1.3 勾股定理的应用（导学案）数学北师大版2024八年级上册

1.3 勾股定理的应用 导学案 （1）能够运用勾股定理计算直角三角形的边长，运用勾股定理的逆定理判断三角形是否为直角三角形； （2）能够综合运用勾股定理、逆定理以及基本几何知识解决简单的实际应用问题，解决几何图形中的计算问题； （3）掌握将实际问题转化为直角三角形模型求解的基本步骤。 探究点（一）几何图形中的计算(折叠问题) 尝试思考：正方形纸片ABCD的边长为8cm，点AE是边AD的中点，将这个正方形纸片翻折，使点C落到点E处，折痕交边AB于点G,交边CD于点F，你能求出DF的长吗? 探究点（二）构造直角三角形解实际问题 例题教学（芦苇长问题）：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐。问水深、葭长各几何? (选自《九章算术》) 题目大意：有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形。在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺。如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面。这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少? ·应用新知 题型一.旗杆长问题/大树折断问题 例1．八年2班数学课外活动小组的同学测量学校旗杆的高度时，发现升旗的绳子（无弹性）长度比旗杆多1米，当他们把绳子拉直，绳子末端刚好接触地面时，此时绳子末端与旗杆的距离为5米，求旗杆AB的高度． 变式1．如图，由于大风，山坡上的树甲从点A处被拦腰折断（AB⊥地面），其树顶端恰好落在树乙（乙⊥地面）的根部C处．若AB=4米，BC=13米，两棵树的水平距离为12米，则树甲折断前的高度为 米． 题型二.航海问题 例2.如图，某港口位于东西方向的海岸线上．“惠州”号、“中山”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“惠州”号每小时航行10海里，“中山”号每小时航行7.5海里．它们离开港口2h后相距25海里．如果知道“惠州”号沿东北方向航行，能知道“中山”号沿哪个方向航行吗？ 题型三.两地之间选址问题 例3.如图，某地方政府决定在相距50km的A，B两站之间的公路旁E点，修建一个土特产加工基地，且使C、D两村到点E的距离相等，已知DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，DA=30km，CB=20km，那么基地E应建在离A站多少的地方？ 题型四.判断/决策类问题 例4.为了进一步规范道路交通秩序，厦门市公安交通管理局决定自2024年6月17日零时起，下调海沧隧道主线机动车行驶最高限速值，即小型汽车限速值由90km/h调整为80km/h、大型汽车限速值由80km/h调整为70km/h．如图，一辆小汽车在隧道内沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A处的正前方120m 的C处（即AC=120m），过了8s小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为200m． (1)求BC的长； (2)这辆小汽车在BC段是否超速行驶？请说明理由．（参考数据：1m/s=3.6km/h） （一）P14随堂练习 （二）补充练习 （1题图） （2题图） 1．市面上有许多自带勺子的水杯，为了方便用户使用，勺子一般需要漏出杯子一部分．如图是某款自带勺子的水杯的简化图，杯身是一个圆柱形，水杯的内径是，水杯的内侧高度为，若勺子的长度为，则勺子漏出杯子的部分至少为（   ） A． B． C． D． 2.如图，客船以24海里/时的速度从港口A向东北方向航行，货船以18海里/时的速度同时从港口A向东南方向航行，则2小时后两船相距 海里． 3．在中，，，，D，E分别是斜边和直角边上的点．把沿着折叠，顶点B的对应点落在直角边上，且．求的长． 4．如图，将长为，宽为的长方形纸片折叠，使点落在边的中点处，压平后得到折痕，则线段的长为 ． 5.为了方便游客在景区内游玩，某景区开通了一种观光电瓶车．景区规定，观光电瓶车在景区道路上行驶的速度不得超过．在一条笔直的景区道路上，某一时刻观光电瓶车刚好行驶到路边测速仪处的正前方的处，过了后，测得观光电瓶车与测速仪之间的距离为．这辆观光电瓶车超速了吗？ ※6.为了美化城市，洒水车需要在一条长为的重要路段段以50米分钟行驶进行洒水，在洒水的同时会播放音乐进行提醒．如图，学校位于点C位置，洒水车由A向B移动，学校与路段上的两个路口A、B的距离分别为，经测量，发现在及以内的会受到音乐的影响． (1)求点C到路段的距离； (2)判断学校是否会受到影响？若不会受到影响，请说明理由；若会受到影响，请求出受多长时间影响． 7.（2025·山东东营·中考真题）如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置处摆绳与地面垂直，摆绳长，向前荡起到最高点处时距地面高度，摆动水平距离为，然后向后摆到最高点处．若前后摆动过程中绳始终拉直，且与成角，则小丽在处时距离地面的高度是（   ） A． B． C． D． ※8.台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图所示，有一台风中心沿东西方向由向移动，已知点为一海港，且点与直线上的两点，的距离分别为：，，，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)请计算说明海港会受到台风的影响； (2)若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.3 勾股定理的应用 导学案 （1）能够运用勾股定理计算直角三角形的边长，运用勾股定理的逆定理判断三角形是否为直角三角形； （2）能够综合运用勾股定理、逆定理以及基本几何知识解决简单的实际应用问题，解决几何图形中的计算问题； （3）掌握将实际问题转化为直角三角形模型求解的基本步骤。 探究点（一）几何图形中的计算(折叠问题) 尝试思考：正方形纸片ABCD的边长为8cm，点AE是边AD的中点，将这个正方形纸片翻折，使点C落到点E处，折痕交边AB于点G,交边CD于点F，你能求出DF的长吗? ①读题画图： 明确图形（正方形ABCD），标注AD=CD=8cm，ED=4cm，EF=CF； ②寻找/构造Rt△：Rt△DEF。 ③选择定理：∵EF+DF=CD=8cm，ED=4cm，∴在Rt△EFD中可用勾股定理；H ④列式：在Rt△ABD中，设DF=x，EF=8-x，EF²= DF²+DE²，(8-x)²= x²+4² ⑤求解： 化简解方程x=3，∴DF长为3cm。 探究点（二）构造直角三角形解实际问题 例题教学（芦苇长问题）：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐。问水深、葭长各几何? (选自《九章算术》) 题目大意：有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形。在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺。如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面。这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少?①读题抽象：水面宽1丈（10尺），水深未知，中央芦苇比水深多1尺，需用方程解题； ②画图建模：如图，用长方形表示水池纵截面，作取中点O作水面所在直线的垂线段OB，交点为A，OA为水池深度； ③构造Rt△：根据题意连接OC即芦苇长，在Rt△AOC中，两直角边5、OA，斜边OC； ④选择定理： 已知两直角边求斜边，适用勾股定理； ⑤列式求解：设OA为x，OC为x+1； ⑥作答。 解:设水池的深度OA为x尺，则芦苇的长度OB(OC)为x+1尺，由于芦苇位于水池中央，所以AC为5尺。在Rt△OAC中，由勾股定理，可得AC2+ OA2= OC2, 即52+x2=(x+1)2。 解得x=12。 12+1=13。 因此，水池的深度是12尺，芦苇的长度是13尺。 ·应用新知 题型一.旗杆长问题/大树折断问题 例1．八年2班数学课外活动小组的同学测量学校旗杆的高度时，发现升旗的绳子（无弹性）长度比旗杆多1米，当他们把绳子拉直，绳子末端刚好接触地面时，此时绳子末端与旗杆的距离为5米，求旗杆AB的高度． 方法点拨：将旗杆，绳子与地面构成直角三角形，根据题中数据，用勾股定理即可解答． 解：设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为(x+1)米(x>1)． 在Rt△ABC中，∠B=90°， 根据勾股定理得AB2+BC2=AC2． ∴x2+52=(x+1)2， 解得：x=12， 答：旗杆的高度为12米． 变式1．如图，由于大风，山坡上的树甲从点A处被拦腰折断（AB⊥地面），其树顶端恰好落在树乙（乙⊥地面）的根部C处．若AB=4米，BC=13米，两棵树的水平距离为12米，则树甲折断前的高度为 米． 方法点拨：本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，延长AB，过点C作CD⊥AB延长线于点D， 解：如图所示：过点C作CD⊥AB交AB延长线于点D，则∠D=90°， 由题意可得：BC=13m，DC=12m， 故BD2=132-122=25=52， ∴AD=4+5=9m， 则AC2=AD2+CD2=92+122=225=152， 故AC+AB=15+4=19m， 故答案为：19． 题型二.航海问题 例2.如图，某港口位于东西方向的海岸线上．“惠州”号、“中山”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“惠州”号每小时航行10海里，“中山”号每小时航行7.5海里．它们离开港口2h后相距25海里．如果知道“惠州”号沿东北方向航行，能知道“中山”号沿哪个方向航行吗？ 方法点拨：解题的重点主要是能够根据勾股定理的逆定理发现直角三角形，关键是从实际问题中抽象出直角三角形．求出OA，OB的长，利用勾股定理逆定理以及方向角即可得到“中山”号航行方向． 解：由题意可得：OA=7.5×2=15(海里)，OB=10×2=20(海里)，AB=25海里， ∵152+202=252， ∴∠AOB=90°， ∵“惠州”号沿东北方向航行，即沿北偏东45°方向航行， ∵∠BOC=45°， ∴∠AOC=∠AOB -∠BOC=90°- 45°=45°． “中山”号沿北偏西45°（或西北）方向航行． 题型三.两地之间选址问题 例3.如图，某地方政府决定在相距50km的A，B两站之间的公路旁E点，修建一个土特产加工基地，且使C、D两村到点E的距离相等，已知DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，DA=30km，CB=20km，那么基地E应建在离A站多少的地方？ 方法点拨：本题考查勾股定理的应用，设AE=xkm，得到BE=(50-x)km，根据勾股定理结合C、D两村到点E的距离相等，列出方程进行求解即可． 解：由题意，得：AB=50km，∠DAE=∠EBC=90°，CE=DE， 设AE=xkm，则：BE=(50-x)km， 在Rt△EAD中，DE2=AD2+AE2， 在Rt△EBC中，CE2=BC2+BE2， ∵CE=DE，DA=30km，CB=20km， ∴AD2+AE2=BC2+BE2，即：302+x2=202+(50-x)2， 解得：x=20， ∴AE=20km， ∴基地E应建在离A站20km的地方． 题型四.判断/决策类问题 例4.为了进一步规范道路交通秩序，厦门市公安交通管理局决定自2024年6月17日零时起，下调海沧隧道主线机动车行驶最高限速值，即小型汽车限速值由90km/h调整为80km/h、大型汽车限速值由80km/h调整为70km/h．如图，一辆小汽车在隧道内沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A处的正前方120m 的C处（即AC=120m），过了8s小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为200m． (1)求BC的长； (2)这辆小汽车在BC段是否超速行驶？请说明理由．（参考数据：1m/s=3.6km/h） （1）解：由题意可得：AC=120，AB=200，∠ACB=90°， ∴BC2=2002-1202=160(m)； （2）解：结合（1）可得小汽车的速度为v=160÷8=20(m/s)=20×3.6(km/h)=72(km/h)； ∵72(km/h)<80(km/h)； ∴这辆小汽车没有超速行驶． 答：这辆小汽车没有超速． （一）P14随堂练习 五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，如图所示的三个图形中哪个是正确的？ 解：（1）72+242=625=252，152+202=625，242=576，625≠576，∴（1）不正确； （2）72+242=625=252=152+202，∴（2）正确；（3）不正确 (二)补充练习 1．市面上有许多自带勺子的水杯，为了方便用户使用，勺子一般需要漏出杯子一部分．如图是某款自带勺子的水杯的简化图，杯身是一个圆柱形，水杯的内径是，水杯的内侧高度为，若勺子的长度为，则勺子漏出杯子的部分至少为（   ） A． B． C． D． 解：如图，当恰好是水杯的内径，时，勺子在水杯内的长度最长，勺子漏出杯子的部分最短． 由题意得：， ∴在中，，AC=10cm， ∴， ∴勺子漏出杯子的部分至少为， 故选：A． 2.如图，客船以24海里/时的速度从港口A向东北方向航行，货船以18海里/时的速度同时从港口A向东南方向航行，则2小时后两船相距 海里． 解：设两艘船航行2小时后分别到达B、C的位置，连接，如图所示： ∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向， ∴， 两小时后，两艘船分别行驶了（海里），（海里）， 根据勾股定理得：（海里）， ∴2小时后两船相距60海里． 故答案为：60． 3．在中，，，，D，E分别是斜边和直角边上的点．把沿着折叠，顶点B的对应点落在直角边上，且．求的长． 解：，， 设，则， 由折叠知， ，， ， 在中，由勾股定理得：， ， 解得， 即的长为． 4．如图，将长为，宽为的长方形纸片折叠，使点落在边的中点处，压平后得到折痕，则线段的长为 ． 解：如图①，连接，，， ∵将长为，宽为的长方形纸片折叠，使点B落在边的中点E处，压平后得到折痕， ∴垂直平分，，， ∴，， 设，则，   在和中， ∴， 即， 解得． 故线段的长为． 故答案为：． 5.为了方便游客在景区内游玩，某景区开通了一种观光电瓶车．景区规定，观光电瓶车在景区道路上行驶的速度不得超过．在一条笔直的景区道路上，某一时刻观光电瓶车刚好行驶到路边测速仪处的正前方的处，过了后，测得观光电瓶车与测速仪之间的距离为．这辆观光电瓶车超速了吗？ 解：在中，，， 根据勾股定理得，， ∴观光电瓶车的速度为， ， 这辆观光电瓶车超速了． ※6.为了美化城市，洒水车需要在一条长为的重要路段段以50米分钟行驶进行洒水，在洒水的同时会播放音乐进行提醒．如图，学校位于点C位置，洒水车由A向B移动，学校与路段上的两个路口A、B的距离分别为，经测量，发现在及以内的会受到音乐的影响． (1)求点C到路段的距离； (2)判断学校是否会受到影响？若不会受到影响，请说明理由；若会受到影响，请求出受多长时间影响． （1）解：如图，过点C作于D， ， 是直角三角形，且， ， ， ， 答：点C到路段的距离是； （2）解：学校C会受噪声影响，理由如下： ∵在及以内的会受到音乐的影响，学校到的最小距离为， ∴学校会受到影响， 当时，正好影响C学校， ， ，， ， ， ∵洒水车的行驶速度为50米分钟， （分钟）， 影响该学校持续的时间有4分钟． 7.（2025·山东东营·中考真题）如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置处摆绳与地面垂直，摆绳长，向前荡起到最高点处时距地面高度，摆动水平距离为，然后向后摆到最高点处．若前后摆动过程中绳始终拉直，且与成角，则小丽在处时距离地面的高度是（   ） A． B． C． D． 解：如图，过点作于点，摆绳与地面的垂点为， 由题意可知，，，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 即小丽在处时距离地面的高度是， 故选：A． ※8.台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图所示，有一台风中心沿东西方向由向移动，已知点为一海港，且点与直线上的两点，的距离分别为：，，，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)请计算说明海港会受到台风的影响； (2)若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ （1）解：如图，过点作于点 ∵，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵以台风中心为圆心周围以内为受影响区域，， ∴海港会受台风影响； （2）解：当，时，台风在上运动期间会影响海港， 在中，，ED=70km， ∴， ∵台风的速度为20千米/小时， ∴（小时）， 答：台风影响该海港持续的时间为7小时． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$