21.2解一元二次方程（因式分解法）（知识梳理+知识框架+习题精练）2025-2026学年人教版九年级数学上册

21.2解一元二次方程 ——因式分解法 一、知识梳理 1、因式分解法 （1）用因式分解法解一元二次方程的步骤 ①将方程右边化为 ； 　 　②将方程左边分解为两个 ； 　　 ③令这两个一次式分别为0，得到两个 ； 　　 ④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. （2）常用的因式分解法 　　　提取公因式法， （平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 注意： （1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以 ； （2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中 ； （3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化 ；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式. 二、知识精练 一、单选题 1．方程的解是（       ） A．0 B．6 C．0或6 D．0或 2．一元二次方程的根是（    ） A． B． C．， D．， 3．下列一元二次方程最适合用因式分解法来解的是（    ） A． B． C． D． 4．用因式分解法解一元二次方程，将它转化为两个一元一次方程是 （ ） A．， B．， C．， D．， 5．已知菱形的边长是一元二次方程的一个根，且两条对角线长的和为，则菱形的边长为（   ） A． B． C． D．或 6．关于x的方程，则的值是（    ） A． B．1 C．或1 D．3或 7．若关于的方程的解为，，则方程的解为（  ） A． B． C． D． 8．已知方程的解是，则另一个方程的解是（ ） A． B． C． D． 二、填空题 9．方程的解为 ． 10．方程的解为 11．对实数定义一种新运算“”：，若，则实数x的值为 ． 12．一个等腰三角形的腰和底分别是方程两根，则此三角形的周长为 ． 13．已知，则的值为 ． 三、解答题 14．解方程： (1)； (2) ． 15．解方程： (1)； (2)． 16．阅读材料，解答问题． 解方程：， 解：把视为一个整体，设， 则原方程可化为：， 解得：，， 或， ，， 以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照上例，请用换元法解答问题： 已知，求的值． 17．阅读下面的材料，回答问题： 解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变为 ①，解得． 当时，，∴； 当时，，∴x=±2； ∴原方程有四个根：． (1)在由原方程得到方程①的过程中，利用___________法达到________的目的，体现了数学的转化思想． (2)解方程． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【分析】本题主要考查了解一元二次方程．将方程整理为标准形式后，通过因式分解法求解即可． 【详解】解：， 移项得：， 提取公因式，得， ∴或， 解得：． 故选：C． 2．C 【分析】本题考查了因式分解法进行解一元二次方程，先通过移项并提取公因式，然后将方程转化为两个一次因式的乘积等于零的形式，进而求解根． 【详解】解：∵， ∴， 则， ∴或； 解得， 综上，方程的根为和， 故选：C． 3．B 【分析】本题考查因式分解解一元二次方程．判断各选项是否适合因式分解法，需观察方程是否能整理为两个一次因式乘积等于0的形式． 【详解】解：A：，展开后为，无法直接分解为两个一次因式相乘，需用公式法，不适合因式分解． B：，移项得，提取公因子，得，可直接分解为两个一次方程，适合因式分解法． C：，常数项无法分解为两数之积为且和为5的整数，需用公式法，不适合因式分解． D：，化简后为，适合直接开平方法，无需因式分解． 综上，选项B的方程结构最便于因式分解法求解． 故选：B． 4．C 【分析】题目主要考查因式分解法解一元二次方程，理解因式分解方法是解题关键 根据因式分解法的原理，若两数相乘为零，则至少有一个因数为零，将原方程的每个因式分别等于零，即可转化为两个一元一次方程，即可求解 【详解】解：原方程为 ， 根据因式分解法，若两数乘积为0，则至少有一个数为0， ∴， 故选：C 5．A 【分析】本题考查了解一元二次方程，菱形的性质，三角形的三边关系，能熟记菱形的性质和解一元二次方程是解此题的关键．先根据菱形的性质得出，求出方程的解，利用三角形的三边关系确定解即可． 【详解】解：如图， 由题意得， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， 解， 解得：或， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 6．B 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握用换元法解方程是解题的关键．设，则此方程可化为，然后用因式分解法求解即可． 【详解】解：设，则此方程可化为， ∴， ∴或， 解得，， ∴的值是1或． 当时，， ∵， ∴此方程无解， ∴的值是1． 故选：B． 7．B 【分析】此题考查的是根据已知方程的解，求新方程的解，掌握换元法是解决此题的关键．设方程中，，根据已知方程的解，即可求出关于t的方程的解，然后根据即可求出结论． 【详解】解：设方程中， 则方程变为 ∵关于的方程的解为，， ∴关于的方程的解为，， ∴对于方程，或， 解得：，， 故选B． 8．D 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，令，则方程即为方程，根据题意可得方程的解是，则或，据此求解即可． 【详解】解：令，则方程即为方程， ∵方程的解是， ∴方程的解是， ∴或， 解得， ∴程的解是， 故选：D． 9． 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据方程的特点灵活选取一元二次方程的解法是关键；利用因式分解法即可求解． 【详解】解：原方程可化为， 分解因式得， 即， ∴． 10．2或3 【分析】本题主要考查了利用因式分解解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握因式分解解一元二次方程的步骤． 先对方程进行因式分解，再求方程的解即可． 【详解】解： ∴， 故答案为：2或3． 11．或或 【分析】本题考查的是新定义运算，一元二次方程的解法，理解新定义的含义是解本题的关键． 分两种情况：当时，当时，根据新定义列方程，求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时， ， 即， 解得：，， 当时， ， 即， 解得：（舍去），， 综上，实数x的值为或0或1． 故答案为：或0或1． 12．15 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，三角形的三边关系等知识点，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的步骤． 利用十字相乘法先求出一元二次方程的解，判断解是否满足三角形的三边数量关系，然后求三角形的周长即可． 【详解】解：， ， ∴， 当为等腰三角形的腰时，，不符合三角形的三边数量关系，构不成三角形，故不符合题意； 当为等腰三角形的腰时，， ∴则此三角形的周长为15， 故答案为：15． 13．1 【分析】此题考查了换元法解一元二次方程，设，原方程变形为，然后利用因式分解法解得，，进而求解即可． 【详解】设 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴或 ∴， ∵ ∴应舍去 ∴ ∴． 故答案为：1． 14．(1)或 (2) 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法； （1）把方程化为，再进一步求解即可； （2）把方程化为，再进一步求解即可. 【详解】（1）解：， ∴， 解得：，； （2）解：， ∴， 解得：. 15．(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是∶ （1）根据直接开平方法求解即可； （2）根据因式分解法求解即可． 【详解】（1）解∶∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，； （2）解∶∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 16．4 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，把视为一个整体，设，则原方程转化为关于的一元二次方程，通过解该方程求得即的值． 【详解】解：设，则原方程可化为：， 解得：，， ∵， 则． 17．(1)换元，降次 (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用换元、因式分解法解一元二次方程是解题的关键． （1）在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想； （2）经分析：设,则，再运用因式分解法求出y的值，再代入得关于x的方程求解即可． 【详解】（1）解：在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想 故答案为：换元，降次 （2）解：设，则， ∴，解得． 当时，即，解得：． 当时，即，则， 由，此时方程无解． 所以原方程的解为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$