1. 1 探索勾股定理 预习学案 2025--2026学年北师大版八年级数学上册

2025年秋季北师大版数学八年级上册 知识点及基础题预习 第一章 勾股定理 1. 探索勾股定理 知识点预习 1. 探索活动（核心环节）： 网格法：在方格纸上画出特定的直角三角形（通常是两直角边为整数）。分别以这个直角三角形的三条边为边长，向外作正方形。计算每个正方形的面积（可以通过数小方格个数、利用正方形面积公式、或割补法）。 观察并计算： 计算两条直角边（和）上的正方形面积之和 ()，再计算斜边（）上的正方形面积 ()。 发现规律： 通过计算多组不同大小的直角三角形（例如常见的 3-4-5, 5-12-13, 6-8-10 等），归纳出规律：两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形面积。即 。 割补法（验证）：对由直角三角形三边构成的正方形组合图形进行剪拼操作。目标是将两个较小的正方形（直角边上的）切割并重新拼合成一个大的正方形。如果能成功拼成一个与斜边上正方形面积相等的大正方形（不一定形状完全一样），则直观地验证了的关系。 2. 勾股定理的初步表述： 总结出定理的核心内容：如果直角三角形的两条直角边长分别为 和 ，斜边长为 ，那么。 关键点强调：必须是直角三角形。 分清边： 和 代表直角边， 代表斜边（最长的边）。 关系本质：两直角边的平方和等于斜边的平方 ()。 3. 定理的命名与历史背景（简要提及）： 这个定理在中国古代被称为“勾股定理”或“商高定理”。在西方被称为“毕达哥拉斯定理 (Pythagoras Theorem)”。 4. 初步应用（简单计算）： 在已知直角三角形任意两边长度时，能利用 求第三边的长度。 题型1. 已知两直角边 a ，b，求斜边 题型2. 已知一直角边 和斜边，求另一直角边 注意： 计算通常涉及开平方运算，结果可能需要保留根号形式或根据要求取近似值。 5. 本节重点与难点： 重点： 通过网格面积计算和割补操作，亲身经历勾股定理的发现过程，理解并记住定理的内容及其适用条件（直角三角形）。 难点： 割补法的操作与理解（如何将两个小正方形割补成一个大正方形）；在计算中准确区分直角边和斜边；理解公式中代表的是面积（探索阶段）或长度的平方（应用阶段）。 6. 总结： 第一节的核心在于动手探索和归纳发现。通过具体的计算和操作活动（网格算面积、割补验证），直观地感受到直角三角形三边之间存在的平方和关系，从而得出勾股定理的初步结论，并开始进行最简单的应用计算。这一过程旨在培养学生的观察、归纳、动手实践能力和几何直观。 基础题预习 1、 选择题预习（30分） 1．我国是最早了解勾股定理的国家之一，早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三、股四、弦五”这一结论，被记载于我国古代一部著名的数学著作中，这部著作是（　　） A．《孙子算经》 B．《海岛算经》 C．《九章算术》 D．《周髀算经》 【解答】解：我国是最早了解勾股定理的国家之一，早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三、股四、弦五”这一结论，被记载于《周髀算经》之中． 故选：D． 2．在△ABC中，∠C＝90°，若AC＝8，AB＝10，则BC的长是（　　） A．7 B．6 C．5 D．2 【解答】解：在△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝8，AB＝10， ∴根据勾股定理得到：BC6， 故选：B． 3．已知直角三角形的两条边长分别为3和4，则这个直角三角形的第三边长为（　　） A．5 B．25 C．5或 D．12 【解答】解：根据直角三角形的两条边长分别为3和4，需要分两种情况求解： 当3和4为直角三角形的两条直角边时， 第三边长为； 当3为直角边，4为直角三角形的斜边时， 第三边长为， ∴这个直角三角形的第三边长为5或． 故选：C． 4．如图，在3×3的正方形网格中，若小正方形的边长是1，则任意两个格点间的距离不可能是（　　） A． B． C．3 D． 【解答】解：∵在3×3的正方形网格中，若小正方形的边长是1， ∴任意两个格点间的距离有2，，1，2，3，3，，， 故任意两个格点间的距离不可能是， 故选：A． 5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC、BC为边向外作正方形，面积分别记为S1、S2，以AB为斜边向外作等腰直角三角形，面积记为S3，则下列各式正确的是（　　） A．S1+S2＝S3 B．S1+S2＝2S3 C．2（S1+S2）＝S3 D．S1+S2＝4S3 【解答】解：在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2， 在Rt△ABD中，AD2+BD2＝AB2，即2BD2＝AB2， ∵S3BD2， ∴S1+S2＝4S3， 故选：D． 6．下面四幅图中，不能用面积验证勾股定理的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由题意知，3+4＝7≠5，所以四幅图中只有D选项中的图形不能用面积验证勾股定理， 综上所述，只有选项D正确，符合题意， 故选：D． 7．如图，我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的由四个全等的直角三角形可以围成一个大的正方形，人们称它为“赵爽弦图”．若一个直角三角形两直角边和为17，小正方形的面积为49，则图中大正方形的边长为（　　） A．17 B．15 C．13 D．10 【解答】解：如图，AE+EB＝17，S正方形EFGH＝49， ∴EF＝7， 设AE＝x，则BF＝AE＝x， ∴x+7+x＝17， ∴x＝5， ∴AE＝5，EB＝12， ∴在Rt△AEB中，AB13， 故选：C． 8．如图，在赵爽弦图中连接四条线段得到如图2的新的图案．如果图1中的直角三角形的长直角边为9，短直角边为4，图2中的阴影部分的面积为S，那么S的值为（　　） A．56 B．60 C．65 D．75 【解答】解：如图， 由题意可知，AB＝CD＝4，BC＝9， ∴BD＝BC﹣CD＝9﹣4＝5， 则中间小正方形的面积为5×5＝25， 小正方形的外阴影部分的， ∴阴影部分的面积为25+40＝65． 故选：C． 9．Rt△ABC中，斜边BC＝4，则AB2+BC2+AC2的值为（　　） A．12 B．22 C．32 D．无法计算 【解答】解：在Rt△ABC中，斜边BC＝4， ∴BC2＝AB2+AC2＝42＝16， ∴AB2+AC2+BC2＝16+16＝32， 故选：C． 10．有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（　　） A．1 B．2026 C．2025 D．2024 【解答】解：∵一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形， ∴“生长”1次，“生长”出的两个正方形面积和＝原来正方形的面积，所有正方形面积和为1+1＝2； “生长”2次，“生长”出的四个正方形面积和＝第一次“生长”出的两个正方形的面积，所有正方形的面积之和为2+1＝3； ……； ∴经过n次“生长”后形成的图形中所有正方形的面积和是n+1； ∴经过2025次“生长”后形成的图形中所有正方形的面积和是2026； 故选：B． 二、填空题 预习（24分） 11．已知直角三角形的两边长分别为5和12，则其斜边长为 　12或13　 ． 【解答】解：分两种情况：①当5和12为直角边长时， 由勾股定理得：斜边长； ②12为斜边长时，斜边长为12； 故答案为：12或13． 12．在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，则斜边AC的长为　5　 ． 【解答】解：由勾股定理得，AC5， 故答案为：5． 13．如图1，由五个边长为1的小正方形组成的卡纸，可以将它剪拼出一个大正方形，如图2所示，则这个大正方形的边长为 　　 ． 【解答】解：∵大正方形是由五个边长为1的小正方形组成的卡纸剪拼出的， ∴大正方形的面积为5， ∴这个大正方形的边长为， 故答案为：． 14．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C、E均在网格格点（网格线的交点）上，以点B为圆心，BE长为半径画弧交AC所在的网格线于点F，连接BF，则AF的长为　　 .（结果保留根号） 【解答】解：由题意得：BF＝BE＝4，AB＝3， 由勾股定理得：AF， 故答案为：． 15．如图所示的图形表示勾股定理的一种证明方法，该图形是由四个全等的直角三角形（阴影部分）与中间的空白部分组成．若正方形ABCD的边长为5，五边形AEFCD的面积是36，则图中空白部分的面积是　14　 ． 【解答】解：∵正方形ABCD的边长为5， ∴正方形ABCD的面积＝25， ∴两个全等的直角三角形的面积＝五边形AEFCD的面积是36﹣正方形ABCD的面积＝36﹣25＝11， ∴图中空白部分的面积＝正方形ABCD的面积﹣两个全等的直角三角形的面积＝25﹣11＝14， 故答案为：14． 16．已知Rt△ABC，斜边，面积为2，则AC+BC＝ 　3　 ． 【解答】解：∵S△ABCAC•BC＝2， ∴AC•BC＝4， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2＝（）2＝17， ∵AC2+BC2＝（AC+BC）2﹣2AC•BC， ∴（AC+BC）2＝AC2+BC2﹣2AC•BC＝17﹣2×4＝9， ∴AC+BC＝3（负值已舍去）， 故答案为：3． 三、解答题预习（46分） 17．如图，已知CD是△ABC中AB边上的高，AC＝10，CD＝8，BC＝3AD．求BC的长． 【解答】解：∵CD是△ABC中AB边上的高， ∴CD⊥AB， ∴∠ADC＝90°， 在Rt△ACD中，由勾股定理得： AD6， ∴BC＝3AD＝18， ∴BC的长为18． 18．如图，AD是△ABC的高，∠BAD＝45°，AC＝13cm，CD＝5cm． 求AD的长和△ABC的面积． 【解答】解：∵AD是△ABC的高， ∴∠ADC＝90°， ∴AD12（cm）， ∵∠BAD＝45°，∠ADC＝90°， ∴∠BAD＝∠ABD＝45°， ∴AD＝BD＝12cm， ∴BC＝BD+CD＝17（cm）， ∴△ABC的面积为：102（cm2）． 19．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都为1． （1）分别求出线段AB、AC、BC的长． （2）判断△ABC的形状，并说明你的理由． 【解答】解：（1）AB2，AC2，BC2； （2）△ABC是等腰三角形，理由如下： ∵AB＝2，BC＝2； ∴AB＝BC， ∴△ABC是等腰三角形． 20．在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16．点D是BC的中点，点E是线段BD上的动点，过点E作EF⊥BD交AB于点F．连结AE，若∠AEF＝∠B． （1）求证：AE⊥AC； （2）求DE的长． 【解答】（1）证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵EF⊥BD， ∴∠AEF+∠AED＝90°， ∵∠AEF＝∠B，∠B＝∠C， ∴∠C+∠AED＝90°， ∴∠EAC＝90°， ∴AE⊥AC； （2）解：∵∠EAC＝90°， ∴AE2+AC2＝CE2， ∵CE＝CD+DE＝DE+8， ∴AE2＝CE2﹣AC2＝（DE+8）2﹣102， ∵AB＝AC，点D是BC的中点， ∴BD＝DC16＝8，BC＝16，AD⊥BC， ∴AD6， 在Rt△ADE中，AE2＝AD2+DE2＝62+DE2， ∴（DE+8）2﹣102＝62+DE2， 解得：DE＝4.5． 21．如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积． 某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路，完成解答过程． （1）作AD⊥BC于D，设BD＝x，用含x的代数式表示CD，则CD＝　14﹣x　 ； （2）请根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”建立方程，并求出x的值； （3）利用勾股定理求出AD的长，再计算三角形的面积． 【解答】解：（1）∵BC＝14，BD＝x， ∴DC＝14﹣x， 故答案为：14﹣x； （2）∵AD⊥BC， ∴AD2＝AC2﹣CD2，AD2＝AB2﹣BD2， ∴132﹣（14﹣x）2＝152﹣x2， 解得：x＝9； （3）由（2）得：AD12， ∴S△ABC•BC•AD14×12＝84． 20. 如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，AD是△ABC的角平分线，AB＝12，AC＝8． （1）求△ABC的面积； （2）求AD的长． 【解答】解：（1）过C作CH⊥AB于H， ∴∠AHC＝90°， ∵∠CAH＝60°，AC＝8， ∴AHAC＝4， ∴CH4， ∴△ABC的面积AB•CH12×424； （2）过点D作DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，如图所示， ∵∠BAC＝60°，AD是△ABC的角平分线， ∴∠BAD＝∠CAD＝30°， ∴DE＝DF ∴S△ABC＝S△ABD+S△ACD AB•DEAC•DF 12×DE8×DF ＝24， ∴DE， ∴AD＝2DE． 21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AB、AC为边，往△ABC外侧作正方形ABDE、正方形ACFG．已知正方形ABDE、ACFG的面积分别为25、16． （1）求BC的长． （2）连结CE，求CE的长． 【解答】解：（1）∵正方形ABDE、ACFG的面积分别为25、16， ∴AB2＝25，AC2＝16， ∴AC＝4， ∵∠ACB＝90°， ∴BC3； （2）过E作EH⊥CA交CA的延长线于H， ∵四边形ABDE是正方形， ∴AB＝AE，∠BAE＝90°， ∵∠BAC+∠EAH＝∠AEH+∠EAH＝90°， ∴∠BAC＝∠AEH， ∵∠ACB＝∠AHE＝90°，AB＝EA， ∴△ABC≌△EAH（AAS）， ∴AH＝BC＝3，EH＝AC＝4， ∴CH＝AC+AH＝4+3＝7， ∴CE． 22．勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣． （1）如图1，这是美国第20任总统詹姆斯•加菲尔德的“总统证法”图形，∠A＝∠B＝∠CED＝90°，请推导勾股定理． （2）如图2，在△ABC中，AC＝10，BC＝17，AB＝21，CH⊥AB，垂足为H，求CH的长． 【解答】解：（1）∵A＝∠B＝∠CED＝90°， S梯形ABCD（a+b）（a+b）ab， S梯形ABCD＝S△ADE+S△BCE+S△CDEabab， ∴ababab， 整理得：a2+b2＝c2； （2）在△ABC中，AC＝10，BC＝17，AB＝21，CH⊥AB，垂足为H，设AH＝x， ∴BH＝AB﹣AH＝21﹣x， ∴△ACH和△BCH都是直角三角形， 在Rt△ACH中，由勾股定理得：CH2＝AC2﹣AH2， 在Rt△BCH中，由勾股定理得：CH2＝BC2﹣BH2， ∴AC2﹣AH2＝BC2﹣BH2， ∵AC＝10， 则102﹣x2＝172﹣（21﹣x）2， 解得x＝6， 即AH＝6， 在Rt△ACH中，由勾股定理，得：CH8． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年秋季北师大版数学八年级上册 知识点及基础题预习 第一章 勾股定理 1. 探索勾股定理 知识点预习 1. 探索活动（核心环节）： 网格法：在方格纸上画出特定的直角三角形（通常是两直角边为整数）。分别以这个直角三角形的三条边为边长，向外作正方形。计算每个正方形的面积（可以通过数小方格个数、利用正方形面积公式、或割补法）。 观察并计算： 计算两条直角边（和）上的正方形面积之和 ()，再计算斜边（）上的正方形面积 ()。 发现规律： 通过计算多组不同大小的直角三角形（例如常见的 3-4-5, 5-12-13, 6-8-10 等），归纳出规律：两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形面积。即 。 割补法（验证）：对由直角三角形三边构成的正方形组合图形进行剪拼操作。目标是将两个较小的正方形（直角边上的）切割并重新拼合成一个大的正方形。如果能成功拼成一个与斜边上正方形面积相等的大正方形（不一定形状完全一样），则直观地验证了的关系。 2. 勾股定理的初步表述： 总结出定理的核心内容：如果直角三角形的两条直角边长分别为 和 ，斜边长为 ，那么。 关键点强调：必须是直角三角形。 分清边： 和 代表直角边， 代表斜边（最长的边）。 关系本质：两直角边的平方和等于斜边的平方 ()。 3. 定理的命名与历史背景（简要提及）： 这个定理在中国古代被称为“勾股定理”或“商高定理”。在西方被称为“毕达哥拉斯定理 (Pythagoras Theorem)”。 4. 初步应用（简单计算）： 在已知直角三角形任意两边长度时，能利用 求第三边的长度。 题型1. 已知两直角边 a ，b，求斜边 题型2. 已知一直角边 和斜边，求另一直角边 注意： 计算通常涉及开平方运算，结果可能需要保留根号形式或根据要求取近似值。 5. 本节重点与难点： 重点： 通过网格面积计算和割补操作，亲身经历勾股定理的发现过程，理解并记住定理的内容及其适用条件（直角三角形）。 难点： 割补法的操作与理解（如何将两个小正方形割补成一个大正方形）；在计算中准确区分直角边和斜边；理解公式中代表的是面积（探索阶段）或长度的平方（应用阶段）。 6. 总结： 第一节的核心在于动手探索和归纳发现。通过具体的计算和操作活动（网格算面积、割补验证），直观地感受到直角三角形三边之间存在的平方和关系，从而得出勾股定理的初步结论，并开始进行最简单的应用计算。这一过程旨在培养学生的观察、归纳、动手实践能力和几何直观。 基础题预习 1、 选择题预习（30分） 1．我国是最早了解勾股定理的国家之一，早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三、股四、弦五”这一结论，被记载于我国古代一部著名的数学著作中，这部著作是（　　） A．《孙子算经》 B．《海岛算经》 C．《九章算术》 D．《周髀算经》 2．在△ABC中，∠C＝90°，若AC＝8，AB＝10，则BC的长是（　　） A．7 B．6 C．5 D．2 3．已知直角三角形的两条边长分别为3和4，则这个直角三角形的第三边长为（　　） A．5 B．25 C．5或 D．12 4．如图，在3×3的正方形网格中，若小正方形的边长是1，则任意两个格点间的距离不可能是（　　） A． B． C．3 D． 5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC、BC为边向外作正方形，面积分别记为S1、S2，以AB为斜边向外作等腰直角三角形，面积记为S3，则下列各式正确的是（　　） A．S1+S2＝S3 B．S1+S2＝2S3 C．2（S1+S2）＝S3 D．S1+S2＝4S3 6．下面四幅图中，不能用面积验证勾股定理的是（　　） A． B． C． D． 7．如图，我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的由四个全等的直角三角形可以围成一个大的正方形，人们称它为“赵爽弦图”．若一个直角三角形两直角边和为17，小正方形的面积为49，则图中大正方形的边长为（　　） A．17 B．15 C．13 D．10 8．如图，在赵爽弦图中连接四条线段得到如图2的新的图案．如果图1中的直角三角形的长直角边为9，短直角边为4，图2中的阴影部分的面积为S，那么S的值为（　　） A．56 B．60 C．65 D．75 9．Rt△ABC中，斜边BC＝4，则AB2+BC2+AC2的值为（　　） A．12 B．22 C．32 D．无法计算 10．有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（　　） A．1 B．2026 C．2025 D．2024 2、 填空题预习（24分） 11．已知直角三角形的两边长分别为5和12，则其斜边长为 　 　 ． 12．在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，则斜边AC的长为　 　 ． 13．如图1，由五个边长为1的小正方形组成的卡纸，可以将它剪拼出一个大正方形，如图2所示，则这个大正方形的边长为 　 　 ． 14．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C、E均在网格格点（网格线的交点）上，以点B为圆心，BE长为半径画弧交AC所在的网格线于点F，连接BF，则AF的长为　 　 .（结果保留根号） 15．如图所示的图形表示勾股定理的一种证明方法，该图形是由四个全等的直角三角形（阴影部分）与中间的空白部分组成．若正方形ABCD的边长为5，五边形AEFCD的面积是36，则图中空白部分的面积是　 　 ． 16．已知Rt△ABC，斜边，面积为2，则AC+BC＝ 　 　 ． 3、 解答题预习（46分） 17．如图，已知CD是△ABC中AB边上的高，AC＝10，CD＝8，BC＝3AD．求BC的长． 18．如图，AD是△ABC的高，∠BAD＝45°，AC＝13cm，CD＝5cm． 求AD的长和△ABC的面积． 19．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都为1． （1）分别求出线段AB、AC、BC的长． （2）判断△ABC的形状，并说明你的理由． 20. 如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，AD是△ABC的角平分线，AB＝12，AC＝8． （1）求△ABC的面积； （2）求AD的长． 21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AB、AC为边，往△ABC外侧作正方形ABDE、正方形ACFG．已知正方形ABDE、ACFG的面积分别为25、16． （1）求BC的长． （2）连结CE，求CE的长． 22．勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣． （1）如图1，这是美国第20任总统詹姆斯•加菲尔德的“总统证法”图形，∠A＝∠B＝∠CED＝90°，请推导勾股定理． （2）如图2，在△ABC中，AC＝10，BC＝17，AB＝21，CH⊥AB，垂足为H，求CH的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$