第11章 简单几何体（单元测试·基础卷）数学沪教版2020必修第三册

2025-2026学年高二数学单元检测卷 第11章 简单几何体·基础通关（参考答案） 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10 11. 12. 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13 14 15 16 D A C D 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17（14分）【详解】（1）根据题意可得， 所以该直三棱柱的侧面积为； 该直三棱柱的体积为；（7分） （2）根据题意可将直三棱柱补全成如图所示的正方体：    易知，且三角形为等边三角形， 直线与所成的角与直线与所成的角相等，为 即可得直线与所成的角为.（14分） 18.（14分）【详解】（1）由题意得，“浮球”可看成是由一个圆柱体和一个球体组成， 圆柱体底面半径为1，高为4，故体积为， 球体体积， 所以“浮球”的体积.（7分） （2）由题意得，圆柱形部分表面积即为圆柱体的侧面积， ，故建造费用为元， 球形部分表面积为， 故建造费用为元， 所以整个“浮球”的建造费用为元.（14分） 19.（14分）【详解】（1）设水形成的圆锥底面半径为， 如图，由相似性可知，则， ； 故水的体积为.（7分） （2）由相似性可得，则， ， 化简得，解得. 故约为.（14分） 20（18分）【详解】（1）如图所示， 正三角形三个角上剪出三个相同的四边形，其较长的一组邻边边长为正三角形边长的，有一组对角为直角.余下部分按虚线折起，可成为一个缺上底的正三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个正三棱柱的上底.（6分） （2）依上面剪拼的方法，有， 推理如下： 设给出正三角形纸片的边长为2，那么，正三棱锥与正三棱柱的底面都是边长为1的正三角形，其面积为.现在计算它们的高： ，. ， .（12分） （3）如图所示， 分别联结三角形的内心与各顶点，得到三条线段，再以这三条线段的中点为顶点作三角形，以新作的三角形为直三棱柱的底面.过新三角形的三个顶点向原三角形三边作垂线，沿六条垂线剪下三个四边形，可以拼接成直三棱柱的上底，余下部分沿虚线折起，成为一个缺上底的直三棱柱，即可得到直三棱柱模型.（18分） 21.（18分）【详解】（1）在平面上，不在平面上， 所以平面（6分） （2）平面是平面上的直线，， 是正方形，对角线. 是平面上的两条相交直线 平面 平面经过直线平面平面（12分） （3）. 设点到平面的距离为，在三棱锥中，. 由是正方形可知； 由勾股定理有；从而是正三角形， ， ，即. 故点到平面的距离为（18分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第11章 简单几何体·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．已知圆柱的高为4，底面积为，则圆柱的侧面积为 . 2．正四棱台的上、下地面分别是边长为1、2的正方形，侧棱长为1，则该棱台的体积为 . 3．圆锥的侧面积是，母线长为4，则圆锥母线与底面所成角的余弦值为 4．若球、表面积之比，则它们的半径之比 . 5．已知某圆锥的侧面展开图是圆心角为，半径为2的扇形，则该圆锥的母线与底面所成角的大小为 ． 6．如图，底面半径为 4 的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点滚动， 当这个圆锥在平面内转回原位置时， 圆锥本身恰好滚动了 2 周， 则圆锥的表面积为 .    7．已知，，是表面积为的球的球面上的三个点，且，则球心到平面的距离为 ． 8．将一个半径为5的金属球熔化后，重新铸造为64个相同的小球，则这些小球的表面积之和为 ． 9．将扇形纸壳剪掉扇形后得到扇环，，，如图1，用扇环制成一个圆台的侧面，如图2，则该圆台的体积为 ．    10．如图，一个高为1的长方体形状的容器内装有水，若保持容器底面的一条棱不动，将该容器的另一端抬起至水恰好不能流出容器，发现此时容器的底面中不被水浸到的面积为底面积的，则容器在原来位置时的水深为 . 11．如图1，西安航天基地揽月阁是一座融合了古代文化与现代科技的标志性建筑，可近似的视为一个正四棱台，现有一个揽月阁模型（如图2）、下底面边长为，上底面边长为，侧棱长为，则该模型的高为 ．       图1                    图2 12．半径为2的球内部有一定点，，过点作该球的截面，将该球分为两部分，体积分别为、．类比教材中利用祖暅原理推导球体积的方法，可求得的最小值为 ． 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．下列几何体为旋转体的是（   ） A．三棱锥 B．四棱台 C．五棱柱 D．圆柱 14．已知圆台的上､下底面半径分别为和，母线长为，则圆台的侧面积为（     ） A． B． C． D． 15．已知圆锥的侧面展开图是圆心角为且弧长为的扇形，则该圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 16．如图所示，几何体为一个球挖去一个内接正方体得到的组合体，现用一个平面截它，所得截面图形不可能是（    ） A．B．C． D． 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．已知如图，在直三棱柱中，，.    (1)求该直三棱柱的侧面积和体积； (2)求直线与所成的角. 18．如图，某公司制造一种海上用的“浮球”，它是由两个半球和一个圆柱筒组成．其中圆柱的高为4米，球的半径r为1米． (1)这种“浮球”的体积是多少立方米（精确到）？ (2)假设该“浮球”的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为20元，半球形部分每平方米建造费用为30元．求该浮球的建造费用（精确到1元）． 19．如图，一个倒立的圆锥形水杯，底面半径为5，高为10．将一定量的水注入其中，水形成的圆锥高为． (1)若，求水的体积； (2)若水的体积为水杯体积的一半，求．（精确到0.01） 20．（1）给出两块相同的正三角形纸片（如图1，图2），可沿图1中的虚线将正三角形纸片剪拼成一个正三棱锥模型，要求用图2的正三角形纸片剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，用虚线标示在图2中，并作简要说明： （2）试比较剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小； （3）给出一块任意三角形的纸片（如图3），要求剪拼成一个直三棱柱，使它的全面积与给出的三角形的面积相等.请设计一种剪拼方法，用虚线标示在图3中，并作简要说明. 21．如图所示，在四棱锥中，平面，底面是正方形. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)设，若四棱锥的体积为，求点到平面的距离. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第11章 简单几何体·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．已知圆柱的高为4，底面积为，则圆柱的侧面积为 . 【答案】 【详解】因为底面积为，故底面半径为3，而高为4， 故侧面积为， 故答案为： 2．正四棱台的上、下地面分别是边长为1、2的正方形，侧棱长为1，则该棱台的体积为 . 【答案】/ 【详解】 设棱台的高为，则， 故体积为， 故答案为： 3．圆锥的侧面积是，母线长为4，则圆锥母线与底面所成角的余弦值为 【答案】/0.375 【详解】设圆锥的底面半径为, 母线长, ,. 设圆锥母线与底面所成角为, . 故答案为: . 4．若球、表面积之比，则它们的半径之比 . 【答案】 【详解】因为球、表面积之比， 所以，则. 故答案为：. 5．已知某圆锥的侧面展开图是圆心角为，半径为2的扇形，则该圆锥的母线与底面所成角的大小为 ． 【答案】 【详解】令底面半径为，则，可得，且圆锥母线为， 所以该圆锥的母线与底面所成角的余弦值为，故其大小为. 故答案为： 6．如图，底面半径为 4 的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点滚动， 当这个圆锥在平面内转回原位置时， 圆锥本身恰好滚动了 2 周， 则圆锥的表面积为 .    【答案】 【详解】设圆锥的母线长为，底面半径为， 则，解得， 所以圆锥的表面积为 故答案为：. 7．已知，，是表面积为的球的球面上的三个点，且，则球心到平面的距离为 ． 【答案】 【详解】设球的半径为， 则，解得， 由题意可知：是边长为3的等边三角形，其外接圆半径， 所以球心到平面的距离为. 故答案为：. 8．将一个半径为5的金属球熔化后，重新铸造为64个相同的小球，则这些小球的表面积之和为 ． 【答案】; 【详解】设小球的半径为，则，得， 所以这些小球的表面积之和为. 故答案为： 9．将扇形纸壳剪掉扇形后得到扇环，，，如图1，用扇环制成一个圆台的侧面，如图2，则该圆台的体积为 ．    【答案】 【详解】由条件可知，， 设圆台上底面的半径为，下底面半径为， 弧长的长为,弧长， 所以，，，， 圆台上下底面的高， 所以圆台的体积. 故答案为： 10．如图，一个高为1的长方体形状的容器内装有水，若保持容器底面的一条棱不动，将该容器的另一端抬起至水恰好不能流出容器，发现此时容器的底面中不被水浸到的面积为底面积的，则容器在原来位置时的水深为 . 【答案】 【详解】设长方体的长宽分别为，则由左图可得水的体积， 设右图中长方体底面被水浸到的矩形的未知边为，显然此时水的形状为三棱柱， 底面为直角边分别为的直角三角形，高为，则水的体积为， 由题意可得，解得，由，解得. 故答案为：. 11．如图1，西安航天基地揽月阁是一座融合了古代文化与现代科技的标志性建筑，可近似的视为一个正四棱台，现有一个揽月阁模型（如图2）、下底面边长为，上底面边长为，侧棱长为，则该模型的高为 ．       图1                   图2 【答案】 【详解】由为正四棱台，，，， 连接，得，， 过作，过作， 所以，， 在直角三角形中，， 所以正四棱台的高. 故答案为：. 12．半径为2的球内部有一定点，，过点作该球的截面，将该球分为两部分，体积分别为、．类比教材中利用祖暅原理推导球体积的方法，可求得的最小值为 ． 【答案】 【详解】 设球缺（球的截面分球的两个部分）所在球体的半径为，球缺的高度为（球垂直于截面的半径的端点到截面的距离）， 不妨设，先用与水平面平行且经过球缺所在球的球心的平面截球缺， 则球台的高为，下底面半径为，上底面半径为， 由祖暅原理，球台体积等于与之等高，底面半径相等的圆柱挖去一个与之等高的小圆锥余下的几何体的体积， 其中小圆锥的底面半径为，则球台体积为， 将其加上半球的体积，即得球缺的体积：. 若，则可先计算另一半高为的大球缺体积，再用球的体积减去大球缺的体积， 即得小球缺的体积为. 类比球体积的推导方法，构造一个底面半径的圆柱， 里面挖去底面为圆柱下底面，顶点为上底面的圆心的圆锥，则可以算得在任意高度， 两个几何体的截面面积均为， 故两个几何体的体积相等，由可知越大，体积越大，故当截面垂直于时， 取较大的球缺的体积为，较小的为，可得所求最小值为. 故答案为：. 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．下列几何体为旋转体的是（   ） A．三棱锥 B．四棱台 C．五棱柱 D．圆柱 【答案】D 【详解】根据旋转体的定义知，圆柱为旋转体. 故选：D. 14．已知圆台的上､下底面半径分别为和，母线长为，则圆台的侧面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】圆台侧面积； 故选：A 15．已知圆锥的侧面展开图是圆心角为且弧长为的扇形，则该圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l. 由弧长公式可得，解得， 又，解得， 所以. 所以圆锥的体积为：. 故选：C 16．如图所示，几何体为一个球挖去一个内接正方体得到的组合体，现用一个平面截它，所得截面图形不可能是（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【详解】当截面过球心，且截面不平行于任何侧面，且不过体对角线时，截面图形是A； 当截面过正方体的两条相交的体对角线时，截面图形是B； 当截面过球心，且平行于正方体的一个侧面时，截面图形是C； 过球心的截面不能为D. 故选：D 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．已知如图，在直三棱柱中，，.    (1)求该直三棱柱的侧面积和体积； (2)求直线与所成的角. 【详解】（1）根据题意可得， 所以该直三棱柱的侧面积为； 该直三棱柱的体积为； （2）根据题意可将直三棱柱补全成如图所示的正方体：    易知，且三角形为等边三角形， 直线与所成的角与直线与所成的角相等，为 即可得直线与所成的角为. 18．如图，某公司制造一种海上用的“浮球”，它是由两个半球和一个圆柱筒组成．其中圆柱的高为4米，球的半径r为1米． (1)这种“浮球”的体积是多少立方米（精确到）？ (2)假设该“浮球”的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为20元，半球形部分每平方米建造费用为30元．求该浮球的建造费用（精确到1元）． 【详解】（1）由题意得，“浮球”可看成是由一个圆柱体和一个球体组成， 圆柱体底面半径为1，高为4，故体积为， 球体体积， 所以“浮球”的体积. （2）由题意得，圆柱形部分表面积即为圆柱体的侧面积， ，故建造费用为元， 球形部分表面积为， 故建造费用为元， 所以整个“浮球”的建造费用为元. 19．如图，一个倒立的圆锥形水杯，底面半径为5，高为10．将一定量的水注入其中，水形成的圆锥高为． (1)若，求水的体积； (2)若水的体积为水杯体积的一半，求．（精确到0.01） 【详解】（1）设水形成的圆锥底面半径为， 如图，由相似性可知，则， ； 故水的体积为. （2）由相似性可得，则， ， 化简得，解得. 故约为. 20．（1）给出两块相同的正三角形纸片（如图1，图2），可沿图1中的虚线将正三角形纸片剪拼成一个正三棱锥模型，要求用图2的正三角形纸片剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，用虚线标示在图2中，并作简要说明： （2）试比较剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小； （3）给出一块任意三角形的纸片（如图3），要求剪拼成一个直三棱柱，使它的全面积与给出的三角形的面积相等.请设计一种剪拼方法，用虚线标示在图3中，并作简要说明. 【详解】（1）如图所示， 正三角形三个角上剪出三个相同的四边形，其较长的一组邻边边长为正三角形边长的，有一组对角为直角.余下部分按虚线折起，可成为一个缺上底的正三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个正三棱柱的上底. （2）依上面剪拼的方法，有， 推理如下： 设给出正三角形纸片的边长为2，那么，正三棱锥与正三棱柱的底面都是边长为1的正三角形，其面积为.现在计算它们的高： ，. ， . （3）如图所示， 分别联结三角形的内心与各顶点，得到三条线段，再以这三条线段的中点为顶点作三角形，以新作的三角形为直三棱柱的底面.过新三角形的三个顶点向原三角形三边作垂线，沿六条垂线剪下三个四边形，可以拼接成直三棱柱的上底，余下部分沿虚线折起，成为一个缺上底的直三棱柱，即可得到直三棱柱模型. 21．如图所示，在四棱锥中，平面，底面是正方形. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)设，若四棱锥的体积为，求点到平面的距离. 【详解】（1）在平面上，不在平面上， 所以平面 （2）平面是平面上的直线，， 是正方形，对角线. 是平面上的两条相交直线 平面 平面经过直线平面平面 （3）. 设点到平面的距离为，在三棱锥中，. 由是正方形可知； 由勾股定理有；从而是正三角形， ， ，即. 故点到平面的距离为 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第11章 简单几何体·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．已知圆柱的高为4，底面积为，则圆柱的侧面积为 . 2．正四棱台的上、下地面分别是边长为1、2的正方形，侧棱长为1，则该棱台的体积为 . 3．圆锥的侧面积是，母线长为4，则圆锥母线与底面所成角的余弦值为 4．若球、表面积之比，则它们的半径之比 . 5．已知某圆锥的侧面展开图是圆心角为，半径为2的扇形，则该圆锥的母线与底面所成角的大小为 ． 6．如图，底面半径为 4 的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点滚动， 当这个圆锥在平面内转回原位置时， 圆锥本身恰好滚动了 2 周， 则圆锥的表面积为 .    7．已知，，是表面积为的球的球面上的三个点，且，则球心到平面的距离为 ． 8．将一个半径为5的金属球熔化后，重新铸造为64个相同的小球，则这些小球的表面积之和为 ． 9．将扇形纸壳剪掉扇形后得到扇环，，，如图1，用扇环制成一个圆台的侧面，如图2，则该圆台的体积为 ．    10．如图，一个高为1的长方体形状的容器内装有水，若保持容器底面的一条棱不动，将该容器的另一端抬起至水恰好不能流出容器，发现此时容器的底面中不被水浸到的面积为底面积的，则容器在原来位置时的水深为 . 11．如图1，西安航天基地揽月阁是一座融合了古代文化与现代科技的标志性建筑，可近似的视为一个正四棱台，现有一个揽月阁模型（如图2）、下底面边长为，上底面边长为，侧棱长为，则该模型的高为 ．       图1                    图2 12．半径为2的球内部有一定点，，过点作该球的截面，将该球分为两部分，体积分别为、．类比教材中利用祖暅原理推导球体积的方法，可求得的最小值为 ． 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．下列几何体为旋转体的是（   ） A．三棱锥 B．四棱台 C．五棱柱 D．圆柱 14．已知圆台的上､下底面半径分别为和，母线长为，则圆台的侧面积为（     ） A． B． C． D． 15．已知圆锥的侧面展开图是圆心角为且弧长为的扇形，则该圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 16．如图所示，几何体为一个球挖去一个内接正方体得到的组合体，现用一个平面截它，所得截面图形不可能是（    ） A．B．C． D． 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．已知如图，在直三棱柱中，，.    (1)求该直三棱柱的侧面积和体积； (2)求直线与所成的角. 18．如图，某公司制造一种海上用的“浮球”，它是由两个半球和一个圆柱筒组成．其中圆柱的高为4米，球的半径r为1米． (1)这种“浮球”的体积是多少立方米（精确到）？ (2)假设该“浮球”的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为20元，半球形部分每平方米建造费用为30元．求该浮球的建造费用（精确到1元）． 19．如图，一个倒立的圆锥形水杯，底面半径为5，高为10．将一定量的水注入其中，水形成的圆锥高为． (1)若，求水的体积； (2)若水的体积为水杯体积的一半，求．（精确到0.01） 20．（1）给出两块相同的正三角形纸片（如图1，图2），可沿图1中的虚线将正三角形纸片剪拼成一个正三棱锥模型，要求用图2的正三角形纸片剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，用虚线标示在图2中，并作简要说明： （2）试比较剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小； （3）给出一块任意三角形的纸片（如图3），要求剪拼成一个直三棱柱，使它的全面积与给出的三角形的面积相等.请设计一种剪拼方法，用虚线标示在图3中，并作简要说明. 21．如图所示，在四棱锥中，平面，底面是正方形. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)设，若四棱锥的体积为，求点到平面的距离. 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$