第1章 集合与逻辑（单元测试·提升卷）数学沪教版2020必修第一册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高一年级必修一数学单元检测卷 第一章 集合与逻辑·能力提升 建议用时：120分钟，满分：100分 一、填空题：本题共12小题，1-6题每小题3分，7-12题每小题4分，共42分． 1．已知，则实数 . 2．“且”的否定形式是 . 3．已知集合，，则集合的子集的个数为 ． 4．若集合，且则的所有可能的值组成的集合为 . 5．已知集合恰有两个子集，则实数取值集合为 . 6．已知全集，集合，，则 ． 7．设全集，若集合满足：①；②若；③，则这样的有 个． 8．已知非空集合A，B满足以下两个条件： （i），； （ii）A的元素个数不是A中的元素，B的元素个数不是B中的元素， 则有序集合对的个数为 . 9．某社团有122名社员，他们至少参加了A，B，C三项活动中的一项，得知参加A活动的有51人，参加B活动的有60人，其余数据如图，则图中a=    10．定义集合的“长度”是，其中，.已知集合，，且，都是集合的子集，则集合的“长度”的最小值是 ； 11．在整数集Z中，被整数t除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为 ，如，则有下列结论：①； ②； ③整数、满足且的充要条件是； ④． 则其中正确的为 . 12．若规定由整数组成的集合，，的子集为E的第k个子集，其中，则E的第2024个子集是 . 二、选择题：本题共4小题，12-14每小题3分，15-16每小题4分，共14分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 13．下列选项中两个集合相等的是（    ） A．， B．， C．， D．， 14．如果，是实数，那么“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 15．设全集，集合A，B是R的两个子集，对于任意，定义，，给出下列两个命题： ①对于任意，都有； ②对于任意，都有. 则（   ） A．①②都是真命题 B．①②都是假命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题 16．“群”的概念由数学家伽罗瓦在19世纪30年代开创，群论虽起源于对代数多项式方程的研究，但在量子力学、晶体结构学等其他学科中也有十分广泛的应用.“群”的定义是：设为某种元素组成的一个非空集合，若在内定义一个运算“*”，满足以下条件： ①任意.有 ②如，有； ③在中有一个元素，对任意，都有，称为的单位元； ④任意，在中存在唯一确定的，使，称为的逆元； 此时称为一个群 例如实数集和实数集上的加法运算“＋”就构成一个群，其单位元是，每一个数的逆元是其相反数，那么下列说法中，错误的是（    ） A．，则为一个群 B．，为一个群 C．，则为一个群 D．，则为一个群 三、解答题：本题共5小题，共44分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本题8分）已知集合. (1)若求实数的取值范围; (2)若求实数的取值范围. 18．（本题8分）已知，全集，集合，，若，求的值. 19．（本题8分）已知集合． (1)求证：、、 ； (2)已知，证明：“”的充分非必要条件是“”． 20．（本题10分）设集合，. (1)若，求实数a的值； (2)若集合B中有两个元素，，求实数a的取值范围，并用含a的代数式表示； (3)若全集，，求实数a的取值范围. 21．（本题10分）若有限个正整数组成的集合中至少有两个元素，且对于任意的，都有，则称为“双集合”. (1)判断是否为“双集合”，说明理由； (2)若双元素集为“双集合”，且，求所有满足条件的集合； (3)求所有满足条件的“双集合” 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年高一年级必修一数学单元检测卷 第一章 集合与逻辑·能力提升 建议用时：120分钟，满分：100分 一、填空题：本题共12小题，1-6题每小题3分，7-12题每小题4分，共42分． 1．已知，则实数 . 【答案】 【分析】根据元素与集合的关系，9必定是集合中的某一个元素，再分别讨论当和两种情况，结合元素的互异性得出正确答案即可. 【详解】由题意得，， 若，则，此时， 不满足集合元素的互异性， 若，则（舍去）或， 此时，满足题意. 故答案为：. 2．“且”的否定形式是 . 【答案】或 【分析】根据命题的否定可得结果. 【详解】“且”的否定形式是：或. 故答案为：或. 3．已知集合，，则集合的子集的个数为 ． 【答案】128 【分析】利用集合定义求出集合，然后根据子集的性质求得子集个数. 【详解】因为集合，，所以， 所以集合的子集的个数为. 故答案为：128 4．若集合，且则的所有可能的值组成的集合为 . 【答案】 【分析】由题意算出，由分别计算即可. 【详解】， ①若； ②； ③. 故答案为：. 5．已知集合恰有两个子集，则实数取值集合为 . 【答案】 【分析】分析可知有一个不等于3的实数解，分类讨论最高项系数以及根的个数，运算求解即可. 【详解】由题意可知：方程有且仅有一解， 等价于有一个不等于3的实数解， 1.当时，解为，满足题意； 2.当时，只有一解时， 则，解得， 若，则，解得，符合题意； 3.当时，且有两解但3是方程的解， 故，解得； 综上所述，实数取值集合为. 故答案为：. 6．已知全集，集合，，则 ． 【分析】求出，由此能求出． 【详解】全集， 集合，且， ， ． 故答案为： 7．设全集，若集合满足：①；②若；③，则这样的有 个． 【答案】32 【分析】设集合，2，，，．任取偶数，将除以2，若商仍为偶数，再除以，经过次以后，商必为奇数，此时记商为，从而，是否属于由是否属于确定．设是中所有奇数的集合，则等于的子集个数．由此能求出结果． 【详解】设集合，2，，，．任取偶数，将除以2，若商仍为偶数， 再除以，经过次以后，商必为奇数，此时记商为， 于是，其中为奇数，．由条件知， 若，则等价于为偶数； 若，则等价于为奇数． 于是是否属于由是否属于确定． 设是中所有奇数的集合，因此等于的子集个数． 当为偶数（或奇数）时，中奇数的个数是（或， 所以， 所以，2，3，4，5，6，7，8，9，， 即同时满足三个条件的集合的个数为． 故答案为：32 8．已知非空集合A，B满足以下两个条件： （i），； （ii）A的元素个数不是A中的元素，B的元素个数不是B中的元素， 则有序集合对的个数为 . 【答案】10 【分析】分别讨论集合，元素个数，即可得到结论． 【详解】若集合中只有1个元素，则集合中只有5个元素，则，， 即，，此时有种， 若集合中只有2个元素，则集合中只有4个元素，则，， 即，，此时集合还可以有中的一个数，故有种 若集合中只有3个元素，则集合中只有3个元素，则中，，不满足题意， 若集合中只有4个元素，则集合中只有2个元素，则，， 即，，此时集合还可以有中的三个数， 即或或或有种， 若集合中只有5个元素，则集合中只有1个元素，则，， 即，，此时有种， 故有序集合对的个数是. 故答案为：10. 9．某社团有122名社员，他们至少参加了A，B，C三项活动中的一项，得知参加A活动的有51人，参加B活动的有60人，其余数据如图，则图中a=    【答案】9 【分析】根据题意，利用韦恩图得到关于的方程组，解出的a值即可. 【详解】由题意得，则，解得. 故答案为：9. 10．定义集合的“长度”是，其中，.已知集合，，且，都是集合的子集，则集合的“长度”的最小值是 ； 【答案】/ 【分析】根据区间长度定义得到关于的不等式组，再分类讨论即可. 【详解】集合，，且M，N都是集合的子集， 由，可得，由，可得． 要使的“长度”最小，只有当取最小值、取最大或取最大、取最小时才成立. 当，，，“长度”为， 当，，，“长度”为， 故集合的“长度”的最小值是. 故答案为：. 11．在整数集Z中，被整数t除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为 ，如，则有下列结论：①； ②； ③整数、满足且的充要条件是； ④． 则其中正确的为 . 【答案】①④ 【分析】根据集合相等的定义判断①，举反例判断②③，根据集合的交集的定义判断④． 【详解】解：对于①，若，则，， 若，则，故， 若，则，故， 是的子集， 若，则或， 若，则，若，则， ，故是的子集， ，故①正确； 对于②，，而且，，故②错误； 对于③，，，而，， 整数、满足且不是的必要条件，故③错误； 对于④，若，则， ，且，，1故④正确． 故答案为：①④ 12．若规定由整数组成的集合，，的子集为E的第k个子集，其中，则E的第2024个子集是 . 【答案】 【分析】把写成2的自然数幂的和即可得． 【详解】， 所以E的第2024个子集是． 故答案为：． 2、 选择题：本题共4小题，12-14每小题3分，15-16每小题4分，共14分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 13．下列选项中两个集合相等的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据集合的含义、集合相等的定义逐一判断可得选项. 【详解】解：对于A选项，，，，故A不正确； 对于B选项，，，故B正确； 对于C选项，，，，故C不正确； 对于D选项，与中的元素不同，，故D不正确. 故选：B. 14．如果，是实数，那么“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】将两个条件相互推导，根据能否推导的情况判断出充分、必要条件. 【详解】当时，满足，而； 当时，若，则， 所以，而，则； 若，则， 所以，而，则. 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 15．设全集，集合A，B是R的两个子集，对于任意，定义，，给出下列两个命题： ①对于任意，都有； ②对于任意，都有. 则（   ） A．①②都是真命题 B．①②都是假命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题 【答案】A 【分析】根据题意确定，的取值，得出与集合，的关系，判断命题是否正确. 【详解】命题①对于任意，都有； 若，则即，,或，，，即， 若，则时即即， 或时即即，故总有， 故命题①为真命题； 命题②对于任意，都有. 若，则，而，故即，故； 若，则当，一定成立，即，此时， 当时，，此时也成立， 故命题②为真命题； 故选：A. 16．“群”的概念由数学家伽罗瓦在19世纪30年代开创，群论虽起源于对代数多项式方程的研究，但在量子力学、晶体结构学等其他学科中也有十分广泛的应用.“群”的定义是：设为某种元素组成的一个非空集合，若在内定义一个运算“*”，满足以下条件： ①任意.有 ②如，有； ③在中有一个元素，对任意，都有，称为的单位元； ④任意，在中存在唯一确定的，使，称为的逆元； 此时称为一个群 例如实数集和实数集上的加法运算“＋”就构成一个群，其单位元是，每一个数的逆元是其相反数，那么下列说法中，错误的是（    ） A．，则为一个群 B．，为一个群 C．，则为一个群 D．，则为一个群 【答案】D 【分析】分别判断每一个选项，是否为一个群即可. 【详解】A选项：有理数的和还是有理数，求和满足结合律， 设，单位元为，则，故， 所以每一个数的相反数为其逆元， 故为一个群，选项A正确； B 选项：中的任何两个数相加还是属于， 求和满足结合律， 设，单位元为， 则，所以， 每一个数的相反数为其逆元，为一个群，故选项B正确； C选项：中的两个元素相乘，其积可能为或， 又，， 设，单位元为，则，故，的逆元为，的逆元为， 所以则为一个群，故C正确； D选项：两个奇数相乘还是奇数，乘法满足结合率， 设，单位元为，则，故， 又，故存在，使得，则，矛盾， 故不为一个群，故D错误. 三、解答题：本题共5小题，共44分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本题8分）已知集合. (1)若求实数的取值范围; (2)若求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）需要分为空集和非空集两种情况，根据子集的定义来确定实数的取值范围； （2）先求解集合，再根据来确定实数的取值范围. 【详解】（1） 若 若 综上： （2） 若则 若则 若，不符 综上： 18．（本题8分）已知，全集，集合，，若，求的值. 【答案】 【分析】首先得到计算出，然后再根据补集的概念得出计算出. 【详解】，所以且，所以， 把代入到集合中，则集合， 所以，即，所以，把代入集合， 则集合，符合， 所以符合题意， 综上，，. 19．（本题8分）已知集合． (1)求证：、、 ； (2)已知，证明：“”的充分非必要条件是“”． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据集合中元素的特征一一判断即可； （2）由，即可得到充分性成立，再利用特殊值判断必要性不成立； 【详解】（1）因为，所以， 因为，所以， 因为，所以 ； （2），， ，即所有奇数都属于集合，则由，必有， 又 所以，而，即由推不出， 所以的充分非必要条件是. 20．（本题10分）设集合，. (1)若，求实数a的值； (2)若集合B中有两个元素，，求实数a的取值范围，并用含a的代数式表示； (3)若全集，，求实数a的取值范围. 【答案】(1)或． (2) (3) 【分析】（1）由，代入后解方程并检验是否满足题意； （2）根据韦达定理和完全差的平方公式化简求值即可； （3）根据集合元素情况分类求解即可． 【详解】（1）由题意得，因为，所以， 所以即， 化简得，即，解得或， 检验：当时，，满足， 当时，,，满足， 所以或． （2）因为集合中有两个元素，，所以方程有两个根， 所以且，， 所以． （3）因为，且， 当时，，解得，符合题意； 当时，则，无解； 当时，则，所以； 当,时，则，无解， 综上，的范围为． 21．（本题10分）若有限个正整数组成的集合中至少有两个元素，且对于任意的，都有，则称为“双集合”. (1)判断是否为“双集合”，说明理由； (2)若双元素集为“双集合”，且，求所有满足条件的集合； (3)求所有满足条件的“双集合”. 【答案】(1)不是为“双集合”，理由见解析. (2)或 (3) 【分析】（1）直接按照题中概念判断即可； （2）直接按照题中概念计算； （3）先根据（2）讨论有两个元素时的情况，然后再讨论多余两个元素的情况即可. 【详解】（1）假设，则，故不是为“双集合”. （2）假设，则另一个元素为，因为， 若解得不符合题意； 若解得（符合题意）或（不符合题意） 所以此时 假设则另一个元素为，因为， 若解得符合题意； 若解得不符合题意 所以此时 （3）若满足条件的“双集合”，只有两个元素，仿照（2）讨论，可得满足“双集合”的有 当“双集合”有两个以上的元素时，设最小的元素为，最大元素为，第二大的元素为， 所以有是“双集合”中的元素 所以 若 与已知矛盾， 故 解得，显然与不可能同时为整数，故该假设不成立 所以“双集合”不可能有两个以上的元素； 故所有满足的“双集合”为 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年高一年级必修一数学单元检测卷 第一章 集合与逻辑·能力提升（参考答案） 一、填空题：本题共12小题，1-6题每小题3分，7-12题每小题4分，共42分． 1． 2．或 3．128 4． 5． 6． 7．32 8．10 9．9 10．/ 11．①④ 12． 2、 选择题：本题共4小题，12-14每小题3分，15-16每小题4分，共14分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 题号 13 14 15 16 答案 B B A D 三、解答题：本题共5小题，共44分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸． 17．（8分） 【详解】（1） 若 若 综上： （2） 若则 若则 若，不符 综上： 18．（8分） 【详解】，所以且，所以， 把代入到集合中，则集合， 所以，即，所以，把代入集合， 则集合，符合， 所以符合题意， 综上，，. 19.（8分） 【详解】（1）因为，所以， 因为，所以， 因为，所以 ； （2），， ，即所有奇数都属于集合，则由，必有， 又 所以，而，即由推不出， 所以的充分非必要条件是. 20.（10分） 【详解】（1）由题意得，因为，所以， 所以即， 化简得，即，解得或， 检验：当时，，满足， 当时，,，满足， 所以或． （2）因为集合中有两个元素，，所以方程有两个根， 所以且，， 所以． （3）因为，且， 当时，，解得，符合题意； 当时，则，无解； 当时，则，所以； 当,时，则，无解， 综上，的范围为． 21．（10分） 【详解】（1）假设，则，故不是为“双集合”. （2）假设，则另一个元素为，因为， 若解得不符合题意； 若解得（符合题意）或（不符合题意） 所以此时 假设则另一个元素为，因为， 若解得符合题意； 若解得不符合题意 所以此时 （3）若满足条件的“双集合”，只有两个元素，仿照（2）讨论，可得满足“双集合”的有 当“双集合”有两个以上的元素时，设最小的元素为，最大元素为，第二大的元素为， 所以有是“双集合”中的元素 所以 若 与已知矛盾， 故 解得，显然与不可能同时为整数，故该假设不成立 所以“双集合”不可能有两个以上的元素； 故所有满足的“双集合”为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年高一年级必修一数学单元检测卷 第一章 集合与逻辑·能力提升 建议用时：120分钟，满分：100分 一、填空题：本题共12小题，1-6题每小题3分，7-12题每小题4分，共42分． 1．已知，则实数 . 2．“且”的否定形式是 . 3．已知集合，，则集合的子集的个数为 ． 4．若集合，且则的所有可能的值组成的集合为 . 5．已知集合恰有两个子集，则实数取值集合为 . 6．已知全集，集合，，则 ． 7．设全集，若集合满足：①；②若；③，则这样的有 个． 8．已知非空集合A，B满足以下两个条件： （i），； （ii）A的元素个数不是A中的元素，B的元素个数不是B中的元素， 则有序集合对的个数为 . 9．某社团有122名社员，他们至少参加了A，B，C三项活动中的一项，得知参加A活动的有51人，参加B活动的有60人，其余数据如图，则图中a=    10．定义集合的“长度”是，其中，.已知集合，，且，都是集合的子集，则集合的“长度”的最小值是 ； 11．在整数集Z中，被整数t除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为 ，如，则有下列结论：①； ②； ③整数、满足且的充要条件是； ④． 则其中正确的为 . 12．若规定由整数组成的集合，，的子集为E的第k个子集，其中，则E的第2024个子集是 . 二、选择题：本题共4小题，12-14每小题3分，15-16每小题4分，共14分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 13．下列选项中两个集合相等的是（    ） A．， B．， C．， D．， 14．如果，是实数，那么“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 15．设全集，集合A，B是R的两个子集，对于任意，定义，，给出下列两个命题： ①对于任意，都有； ②对于任意，都有. 则（   ） A．①②都是真命题 B．①②都是假命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题 16．“群”的概念由数学家伽罗瓦在19世纪30年代开创，群论虽起源于对代数多项式方程的研究，但在量子力学、晶体结构学等其他学科中也有十分广泛的应用.“群”的定义是：设为某种元素组成的一个非空集合，若在内定义一个运算“*”，满足以下条件： ①任意.有 ②如，有； ③在中有一个元素，对任意，都有，称为的单位元； ④任意，在中存在唯一确定的，使，称为的逆元； 此时称为一个群 例如实数集和实数集上的加法运算“＋”就构成一个群，其单位元是，每一个数的逆元是其相反数，那么下列说法中，错误的是（    ） A．，则为一个群 B．，为一个群 C．，则为一个群 D．，则为一个群 三、解答题：本题共5小题，共44分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本题8分）已知集合. (1)若求实数的取值范围; (2)若求实数的取值范围. 18．（本题8分）已知，全集，集合，，若，求的值. 19．（本题8分）已知集合． (1)求证：、、 ； (2)已知，证明：“”的充分非必要条件是“”． 20．（本题10分）设集合，. (1)若，求实数a的值； (2)若集合B中有两个元素，，求实数a的取值范围，并用含a的代数式表示； (3)若全集，，求实数a的取值范围. 21．（本题10分）若有限个正整数组成的集合中至少有两个元素，且对于任意的，都有，则称为“双集合”. (1)判断是否为“双集合”，说明理由； (2)若双元素集为“双集合”，且，求所有满足条件的集合； (3)求所有满足条件的“双集合” 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$