2.4-（配套练习）【精讲精练】2026年高考数学一轮复习（人教A版）

[对应学生用书P283] A级　基础过关 1．如果奇函数f(x)在[3，7]上单调递增且最小值为5，那么f(x)在[－7，－3]上(　　) A．单调递增且最小值为－5 B．单调递减且最小值为－5 C．单调递增且最大值为－5 D．单调递减且最大值为－5 解析　奇函数的图象关于原点对称，因为奇函数f(x)在[3，7]上单调递增且最小值为5，所以f(x)在[－7，－3]上单调递增且最大值为－5，故选C. 答案　C 2．已知奇函数f(x)的图象关于直线x＝1对称且f(1)＝1，则f(2025)＝(　　) A．－1 B．1 C．0 D．3 解析　∵f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴f(－x)＝f(x＋2)，又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)是周期为4的周期函数，∴f(2025)＝f(1)＝1. 答案　B 3．已知函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝2－f(x)，若函数y＝与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则 (xi＋yi)＝(　　) A．0 B．m C．2m D．4m 解析　∵f(x)＋f(－x)＝2，y＝＝1＋，∴函数y＝f(x)与y＝的图象都关于点(0，1)对称，∴xi＝0，yi＝×2＝m，∴ (xi＋yi)＝0＋m＝m. 答案　B 4．已知f(x)是定义域为R的偶函数，f(5.5)＝2，g(x)＝(x－1)f(x)，若g(x＋1)是偶函数，则g(－0.5)＝(　　) A．－3 B．－2 C．2 D．3 解析　因为g(x＋1)是偶函数，所以g(x)的图象关于直线x＝1对称，又g(x＋1)＝xf(x＋1)，所以f(x＋1)是奇函数，所以f(x)的图象关于点(1，0)对称，又f(x)为偶函数，所以f(x)的周期T＝4，所以f(－0.5)＝f(0.5)＝－f(1.5)＝－f(5.5)＝－2，所以g(－0.5)＝－1.5×f(－0.5)＝3. 答案　D 5．(多选)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意实数x，恒有f(2－x)＝f(x)成立，且f(1)＝1，则(　　) A．(1，0)是函数f(x)的一个对称中心 B．函数f(x)的一个周期是4 C．f(3)＝－1 D．f(2)＝0 解析　因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，f(x)关于(0，0)对称，因为f(2－x)＝f(x)，所以f(x)关于直线x＝1对称，f(x＋4)＝f(x)，且f(1)＝1，所以函数f(x)的周期为4，f(3)＝f(－1)＝－1，f(2)＝f(0)＝0.故选BCD. 答案　BCD 6．(多选)已知函数f(x)的定义域为R，对任意实数x，y满足f(x)＋f(y)＝f(x＋y)＋1，且f(1)＝0，当x＞1时，f(x)＜0，则下列结论正确的是(　　) A．f(0)＝1 B．f(－1)＝2 C．y＝f(x)－1为奇函数 D．f(x)为增函数 解析　对于选项A，令x＝y＝0，得f(0)＝1，故选项A正确；对于选项B，令x＝－1，y＝1，得f(－1)＝2，故选项B正确；对于选项C，令y＝－x，得f(x)＋f(－x)＝2，故f(x)－1＋f(－x)－1＝0，所以y＝f(x)－1为奇函数，故选项C正确；对于选项D，因为 f(0)＞f(1)，所以f(x)不是增函数，故选项D错误．故选ABC. 答案　ABC 7．已知f(x)是定义在R上以3为周期的偶函数，若f(1)＜1，f(5)＝2a－3，则实数a的取值范围为________． 解析　∵f(x)是定义在R上的周期为3的偶函数，∴f(5)＝f(5－6)＝f(－1)＝f(1)，∵f(1)＜1，∴f(5)＝2a－3＜1，即a＜2. 答案　(－∞，2) 8．已知f(x)为定义在[－1，1]上的偶函数，且在[－1，0]上单调递减，则满足不等式f(2a)＜f(4a－1)的a的取值范围是________． 解析　因为f(x)为定义在[－1，1]上的偶函数，且在[－1，0]上单调递减，所以f(x)在[0，1]上单调递增，所以－1≤2a≤1，－1≤4a－1≤1，|2a|＜|4a－1|，所以0≤a＜. 答案　 B级　能力提升 9．(2025·郑州模拟)已知对于每一对正实数x，y，函数f(x)满足：f(x)＋f(y)＝f(x＋y)－xy－1，若f(1)＝1，则满足f(n)＝n(n∈N)的n为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析　令y＝1，则f(x＋1)＝f(x)＋x＋2，即f(x＋1)－f(x)＝x＋2，所以f(x)－f(x－1)＝x＋1，f(x－1)－f(x－2)＝x，…，f(2)－f(1)＝3，累加得f(x)－f(1)＝，则f(x)＝－1，所以f(n)＝－1，又f(n)＝n，解得n＝－2或n＝1，又n∈N，所以n＝1.故选A． 答案　A 10．已知函数f(x)的定义域为R，g(x)＝f(2－x)－f(2＋x)，h(x)＝f(2－x)＋f(x)，则下述结论正确的是(　　) A．g(x)的图象关于点(1，0)对称 B．g(x)的图象关于y轴对称 C．h(x)的图象关于直线x＝1对称 D．h(x)的图象关于点(1，0)对称 解析　因为函数f(x)的定义域为R，且g(x)＝f(2－x)－f(2＋x)，所以g(2－x)＝f(2－(2－x))－f(2＋(2－x))＝f(x)－f(4－x)，则g(x)＋g(2－x)不一定为0，所以函数g(x)的图象不一定关于点(1，0)对称，选项A错误；g(－x)＝f(2＋x)－f(2－x)，即g(－x)＝－g(x)，所以函数g(x)为奇函数，则函数g(x)的图象不一定关于y轴对称，选项B错误；因为h(x)＝f(2－x)＋f(x)，所以h(2－x)＝f(2－(2－x))＋f(2－x)＝f(x)＋f(2－x)，所以h(2－x)＝h(x)，所以函数h(x)的图象关于直线x＝1对称，所以选项C正确，选项D错误．故选C. 答案　C 11．(多选)已知函数f(x)的定义域为R，对任意x都有f(2＋x)＝f(2－x)，且f(－x)＝f(x)，则下列结论正确的是(　　) A．f(x)的图象关于直线x＝2对称 B．f(x)的图象关于点(2，0)对称 C．f(x)的周期为4 D．y＝f(x＋4)为偶函数 解析　∵f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称，故A正确，B错误； ∵函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，则f(－x)＝f(x＋4)，又f(－x)＝f(x)，∴f(x＋4)＝f(x)，∴T＝4，故C正确；∵T＝4且f(x)为偶函数，故y＝f(x＋4)为偶函数，故D正确． 答案　ACD 12．(多选)函数y＝f(x)的图象关于点M(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数，给出下列四个结论，其中正确的是(　　) A．f(x)＝x＋－1图象的对称中心是(2，1) B．f(x)＝x＋－1图象的对称中心是(2，－1) C．类比可得函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a成轴对称图形的充要条件是y＝f(x＋a)为偶函数 D．类比可得函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a成轴对称图形的充要条件是y＝f(x－a)为偶函数 解析　y＝x＋是奇函数，其图象的对称中心为(0，0)，将y＝x＋的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度可得f(x)＝x－2＋＋1＝x＋－1的图象，所以f(x)＝x＋－1图象的对称中心是(2，1)，故A正确，B不正确；若函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a成轴对称图形，则将其图象向左平移a个单位长度可得y＝f(x＋a)的图象，y＝f(x＋a)的图象关于直线x＝0，即y轴对称，所以y＝f(x＋a)为偶函数，反之也成立，故C正确，D不正确．故选AC. 答案　AC 13．已知f(x)是定义在R上的偶函数且f(0)＝2，g(x)＝f(x－1)是奇函数，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2025)＝________． 解析　∵f(x)是R上的偶函数，且g(x)＝f(x－1)为奇函数，∴f(x)的图象关于点(－1，0)对称，f(x－1)＝－f(－x－1)＝－f(x＋1)，∴f(x＋1)＝－f(x－1)，f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x)的周期为4.∵f(0)＝2，∴f(1)＝f(－1)＝0，f(2)＝－f(0)＝－2，f(3)＝－f(1)＝0，f(4)＝－f(2)＝2，∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2025)＝[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]×506＋f(1)＝0. 答案　0 14．已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋2)为偶函数，f(x)在[2，＋∞)上单调递减，则不等式f(－x2)＞f(－1)的解集为________． 解析　∵f(x＋2)是偶函数， ∴f(x＋2)的图象关于直线x＝0对称， ∴f(x)的图象关于直线x＝2对称， 又f(x)在[2，＋∞)上单调递减， ∴f(x)在(－∞，2]上单调递增． 又－x2，－1∈(－∞，2]，f(－x2)＞f(－1)， ∴－x2＞－1，即x2＜1，∴－1＜x＜1， ∴原不等式的解集为(－1，1). 答案　(－1，1) C级　拓广探索 15．(多选)已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)，g(x)在(－∞，0]上单调递减，则(　　) A．f(f(1))＜f(f(2)) B．f(g(1))＜f(g(2)) C．g(f(1))＜g(f(2)) D．g(g(1))＜g(g(2)) 解析　因为f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数与奇函数，且两函数在(－∞，0]上单调递减，所以f(x)在[0，＋∞)上单调递增，g(x)在[0，＋∞)上单调递减，即g(x)在R上为减函数，所以f(1)＜f(2)，g(2)＜g(1)＜g(0)＝0，所以f(g(1))＜f(g(2))，g(f(1))＞g(f(2))，g(g(1))＜g(g(2))，故B、D正确，C不正确；若f(1)＜f(2)＜0，则f(f(1))＞f(f(2))，故A不正确．综上所述，故选BD. 答案　BD 16．对于定义域为D的函数y＝f(x)，如果存在区间[m，n]⊆D，同时满足①f(x)在[m，n]内是单调函数；②当定义域是[m，n]时，f(x)的值域也是[m，n]，则称[m，n]是该函数的“优美区间”． (1)求证：[0，2]是函数f(x)＝x2的一个“优美区间”； (2)求证：函数g(x)＝4＋不存在“优美区间”． 证明　(1)f(x)＝x2在区间[0，2]上单调递增， 又f(0)＝0，f(2)＝2， ∴f(x)＝x2的值域为[0，2]， ∴区间[0，2]是f(x)＝x2的一个“优美区间”． (2)设[m，n]是已知函数g(x)的定义域的子集． 由x≠0，可得[m，n]⊆(－∞，0)或[m，n]⊆(0，＋∞)， ∴函数g(x)＝4＋在[m，n]上单调递减． 假设[m，n]是已知函数的“优美区间”， 则两式相减得，－＝n－m. 则＝n－m，∵n＞m，∴mn＝6，∴n＝， 则4＋＝，显然等式不成立， ∴函数g(x)＝4＋不存在“优美区间”． 学科网（北京）股份有限公司 $$