21.2解一元二次方程（一元二次方程的根与系数的关系）（知识梳理+知识框架+习题精练）2025-2026学年人教版九年级数学上册

21.2解一元二次方程 ——根与系数的关系 一、知识梳理 1、一元二次方程根与系数的关系 如果方程 有两个实数根，那么 文字语言：一元二次方程的两个根的和等于 ，两个根的积等于 注意：根与系数的的前提条件是方程有解。 2、几种主要的代数式求值问题 二、知识精练 一、单选题 1．已知是方程的两个实数根，则的值为（　　） A． B．1 C． D．3 2．已知方程的一个根是6，则它的另一个根是（   ） A． B．1 C． D．3 3．已知m，n是方程的两个实数根，则的值是（） A．2025 B．2028 C．2030 D．4048 4．已知和是方程的两个根，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．若方程的两根之积为，则的值是（    ） A．-1 B．1 C． D． 6．已知是的两个根，则的值是（   ） A． B． C．3 D．5 7．已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值是（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 8．关于的方程的两个实数根分别为，，且，则的值为（    ） A．2或3 B．3或 C．或2 D．或 二、填空题 9．已知关于x的一元二次方程 的一个根为，则方程的另一个根为 10．若关于的方程的两根分别是，，则的值为 ． 11．已知a，b是一元二次方程的两个根，则 ． 12．已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，其中，则 ． 13．已知，是一元二次方程的两个根，则的值是 ． 三、解答题 14．已知关于x的一元二次方程． (1)若方程总有两个实数根，求m的取值范围； (2)若方程有一个实数根为1，求m的值和另一个实数根． 15．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求实数的取值范围； (2)设，是方程的两个根且，求的值． 16．已知关于的一元二次方程的两个实数根为，． (1)求的取值范围． (2)是否存在实数，使得成立？若存在，请求出值，若不存在，请说明理由． 17．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的倍为正整数），则称这样的方程为“倍根方程”．例如：方程的两个根分别是2和4，则这个方程就是“二倍根方程”；方程的两个根分别是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”． (1)根据上述定义，是“________倍根方程”； (2)若关于的方程是“三倍根方程”，求的值； (3)直线：与轴交于点，直线过点，且与相交于点．若一个五倍根方程的两个根为和，且点在的内部（不包含边界），求的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．B 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系．根据一元二次方程根与系数的关系“两根之积等于”，直接计算即可求解． 【详解】解：根据一元二次方程根与系数的关系，得 ． 故选：B． 2．A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟知：若是一元二次方程的两个根，则，．根据一元二次方程根与系数的关系可得出，计算即可． 【详解】解：设方程的另一个根为， 根据根与系数的关系可得：， 解得：， 则它的另一个根是． 故选：A． 3．B 【分析】本题考查了一元二次方程的根以及根与系数的关系，利用方程根的定义将高次项降次，结合根与系数的关系求解． 【详解】解：∵是方程的实数根， ∴． 代入所求表达式： 由根与系数的关系，方程的两根之和为：， ∴． 故选：B． 4．D 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解，熟记相关结论：若一元二次方程的两个根为，则，，利用根与系数的关系得出，再利用，即可求解． 【详解】解：∵是方程的两个根， ∴， 又∵是方程的根， ∴， ∴， 故选 D． 5．B 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，判别式，掌握知识点是解题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系，方程的两根之积等于常数项除以二次项系数．结合题目条件建立方程求解，并验证判别式是否非负． 【详解】解：对于方程 ，设其两根为 和 ，根据根与系数的关系，根的积为 ． 题目给出根的积为 ，因此有： 解得： 验证判别式： 当 时，，方程有实根，符合条件． 故选B． 6．C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟知：若是一元二次方程的两个根，则，．根据一元二次方程根与系数的关系可得出，，再代入中计算即可． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴， 故选：C． 7．C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程解的定义．根据一元二次方程的根与系数的关系和一元二次方程解的定义得到，，再把原式变形为，由此代值计算即可． 【详解】解：∵m、n是一元二次方程的两个实数根， ，， ， ， 故选：C． 8．C 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数法关系，因式分解法解一元二次方程，完全平方公式的应用，先根据一元二次方程根与系数法关系得出，，再利用完全平方公式得出关于n的一元二次方程，利用因式分解法解方程即可得出n的值． 【详解】解： 即， ∵，是的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：或， 故选：C 9．4 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题关键是熟知两根积与两根和与系数的关系． 根据根与系数的关系直接可得到答案． 【详解】解：设方程的另一个根为m， ∵方程 的一个根为， ∴， 解得：． 故答案为：4 10． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，由此可得，再代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵关于的方程的两根分别是，， ∴， ∴， 故答案为：． 11．3 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，．据此求解即可． 【详解】解：∵a，b是一元二次方程的两个根， ∴． 故答案为：3． 12． 【分析】本题考查根与系数的关系，根据根与系数的关系得到，结合，进行求解即可，熟练掌握根与系数的关系，是解题的关键． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． 13． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系．对于一元二次方程的两个根，满足，．熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键． 先根据根与系数的关系求出和的值，再将转化成，然后将和的值代入即可得解． 【详解】解：∵，是一元二次方程，即的两个根， ∴，， ∴， 故答案为：． 14．(1)； (2)m的值为1， 另一根为3 【分析】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及因式分解法解一元二次方程． （1）由方程有两个实数根结合根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围； （2 ）设为方程的另一个根，根据根与系数的关系可得出，，解方程组即可得出结论． 【详解】（1）解：∵关于x的方程总有两个实数根， ∴， 解得：； （2）解：设为方程的另一个根， ∴，． 解得：，， ∴m的值为1，另一个根为3． 15．(1) (2) 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数关系、解一元二次方程、解一元一次不等式等知识，熟练掌握一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数关系是解题的关键． （1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根得到关于m的不等式，即可求出答案； （2）根据根与系数关系得到，代入，解关于m的一元二次方程，并根据（1）确定m的值，求解即可． 【详解】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：； （2）解：∵，是方程的两个根， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：， ∵， ∴． 16．(1)； (2)不存在这样的实数k．理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系等知识点． （1）根据一元二次方程的根的判别式即可得； （2）先根据一元二次方程根与系数的关系可得，，再代入化简可得，据此求解即可得． 【详解】（1）解：由题意得：方程的根的判别式， 解得； （2）解：不存在，理由如下， 由一元二次方程根与系数的关系得：，， 则， ， ， ， ∵， ∴， ∴． ∵（不符题意，舍去）， 故不存在这样的实数k． 17．(1)四 (2) (3) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，一次函数与几何综合，正确理解“倍根方程”的定义是解题的关键． （1）利用因式分解法求出方程的两个根，再根据“倍根方程”的定义求解即可； （2）由题意可设这个方程的两个根分别为，则由根与系数的关系可得，据此求解即可； （3）利用待定系数法求出直线解析式为；再根据题意可得，则可得点P在直线上，求出直线与直线的交点坐标，直线与直线的交点坐标，根据点在的内部（不包含边界），结合函数 图象即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， 解得， ∵， ∴是“四倍根方程”； （2）解：∵关于的方程是“三倍根方程”， ∴可设这个方程的两个根分别为， ∴， ∴， ∴； （3）解：设直线解析式为， 把代入到中得， ∴， ∴直线解析式为； ∵一个五倍根方程的两个根为和， ∴， ∴点P的坐标为， ∴点P在直线上， 联立，解得， 联立，解得， ∵点在的内部（不包含边界）， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$