21.2.4《一元二次方程根与系数的关系》同步练习 2025-2026学年人教版（2012）数学九年级上册

21.2.4《一元二次方程根与系数的关系》同步练习 一、单选题 1.若x,x2是方程x2-3x-5=0的两个根，则() A.x1+x2=-3B.x+x2=-5 C.xx2=-5 D.x1·x2=-3 2.关于x的一元二次方程x2+2mx-m2=0的两个实数根x1、x,已知x+x2=2,则m的值为() A.-2 B.-1 C.1 D.2 3.设a,b是方程x2+x-2025=0的两个不相等的实数根，则a2+2a+b的值为() A.0 B.2025 C.2024 D.2023 4.在ABCD中，对角线AC,BD的长是关于X的一元二次方程x2+2x-1=0的两个根，则k 的取值范围是(). A.k2-1且k≠0 B.-1≤k<0 C.k≤-1 D.-1<k<0 5.甲、乙两个同学分别解一道一元二次方程，甲因把一次项系数看错了，而解得方程两根为 -3和5，乙把常数项看错了，解得两根为2+√6和2-√6，则原方程是() A.x2+4x-15=0 B.x2-4x+15=0C.x2+4x+15=0D.x2-4x-15=0 6.若关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根之和为2，两根之积为-3，则关于y的方程 ay-2)+b(y-2)+c=0的两根之积为() A.-1 B.1 C.-5 D.5 7.对一元二次方程x2+6x=9,某学习小组给出了下列结论： 甲：这个方程有两个不相等的实数根； 乙：设这个方程的两个根分别为x,x,则有+x2=-6,xx2=9, 丙：这个方程利用因式分解法最简单，其根为x=-3; 丁：这个方程的解为x=-3+3V2,x,=-3-3V2 老师看后说只有两个同学的结论是错误的，则这两位同学是() A.甲和乙B.甲和丁 C.乙和丙 D.丙和丁 8.已知a,b是一元二次方程+2025x+1=0的两个实数根，则V2+V号 b 的值是(） 1 A.-2025 B.2025 C.2025 D. 2025 9.已知实数m,n是关于x的一元二次方程x2+7x=1-x的两个根，则代数式2m-3mn+2n的值 是() A.-5 B.5 C.-13 D.13 二、填空题 10.已知关于x的一元二次方程x2+5x-m=0的一个根是-6，则另一个根是 11.已知x,x是一元二次方程x2-3x+m-2=0的两个根，且该方程的两根互为倒数，则m的 值为 12.已知x,x2是关于x的一元二次方程x2-(k+6)x+3k=0的两个实数根，且x,-x,=20,则 k=一 13.关于x的一元二次方程x2-(k-1)x-k+2=0有两个实数根xx2,若 (x-x2+2(x-为2-2)+2xx2=-3,则k=· 14.已知，是方程22+3x-4=0的两个根，那么+方 +1 =,x12+x22= (x+(x,+=一，x-= 三、解答题 15.已知关于x的一元二次方程2-2(k-1)x+2+3=0 (1)若该方程有一个根是-2，求k的值. (2)若该方程的两个实数根xx2满足x-1)(x2-1)=14,求k的值. 16.已知关于x的一元二次方程x2-(k+5)x+6+2k=0. (1)求证：此方程总有两个实数根； (2)若此方程有一个根为3，求方程的另一个根. 17.已知关于x的一元二次方程x2-m+2)x+2m=0. (1)证明：不论m为何值，方程总有实数根； (2)若方程的两个实数根为x,x2,且满足x2+x2=9,求m的值. 18.【知识技能】 x的二元次方程a2+bx+c=0a0的两不根为X,5,则x a 材料2：已知一元二次方程x2-x-1=0的两个实数根分别为m,n,求m2n+mm2的值. 解：一元二次方程x2-x-1=0的两个实数根分别为m,n,∴.m+n=1,mn=-1, 则m2n+mn2=mn(m+n)=-1×1=-1. 【数学理解】 (1)一元二次方程4x2-x-2=0的两个根为X,为，则x+=,xx2= 【拓展探索】 (2)已知一元二次方程2x2+3x-1=0的两根分别为m,n,求m2+n2的值. (3)已知实数，1满足2g+3-1=0,2r+31-1=0,且s≠1，求的值. st 19.阅读材料： 材料1：关于x的一元二次方程ax2+b.x+c=0(a≠0)的两个实数根x,x2和系数a,b,c有如下关 系：+巧=名， b a 材料2：已知一元二次方程x2-x-1=0的两个实数根分别为m,n,求m2n+mm2的值. 解：m,n是一元二次方程x2-x-1=0的两个实数根， ∴.m+n=1,mn=-1. 则m2n+mn2=mn(m+n=-1×1=-1. 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)应用：一元二次方程2x2+3x-1=0的两个实数根为，x2,则x1+x2=-,xx2=-; (2)类比：已知一元二次方程2x2+3x-1=0的两个实数根为m,n,则m2+n2的值为- (3)提升：已知实数s,t满足2g+3-1:0,2r+31-1=0且s≠t,则」-的值： s t (4)拓展：已知关于x的一元二次方程x2-4x+m-1=0有两个不相等的实数根x,2,且 3x·x2-x-x2>2,则实数m的取值范围是_ 20.阅读理解材料：已知实数m,n满足m2-m-1=0,n2-n-1=0,且m≠n. 根据材料.求”+”的值. m n 解：由题知m,n是方程x2-x-1=0的两个不相等的实数根， 根据一元二次方程根与系数的关系得m+n=1,mn=-1, :”+m-m+n_m+m川°-2mm_1+2.-3. m n mn mn -1 解决以下问题： (1)方程x2-4x-3=0的两个实数根为，x2,则x1+x2= ,XX2= 1 ②)已知实数mn满足m-3m+1=0,-初+1=0，且m≠m,求m+万的值. (3)已知实数p,9满足p2=3p+2,2g=1-3g,且p-9≠1，求四+D+的值. 21.定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根，且其中一个根比 另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”. (1)下列方程是“邻根方程”的是 (填序号). ①r+=6:②r+3x+2=0:®-9=0：④r-5x=-6. (2)若方程x2+2x-k+1=0是“邻根方程”，x,x2是方程的两根，求： ①请求出k的值； ②求方程的两个根. 22.如果方程x2+px+q=0的两个根是X、x2,那么x+x2=-p,x·x2=9,请根据以上结论解决 下列问题. (1)已知关于x的方程x2+mx+n=0(n≠0)，求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知 方程两根的倒数， 2)已知a、6满是足d-15a-5=0,6-15b-5=0,求号+鲁的值. 参考答案 一、单选题 1.C 【详解】解：，·x,x2是方程x2-3x-5=0的两个根， +名= =3,x,=6-5, a a 故选：C. 2.B 【详解】解：由题意知，关于x的一元二次方程x2+2mx-m2=0的两个实数根x1、2, X+x=-b=-2m=2, m=-1, 进一步验证判别式：△=2m)-4-m2)=4m2+4m2=8m2≥0，表明方程恒有两实数根， 将m=-1代入原方程后，两根的和为2，符合题意. 故选：B. 3.C 【详解】解：设a,b是方程x2+x-2025=0的两个不相等的实数根， .a2+a-2025=0,a+b=-1, ∴.a2+a=2025, ∴.a2+2a+b=a2+a+a+b=2025+-1=2024. 故选：C 4.B 【详解】解：设一元二次方程a2+2x-1=0的两个根为x1,x, 由题意得，x>0,2>0, 由根与系数的关系可得，+%=2>0，，= k 10, k 解得：k<0, 一元二次方程x2+2x-1=0有实数根， .4=22-4×k×-120, 解得：k2-1, ∴k的取值范围是-1≤k<0. 故选：B 5.D 【详解】解：根据题意得2+6+2-6=-b=4,-3x5=C=-15, a 令a=1,则b=-4,c=-15, ∴.关于x的一元二次方程是x2-4x-15=0. 故选：D 6.D 【详解】解：把方程a(y-2+b(y-2)+c=0看作关于y-2的一元二次方程， 设关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为xx2, 则方程a(y-2+b(y-2)+c=0的两根为y=x+2,y2=x2+2, “关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根之和为2，两根之积为-3， x1+x2=2,xx2=-3, yy2=（x1+2)x2+2)=xx2+2(x1+x+4=-3+2×2+4=5. 故选：D 7.C 【详解】解：x2+6x=9, .x2+6x-9=0, ∴.△=62-4×1×-9)=36+36=72>0，x+x2=-6,xx2=-9,故乙错误； 这个方程有两个不相等的实数根，故甲正确； x=-6±V72.-6±6V5 2×1 2 ∴.x=-3+3V2,x2=-3-3V2,故丁正确，丙错误； 故选：C. 8.B 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式，二次根式的运算，熟练掌 握一元二次方程根与系数的关系和完全平方公式的变形是解题的关键.利用根与系数的关系得 6-2,6,弄利用8-a+-2咖2，即可家指 ab 【详解】解：，a,b是一元二次方程x2+2025x+1=0的两个实数根， .a+b=-2025,ab=1, 层8+g +2=a+b°-2ab b ab +2, ab 月-5-2-2， 1 8 2025(负值舍去)， 故选：B. 9.C 【详解】解：原方程x2+7x=1-x移项得x2+8x-1=0, 依题得m、n是方程的两个实数根， -1 m+n=-=-8,mn=三-1， :2m-3mn+2n=2m+n-3mn, :原式=2×-8-3×-1=-16+3=-13. 故选：C. 二、填空题 10.1 【详解】解：方程的两个根之和为-5， 则另一个根为-5-(-6)=1， 故答案为：1. 11.3 【详解】解：x-”2=m-2, 1 又：该方程的两根互为倒数，即：x2=1, m-2=1, 解得：m=3, 12.±2 【详解】，x,x是关于x的一元二次方程x2-(k+6)x+3k=0的两个实数根， .x1+x2=k+6,xx2=3k, x,-x2=2V10, .(x-x2)}2=40, ∴.(x+x2)2-4xx2=40, .(k+62-12k=40, 解得k=±2. 故答案为：±2. 13.2 【详解】解：关于x的一元二次方程x2-(k-1)x-k+2=0有两个实数根，x2, .x1+x2=k-1,xx2=-k+2, (x-2+2(x-x2-2)+2xx2=-3, (x+x2)2-2xx2-4=-3, 即(k-1)2-2(-k+2-4=-3, 解得k=±2， 又：△=[-(k-1]-4x1×-k+2)=k2+2k-7≥0， 当k=2时，k2+2k-7=22+2×2-7=1>0,符合题意， 当k=-2时，k2+2k-7=(-22+2×(-2)-7=-7<0,不合题意，舍去， ∴k=2, 故答案为：2.