1.3 勾股定理的应用（教学设计）数学北师大版2024八年级上册

1.3 勾股定理的应用 教学设计 1.教学内容 本节课是北师大版《义务教育教科书•数学》八年级上册（以下统称“教材”）第一章“勾股定理”1.3 勾股定理的应用，内容包括：①运用勾股定理解决简单的几何计算问题；②建立数学模型（直角三角形），将实际问题（如测量、工程）转化为数学问题，再运用勾股定理及其逆定理解决问题． 2.内容解析 本节是勾股定理及其逆定理学习的自然延伸和落脚点，核心在于应用：熟练运用勾股定理（求直角边或斜边）及其逆定理（判断直角三角形），并结合基本的几何图形性质（如等腰三角形、矩形、菱形、对称性等）解决问题。它体现了数学来源于生活又服务于生活的理念，展示了勾股定理作为解决几何和实际问题的强大工具作用。 3.数学思想方法 ·数形结合：利用图形直观分析数量关系。 ·转化思想：将复杂或不规则图形问题转化为直角三角形问题。 ·方程思想：根据已知条件，巧设未知量，列方程解决问题。 ·数学建模：将实际问题抽象为数学模型——直角三角形。 根据以上分析，确定本节课的教学重点：灵活运用勾股定理及其逆定理解决实际问题和几何计算问题。 1.教学目标 （1）能够综合运用勾股定理、逆定理以及基本几何知识解决简单的实际应用问题，解决几何图形中的计算问题；掌握将实际问题转化为直角三角形模型求解的基本步骤。 （2）经历分析实际问题、抽象数学模型、运用数学知识求解、验证解释结果的全过程，增强数学应用意识和形成直角三角形的模型观念；通过解决具体问题，体会数形结合、转化与化归的数学思想方法；在合作探究中发展分析问题、解决问题的能力。 （3）感受勾股定理的文化价值及其在解决实际问题中的广泛应用，体会数学的实用性和工具性；感受数学与生活的密切联系，认识到数学是认识和改造世界的有力工具。 2.目标解析 （1）①面对几何图形中的计算题（如求高、求对角线、求最短路径等），能识别或构造出包含未知量的直角三角形，并正确列方程求解；②面对实际问题（如测量、工程），能提取关键信息，抽象出数学模型（直角三角形），明确已知量和未知量，选择合适的定理求解。. ​ （2）①学生在解决应用问题时，能有意识地经历“阅读审题→提取信息→画图建模→确定关系（选择定理）→列式求解→检验作答”的步骤；②在复杂图形中，能通过添加辅助线（如作高）构造出可解的直角三角形；③能清晰表达解题思路。. ​ （3）在解决问题的过程中表现出积极性和探索精神，对利用数学解决实际问题产生兴趣.。 ·知识与能力基础：①学生已熟练掌握勾股定理及其逆定理的内容、证明和应用条件（判定Rt△），具备基本的几何图形（三角形、四边形）性质和计算能力（平方、平方根、解方程）；②了解一些基本的测量常识；③具备一定的逻辑推理、计算和空间想象能力，但将实际问题抽象为数学模型的能力普遍较弱，分析复杂图形、构造辅助线的能力有待提高。 ·认知特点：大部分学生对文字描述的实际问题可能存在理解障碍；不同学生将实际问题抽象为数学模型的能力水平差距较大。 ·潜在困难与教学策略 结合学生的认知特点分析分析在教学过程中学生会遇到以下困难：①难以从实际问题或复杂图形中识别出关键的直角三角形；②不善于添加辅助线构造所需的直角三角形；③对题意理解不清，不能准确找出所有已知条件和所求目标；④计算错误（特别是涉及平方、开方、方程）；⑤忽略实际问题的意义和合理性（如解出负根或不符合实际的解）。 根据以上分析确定下面的教学策略：①采用启发式、探究式教学；②通过典型例题示范建模过程，引导学生总结解题步骤；③设置由易到难、层次分明的问题链；④加强学生画图分析习惯的培养，鼓励动手操作（如折纸、制作模型）；⑤提供丰富的实际背景素材，激发兴趣；⑥重视解题后的反思和检验。 基于以上分析，确定本节课的教学难点：①从实际问题中抽象出恰当的直角三角形模型；②在复杂图形中识别或构造所需的直角三角形；③准确理解题意，找准已知量和未知量之间的关系。 1.问题引入 装修工人李叔叔想检测某块装修用砖(如图1-16)的边AD和边BC是否分别垂直于底边AB。 (1)如果李叔叔随身只带了卷尺，那么你能替他想办法完成任务吗? 答：测量AD、AB和BD的长度，若满足AD2+AB2=BD2，则AD⊥AB。 (2)李叔叔测得边AD长30cm，边AB长40cm，点B、D之间的距离是50cm，边AD垂直于边AB吗? 答：∵302=402=2500=502，∴AD2+AB2=BD2，∴∠BAD=90°，∴AD⊥AB。 (3)如果李叔叔随身只带了一个长度为20 cm的刻度尺，那么他能检验边AD是否垂直于边AB吗？ 答：通过分段测量，并累加长度得到AD、AB和BD的实际长度，再验证是否满足勾股定理。 2.上述解题过程用了什么知识？解决了什么问题？ 答：勾股定理逆定理，由三边关系判断Rt△。 今天我们就来学习如何应用勾股定理和其逆定理去解决现实世界和几何王国中的各种问题！揭示课题：《勾股定理的应用》。 （设计意图：①利用生动丰富的现实情境激发学习兴趣和求知欲，体会数学的实用价值；②通过复习快速唤醒已有知识，为应用做好铺垫；③自然引出课题，明确学习方向。） 3.学习目标 （1）能够运用勾股定理计算直角三角形的边长，运用勾股定理的逆定理判断三角形是否为直角三角形； （2）能够综合运用勾股定理、逆定理以及基本几何知识解决简单的实际应用问题，解决几何图形中的计算问题； （3）掌握将实际问题转化为直角三角形模型求解的基本步骤。 探究点（一）几何图形中的计算(折叠问题) 尝试思考：正方形纸片ABCD的边长为8cm，点AE是边AD的中点，将这个正方形纸片翻折，使点C落到点E处，折痕交边AB于点G,交边CD于点F，你能求出DF的长吗? ①读题画图： 明确图形（正方形ABCD），标注AD=CD=8cm，ED=4cm，EF=CF； ②寻找/构造Rt△：Rt△DEF。 ③选择定理：∵EF+DF=CD=8cm，ED=4cm，∴在Rt△EFD中可用勾股定理；H ④列式：在Rt△ABD中，设DF=x，EF=8-x，EF²= DF²+DE²，(8-x)²= x²+4² ⑤求解： 化简解方程x=3，∴DF长为3cm。 （设计意图：从特殊的等腰直角三角形入手降低起点，采取从特殊到一般的思想方法：从等腰直角三角形入手，分析直角三角形的直角边和斜边的关系） （教学建议： 强调步骤： 画图→找Rt△→用定理→列方程→求解→作答。） 探究点（二）构造直角三角形解实际问题 例题教学（芦苇长问题）：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐。问水深、葭长各几何? (选自《九章算术》) 题目大意：有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形。在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺。如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面。这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少?①读题抽象：水面宽1丈（10尺），水深未知，中央芦苇比水深多1尺，需用方程解题； ②画图建模：如图，用长方形表示水池纵截面，作取中点O作水面所在直线的垂线段OB，交点为A，OA为水池深度； ③构造Rt△：根据题意连接OC即芦苇长，在Rt△AOC中，两直角边5、OA，斜边OC； ④选择定理： 已知两直角边求斜边，适用勾股定理； ⑤列式求解：设OA为x，OC为x+1； ⑥作答。 解:设水池的深度OA为x尺，则芦苇的长度OB(OC)为x+1尺，由于芦苇位于水池中央，所以AC为5尺。在Rt△OAC中，由勾股定理，可得AC2+ OA2= OC2, 即52+x2=(x+1)2。 解得x=12。 12+1=13。 因此，水池的深度是12尺，芦苇的长度是13尺。 （设计意图：①示范建模过程，清晰展示应用勾股定理解决计算问题的基本思路和方法，特别是如何识别或构造直角三角形；②渗透建模思想，重点示范如何从实际情境中抽象出数学模型（直角三角形）；③突破基础难点，解决学生在几何图形中找Rt△和实际问题中抽象Rt△的初步困难。） （教学建议：①强调“实际问题→数学问题→数学解决→实际解释”的完整链条；②规范解题步骤，引导学生明确解决此类问题的通用步骤（审题画图、建模/构造、选定理、列式、求解、检验作答）。 ） 题型一.旗杆长问题/大树折断问题 例1．八年2班数学课外活动小组的同学测量学校旗杆的高度时，发现升旗的绳子（无弹性）长度比旗杆多1米，当他们把绳子拉直，绳子末端刚好接触地面时，此时绳子末端与旗杆的距离为5米，求旗杆AB的高度． 方法点拨：将旗杆，绳子与地面构成直角三角形，根据题中数据，用勾股定理即可解答． 解：设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为(x+1)米(x>1)． 在Rt△ABC中，∠B=90°， 根据勾股定理得AB2+BC2=AC2． ∴x2+52=(x+1)2， 解得：x=12， 答：旗杆的高度为12米． （设计意图：应用勾股定理解决情景中的问题，加深学生们对勾股定理的理解，形成勾股定理的应用意识） 变式1．如图，由于大风，山坡上的树甲从点A处被拦腰折断（AB⊥地面），其树顶端恰好落在树乙（乙⊥地面）的根部C处．若AB=4米，BC=13米，两棵树的水平距离为12米，则树甲折断前的高度为 米． 方法点拨：本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，延长AB，过点C作CD⊥AB延长线于点D， 解：如图所示：过点C作CD⊥AB交AB延长线于点D，则∠D=90°， 由题意可得：BC=13m，DC=12m， 故BD2=132-122=25=52， ∴AD=4+5=9m， 则AC2=AD2+CD2=92+122=225=152， 故AC+AB=15+4=19m， 故答案为：19． 题型二.航海问题 例2.如图，某港口位于东西方向的海岸线上．“惠州”号、“中山”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“惠州”号每小时航行10海里，“中山”号每小时航行7.5海里．它们离开港口2h后相距25海里．如果知道“惠州”号沿东北方向航行，能知道“中山”号沿哪个方向航行吗？ 方法点拨：解题的重点主要是能够根据勾股定理的逆定理发现直角三角形，关键是从实际问题中抽象出直角三角形．求出OA，OB的长，利用勾股定理逆定理以及方向角即可得到“中山”号航行方向． 解：由题意可得：OA=7.5×2=15(海里)，OB=10×2=20(海里)，AB=25海里， ∵152+202=252， ∴∠AOB=90°， ∵“惠州”号沿东北方向航行，即沿北偏东45°方向航行， ∵∠BOC=45°， ∴∠AOC=∠AOB -∠BOC=90°- 45°=45°． “中山”号沿北偏西45°（或西北）方向航行． （教学建议：①数学建模：抽象出△OAB，求OA和OB；②运用勾股定理逆定理判断Rt△．） 题型三.两地之间选址问题 例3.如图，某地方政府决定在相距50km的A，B两站之间的公路旁E点，修建一个土特产加工基地，且使C、D两村到点E的距离相等，已知DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，DA=30km，CB=20km，那么基地E应建在离A站多少的地方？ 方法点拨：本题考查勾股定理的应用，设AE=xkm，得到BE=(50-x)km，根据勾股定理结合C、D两村到点E的距离相等，列出方程进行求解即可． 解：由题意，得：AB=50km，∠DAE=∠EBC=90°，CE=DE， 设AE=xkm，则：BE=(50-x)km， 在Rt△EAD中，DE2=AD2+AE2， 在Rt△EBC中，CE2=BC2+BE2， ∵CE=DE，DA=30km，CB=20km， ∴AD2+AE2=BC2+BE2，即：302+x2=202+(50-x)2， 解得：x=20， ∴AE=20km， ∴基地E应建在离A站20km的地方． 题型四.判断/决策类问题 例4.为了进一步规范道路交通秩序，厦门市公安交通管理局决定自2024年6月17日零时起，下调海沧隧道主线机动车行驶最高限速值，即小型汽车限速值由90km/h调整为80km/h、大型汽车限速值由80km/h调整为70km/h．如图，一辆小汽车在隧道内沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A处的正前方120m 的C处（即AC=120m），过了8s小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为200m． (1)求BC的长； (2)这辆小汽车在BC段是否超速行驶？请说明理由．（参考数据：1m/s=3.6km/h） （1）解：由题意可得：AC=120，AB=200，∠ACB=90°， ∴BC2=2002-1202=160(m)； （2）解：结合（1）可得小汽车的速度为v=160÷8=20(m/s)=20×3.6(km/h)=72(km/h)； ∵72(km/h)<80(km/h)； ∴这辆小汽车没有超速行驶． 答：这辆小汽车没有超速． （一）P14随堂练习 五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，如图所示的三个图形中哪个是正确的？ 解：（1）72+242=625=252，152+202=625，242=576，625≠576，∴（1）不正确； （2）72+242=625=252=152+202，∴（2）正确；（3）不正确 (二)补充练习 1．市面上有许多自带勺子的水杯，为了方便用户使用，勺子一般需要漏出杯子一部分．如图是某款自带勺子的水杯的简化图，杯身是一个圆柱形，水杯的内径是，水杯的内侧高度为，若勺子的长度为，则勺子漏出杯子的部分至少为（   ） A． B． C． D． 解：如图，当恰好是水杯的内径，时，勺子在水杯内的长度最长，勺子漏出杯子的部分最短． 由题意得：， ∴在中，，AC=10cm， ∴， ∴勺子漏出杯子的部分至少为， 故选：A． 2.如图，客船以24海里/时的速度从港口A向东北方向航行，货船以18海里/时的速度同时从港口A向东南方向航行，则2小时后两船相距 海里． 解：设两艘船航行2小时后分别到达B、C的位置，连接，如图所示： ∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向， ∴， 两小时后，两艘船分别行驶了（海里），（海里）， 根据勾股定理得：（海里）， ∴2小时后两船相距60海里． 故答案为：60． 3．在中，，，，D，E分别是斜边和直角边上的点．把沿着折叠，顶点B的对应点落在直角边上，且．求的长． 解：，， 设，则， 由折叠知， ，， ， 在中，由勾股定理得：， ， 解得， 即的长为． 4．如图，将长为，宽为的长方形纸片折叠，使点落在边的中点处，压平后得到折痕，则线段的长为 ． 解：如图①，连接，，， ∵将长为，宽为的长方形纸片折叠，使点B落在边的中点E处，压平后得到折痕， ∴垂直平分，，， ∴，， 设，则，   在和中， ∴， 即， 解得． 故线段的长为． 故答案为：． 5.为了方便游客在景区内游玩，某景区开通了一种观光电瓶车．景区规定，观光电瓶车在景区道路上行驶的速度不得超过．在一条笔直的景区道路上，某一时刻观光电瓶车刚好行驶到路边测速仪处的正前方的处，过了后，测得观光电瓶车与测速仪之间的距离为．这辆观光电瓶车超速了吗？ 解：在中，，， 根据勾股定理得，， ∴观光电瓶车的速度为， ， 这辆观光电瓶车超速了． （教学建议：①独立完成练习；②应用课堂所学方法和步骤（审题、画图、建模/构造、选定理、列式、求解、检验）；③教师巡视可及时了解学生学习效果，发现共性问题当堂解决。） 为了美化城市，洒水车需要在一条长为的重要路段段以50米分钟行驶进行洒水，在洒水的同时会播放音乐进行提醒．如图，学校位于点C位置，洒水车由A向B移动，学校与路段上的两个路口A、B的距离分别为，经测量，发现在及以内的会受到音乐的影响． (1)求点C到路段的距离； (2)判断学校是否会受到影响？若不会受到影响，请说明理由；若会受到影响，请求出受多长时间影响． （1）解：如图，过点C作于D， ， 是直角三角形，且， ， ， ， 答：点C到路段的距离是； （2）解：学校C会受噪声影响，理由如下： ∵在及以内的会受到音乐的影响，学校到的最小距离为， ∴学校会受到影响， 当时，正好影响C学校， ， ，， ， ， ∵洒水车的行驶速度为50米分钟， （分钟）， 影响该学校持续的时间有4分钟． （设计意图：①及时巩固，通过练习强化本节课所学知识和技能，特别是应用勾股定理解决实际和几何问题的基本方法；②分层落实，基础题确保全体学生掌握核心应用（直接求边长、简单组合图形），提高题满足学有余力学生需求，深化建模和空间能力。） （2025·山东东营·中考真题）如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置处摆绳与地面垂直，摆绳长，向前荡起到最高点处时距地面高度，摆动水平距离为，然后向后摆到最高点处．若前后摆动过程中绳始终拉直，且与成角，则小丽在处时距离地面的高度是（   ） A． B． C． D． 解：如图，过点作于点，摆绳与地面的垂点为， 由题意可知，，，， ， ， ， ， ，，， 在和中， ， ， ， ， 即小丽在处时距离地面的高度是， 故选：A． 1.本节课我们主要学习了勾股定理在哪些方面的应用？ 答：几何图形计算、实际问题解决 2.解决应用问题的关键步骤是什么？ 答：审题→画图/抽象→建模[找/构Rt△]→选定理→列式→求解→检验→作答 3.在建模过程中，我们常用到哪些方法？ 答：识别图形中已有的Rt△；作辅助线构造Rt△如作高；将实际问题转化为几何图形如矩形、梯子模型；将立体图形展开成平面图形 4.你体会到了哪些重要的数学思想？ 答：数形结合、数学建模、转化与化归 （设计意图：①系统梳理： 帮助学生整合本节课的核心知识、方法模型、解题步骤和数学思想，形成结构化认知；②升华思想： 强调数学建模和转化思想的核心地位，提升数学素养；③强化重点： 再次强调解决应用问题的一般步骤和注意事项。） （教学建议：①带领学生梳理知识脉络，回顾典型例题和解题方法；②让学生反思学习收获、遇到的困难和解决策略；③鼓励学生踊跃发言，分享应用勾股定理的实例或体会。） 1. 基础必做题：教材P14-15，习题§1.3 第1、2、3题； 2. 能力提升题：补充选做作业 台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图所示，有一台风中心沿东西方向由向移动，已知点为一海港，且点与直线上的两点，的距离分别为：，，，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)请计算说明海港会受到台风的影响； (2)若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ （1）解：如图，过点作于点 ∵，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴，∴， ∵以台风中心为圆心周围以内为受影响区域，， ∴海港会受台风影响； （2）解：当，时，台风在上运动期间会影响海港， 在中，，ED=70km， ∴， ∵台风的速度为20千米/小时，∴（小时）， 答：台风影响该海港持续的时间为7小时． 3. 预习作业：预习教材P16-17问题解决策略：反思。 1.3勾股定理的应用 一、核心思想：建模 & 转化 实际问题/几何问题 → 抽象/构造 → 直角三角形模型 → 应用(定)理 → 求解 → 回归解释 二、例题(二) 实际问题解决 读题画图：设水池的深度OA为x尺，则芦苇的长度OB(OC)为x+1尺，由于芦苇位于水池中央，所以AC为5尺。 构造Rt△与运用定理：在Rt△OAC中，由勾股定理，可得AC2+ OA2= OC2，即52+x2=(x+1)2。 解得x=12，12+1=13。 水池的深度是12尺，芦苇的长度是13尺。 (一) 几何图形中的计算(折叠问题) ①读题画图： 明确图形（正方形ABCD）， 标注AD=CD=8cm，ED=4cm，EF=CF； ②寻找/构造Rt△：Rt△DEF。 ③选择定理：∵EF+DF=CD=8cm，ED=4cm， ∴在Rt△EFD中可用勾股定理； ④列式：在Rt△ABD中，设DF=x，EF=8-x， ∴EF²= DF²+DE²，(8-x)²= x²+4² ⑤求解： 化简解方程x=3，∴DF长为3cm。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$