21.3实际问题与一元二次方程知识梳理精选题练习-2025-2026学年数学九年级上册人教版

21.3实际问题与一元二次方程知识梳理 精选题练习-2025-2026学年数学九年级上册人教版 知识梳理 由实际问题抽象出一元二次方程 在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程． 一元二次方程的应用 1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答． 2、列一元二次方程解应用题中常见问题： （1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a． （2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数． （3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程． （4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解． 【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀” 1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系． 2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． 3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程． 4．解：准确求出方程的解． 5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题． 6．答：写出答案． 精选题练习 一、单选题 1．某商店销售一种文具，若每个盈利5元，每天可售出200个，经市场调查发现，若每个涨价1元，每天销售量就减少10个，现商店想每天盈利1500元，且要让顾客得到实惠，则每个应涨价（   ） A．5元 B．10元 C．15元 D．20元 2．根据我校图书馆年度数据报告，年借阅图书的学生人次，年人数增长至人次，设这两年借阅图书的学生人数的年平均增长率为，可列方程（　　） A． B． C． D． 3．电动车虽然方便了我们的日常出行，但是部分电动车充电过程中十分危险，一旦发生着火、爆炸，将造成非常严重的危害．“人车分离”是保障大家生命安全的重要手段．阳光小区为实现“人车分离”，在小区外面搭建了两个矩形电动车车棚（如图），一边利用小区的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个长的出口（出口处不用栅栏），不锈钢栅栏状如“山”字形．若车棚占地面积为，则电动车车棚的长（）为（    ） A． B． C． D． 4．城市花园街道计划5月举办一次街道内各小区足球联谊赛，赛制为单循环制（每两队比赛一场），计划邀请个参赛队，举办21场比赛，下列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 5．某文具店将进价为12元的口风琴按照每个20元出售时，平均每天能够售出8个．若这种商品每件降低元能多售出4个．若该文具店希望这种口风琴每天的销售利润为144元，那么每个口风琴的售价应该是多少元，设售价定为每件元，下列列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，，，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当四边形的面积为时，则点P运动的时间是（   ） A． B． C．或 D． 7．为贯彻落实党的二十大精神和中国工会十八大精神，凝聚职工队伍高质量建设海南自贸港力量，陵水县总工会决定举办2024年“工会杯”羽毛球比赛．在单打比赛中，规定参赛的选手每两人之间比赛一场，工会共安排了50场比赛，设参赛选手有人，则下列方程正确的是（ ） A． B． C． D． 8．我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，请人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，问6210文能买多少株椽？设这批椽有株，则符合题意的方程是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 9．某地区猪肉价格连续两个月大幅上升．由原来每斤元上调到每斤元，设平均每个月上调的百分率为则可列方程为 ． 10．化学课代表在老师的培训下学会了“实验室用高锰酸钾制取氧气”的实验操作，回到班上后第一节课手把手教会了若干名同学．第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班49人恰好都会做这个实验了，那么1人每次能手把手教会 名同学． 11．在一次公司酒会上，每两个宾客之间都只碰杯一次，若一共碰杯55次，则参加酒会的有 人． 12．徐老师购买了1681张签名卡，在毕业典礼上，他向每位同学赠送了一张签名卡，每位同学间也互赠了一张签名卡，签名卡恰好用完，则班级共有 名学生． 13．设某矩形的长和宽分别等于方程的正实数根，若矩形的周长和面积相等，则p、q的关系为 ． 14．某区现有绿化面积1000公顷，在环境大整治活动中计划两年内绿化面积增加到1210公顷，如果平均每年增加的百分率都为x，根据题意列出的方程是 ． 15．如图，在宽为，长的矩形场地上，修筑同样宽的两条道路，余下的部分作为耕地，要使耕地的面积为，若设路宽为，则可列方程为： ． 16．有一块长、宽的矩形铁皮，如果在铁皮的四个角上各截去一个相同的小正方形，然后把四边折起来，做成一个底面面积为的无盖的盒子，设截去小正方形的边长为，则可列方程为 ． 三、解答题 17．超市以每件元的价格购进了一批玩具，定价为元时，平均每天可售出个经调查发现，玩具的单价每降元，每天可多售出个；玩具的单价每涨元，每天要少售出个如何定价才能使每天的利润为元？ 18．随着我国科技水平不断提升，新能源汽车在消费市场中的渗透率持续攀升．某品牌汽车去年第一季度的销量为万辆，第三季度的销量为万辆．求该品牌汽车去年第一季度到第三季度销量的平均季度增长率． 19．某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长，宽，中间镶有宽度相同的三条丝绸花边． (1)若除丝绸花边外白色部分的面积为，求丝绸花边的宽度； (2)已知该工艺品的成本是40元/件，如果以单价100元/件销售，那么每天可售出200件，另外每天除工艺品的成本外还需支付各种费用2000元．根据销售经验，如果将销售单价降低1元，每天可多售出20件，请问该公司把单价降低多少元时，当日所获利润为10000元． 20．“七里山塘，枕河而居”，苏州市的山塘街是具有江南风貌特色的历史文化街区，现在已成为网红打卡地．据统计，2014年10月1日截至21时山塘历史街区累计客流量为8万人次，第三天游客人数达到万人次． (1)求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率； (2)景区内某文创小店推出了特色丝绸团扇，每把扇子的成本为7元．根据销售经验，每把扇子定价为25元时，平均每天可售出300把．若每把扇子的售价每降低1元，平均每天可多售出30把．设每把扇子降价元．请解答以下问题： ①填空：每天可售出扇子_______________把（用含的代数式表示）； ②若该文创小店想通过售出这批扇子每天获得5760元的利润，又想尽可能地减少库存，每把扇子应降价多少元？ 21．新课改下中考体育改革与创新的目的是促进素质教育全面发展，体育课作为一门重要课程，对促进学生身心健康起着尤为重要的作用．某中学要新建一块篮球场地（如图所示），要求：①篮球场（阴影部分）的长和宽分别为；②在篮球场四周修建宽度相等的安全区域；③篮球场及安全区域的总面积为． (1)求安全区域的宽度； (2)某公司希望用45万元承包这项工程，该中学认为金额太高需要降价，通过两次协商，最终以万元达成一致．若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率． 22．某汽车店销售，两种型号的轿车，具体信息如表： 每辆进价（万元） 每辆售价（万元） 每季度销量（辆） 30 20 （注：厂家要求店每季度型轿车的销量是型轿车销量的2倍．） 根据以上信息解答下列问题： (1)用含的代数式表示； (2)今年第三季度该店销售，两种型号轿车的利润恰好相同（利润不为0），试求的值． 23．如图，在直角梯形中，，，，，，动点、分别从点、同时出发，点以的速度向点移动，点以的速度向点移动，当一个动点到达终点时另一个动点也随之停止运动． (1)经过几秒钟，点、之间的距离为？ (2)连接，是否存在某一时刻，使得恰好平分？若存在，求出此时的移动时间；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《21.3实际问题与一元二次方程知识梳理 精选题练习-2025-2026学年数学九年级上册人教版》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B B C B A C A 1．A 【分析】本题考查一元二次方程的应用，设涨价元，则每个盈利元，销量为个，根据盈利1500元列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：设涨价元， ， 解得：或， 让顾客得到实惠，， 故选：A． 2．B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设这两年借阅图书的学生人数的年平均增长率为，根据年借阅图书的学生人次，年人数增长至人次，列出方程即可． 【详解】解：设这两年借阅图书的学生人数的年平均增长率为， 根据题意得， 故选：B． 3．B 【分析】本题考查一元二次方程的应用，设电动车车棚的宽为，则车棚的长，根据车棚占地面积为，列出一元二次方程，解方程取符合题意的值即可． 【详解】解：设电动车车棚的宽为，则车棚的长， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去 ， 故选：B． 4．C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．利用比赛的总场数=参赛队伍数参赛队伍数，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得：． 故选：C． 5．B 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用．读懂题意，找到等量关系准确地列出方程是解题的关键．设售价为x元，则利用每一件的销售利润×每天售出的数量=每天利润，列方程即可． 【详解】解：设售价定为每件元，则由题意得， 故选：B． 6．A 【分析】本题考查一元二次方程的应用，借助三角形的面积计算公式来研究图形中的动点问题．设点P运动的时间是，用t分别表示出和的长，利用三角形的面积计算公式即可解答． 【详解】解：设点P运动的时间是， ， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去， ∴， 故答案为：A． 7．C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据比赛场数与参赛人数之间的关系列出一元二次方程是解题的关键． 设参赛选手有人，每个参赛选手都要赛场，但两人之间只有一场比赛，据此列出一元二次方程即可． 【详解】解：设参赛选手有人，每个参赛选手都要赛场，但两人之间只有一场比赛， 则有：． 故选：C． 8．A 【分析】本题考查了列一元二次方程，设这批椽的数量为x株，再结合题意列出一元二次方程即可，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 【详解】解：设这批椽的数量为x株，由题意可列方程为， 故选：A． 9． 【分析】本题主要考查的知识点是“增长率问题”．在增长率问题中，常用公式为增长后的量增长前的量(增长率)．本题中，猪肉价格经过两次上调，每次上调的百分率相同，根据这个公式，通过设未知数，结合已知条件列出方程来求解． 【详解】解：根据题意知：第一次上调后每斤的价格为元， 第二次上调后每斤的价格为元； 所以，可列方程：． 故答案为：． 10．6 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，审清题意、找准等量关系、列出一元二次方程是解题的关键． 设一个人每节课手把手教会了x名同学，根据第二节课后全班49人恰好都会做这个实验了，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可解答． 【详解】解：设1人每次能手把手教会x名同学．由题意，得， 解得：（不合题意，舍去）， ∴1人每次能手把手教会6名同学． 故答案为：6． 11．11 【分析】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设参加酒会的有x人，根据每两个宾客之间都只碰杯一次，若一共碰杯55次，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设参加酒会的有x人， 根据题意得：， 整理，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：参加酒会的人数为11人． 故答案为：11． 12． 【分析】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设班级有名学生，根据题意列出方程即可，根据题意得等量关系，建立方程是解题的关键． 【详解】解：设班级有名学生， 根据题意得：， 解得：，（舍去）， ∴班级共有41名学生． 故答案为：． 13．且 【分析】本题考查了根与系数的关系，设，是关于x的一元二次方程的两正实数根，利用根与系数的关系，可得出，,结合矩形的周长和面积相等，即可找出p、q的关系． 【详解】解：设，是关于x的一元二次方程的两正实数根， ∴，，且， ∵矩形的周长和面积相等， ∴， ∴， ∴且． 故答案为：且． 14． 【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决实际问题，解题的关键是找准等量关系，列出方程． 设平均每年增加的百分率都为x，根据两年的增长率，列出方程即可． 【详解】解：设平均每年增加的百分率都为x，根据题意得， ， 故答案为：． 15． 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，如果若设路宽为，耕地的长应该为，宽应该为；那么根据耕地的面积为，即可得出方程． 【详解】解：设路宽为， 则耕地的长应该为，宽应该为； 根据面积公式可得：， 故答案为：． 16． 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式学会通过图形求出面积是解题关键．设截去的小正方形的边长为，从而得出这个长方体盒子的底面的长是，宽是，根据矩形的面积的计算方法即可表示出矩形的底面面积，得出方程求出即可． 【详解】解：设截去的小正方形的边长为，根据题意列方程，得 ． 故答案为：． 17．每件玩具的定价应为元或元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设每件玩具的定价为元，分及两种情况考虑，根据总利润每件的销售利润日销售量，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设每件玩具的定价为元． 当时，每件玩具的销售利润为元，平均每天可售出件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，； 当时，每件玩具的销售利润为元，平均每天可售出件， 根据题意得：， 整理得：， ， 此种情况下原方程没有实数根． 答：每件玩具的定价应为元或元． 18． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键．设平均季度增长率为，根据题意列出一元二次方程，求出的值即可解答． 【详解】解：设平均季度增长率为． 根据题意，得， 解得（不合题意，舍去）． 答：该品牌汽车去年第一季度到第三季度销量的平均季度增长率为． 19．(1)丝绸条带的宽度为 (2)当单价降低元或50元时能达到利润10000元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据该工艺品长，宽，除丝绸花边外白色部分的面积为，进行列式计算，即可作答． （2）根据该工艺品的成本是40元/件，以单价100元/件销售，每天可售出200件，还需支付各种费用2000元．将销售单价降低1元，每天可多售出20件，进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：设条带的宽度为， 根据题意，得． 整理，得， 解得，（舍去）． 答：丝绸条带的宽度为． （2）解：设每件工艺品降价y元出售， 由题意得：． 解得：． 答：当单价降低元或50元时能达到利润10000元 20．(1) (2)①；②6 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，列代数式．根据题意正确的列等式方程是解题的关键． （1）设从假期第一天到第三天的平均日增长率为，依题意得，计算求出满足要求的解即可； （2）①由题意知，每天可售出扇子把，然后作答即可； ②依题意得，计算求解，然后作答即可． 【详解】（1）解：设从假期第一天到第三天的平均日增长率为， 依题意得，， 解得，或（舍去）， ∴从假期第一天到第三天的平均日增长率为； （2）①解：由题意知，每天可售出扇子把， 故答案为：； ②解：依题意得，， 整理得，， 解得，或， ∵想尽可能地减少库存， ∴每把扇子应降价6元． 21．(1)安全区域的宽度为1米 (2)每次降价的百分率为 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据等量关系，列出方程是解题的关键． （1）设安全区域的宽度为x米，根据篮球场及安全区域的总面积为，列出方程，解方程即可； （2）设每次降价的百分率为a，根据原价为45万元，连续两次降价后为万元，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设安全区域的宽度为x米，由题意得： ， 整理得， 解得（不符合题意，舍去）． 答：安全区域的宽度为1米； （2）解：设每次降价的百分率为a，由题意得： ， 解得（舍去），， 答：每次降价的百分率为． 22．(1) (2) 【分析】本题考查了列代数式和一元二次方程的应用，找到等量关系是解题的关键． （1）根据“每季度型轿车的销量是型轿车销量的2倍”列方程并变形； （2）根据“第三季度该店销售，两种型号轿车的利润恰好相同”列方程求解． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：； （2）解：由题意得：，且， 解得：或（此时利润为0，不合题意，舍去）， ∴． 23．(1)经过秒钟，点、之间的距离为 (2)不存在，理由见解析 【分析】本题考查矩形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定、解一元二次方程等知识，理解题意是解答的关键． （1）过A作于E，过点P作于F，先证明四边形、四边形是矩形得到，，，分别在和中利用勾股定理求解即可； （2）假设存在t值，使得恰好平分，根据平行线的性质和角平分线的定义得到，进而可得，利用勾股定理求得t值，根据t值的取值范围可得结论． 【详解】（1）解：如图．过A作于E，过点P作于F， ∵，， ∴， ∴四边形、四边形是矩形， ∴，，， 在中，，， ∴， 由题意，，，， 在中，，， 由得， ∴，（不合题意舍去）． 答：经过秒钟，点、之间的距离为； （2）解：假设存在t值，使得恰好平分，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得，， ∵， ∴两个解都不符合题意， 故不存在某个时刻，使得恰好平分． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $