精品解析：山东省泰安市肥城市2024-2025学年七年级下学期7月期末数学试题

2024-2025学年度下学期期末考试 七年级数学试题 注意事项： 1．答题前请将答题卡密封线内的项目填写清楚，然后将试题答案认真书写（填涂）在答题卡的规定位置，否则作废． 2．本试卷共6页，考试时间120分钟． 3．考试结束只交答题卡． 一、选择题（本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，把正确答案序号填在答题纸相应的位置） 1. 下列方程中，是二元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法正确的是（ ） A. 要了解一批灯泡的使用寿命，应进行全面调查 B. 企业招聘，对应聘人员进行面试，应进行抽样调查 C. “小强一次掷出5颗质地均匀的骰子，5颗全是5点朝上”是不可能事件 D. “连续抛一枚质地均匀的硬币2次，必有1次正面朝上”是随机事件 4. 从长度分别为的三条线段中任选2条，与长度为的线段首尾相连，则能连成三角形的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 解不等式组时，在同一条数轴上表示不等式组的解集，正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 我国古代数学著作增删算法统宗中有这么一首诗，其大意是：今有绢与布30匹，卖得570贯钱；2匹绢价45贯，3匹布价50贯，欲问绢、布各有多少？设绢有匹，布有匹，依据题意可列方程组为（ ） A B. C D. 7. 定义新运算，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，分别平分，，于点．若的面积是75，则的周长为（ ） A. B. 25 C. D. 50 9. 下面是小明设计的“过直线外一点作这条直线平行线”的尺规作图过程： 已知：如图1，直线及直线外一点．求作：直线，使得． 作法：如图2， ①在直线上取一点，连接． ②作的平分线． ③以点为圆心长为半径画弧，交射线于点． ④作直线． 直线就是所求作的直线． 上述的方法是通过判定得到的，其中判定的依据是（　　） A. 同位角相等，两直线平行 B. 两直线平行，同位角相等 C 内错角相等，两直线平行 D. 两直线平行，内错角相等 10. 在三角形纸片中，，点为边上靠近点处一定点，点为边上一动点，沿折叠三角形纸片，点落在点处． ①如图1，当点落在边上时，； ②如图2，当点落在内部时，； ③如图3，当点落上方时，； ④当时，或，以上结论正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共5小题，只要求填写结果） 11. 因式分解：___________． 12. 如图，直线与直线相交于点，则方程组的解是___________． 13. 已知关于的不等式组只有两个整数解，则的取值范围是___________． 14. 如图，已知，，，则的大小为___________． 15. 如图，在等腰三角形中，，点，在等腰三角形的内部，连接，使，且平分．若，则___________． 三、解答题（本大题共8个小题，要写出必要的计算、推理、解答过程） 16. 解下列方程组或不等式（组） （1）； （2）； （3）； （4）． 17. 将下列各式因式分解： （1） （2）． （3） （4） 18. 如图，现有一个转盘被平均分成6等份，分别标有2、3、4、5、6、7这六个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字，求： （1）转动转盘，转出的数字不大于5的概率； （2）小追和小梦一起做游戏，现有两张分别写有4和5的卡片，要随机转动转盘，转盘停止后记下转出的数字，与两张卡片上的数字分别作为三条线段的长度．小追说：“若这三条线段能构成等腰三角形，则我赢”，小梦说：“若这三条线段构成的三角形的周长小于13，则我赢”，请问这个游戏规则对双方公平吗？试通过计算说明理由． 19. 如图，在中，交于点，点在上，过点作交于点，点在上，连接．请判断与是否互补，并说明理由． 20. 如图所示，．求证： （1）． （2）若，求的大小． 21. 暑期临近，一服装店老板计划购进甲、乙两种童装T恤．已知购进甲种T恤3件和乙种T恤4件共需430元；购进甲种T恤2件和乙种T恤5件共需450元． （1）求甲、乙两种恤每件的进价分别是多少元？ （2）为满足市场需求，服装店需购进甲、乙两种T恤共100件，要求购买两种T恤的总费用不超过6540元，并且购买的甲种恤的数量的三倍不超过乙种恤的数量，请你通过计算，确定服装店购买甲、乙两种恤的购买方案． 22. 直线，与的角平分线交于点，的延长线交于点，过点作，交延长线于点． （1）如图1，求证：； （2）如图2，点在线段上，点在线段上，且平分，连接．若，求的度数： 23. 【基础回顾】 （1）如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，求证：； 【变式探究】 （2）如图2，中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，猜想有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明和科技兴趣小组的同学制作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边为一边向外作和，其中，，是边上的高，延长交于点．求证：是的中点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度下学期期末考试 七年级数学试题 注意事项： 1．答题前请将答题卡密封线内的项目填写清楚，然后将试题答案认真书写（填涂）在答题卡的规定位置，否则作废． 2．本试卷共6页，考试时间120分钟． 3．考试结束只交答题卡． 一、选择题（本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，把正确答案序号填在答题纸相应的位置） 1. 下列方程中，是二元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解题的关键．根据二元一次方程的定义，需满足：①整式方程；②含有两个未知数；③未知数的项的次数均为1，逐一验证各选项即可． 【详解】A、方程是整式方程，含两个未知数和，且和的次数均为1，符合二元一次方程的定义，故本选项符合题意； B、方程中，项的次数为2（和的次数之和），不符合二元一次方程的条件，故本选项不符合题意； C、方程含有分式，不是整式方程，故本选项不符合题意； D、 方程仅含一个未知数，且的次数为2，不符合二元一次方程的条件，故本选项不符合题意； 故选：A． 2. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查因式分解，把一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式进行因式分解，据此进行判断即可． 【详解】解：A、是整式的乘法，不是因式分解，不符合题意； B、，是因式分解，符合题意； C、等式右边不是整式的积的形式，不是因式分解，不符合题意； D、等式错误，右边展开为，与左边不符，不符合题意； 故选：B． 3. 下列说法正确的是（ ） A. 要了解一批灯泡的使用寿命，应进行全面调查 B. 企业招聘，对应聘人员进行面试，应进行抽样调查 C. “小强一次掷出5颗质地均匀的骰子，5颗全是5点朝上”是不可能事件 D. “连续抛一枚质地均匀的硬币2次，必有1次正面朝上”是随机事件 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查全面调查与抽样调查的适用性，以及事件的分类（不可能事件、随机事件、必然事件）．需逐一分析选项，结合相关概念判断正误． 【详解】A. 要了解一批灯泡的使用寿命，检测具有破坏性，应采用抽样调查，全面调查会损坏所有灯泡，故A错误． B. 企业招聘面试需对应聘者逐一考察，应进行全面调查，而非抽样调查，故B错误． C. 掷5颗骰子全为5点朝上虽概率极小，但可能发生，属于随机事件，而非不可能事件，故C错误． D. 连续抛硬币2次，可能结果包括两次反面（无正面）也可能一正一反，因此“必有1次正面”可能发生也可能不发生，属于随机事件，故D正确． 故选：D 4. 从长度分别为的三条线段中任选2条，与长度为的线段首尾相连，则能连成三角形的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查直接列举法求等可能事件的概率，组成三角形的条件，不重不漏地列举出所有等可能的情况，以及发现能组成三角形的情况是解题的关键． 首先利用列举法列举出任选三条线段的所有等可能的结果，从中找出能构成三角形的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】解：①若选择和的线段， ∵， ∴不能与长度为的线段连成三角形； ②若选择和的线段， ∵， ∴不能与长度为的线段连成三角形； ③若选择和的线段， ∵， ∴能与长度为的线段连成三角形． 综上，共有3种等可能情况，符合条件的情况只有1种，其概率为． 故选：C． 5. 解不等式组时，在同一条数轴上表示不等式组的解集，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，在数轴上表示解集．先分别求出各个不等式的解集，它们的公共部分即为不等式组的解集，进而在数轴上表示即可解答． 详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴该不等式组无解， 在数轴上表示为： ． 故选：D 6. 我国古代数学著作增删算法统宗中有这么一首诗，其大意是：今有绢与布30匹，卖得570贯钱；2匹绢价45贯，3匹布价50贯，欲问绢、布各有多少？设绢有匹，布有匹，依据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，读懂题意，找出等量关系是解题的关键． 先计算出绢与布的单价，设绢有匹，布有匹，根据“绢与布30匹，卖得570贯钱”列出两个方程，联立即可． 【详解】解：根据“2匹绢价45贯，3匹布价50贯”得：绢价为贯每匹，布价为贯每匹． 根据“绢与布30匹”可得：； 根据“卖得570贯钱”可得：； 联立可得：． 故选：D． 7. 定义新运算，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了新定义，解一元一次不等式，正确理解新定义是解题的关键． 根据新运算的定义，当左边的数小于右边的数时，结果为右边的数，因此，由可知，解此不等式即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 因此，的取值范围是， 故选：B． 8. 如图，在中，，分别平分，，于点．若的面积是75，则的周长为（ ） A. B. 25 C. D. 50 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解此题的关键．连接，过点O作于，作于，由角平分线的性质定理可得，，再结合三角形面积公式计算即可得解； 【详解】解：如图，连接，过点O作于，作于， ∵，分别平分，，于点D，， ∴，， ∵的面积是75， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴周长为50， 故选：D． 9. 下面是小明设计的“过直线外一点作这条直线平行线”的尺规作图过程： 已知：如图1，直线及直线外一点．求作：直线，使得． 作法：如图2， ①在直线上取一点，连接． ②作的平分线． ③以点为圆心长为半径画弧，交射线于点． ④作直线． 直线就是所求作的直线． 上述的方法是通过判定得到的，其中判定的依据是（　　） A. 同位角相等，两直线平行 B. 两直线平行，同位角相等 C. 内错角相等，两直线平行 D. 两直线平行，内错角相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了尺规作角平分线，尺规作已知直线的平行线，平行线的性质，等边对等角的知识，掌握以上知识，数形结合分析是关键． 根据题意得到，由内错角相等，两直线平行即可求解． 【详解】解：∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（内错角相等，两直线平行）， 故选：C ． 10. 在三角形纸片中，，点为边上靠近点处一定点，点为边上一动点，沿折叠三角形纸片，点落在点处． ①如图1，当点落在边上时，； ②如图2，当点落在内部时，； ③如图3，当点落在上方时，； ④当时，或，以上结论正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】该题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，综合运用相关知识是解题的关键． ①如图1，当点落在边上时，根据折叠性质和三角形外角的性质求解即可；②如图2，当点落在内部时，根据折叠性质以及平角的定义即可求解；③如图3，当点落在上方时，根据折叠性质可得，根据 即可求解；④当时，分别画出图形根据折叠性质和平行线性质求解即可； 【详解】解：①如图1，当点落在边上时， 根据折叠性质可得， ∴，故①正确； ②如图2，当点落在内部时， 根据折叠性质可得 ∴ ，故②正确； ③如图3，当点落在上方时，； 根据折叠性质可得 ∴ ，故③正确； ④当时， ∵， ∴， ∵， ∴， 根据折叠性质可得， ∴， ∴； 当时， ∵， ∴ ∵， ∴， 根据折叠性质可得，， ∴， ∴， ∴； 综上或；故④错误； 故选：C． 二、填空题（本大题共5小题，只要求填写结果） 11. 因式分解：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，掌握因式分解常用的方法是解题的关键． 利用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解： 故答案为：． 12. 如图，直线与直线相交于点，则方程组的解是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，熟练掌握一次函数与二元一次方程组的联系是解题关键．先把代入得：，再根据两条直线的交点坐标，进行作答即可． 【详解】解：∵直线与直线相交于点， ∴把代入得：， 解得：， ∴直线与直线相交于点， ∴方程组的解是， 故答案为：． 13. 已知关于的不等式组只有两个整数解，则的取值范围是___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的是根据不等式组的整数解求解参数的取值范围，求解不等式组的解集为，再根据整数解的含义可得答案． 【详解】解：， 由①得， 由②得， ∴， ∵原不等式组有且只有两个整数解， ∴的整数值为，， ∴． 故答案为：． 14. 如图，已知，，，则的大小为___________． 【答案】##60度 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质，由可得出，，再根据角度间的数量关系求解即可．解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用． 【详解】解：，，， ∴，， ∴． 故答案为：． 15. 如图，在等腰三角形中，，点，在等腰三角形的内部，连接，使，且平分．若，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，解题关键是添加辅助线，能洞察到特殊角在求边长中的用法． 延长交于点，延长交于点，可得是等边三角形，，进而知，然后可得，再利用等腰三角形的性质可得，，从而可得，进而在中，利用含30度角直角三角形的性质可得，据此进行计算即可解答． 【详解】解：如图，延长交于点，延长交于点， ∵， ∴是等边三角形，， ∴， ∵， ∴， ∵，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，要写出必要的计算、推理、解答过程） 16. 解下列方程组或不等式（组） （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和不等式组，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法和解不等式的基本步骤． （1）先将原方程组进行变形，然后再用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）用加减消元法解二元一次方程组即可； （3）先将原不等式组进行变形，然后分别求出两个不等式的解集，最后得出不等式组的解集即可； （4）先分别求出两个不等式的解集，最后得出不等式组的解集即可． 【小问1详解】 解：， 原方程组可变为， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为：； 【小问2详解】 解：， 得：， 解得：， 把代入②得：， 解得：， ∴原方程组的解为：； 【小问3详解】 解：， 原不等式可变为：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：； 【小问4详解】 解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组解集为：． 17. 将下列各式因式分解： （1） （2）． （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键． （1）用平方差公式进行分解即可； （2）先提公因式，然后用完全平方公式分解因式即可； （3）先用完全平方公式分解因式，再用平方差公式分解因式即可； （4）先提公因式，然后再用平方差公式分解因式即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 18. 如图，现有一个转盘被平均分成6等份，分别标有2、3、4、5、6、7这六个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字，求： （1）转动转盘，转出的数字不大于5的概率； （2）小追和小梦一起做游戏，现有两张分别写有4和5的卡片，要随机转动转盘，转盘停止后记下转出的数字，与两张卡片上的数字分别作为三条线段的长度．小追说：“若这三条线段能构成等腰三角形，则我赢”，小梦说：“若这三条线段构成的三角形的周长小于13，则我赢”，请问这个游戏规则对双方公平吗？试通过计算说明理由． 【答案】（1） （2）公平；理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了用概率公式求概率，熟练掌握概率公式是解题的关键． （1）根据概率公式计算即可； （2）分别求出这三条线段能构成等腰三角形的概率和三条线段构成的三角形的周长小于13的概率，再进行比较即可得到答案． 【小问1详解】 解：转盘被平均分成6等份，转到每个数字的可能性相等，共有6种可能结果，不大于5的结果有4种， 转出的数字不大于5的概率； 【小问2详解】 解：公平；理由如下： 转盘被平均分成6等份，转到每个数字的可能性相等，共有6种可能结果，能构成等腰三角形的结果有2种， （能构成等腰三角形）； 构成的三角形的周长小于13的结果有2种， （构成的三角形的周长小于13）， 这个游戏规则对双方公平． 19. 如图，在中，交于点，点在上，过点作交于点，点在上，连接．请判断与是否互补，并说明理由． 【答案】与互补，见解析 【解析】 【分析】题目主要考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题关键． 根据题意得出，再由平行线的性质及各角之间的等量代换得出，结合平行线的判定和性质即可证明． 【详解】解：与互补，理由如下： 因为， 所以， 所以， 又因为， 所以， 所以， 所以，即与互补． 20. 如图所示，．求证： （1）． （2）若，求的大小． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键． （1）只需要利用证明即可证明． （2）根据等腰三角形性质得出，根据全等三角形的性质得出，然后根据角度间的关系进行求解即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 21. 暑期临近，一服装店老板计划购进甲、乙两种童装T恤．已知购进甲种T恤3件和乙种T恤4件共需430元；购进甲种T恤2件和乙种T恤5件共需450元． （1）求甲、乙两种恤每件的进价分别是多少元？ （2）为满足市场需求，服装店需购进甲、乙两种T恤共100件，要求购买两种T恤的总费用不超过6540元，并且购买的甲种恤的数量的三倍不超过乙种恤的数量，请你通过计算，确定服装店购买甲、乙两种恤的购买方案． 【答案】（1）甲种T恤每件的进价为50元，乙种T恤每件的进价为70元 （2）一共有三种方案：方案一，购买甲种T恤23件，购买乙种T恤77件；方案二、购买甲种T恤24件，购买乙种T恤76件；方案三、购买甲种T恤25件，购买乙种T恤75件． 【解析】 【分析】本题考查的是二元一次方程组，一元一次不等式组的应用； （1）设甲种T恤每件的进价为x元，乙种T恤每件的进价为y元，根据购进甲种T恤3件和乙种T恤4件共需430元；购进甲种T恤2件和乙种T恤5件共需450元，再建立方程组解题即可； （2）设购买甲种T恤m件，则购买乙种T恤件，根据服装店需购进甲、乙两种T恤共100件，要求购买两种T恤的总费用不超过6540元，并且购买的甲种恤的数量的三倍不超过乙种恤的数量，再建立不等式解题即可． 【小问1详解】 解：设甲种T恤每件的进价为x元，乙种T恤每件的进价为y元， 由题意得，， 解得， 答：甲种T恤每件进价为50元，乙种T恤每件的进价为70元； 【小问2详解】 解；设购买甲种T恤m件，则购买乙种T恤件， 由题意得， 解得， m为整数， 当时，， 当时，， 当时，， 一共有三种方案：方案一，购买甲种T恤23件，购买乙种T恤77件；方案二、购买甲种T恤24件，购买乙种T恤76件；方案三、购买甲种T恤25件，购买乙种T恤75件． 22. 直线，与的角平分线交于点，的延长线交于点，过点作，交延长线于点． （1）如图1，求证：； （2）如图2，点在线段上，点在线段上，且平分，连接．若，求的度数： 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质得出，根据角平分线定义得出，，求出，证明，根据平行线的判定得出答案即可； （2）设，根据角平分线的定义得出，求出，根据平行线的性质得出，求出． 【小问1详解】 证明：， ∴， 平分，平分， ，， ， ∴， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：设， 平分， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查平行线的性质和判定，角平分线定义，垂线定义理解，解题的关键是熟练掌握平行线的判定定理和性质定理． 23. 【基础回顾】 （1）如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，猜想有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明和科技兴趣小组的同学制作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边为一边向外作和，其中，，是边上的高，延长交于点．求证：是的中点． 【答案】（1）证明见解析 （2）；证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是根据不同图形条件，准确找到全等三角形的对应角和对应边，利用等判定定理证明全等，进而推导边的关系． （1）根据垂直定义得，则，再根据得，由此得，进而可依据判定和全等； （2）根据三角形外角性质得，再根据得，进而可依据判定和全等得，，由此可得出，，的数量关系； （3）过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，则，进而得，再根据得，由此得，进而可依据判定和全等，则，同理可证明得，则，再进一步可得结论． 【详解】（1）证明：∵直线l，直线l， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：，，的数量关系是：，证明如下： ∵是的外角， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； （3）过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证明：， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是的中点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$