21.3实际问题与一元二次方程（知识梳理+知识框架+习题精练）2025-2026学年人教版九年级数学上册

21.3实际问题与一元二次方程 一、知识梳理 1、列一元二次方程解应用题 审→设→列→解→验→答.即 (1)审：审清题目的各量之间的 ： (2)设：恰当地设出 ，可直接设也可间接设： (3)列：根据问题中的等量关系，列 ； (4)解：求出未知数的 ： (5)验：检验方程的解的正确性及是否符合实际情况； (6)答：写出应用题的答案 2、常见相关问题的数量关系及表示方法 （1）传播问题 传播问题：，a表示传染前的人数，x表示每轮每人传染的人数，n表示传染的轮数或天数，A表示最终的人数． （2）增长率问题 增长率问题： 平均增长率公式为 (a为原来数，x为 ，n为增长次数，b为增长后的量.) 降低率问题： 平均降低率公式为 (a为原来数，x为 ，n为降低次数，b为降低后的量.) （3）面积问题 （4）.数字问题 式表示了一个多位数.如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为： . （5）利润（销售）问题 　　利润(销售)问题中常用的等量关系： 　　利润=售价-进价(成本) 　　总利润=每件的利润×总件数 　　 二、知识精练 一、单选题 1．某市为了解决新能源汽车充电难的问题，计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了300个充电桩，第三个月新建了500个充电桩，设该市新建充电桩个数的月平均增长率为x，根据题意，可列出方程（   ） A． B． C． D． 2．有一人患了流感，经过两轮传染后，共有人患了流感，设每轮传染中平均每人传染的人数为人，则可列方程（    ） A． B． C． D． 3．生物学家研究发现，很多植物的生长都有下面的规律，即主干长出若干数目的支干后，每个支干又会长出同样数目的小分支．现有符合上述生长规律的某种植物，它的主干、支干和小分支的总数是，则这种植物每个支干长出小分支的个数是（   ） A． B． C． D．或 4．某景区2022年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2024年接待游客达到36万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为（   ） A． B． C． D． 5．如图，某中学规划修建一个矩形苗圃，苗圃的一面靠墙（墙最长可用长度为），另外三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成面积相等的两个区域，并在两个区域中各留米宽的门（门不用木栏），修建所用木栏总长为，且矩形的面积为，请求出的长，设长为，则可以列出方程是（　　） A． B． C． D． 6．如图，小军的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长）的矩形鸭舍，其面积为，在鸭舍侧面中间位置留一个宽的门（由其它材料制成），则长为（    ） A．或 B． C．或 D． 7．已知相邻的两个偶数之积为360，若设较小的偶数为x，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 8．如图是2024年11月的月历表，用一个方框在表中圈出六个数（如图所示），若圈出的六个数中，最小的数与最大的数的乘积为112，求这个最大的数（  ） A．6 B．7 C．14 D．16 9．某商店经销一种销售成本为20元/个的商品，当售价为每个30元时，每月可售出1000个，根据市场分析，每涨价1元，每月要少售出100个；每降价1元，则每月多售出100个．当该商品的售价定为（    ）元/个时，月利润为9600元 A．32 B．28 C．32或36 D．32或28 10．某商店将进货价为8元/件的商品按10元/件售出，每天可售200件．通过调查发现，该商品若每件涨0.5元，其销量就减少10件．售价为（    ）元时，每天的利润可得到700元． A．13 B．15 C．13或15 D．10 11．如图，在中，，，，动点P、Q分别从点A、B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动，若使的面积为，则点P运动的时间是（　  　） A． B． C． D． 12．如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点C以2m/s的速度匀速移动，同时另一点Q由C点开始以3m/s的速度沿着射线匀速移动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．当的面积等于时，运动时间为（     ） A．5秒 B．20秒 C．5秒或20秒 D．不确定 13．《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲行几何．”大意是说：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直往东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲走了多远（    ） A．步 B．步 C．步 D．步 14．《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率六，乙行率四，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为6，乙的速度为4，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，甲、乙各走了多少步？”请问乙走的步数是（    ） A．36 B．26 C．24 D．10 二、填空题 15．某校九年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排15场比赛．设九年级共有x个班．根据题意，可列出方程 ． 16．某款羽绒服原售价为元，由于换季，连续两次降价处理，现按元的售价销售．已知两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为 ． 17．如图，小区物业规划在一个长，宽的矩形场地上，修建一个小型停车场，阴影部分为停车位所在区域，两侧是宽的道路，中间是宽的道路．如果阴影部分的总面积是，那么x满足的方程是 ． 18．2024年11月22日是二十四节气之一的“小雪”，“小雪”标志着降雪的开始和气温的进一步降低．如图是2024年11月的月历表，在月历表中用方框圈出9个数字，若圈出的9个数字中，最大数与最小数的乘积为297，则最小的数为 ． 19．某商品现在的售价为每件元，每星期可卖出件，市场调查反映：每降价元，每星期可多卖出件，已知商品的进价为每件元，在顾客得实惠的前提下，商家想获得元利润，应将销售单价定为 元． 三、解答题 20．某苹果园种植一种优质苹果，随着果树的成长，该苹果园的总产量从年的吨增加到年的吨． (1)求这个苹果园总产量平均每年增产的百分率； (2)若平均每年增产的百分率率不变，年该苹果园的总产量能突破吨吗?请说明理由． 21．如图，某校有一块长、宽的矩形种植园．为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建安度相同的小路（图中阴影部分）．小路把种植园分成面积均为的9个矩形地块，请你求出小路的宽度． 22．服装店在销售中发现：某品牌服装平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了迎接“五•一”节，商店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存．经市场调查发现：如果每件服装降价1元，那么平均每天就可多售出2件． (1)要使平均每天销售这种服装盈利1200元，那么每件服装应降价多少元？ (2)平均每天销售这种服装盈利能不能达到1500元？如果能达到，请计算应该降价多少元？如果不能，请说明为什么？ 23．如图，在中，∠，动点P、Q分别从点A、B同时开始移动，点P的速度为/秒，点Q的速度为/秒，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动．运动多少时间时，能使的面积为？    试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，涉及平均增长率问题．已知第一个月新建300个充电桩，第三个月新建500个，需建立月平均增长率x的方程．根据连续增长模型，第三个月的数量等于第一个月的数量乘以． 【详解】解：设月平均增长率为， 则第二个月的数量为， 第三个月的数量为． 根据题意，第三个月新建500个充电桩， 因此方程为： 故选：B． 2．C 【分析】患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每轮传染中平均一个人传染了个人，则第一轮传染了个人，第二轮作为传染源的是人，则传染人，依题意列方程：．本题考查的是根据实际问题列一元二次方程．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键． 【详解】解：依题意得， 故选：C． 3．A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，设每个支干分出个小分支，根据题意列出方程并求解即可，读懂题意，找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设每个支干分出个小分支， 根据题意得：， 解得：，（舍去）， 故选：． 4．B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设该景区这两年接待游客的年平均增长率为x,利用该景区2024年接待游客人次数该景区2022年接待游客人次数该景区这两年接待游客的年平均增长率，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设年平均增长率为x， 可得方程， 解得或（舍去负值）， 所以该景区这两年接待游客的年平均增长率为， 故选：B 5．A 【分析】此题考查了一元二次方程的应用．设长为，矩形的面积为，据此列出方程即可． 【详解】解：设长为，根据题意可得： ， 即， 故选：． 6．B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设长为，则的长为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得解，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 【详解】解：设长为，则的长为， 由题意可得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴长为， 故选：B． 7．D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键．设较小的偶数为x，根据“相邻的两个偶数之积为360”作为等量关系列出方程即可． 【详解】解：设较小的偶数为x， 由题意得，． 故选：D． 8．D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键．设这个最大的数为，则最小的数为，根据圈出的四个数中最小数与最大数的积为112列出一元二次方程求解即可． 【详解】解：设这个最大的数为，则最小的数为， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：这个最大的数为16． 故选：D． 9．D 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用题，审清题意、正确列出一元二次方程是解题的关键． 设销售价应定为每件x元，然后根据题意列一元二次方程求解即可． 【详解】解：设销售价应定为每件x元， 当涨价时：由题意可得：， 整理得：， 解得：或（舍去）， 所以该商品的售价定为32元/个时，月利润为9600元； 当降价时：由题意可得：， 整理得：， 解得：（舍去）或， 所以该商品的售价定为28元/个时，月利润为9600元； 综上所述，当该商品的售价定为32或28元/个时，月利润为9600元． 故选D． 10．C 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键．设涨价t元，根据每天的利润=单件利润×销售量列出方程求解即可； 【详解】解：设涨价t元， 根据题意，得：， ∴， 即， 解得：，， ∴（元）或（元）, 即售价为13或15元时，每天的利润可得到700元． 故选：C． 11．B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用—动点问题，借助三角形的面积计算公式来研究图形中的动点问题是解题关键．设点的运动时间为，则，，根据三角形面积公式，得出关于的一元二次方程，求解即可． 【详解】解：设点的运动时间为，则，， ， ， 的面积为， ， 解得：或（舍）， 即使的面积为，则点P运动的时间是， 故选：B． 12．A 【分析】本题考查一元二次方程的应用．根据三角形的面积公式列出方程即可解决问题． 【详解】解：由题意，，运动时间， ， ， ， 解得（舍去）或5， ∴运动时间为5秒时，的面积等于． 故选：A． 13．C 【分析】题目主要考查一元二次方程的应用，勾股定理的运用，根据题意作出如下图所示，设经秒二人在处相遇，可得：，，，然后利用勾股定理列出方程求解，然后即可得出甲走的步数． 【详解】设经x秒二人在B处相遇，这时乙共行走：， 甲共行走：， ， ， 又， ， ， 解得：（舍去）或， ， ， 即甲走了步， 故选：C． 14．C 【分析】设甲、乙两人相遇的时间为t，则乙走了步，甲斜向北偏东方向走了步，利用勾股定理即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出t值，将其值代入中即可求出结论． 【详解】解：设甲、乙两人相遇的时间为t，则乙走了步，甲斜向北偏东方向走了步， 依题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去）， ∴． 故乙走的步数是． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 15． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设九年级有x个班参加比赛，根据“赛制为单循环形式，且共需安排15场比赛”，即可得出关于x的一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：依题意，设九年级有x个班参加比赛， 则列方程为， 故答案为：． 16． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设每次降价的百分率为，利用经过两次降价后的售价=原售价每次降价的百分率，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设每次降价的百分率为， 根据题意得：， 解得： (不符合题意，舍去)， ∴每次降价的百分率为． 故答案为：． 17． 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据矩形场地的长、宽及道路的宽度，可得出停车位（即阴影部分）可合成长为，宽为的矩形，结合阴影部分的总面积是，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：∵矩形场地的长为长，宽，且所修建停车位的两侧是宽的道路，中间是宽的道路， ∴停车位（即阴影部分）可合成长为，宽为的矩形． 根据题意，得， 故答案为： 18．11 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用， 设最小数为x，可知最大数为，根据题意得出，再求出解即可． 【详解】解：最小数为x，可知最大数为，根据题意，得 ， 解得． ∴最小的数为11． 故答案为：11． 19． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设降价元，根据题意列出方程求出即可求解，根据题意正确列出方程是解题的关键． 【详解】解：设降价元， 由故意得，， 整理得，， 解得，， ∵要让顾客得实惠， ∴， ∴应将销售单价定为元， 故答案为：． 20．(1)这个苹果园总产量平均每年增产的百分率是； (2)能，理由见解析． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是根据苹果园两年的产量列一元二次方程求出平均增长率，根据平均增长率计算出年果园的总产量． 设这个苹果园总产量平均每年增产的百分率是，可列方程，解方程可得这个苹果园总产量平均每年增产的百分率是； 根据平均增长率计算出年该苹果园的总产量，根据计算结果进行判断即可． 【详解】（1）解：设这个苹果园总产量平均每年增产的百分率是， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：这个苹果园总产量平均每年增产的百分率是； （2）解：年该苹果园的总产量能突破吨， 理由如下： 吨， ， 年该苹果园的总产量能突破吨． 21． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设小路的宽度为，根据题意可知种植园的面积等于一个长为，宽为的矩形面积，据此建立方程求解即可． 【详解】解：设小路的宽度为， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， 答：小路的宽度为． 22．(1)每件服装应降价20元 (2)不能，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设每件服装应降价x元，则平均每天可售出件，根据平均每天销售这种服装盈利1200元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设每件服装应降价y元，则平均每天可售出件，根据平均每天销售这种服装盈利达到1500元，列出一元二次方程，再由根的判别式即可得出结论． 【详解】（1）解：设每件服装应降价x元，则平均每天可售出件， 依题意得：， 整理得：， 解得：，． 又∵要尽量减少库存， ∴， 答：每件服装应降价20元； （2）解：平均每天销售这种服装盈利不能达到1500元，理由如下： 设每件服装应降价y元，则平均每天可售出件， 依题意得：， 整理得：． ∵， ∴该方程无实数根， ∴平均每天销售这种服装盈利不能达到1500元． 23．运动秒时，能使的面积为． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设运动时间为t秒，则，由三角形的面积公式结合的面积为，即可得出关于t的一元二次方程，解之取合适的值即可． 【详解】解：设运动时间为t秒，则， 依题意，得：， 解得：， ∵， ∴， ∴． 答：运动秒时，能使的面积为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$