线的C，D两处地面上，分别测得烟囱顶部A的仰角，同时量得CD为．问烟囱AB的高度为多少米？（精确到，参考数据：） 【答案】53.2m 【分析】设，得，，得方程，解出x，即求出AB的长． 【详解】设， 在中， ，得． 在中， ，得． ． 解方程，得． ． 答：烟囱AB的高度为53.2m. 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，构造仰角所在的直角三角形，利用两个直角三角形的公共边求解是常用的解直角三角形的方法． 54．（2022·广西玉林·中考真题）如图，是的直径，C，D都是上的点，平分，过点D作的垂线交的延长线于点E，交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】(1)连接OD，由题意可证，由，可得，即可证得EF是⊙O的切线； (2) 连接BC，过点C作于点M，过点D作于点N，首先根据勾股定理可求得BC，根据面积可求得CM，再根据勾股定理可求得AM，再根据圆周角定理可证得，即可求得DN、ON的长，据此即可解答． 【详解】（1）证明：如图：连接OD， ， ， 又平分， ， ， ， 又， ， 是⊙O的半径， EF是⊙O的切线； （2）解：如图：连接BC，过点C作于点M，过点D作于点N， ， 是⊙O的直径， ， ， ， ， ∴， ， ，， ， ， ， 是⊙O的直径，AB=10， ， ， ，ON=3， ， ． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定及性质，圆的切线的判定，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定及性质，求角的正切值，作出辅助线是解决本题的关键． 55．（2021·广西河池·中考真题）如图，小明同学在民族广场A处放风筝，风筝位于B处，风筝线AB长为，从A处看风筝的仰角为，小明的父母从C处看风筝的仰角为． （1）风筝离地面多少m？ （2）AC相距多少m？（结果保留小数点后一位，参考数据：，，，，，） 【答案】（1）50；（2）128.6 【分析】（1）如图，过作，根据的正弦及的长即可求得即风筝的高度； （2）分别根据的余弦以及的正切求得，进而求得． 【详解】（1）如图，过作 m， 风筝离地面50m （2） 相距128.6m． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数是解题的关键． 56．（2021·广西桂林·中考真题）如图，四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，点E为BC中点，AE⊥DE于点E．点O是线段AE上的点，以点O为圆心，OE为半径的⊙O与AB相切于点G，交BC于点F，连接OG． （1）求证：△ECD∽△ABE； （2）求证：⊙O与AD相切； （3）若BC＝6，AB＝3，求⊙O的半径和阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析（2）见解析（3）半径为2，面积为 【分析】（1）根据垂直的性质及相似三角形的判定定理即可求解； （2）延长DE、AB交于N点，先证明△DCE≌△NBE，再得到△AND是等腰三角形，得到∠DAE=∠NAE，再通过角平分线的性质即可得到OG=OM=r，故可证明； （3）求出∠FOG=60°，再根据梯形与扇形的面积公式即可求解． 【详解】（1）∵∠B＝∠C＝90°，AE⊥DE于点E． ∴∠EAB+∠AEB=90°，∠DEC+∠AEB=90°， ∴∠EAB=∠DEC 由∠B＝∠C＝90° ∴△ECD∽△ABE； （2）过点O作OM⊥AD，延长DE、AB交于N点 ∴CDBN ∴∠CDE=∠N ∵点E为BC中点 ∴CE=BE， 又∠EBN＝∠C＝90° ∴△DCE≌△NBE ∴DE=NE ∵AE⊥DN ∴AD=AN，∠ADE=∠ANE ∵∠DAE=90°-∠ADE，∠NAE=90°-∠ANE ∴∠DAE=∠NAE ∵AG是⊙O的切线 ∴OG⊥AB ∵∠AMO=∠AGO=90° ∴OG=OM=r ∴OM是⊙O的切线； （3）∵BC＝6， ∴BE=3 ∵AB＝3， ∴AE==2BE ∴∠EAB=30° ∴AO=2OG，即AO=2r， ∵AE=AO+OE=3r=6 ∴r=2 连接OF ∵∠OEF=60°，OE=OF ∴△OEF是等边三角形 ∴∠EOF=60°，EF=OF=2,BF=3-2=1 ∴∠FOG=180°-∠AOG-∠EOF=60° 在Rt AOG中，AG= ∴BG=AB-AG= ∴S阴=S梯形OFBG-S扇形FOG= =． 【点睛】此题主要考查切线的判定与性质综合，解题的关键是熟知切线的判定定理、全等三角形与相似三角形的判定与性质及扇形面积公式． 57．（2021·广西桂林·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点的坐标分别是A（﹣1，4），B（﹣3，1）． （1）画出线段AB向右平移4个单位后的线段A1B1； （2）画出线段AB绕原点O旋转180°后的线段A2B2． 【答案】（1）画图见解析，（2）画图见解析 【分析】（1）分别确定向右平移4个单位后的对应点，再连接即可； （2）分别确定绕原点O旋转180°后的对应点，再连接即可. 【详解】解：（1）如图，线段即为所求作的线段， （2）如图，线段即为所求作的线段， 【点睛】本题考查的是平移的作图，中心对称的作图，掌握平移的性质与中心对称的性质是解题的关键. 58．（2021·广西梧州·中考真题）如图，在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，点O在CD上，作⊙O，使⊙O与AD相切于点B，⊙O与CD交于点E，过点D作DF∥AC，交AO的延长线于点F，且∠OAB＝∠F． （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）若OC＝3，DE＝2，求tan∠F的值． 【答案】（1）见详解；（2）． 【分析】（1）由题意，先证明OA是∠BAC的角平分线，然后得到BO=CO，即可得到结论成立； （2）由题意，先求出BD=4，OD=5，然后利用勾股定理求出，，结合直角三角形ODF，即可求出tan∠F的值． 【详解】解：（1）∵DF∥AC， ∴∠CAO=∠F， ∵∠OAB＝∠F， ∴∠CAO=∠OAB， ∴OA是∠BAC的角平分线， ∵AD是⊙O的切线， ∴∠ABO=∠ACO=90°， ∴BO=CO， 又∵AC⊥OC， ∴AC是⊙O的切线； （2）由题意， ∵OC＝3，DE＝2， ∴OD=5，OB=3，CD=8， ∴， 由切线长定理，则AB=AC， 设， 在直角三角形ACD中，由勾股定理，则 ， 即， 解得：， ∴，， ∵∠OAB＝∠F， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定和性质，勾股定理，角平分线的性质，以及三角函数，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的求出所需的长度，从而进行解题． 59．（2021·广西贺州·中考真题）如图，在中，，是上的一点，以为直径的与相切于点，连接，． （1）求证：平分； （2）若，求的值． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）连接OE，根据切线的定义可得，结合∠C=90°，可得，即，进而说明即可证明结论； （2）先证可得，再得，最后运用三角函数解答即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的切线， ∴，即 ， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴平分． （2）∵是的直径， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 又∵，， ∴． ∴． 又∵， ∴，即． 【点睛】本题主要考查了圆的切线的性质、相似三角形的判定与性质以及三角函数的定义等知识点，灵活运用相关知识点成为解答本题的关键． 60．（2021·广西贺州·中考真题）如图，一艘轮船离开港沿着东北方向直线航行海里到达处，然后改变航向，向正东方向航行20海里到达处，求的距离． 【答案】100海里 【分析】延长交于点，解直角三角求得AD,再解直角三角形即可求解． 【详解】延长交于点，则， 由题意可知， ∵， ∴ ， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得 （海里） 答：的距离为100海里． 【点睛】本题考查解直角三角形应用，勾股定理的应用，掌握锐角三角函数的定义与勾股定理性质是解题关键． 四、单选题 61．（2025·广西南宁·二模）下列四张新能源图标是中心对称图形的是（   ） A．水能 B．风能 C．太阳能 D．氢能 【答案】C 【分析】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后和原图形重合． 根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故本选项不合题意． B．不是中心对称图形，故本选项不合题意； C．是中心对称图形，故本选项符合题意； D．不是中心对称图形，故本选项不合题意； 故选：C． 62．（2025·广西玉林·三模）如图，将点向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则所得点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了点的坐标的平移，根据点的坐标平移法则：左减右加，上加下减即可得解，熟练掌握平移法则是解此题的关键． 【详解】解：将点向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则所得点的坐标为，即， 故选：D． 63．（2025·广西玉林·三模）小李在做“小孔成像”实验时，蜡烛到挡板的距离与挡板到屏幕的距离之比是．若烛焰的高是，则实像的商是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据证明，利用相似三角形的性质求解即可．熟练掌握相似三角形的性质是解答本题的关键． 【详解】解：如图所示：、相交于点， 是烛焰的高，是实像的高， ， ， 蜡烛到挡板距离与挡板到屏幕距离之比是，， ， ． 故选：A． 64．（2025·广西梧州·二模）如图所示的几何体，它的俯视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三视图，根据俯视图是从上往下看，得到的图形，进行判断即可． 【详解】解：由图可知，俯视图为： 故选B． 65．（2025·广西贺州·三模）下列图形中，是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是中心对称图形，根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．正确记忆相关知识点是解题关键． 【详解】解：选项B、C、D中的图形都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形． 选项A中的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 故选：A． 66．（2025·广西钦州·二模）下列交通指示标志的图案是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形的定义．寻找对称轴是解题的关键； 轴对称图形是指一个图形可以沿着一条直线（‌对称轴）‌折叠，‌使得直线两侧的图形能够完全重合；‌根据轴对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】A．找不到对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，故选项不符合题意； B．找不到对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，故选项不符合题意； C．可以找到对称轴，使图形两侧能够完全重合，是轴对称图形，故选项符合题意； D．找不到对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，故选项不符合题意； 故选：C． 67．（2025·广西崇左·模拟预测）西汉弦纹玻璃杯出土于广西壮族自治区北海市合浦县文昌塔70号汉墓，现藏于广西壮族自治区博物馆．如图是西汉弦纹玻璃杯，它的俯视图可近似看作（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，根据三视图的定义求解即可，掌握几何体的三视图概念是解题关键． 【详解】解：由实物图，可知西汉弦纹玻璃杯的俯视图如下， 故选：C． 68．（2025·广西柳州·模拟预测）在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则（   ） A． B． C．1 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了关于轴对称的点的坐标特点，关键是熟练掌握点的变化规律．根据关于轴对称的点的坐标特点：两个点关于轴对称时，它们的纵坐标相同，横坐标符号相反，据此确定的值，然后代入求值，即可得出答案． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴， ∴． 故选：B． 69．（2025·广西南宁·模拟预测）为培养学生运用人工智能技术解决数学问题的能力，学校组织九年级同学开展了“AI图形设计大赛”．下列图形是部分参赛作品，其中属于中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．是中心对称图形，故此选项符合题意； D．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C． 70．（2025·广西防城港·模拟预测）下列化学仪器中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，根据轴对称图形的概念逐项分析即可，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 【详解】解：A．是轴对称图形，符合题意； B．不是轴对称图形，不符合题意； C．不是轴对称图形，不符合题意； D．不是轴对称图形，不符合题意； 故选：A． 71．（2025·广西梧州·一模）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点O．若点的对应点为，则点的对应点E的坐标为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了位似变换，根据点G，D的坐标可得到位似比，再根据位似比即可求解，掌握位似变换的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，与是位似图形，的对应点为， ∴与的位似比为3， ∴点的对应点E的坐标为，即， 故选D． 72．（2025·广西南宁·二模）“准、绳、规、矩”是古代使用的测量工具，一个简单结构的“矩”（如图1），根据使用时安放的位置测定物体的高低远近及大小，把“矩”放置在如图2所示的位置，令 ，若，，，则关于的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质与判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 根据题意，四边形是矩形，可得，，，再根据，可得，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，，四边形是矩形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：C． 73．（2025·广西玉林·三模）随着人工智能技术的普及，出现众多具有广泛影响力的人工智能应用，以下是一些常见人工智能应用的图案，其中属于中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，熟练掌握相关概念是解题关键．中心对称图形的定义是：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、选项A的图案不是中心对称图形，所以此选项不符合题意； B、选项B的图案是中心对称图形，所以此选项符合题意； C、选项C的图案不是中心对称图形，所以此选项不符合题意； D、选项D的图案不是中心对称图形，所以此选项不符合题意． 故选：B． 74．（2025·广西南宁·模拟预测）在2025年某学校举行的数学文化活动节中，有同学设计了如下的徽章．下列的四个图中，能由如图所示的徽章经过平移得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了利用平移设计图案，解题的关键是掌握图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小．根据平移只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小解答． 【详解】解：观察各选项图形可知，A选项的图案可以通过平移得到， 故选：A． 75．（2025·广西南宁·模拟预测）2025年4月24日，我国神舟二十号载人飞船成功升空．中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量．下面有关我国航天领域的图标中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，解题关键是熟练掌握如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫对称轴． 根据轴对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，故此选项符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 76．（2025·广西柳州·三模）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形，其中，，，则高约为（   ）（参考数据：，，） A．9.98cm B．11.22cm C．19.58cm D．22.44cm 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角函数的定义，根据等腰三角形性质求出，根据角度的正切值可求出． 【详解】解：∵，为高， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 77．（2025·广西贺州·三模）人字梯为现代家庭常用的工具．如图，若的长都为4米，当时，人字梯顶端离地面的高度约为(　　)(结果保留小数点后1位，参考数据：) A．3.8米 B．3.5米 C．3.4米 D．2.82米 【答案】B 【分析】本题考查锐角三角函数，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．在中，根据锐角三角函数正弦定义即可求得答案． 【详解】在中， ∵，， ∴， ∴， 故选：B． 78．（2025·广西来宾·模拟预测）中国传统纹样指的是由历代沿传下来的具有独特民族艺术风格的图案，下列纹样的示意图，是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查中心对称图形的识别，中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；据此进行判断即可． 【详解】解：．不是中心对称图形，故该选项不符合题意； ．是中心对称图形，故该选项符合题意； ．不是中心对称图形，故该选项不符合题意； ．不是中心对称图形，故该选项不符合题意； 故选：B． 79．（2025·广西梧州·三模）下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据轴对称图形的概念来判断即可． 本题考查轴对称图形的识别，在平面内，如果一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】解：选项A，B，D的图形不能找到一条直线，沿这条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形； 选项C的图形能找到一条直线，沿这条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，是轴对称图形． 故选：C． 80．（2025·广西贵港·一模）如图，扇形的半径为，菱形的顶点、、分别在、、上，若，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，扇形面积计算，特殊角的三角函数值，熟练掌握以上知识点是解题的关键．连接，相交于点，根据菱形的性质，结合三角函数关系得出，进而得到，推出是等边三角形，得到，最后根据，即可求解． 【详解】解：如图，连接，相交于点， 四边形是菱形， ，，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 故选：C． 81．（2025·广西柳州·二模）如图所示，在洞孔成像问题中，已知玻璃棒与它的物像平行，已知玻璃棒厘米，根据图中给定的尺寸，那么它的物像的长是（   ）厘米． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用， 过作于点，延长，交于点，则有，，再证明，根据相似三角形的性质得出，然后代入求值即可，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：过作于点，延长，交于点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 82．（2025·广西河池·一模）小郑在做“小孔成像”实验时，蜡烛到挡板的距离与挡板到屏幕的距离之比是．若烛焰的高是，则实像的高是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 根据证明，然后利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图所示：相交于点O， ∵是烛焰的高，是实像的高， ∴， ∴， ∵蜡烛到挡板距离与挡板到屏幕距离之比是，， ∴，解得：． 故选：B． 83．（2025·广西梧州·一模）如图是6个相同的正方形搭成的几何体，将标有①②③④⑤的五个正方体随机拿掉1个，比较前后两个几何体，左视图不改变的概率是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图、概率的定义等知识点，掌握从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上边看得到的图形是俯视图成为解题的关键． 根据三视图的定义以及概率的定义即可解答． 【详解】解：去掉①的小正方体，左视图改变；去掉②～⑤的小正方体中的一个，左视图不变，则左视图不发生改变的概率是． 故选：D． 84．（2025·广西南宁·模拟预测）下列几何体中，主视图是三角形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了常见几何体的三视图，根据主视图是从正面看到的图形进行求解即可． 【详解】解：A、主视图是长方形，不符合题意； B、主视图是长方形，不符合题意； C、主视图是三角形，符合题意； D、主视图是长方形，不符合题意； 故选；C． 85．（2025·广西玉林·三模）如图，菱形的四个顶点均在坐标轴上，对角线、交于原点，于点，交于点，反比例函数的图象经过线段的中点，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查菱形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征、含度角的直角三角形性质、解直角三角形，利用特殊角的三角函数值判断出是解题关键．由题意易得，由线段中点的定义可得点N的纵坐标为1，利用反比例函数图象上点坐标特征求得，则，由特殊角的三角函数值易判断，于是， ，，再解直角三角形即可得到答案， 【详解】解∶四边形为菱形， ， ． ． 点C在x轴上， 点C的纵坐标为0． 点N为的中点， 点N的纵坐标为1， 设点， 点N在反比例函数反比例函数的图象上， ，解得． ． ． ． 在中，． ． ． 在菱形中，，． ，． ， ． 在中，． 故选：A． 86．（2025·广西·一模）将图1所示的七巧板，拼成图2所示的四边形，连接，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，正方形的性质，勾股定理，三角函数，解题的关键是掌握以上知识点．如图1，设等腰直角的直角边为a，利用图形的位置关系求出大正方形的边长和大等腰直角三角形的直角边长，进而根据正切的定义即可求解． 【详解】解：如图1，设等腰直角的直角边为a，则，小正方形的边长为a， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图2，作的延长线于点H，则，， 由图（1）可得，，， ∴，， ∴， ∴． 故选：D． 五、填空题 87．（2025·广西贵港·一模）如图，在中，，，点为的中点，，若过点作交于点，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识．根据含角的直角三角形的性质可得，由，点为的中点，可得，，得到，即可求解． 【详解】解：在中，，，， ， ，点为的中点， ，， ， ， 故答案为：． 88．（2025·广西南宁·二模）如图，在一块长为，宽为的长方形草坪上，有一条的弯曲小路，小路的右边线向左平移就是它的左边线，则这块草地的面积为 ． 【答案】200 【分析】本题考查了生活中的平移现象，通过平移得到长方形，再利用长方形的面积公式得出是解题关键． 根据小路的右边线向左平移就是它的左边线，可得路的宽度是，根据平移的性质，再根据长方形的面积公式，可得答案． 【详解】解：∵小路的右边线向左平移就是它的左边线， ∴将小路右半部分的草地向左平移，与小路的左半部分对接， 可以得到一个长为，宽为的长方形， 因此这块草地的绿地面积是． 故答案为：200． 89．（2025·广西崇左·三模）如图，是一条坡角为的滑雪道，滑雪道长为500米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度 的长为 米（精确到米．参考数据： ）． 【答案】 【分析】利用正弦函数求解即可． 本题考查了正弦函数的应用，熟练掌握正弦函数的定义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得（米）， 故答案为：． 90．（2025·广西来宾·模拟预测）如图①是广西传统“干栏式”民居，是壮族最具标志性的民居形式，是壮族先民适应自然生存智慧的集中体现，其屋顶可看作等腰三角形（如图②），其中，若是的中点， ，，则的长约为 m．（结果保留整数，参考数据： ） 【答案】2 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用及等腰三角形性质，先求出，再解求出结论即可． 【详解】解：，若是的中点， ， ， 在中，， ， ， 故答案为：2． 91．（2025·广西梧州·二模）“海棠花窗”是中国建筑中常见的一种设计．如图是一个海棠花窗的制作示意图，点是正方形的边心距上的一点，以点为圆心，长为半径画弧，同样的作法得到其余三条和弧一样的等弧，已知正方形的边长是6，当时，这个海棠花窗的周长是 ． 【答案】 【分析】连接，，，则，，解，求出，，则可求，再由弧长公式求出，再由海棠花窗的周长等于，即可求解． 【详解】解：连接， 由题意得，，， ∴，， ∵， ∴在中，， ∴， ∴， ∴， ∴这个海棠花窗的周长是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆与正多边形，边心距，解直角三角形，求弧长，勾股定理，垂径定理等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 92．（2025·广西钦州·二模）如图，在中，，，，点D是边的中点，点E是上的动点，连接，将沿翻折得到，连结，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，角直角三角形的性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 连接，过点作于点，由，得到，当点三点重合时，取得最小值，然后由折叠的性质以及勾股定理，角直角三角形的性质取求解即可． 【详解】解：连接，过点作于点， ∵，，， ∴， ∴， ∵点D是边的中点，将沿翻折得到 ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 当点三点重合时，的最小值为， 故答案为：． 93．（2025·广西梧州·三模）如图，某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，当车辆经过时，栏杆最多只能升起到如图所示的位置，其示意图如图所示（栏杆宽度忽略不计），其中，，，米，那么适合该地下车库的车辆限高的高度为 ．（结果精确到）（参考数据：，，） 【答案】米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． 根据题意，结合图形，在中，利用三角函数求出的长，即可得到的长，得到结果． 【详解】解：过点作于，过点作于点，如图 有， ∴四边形是矩形， ∴， ，， ∴， ∴， 在中，米， (米) (米) 适合该地下车库的车辆限高的高度为米， 故答案为：米． 六、解答题 94．（2025·广西贵港·一模）随着人们对于提高身体素质的重视，喜欢步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对如图1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前的斜坡米，坡度为：斜坡改造为斜坡，斜坡米，其坡度为． (1)求的长； (2)求斜坡下降的高度．（结果保留根号） 【答案】(1)米 (2)米 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用——坡度坡角问题，解题的关键是支行我相关知识． （1）根据斜坡的坡度为，得到，根据，即可求解； （2）再根据斜坡的坡度为，设，，根据勾股定理列方程求出，计算即可． 【详解】（1）解：斜坡的坡度为， ， ， 斜坡米， （米）； （2）斜坡的坡度为，即， 设，， 斜坡米，， ， 解得：， 即米， 由（1）得米， 米． 95．（2025·广西梧州·二模）如图，一辆卡车使用一条不可伸缩的长绳通过岸边的定滑轮向左牵引小船靠岸，已知长绳段与水面平行，且岸边，当长绳段与水平方向的夹角时，船头离岸边的距离为米，已知甲板始终保持与水面平行，且到水面的距离为0.65米． (1)求定滑轮到水面的距离． (2)当小船受长绳牵引，船头前进到点处，此时长绳段与水平方向的夹角，求卡车向左移动了多少米？（结果精确到0.1米．参考数据：，，） 【答案】(1) (2)卡车向左移动了 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形： （1）延长交于点，解直角三角形，求出的长，再利用线段的和差关系求出的长即可； （2）解直角三角形，求出的长，解直角三角形，求出的长，根据卡车移动的距离等于的长，进行求解即可． 【详解】（1）解：延长交于点， ∵， ∴， 由题意，得：， 在中，， ∴， ∴； 答：定滑轮到水面的距离为； （2）由（1）知：，， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴卡车移动的距离； 答：卡车向左移动了． 96．（2025·广西钦州·二模）如图，在平面直角坐标系中，每个正方形小方格的边长都是一个单位长度，的三个顶点，，均在格点上． (1)将向下平移4个单位长度，请你画出平移后得到的； (2)将绕点O顺时针旋转后得到的，请你画出； (3)在（2）的条件下，求点C运动路径的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了坐标与图形变化—平移、旋转变换、勾股定理、扇形的弧长公式，正确作图是解题的关键． （1）根据平移的性质作图即可； （2）根据旋转的性质作图即可； （3）利用勾股定理求出的长，再利用扇形的弧长公式即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求： （2）解：如图所示，即为所求： （3）解：由勾股定理得， 点C运动路径的长为． 97．（2025·广西钦州·二模）在某次物理实验中，楠楠将一个试验小物件静止地放在斜面上，其受力情况分析如图所示，重力G的方向竖直向下，其方向线交于点E，交水平面于点D，支持力F的方向垂直于，摩擦力P的方向线与平行，已知斜面的坡角． (1)求摩擦力P的方向与重力G的方向的夹角的度数； (2)若在此次实验中，，，求小物件的铅垂高（结果取整数）． （参考数据：，，） 【答案】(1)摩擦力P的方向与重力G的方向的夹角β的度数为 (2)在此次实验中小物件的铅垂高约为 【分析】本题考查的是平行线的性质，三角形的外角的性质，解直角三角形的应用； （1）先求解，再利用平行线的性质可得结论； （2）由，可得，结合，即可得到答案. 【详解】（1）解： ，， ， ∵， ． 答：摩擦力P的方向与重力G的方向的夹角β的度数为． （2）解：，， ， ， ． ， ． 答：在此次实验中小物件的铅垂高约为． 98．（2025·广西南宁·二模）在某次物理实验中，楠楠将一个试验小物件静止地放在斜面上，其受力情况分析如图所示，重力的方向竖直向下，其方向线交于点，交水平面于点，支持力的方向垂直于，摩擦力的方向线与平行，已知斜面的坡角． (1)求摩擦力的方向与重力的方向的夹角的度数； (2)若在此次实验中，，，求小物件的铅垂高（结果取整数）． （参考数据：，，） 【答案】(1)摩擦力的方向与重力的方向的夹角的度数为 (2)在此次实验中小物件的铅垂高约为 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，三角形外角的性质和平行线的性质，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据三角形外角的性质求出的度数，再由平行线的性质即可得到答案； （2）解求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 答：摩擦力的方向与重力的方向的夹角的度数为． （2）解：在中， ， ∵， ∴． ∵， ∴ ． 答：在此次实验中小物件的铅垂高约为． 99．（2025·广西南宁·二模）如图，在平面直角坐标系中，每个正方形小方格的边长都是一个单位长度，的三个顶点，，均在格点上． (1)将向下平移4个单位长度，请你画出平移后得到的； (2)将绕点顺时针旋转后得到的，请你画出； (3)在（2）的条件下，求点运动路径的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了坐标与图形变化—平移、旋转变换、勾股定理、扇形的弧长公式，正确作图是解题的关键． （1）根据平移的性质作图即可； （2）根据旋转的性质作图即可； （3）利用勾股定理求出的长，再利用扇形的弧长公式即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求： （2）解：如图所示，即为所求： （3）解：由勾股定理得， 所以点运动路径的长为． 100．（2025·广西南宁·三模）在《测量物体的高度》的综合实践课上，老师先带领同学们制作简易测角仪，随后再用所制作的测角仪测量物体的高度． 小明同学提出如下方法制作测角仪（图1）： 步骤一：以量角器为主要器材进行设计，在经过中心点O处安置一根可绕点O旋转的空心直管，眼睛可通过空心管的C端瞄准目标物E进行测量，此时的方向即为视线的方向． 步骤二：在量角器的中心点O处悬挂重锤，由物理知识可知只要重锤悬挂线与线重合，则即为水平线．此时读出角的度数，就是所测目标的仰角． (1)步骤二中蕴含的一个数学知识是：______； (2)测角仪制作出来后，小明便利用这个测角仪测量某高楼顶部的一信号发射塔的高度．如图2，小明在矩形建筑物的D、C两点处测得该塔顶端E仰角分别为，，矩形建筑物高度．计算该信号塔顶端到地面的高度．（参考数据：，，）． 【答案】(1)对顶角相等 (2)88米 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，涉及对顶角相等，三角形函数定义，正确理解题意，构造直角三角形是解题的关键． （1）根据对顶角的性质即可求解； （2）过点D作于点H，，由题意可知，，则，设，先证明为等腰直角三角形，得出，解得出，列出方程，求出x的值，再由即可求解． 【详解】（1）解：读出角的度数，就是所测目标的仰角的依据是对顶角相等，因此步骤二中蕴含的一个数学知识是：对顶角相等； （2）解：过点D作于点H，如图所示： ∴， 由题意可知，，， ∴四边形为矩形， ∴，设， 在中，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴，即， 解得， ∴． 答：该信号塔顶端到地面的高度约为88米． 试卷第82页，共82页 试卷第81页，共82页 学科网（北京）股份有限公司 $$