2.3 有理数的乘方 暑假讲义2025-2026学年七年级上册数学（人教版2024）

2.3 有理数的乘方 本讲义亮度： 1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】 乘方的定义 【题型二】 乘方的运算 【题型三】 含乘方的四则混合运算 【题型四】 科学记数法 【题型五】近似数 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1 掌握乘方的概念，会求乘方； 2 掌握科学记数法与近似数。 1 乘方 求个相同数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。 在中，叫做底数，叫做指数. 2 乘方的性质 (1)负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； (2)正数的任何次幂都是正数，的任何正整数次幂都是. 3 有理数的混合运算 做有理数的混合运算时，应注意以下运算顺序： (1)先乘方，再乘除，最后加减； (2)同级运算，从左到右进行； (3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行. 4 科学记数法 把一个大于的数表示成的形式(其中，是正整数)，这种记数法是科学记数法. 5 近似数的精确位 一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位. 【题型一】 乘方的定义 相关知识点讲解 1 引入 我们小学学过平方、立方，比如3的平方，2的立方. 那我们今天学次方。 2 乘方 求个相同数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。 在中，叫做底数，叫做指数. 解释 (1)； (2)在中，底数是，指数是，读作的次方. (3)一个数可以看作这个数本身的一次方，即，如，指数通常省略不写. 【典题1】（24-25七年级上·河南许昌·期末）计算与的和的式子为（　　） A． B． C． D． 变式练习 1 （24-25七年级上·广西南宁·期中）的底数是（   ） A． B． C．3 D．9 2（24-25七年级上·福建泉州·期末）式子可以表示为（  ） A． B． C． D． 3（24-25七年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）表示的意义是（    ） A．与5相乘 B．2个相乘 C．5个2相乘的相反数 D．2个5相乘的相反数 【题型二】 乘方的运算 相关知识点讲解 1 的次方： 2 乘方的性质 (1)负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； (2)正数的任何次幂都是正数，的任何正整数次幂都是. 【典题1】（24-25六年级上·上海·期中）下列各数中，数值相等的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【典题2】（23-24七年级上·甘肃平凉·期中）下列算式中，计算结果是负数的是（  ） A． B． C． D． 变式练习 1（24-25七年级下·福建三明·期中）对于与，下列叙述中正确的是（   ） A．底数相同，运算结果相同 B．底数相同，运算结果不同 C．底数不同，运算结果相同 D．底数不同，运算结果不同 2（22-23七年级上·广西河池·期末）下列各数中，是负数的是（    ） A． B． C． D． 3（24-25七年级上·北京·期中）下列各式中计算正确的是（    ） A． B． C． D． 4（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）下列各组数中，相等的一组是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 5（24-25七年级上·辽宁大连·期末）下列各对数中，相等的是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 6（24-25六年级上·上海·阶段练习）计算的值是（   ） A． B． C．0 D． 【题型三】含乘方的四则混合运算 【典题1】（24-25七年级上·湖南永州·期中）计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 变式练习 1（24-25七年级上·陕西西安·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 2（24-25七年级上·四川眉山·期末）若与互为相反数． (1)求，的值； (2)规定一种新运算：，如 ，求的值． 3（24-25七年级下·江西景德镇·期中）在一次数学兴趣小组活动中，老师和几个同学在一起探讨：在中，，，三者的关系，如果已知，的值，可以求的值吗?他们对此进行了研究，规定；若，则，例如；若，则． (1)______； (2)请你计算： 【题型四】 科学记数法 相关知识点讲解 把一个大于的数表示成的形式(其中，是正整数)，这种记数法是科学记数法. 【例】. 【典题1】（2025·浙江·二模）2024年温州累计发放个人住房贷款约10820000万元，数据10820000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 变式练习 1（2025年天津市红桥区九中考数学二模试卷）据2025年4月2日《天津日报》报道，2025年第一季度，天津轨道交通日均客运量约为1697200人次，较2024年同期增长约．将数据1697200用科学记数法表示应为（   ） A． B． C． D． 2（2025·江西吉安·一模）全称杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司，是一家创新型科技公司．数据显示，随着访问量急速上升，2025年2月1日成为史上最快突破3000万日活跃用户量的应用．数据3000万用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 3（24-25七年级上·湖南长沙·期末）据统计，年双十一当天，天猫成交额亿，亿用科学记数法可表示为（    ） A． B． C． D． 【题型五】 近似数 相关知识点讲解 一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位. 【例】 (精确到) 【典题1】（24-25七年级上·广东·期中）用四舍五入法取近似数，则0.25962精确到千分位是（    ） A．0.25 B．0.259 C．0.260 D．0.2596 变式练习 1（24-25七年级上·广西南宁·期中）精确到百分位的近似数是（    ） A． B． C． D． 2（24-25七年级上·陕西渭南·期中）用四舍五入法将2.796精确到百分位，所得到的近似数为（   ） A．2.79 B．2.7 C．2.80 D．2.8 3（24-25七年级上·贵州遵义·期中）有一个数学常数叫“黄金分割比”，它的值约为0.61803399，将0.61803399用四舍五入法精确到0.001的近似数为（   ） A．0.61 B．0.62 C．0.6 D．0.618 【A组---基础题】 1（24-25七年级上·重庆江北·期中）把精确到百分位得（    ） A． B． C． D． 2（2025·北京·模拟预测）2024年，我国共授权发明专利104.5万件，同比增长．将1045000用科学记数法表示应为（    ） A． B． C． D． 3（24-25七年级上·广西河池·期末）下列各式中，不相等的是（ ） A．和 B．和 C．和 D．和 4（24-25七年级上·浙江杭州·期末）下列各组数中，计算结果相等的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 5（24-25七年级下·河南·自主招生）下列各组式子中，运算结果相等的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 6（2025·安徽合肥·二模）国家林草局公报显示，2024年我国共完成营造林万公顷，将万用科学记数法表示应为（    ） A． B． C． D． 7（24-25七年级上·北京·期中）按下面的程序计算：当输入时，输出结果是419；当输入时，输出结果是626；如果输入x的值是正整数，输出结果是311，那么满足条件的x的值最多有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8（24-25七年级上·河北沧州·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 9（24-25七年级上·河北石家庄·期中）若，则记为，例如，则． （1）根据上述规定，直接写出 ． （2）若，，则 ． 10（24-25七年级上·福建龙岩·期中）综合与实践：进位制的认识与探究 题目背景 在学习数学的过程中，我们常常会接触到不同的进位制．最常用的是十进制，而计算机内部使用的则是二进制．进位制的不同，既影响数的表示方式，也影响数的计算方法．通过对进位制的探讨，我们可以更深入地理解数的构成及其运算特点． 阅读材料 进位制是人们为了方便记数和运算而约定的记数系统．十进制使用0~9十个数字，逢十进一；二进制使用0和1两个数字，逢二进一．一个数可以表示为其各数位上的数字与基数的幂的乘积之和．约定：．例如： 十进制数可以表示为， 即； 二进制数可以表示为， 即． 解决问题 (1)理解应用：将二进制数表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和，并转换为十进制数． (2)拓展延伸：将十进制数89转换为二进制数和八进制数，要求体现转换的过程与结果． (3)创新应用：运用进制数的加法运算法则，计算（结果用十进制数表示），并说明计算的思想方法． 【B组---提高题】 1（22-23七年级下·甘肃兰州·期中）关于计算正确的是（    ） A．0 B．1 C． D． 2（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）概念学习 规定：求个相同的有理数（均不等于）的商的运算叫做除方， 比如，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“的次商”；写作，读作“的次商”，一般地，把（）这样个相除，写作，读作“的次商”． 初步探究 （1）请直接写出计算结果：________，________； （2）下列关于除方说法中，错误的是（   ）（单选） A．当时， B．当时， C．正数的次商结果是正数，负数的次商结果是负数 D．次商等于它本身的数是 深入思考 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方 乘方（幂）的形式． （3）归纳：请把有理数的次商（，），写成乘方（幂）的形式为：________； （4）比较：________（填“”“”或“”）； （5）计算：． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.3 有理数的乘方 本讲义亮度： 1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】 乘方的定义 【题型二】 乘方的运算 【题型三】 含乘方的四则混合运算 【题型四】 科学记数法 【题型五】近似数 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1 掌握乘方的概念，会求乘方； 2 掌握科学记数法与近似数。 1 乘方 求个相同数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。 在中，叫做底数，叫做指数. 2 乘方的性质 (1)负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； (2)正数的任何次幂都是正数，的任何正整数次幂都是. 3 有理数的混合运算 做有理数的混合运算时，应注意以下运算顺序： (1)先乘方，再乘除，最后加减； (2)同级运算，从左到右进行； (3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行. 4 科学记数法 把一个大于的数表示成的形式(其中，是正整数)，这种记数法是科学记数法. 5 近似数的精确位 一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位. 【题型一】 乘方的定义 相关知识点讲解 1 引入 我们小学学过平方、立方，比如3的平方，2的立方. 那我们今天学次方。 2 乘方 求个相同数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。 在中，叫做底数，叫做指数. 解释 (1)； (2)在中，底数是，指数是，读作的次方. (3)一个数可以看作这个数本身的一次方，即，如，指数通常省略不写. 【典题1】（24-25七年级上·河南许昌·期末）计算与的和的式子为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了乘方的意义和乘法的意义，解题关键是根据乘方的意义和乘法的意义写出算式． 【详解】解：，， 它们的和为：， 故选：A． 变式练习 1 （24-25七年级上·广西南宁·期中）的底数是（   ） A． B． C．3 D．9 【答案】A 【分析】本题考查有理数幂的定义，根据有理数幂的定义，其中为底数，进行判断即可． 【详解】解：的底数是； 故选A． 2（24-25七年级上·福建泉州·期末）式子可以表示为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数乘方的定义，根据多个相同的单项式相乘可以表示为幂的形式，即，a表示相同的单项式，m表示单项式的个数．据此即可解答． 【详解】解：， 故选：C． 3（24-25七年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）表示的意义是（    ） A．与5相乘 B．2个相乘 C．5个2相乘的相反数 D．2个5相乘的相反数 【答案】C 【分析】本题考查了有理数幂的概念、相反数，熟练掌握有理数幂的概念和相反数的定义是解题的关键．根据有理数幂的概念和相反数的定义即可解答． 【详解】解：表示的意义是5个2相乘的相反数． 故选：C． 【题型二】 乘方的运算 相关知识点讲解 1 的次方： 2 乘方的性质 (1)负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； (2)正数的任何次幂都是正数，的任何正整数次幂都是. 【典题1】（24-25六年级上·上海·期中）下列各数中，数值相等的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的乘法和有理数的乘方．根据有理数的乘方法则和有理数的乘法法则逐项计算排查即可解答． 【详解】解：A、，，和的数值不相等，本选项不符合题意； B、，，和的数值不相等，本选项不符合题意； C、，，和的数值不相等，本选项不符合题意； D、和，和的数值相等，本选项符合题意． 故选：D． 【典题2】（23-24七年级上·甘肃平凉·期中）下列算式中，计算结果是负数的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的乘方运算，加法运算，根据乘方法则，加法法则进行判断即可． 【详解】解：A、，计算结果为正，不符合题意； B、，计算结果是负数，符合题意； C、，计算结果为正，不符合题意； D、，计算结果为正，不符合题意； 故选B． 变式练习 1（24-25七年级下·福建三明·期中）对于与，下列叙述中正确的是（   ） A．底数相同，运算结果相同 B．底数相同，运算结果不同 C．底数不同，运算结果相同 D．底数不同，运算结果不同 【答案】C 【分析】本题主要考查了幂的认识和运算，准确分析判断是解题的关键． 根据幂的性质判断即可． 【详解】∵，， ∴与，底数不同，运算结果相同． 故选：C． 2（22-23七年级上·广西河池·期末）下列各数中，是负数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正负数的判断，先求出绝对值，进行有理数的乘方运算，化简多重符号，化简后，根据小于0的数为负数，进行判断即可． 【详解】解：A、，不是负数，不符合题意； B、，是负数，符合题意； C、，不是负数，不符合题意； D、，不是负数，不符合题意； 故选B． 3（24-25七年级上·北京·期中）下列各式中计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的乘方计算，根据有理数的乘方计算法则计算出对应式子的值即可得到答案． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 4（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）下列各组数中，相等的一组是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】此题考查有理数的乘方、相反数和绝对值，关键是根据有理数的乘方、相反数和绝对值的意义分别求出每组数据是本题的关键． 根据有理数的乘方、相反数和绝对值的意义分别求出每组数据，再进行比较，即可得出答案． 【详解】解：A、，，不相等，故不符合题意； B、，，不相等，故不符合题意； C、，，不相等，故不符合题意； D、，，相等，故符合题意； 故选：D． 5（24-25七年级上·辽宁大连·期末）下列各对数中，相等的是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】此题考查了乘方运算和绝对值的化简，根据运算法则计算后即可得作出判断和解答． 【详解】A. ，，故选项不符合题意； B. ，，不相等，故选项不符合题意；     C. ，，相等，故选项符合题意；     D. ，，不相等，故选项不符合题意． 故选：C 6（24-25六年级上·上海·阶段练习）计算的值是（   ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘方，利用有理数的乘方的运算法则是解题的关键．将写成的形式进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 故选：D． 【题型三】含乘方的四则混合运算 【典题1】（24-25七年级上·湖南永州·期中）计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)5 (4)15 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算和含乘方的有理数的混合运算，熟练掌握运算法则和顺序是解题的关键． （1）先计算绝对值和有理数的乘除，再计算有理数的加减，即得答案； （2）先计算有理数的乘方，然后计算两个括号中的加减，再计算有理数的乘法，最后计算有理数的加减，即得答案． （3）先算括号，再算除法即可； （4）先算乘方，再算乘除，最后算加减即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 变式练习 1（24-25七年级上·陕西西安·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的加减计算，四则混合计算，含乘方的有理数混合计算，乘法分配律，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）根据有理数加减计算法则求解即可； （2）先计算乘法，再计算加法即可得到答案； （3）根据乘法分配律去括号，然后计算乘法，最后计算加减法即可得到答案； （4）按照先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加减法，有括号先计算括号的运算顺序求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）原式 ． （3） ． （4）解： ． 2（24-25七年级上·四川眉山·期末）若与互为相反数． (1)求，的值； (2)规定一种新运算：，如 ，求的值． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题主要考查了相反数的概念，绝对值和偶次幂的非负性，有理数的运算，掌握运算法则是解题的关键． （）根据相反数的概念和平方，绝对值的非负性即可得出，的值； （）根据新定义运算列式即可求解； 【详解】（1）解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， ∴，； （2）解：由（）得：，， ∴ ． 3（24-25七年级下·江西景德镇·期中）在一次数学兴趣小组活动中，老师和几个同学在一起探讨：在中，，，三者的关系，如果已知，的值，可以求的值吗?他们对此进行了研究，规定；若，则，例如；若，则． (1)______； (2)请你计算： 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的乘方运算，熟记有理数乘方运算法则是解答本题的关键． （1）结合有理数的乘方，根据新定义运算即可； （2）结合有理数的乘方，根据新定义运算即可． 【详解】（1）解： ， ， 故答案为：； （2） ，， ． 【题型四】 科学记数法 相关知识点讲解 把一个大于的数表示成的形式(其中，是正整数)，这种记数法是科学记数法. 【例】. 【典题1】（2025·浙江·二模）2024年温州累计发放个人住房贷款约10820000万元，数据10820000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法：为整数，进行表示即可． 【详解】解：10820000； 故选B． 变式练习 1（2025年天津市红桥区九中考数学二模试卷）据2025年4月2日《天津日报》报道，2025年第一季度，天津轨道交通日均客运量约为1697200人次，较2024年同期增长约．将数据1697200用科学记数法表示应为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键． 将1697200写成其中，n为整数的形式即可． 【详解】解：． 故选B． 2（2025·江西吉安·一模）全称杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司，是一家创新型科技公司．数据显示，随着访问量急速上升，2025年2月1日成为史上最快突破3000万日活跃用户量的应用．数据3000万用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数． 【详解】解：3000万． 故选：C． 3（24-25七年级上·湖南长沙·期末）据统计，年双十一当天，天猫成交额亿，亿用科学记数法可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，先把亿转化为，再根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：亿， 故选：． 【题型五】 近似数 相关知识点讲解 一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位. 【例】 (精确到) 【典题1】（24-25七年级上·广东·期中）用四舍五入法取近似数，则0.25962精确到千分位是（    ） A．0.25 B．0.259 C．0.260 D．0.2596 【答案】C 【分析】本题考查了近似数与精确度，熟练掌握精确度的定义是解答本题的关键．近似数的最后一个数字实际在什么位上，即精确到了什么位，要求精确到某一位，应当对下一位的数字进行四舍五入． 【详解】解：（精确到千分位）． 故选C． 变式练习 1（24-25七年级上·广西南宁·期中）精确到百分位的近似数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了近似数和有效数字，利用四舍五入法解答是解题的关键． 利用四舍五入法将精确到百分位得到，即可得到答案． 【详解】解：精确到百分位的近似数是， 故选：D． 2（24-25七年级上·陕西渭南·期中）用四舍五入法将2.796精确到百分位，所得到的近似数为（   ） A．2.79 B．2.7 C．2.80 D．2.8 【答案】C 【分析】本题考查近似数．根据精确度的要求和四舍五入法，即可解答本题． 【详解】解：， ∴用四舍五入法将2.796精确到百分位，所得到的近似数为2.80， 故选：C． 3（24-25七年级上·贵州遵义·期中）有一个数学常数叫“黄金分割比”，它的值约为0.61803399，将0.61803399用四舍五入法精确到0.001的近似数为（   ） A．0.61 B．0.62 C．0.6 D．0.618 【答案】D 【分析】本题考查了近似数和有效数字：近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．把万分位上数字0进行四舍五入即可． 【详解】解：将0.61803399用四舍五入法精确到0.001的近似数为． 故选：D． 【A组---基础题】 1（24-25七年级上·重庆江北·期中）把精确到百分位得（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数的精确，掌握小数点后第一位为十分，第二位为百分位，四舍五入，数位上为0的要用0占位是解题的关键．根据要求按四舍五入精确到0.01即可得出答案． 【详解】解：精确到百分位是 故选：A． 2（2025·北京·模拟预测）2024年，我国共授权发明专利104.5万件，同比增长．将1045000用科学记数法表示应为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查科学记数法表示较大的数，将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．熟练掌握其定义是解题的关键． 【详解】解：， 故选：D． 3（24-25七年级上·广西河池·期末）下列各式中，不相等的是（ ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】本题考查有理数乘方的运算，绝对值，熟练掌握乘法的定义及运算是解题的关键．利用乘方的定义依次进行计算，即可判断． 【详解】解：A中，∵，， ∴， 故选项A正确，不符合题意； B中，∵，， ∴， 故选项B正确，不符合题意； C中，∵，， ∴， 故选项C错误，符合题意； D中，∵，， ∴， 故选项D正确，不符合题意； 故选：C． 4（24-25七年级上·浙江杭州·期末）下列各组数中，计算结果相等的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是去括号、求一个数的绝对值、有理数的乘方运算，解题关键是熟练掌握相关运算法则．根据去括号、求一个数的绝对值、有理数的乘方运算对选项进行逐一判断即可求解． 【详解】解：、，，即，运算结果不相等，不符合题意； 、，，即，运算结果相等，符合题意； 、，，即，运算结果不相等，不符合题意； 、，，即，运算结果不相等，不符合题意，． 故选：． 5（24-25七年级下·河南·自主招生）下列各组式子中，运算结果相等的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的乘方运算以及绝对值运算，掌握相关运算法则即可． 分别计算各选项的两个数，再比较即可． 【详解】解：A、，，故，符合题意； B、，，故，不符合题意； C、，，故，不符合题意； D、，，故，不符合题意； 故选：A． 6（2025·安徽合肥·二模）国家林草局公报显示，2024年我国共完成营造林万公顷，将万用科学记数法表示应为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：万, 故选B． 7（24-25七年级上·北京·期中）按下面的程序计算：当输入时，输出结果是419；当输入时，输出结果是626；如果输入x的值是正整数，输出结果是311，那么满足条件的x的值最多有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了有理数与程序图的运算，根据程序图的运算顺序，分别算出第一个数、第二个数、第三个数，第四个数，再结合输入x的值是正整数，进行作答即可． 【详解】解：第一个数就是直接输出其结果的：， 解得：， 第二个数是 解得：； 第三个数是：， 解得：， 第四个数是， 解得：，不是正整数（舍去）； 故满足条件所有x的值是104、35或12． 故选：C． 8（24-25七年级上·河北沧州·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则与运算顺序是解此题的关键． （1）根据有理数的四则混合运算法则进行计算即可； （2）根据有理数乘法运算律进行计算即可； （3）先算有理数的乘方，再算有理数乘法，最后算加法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 9（24-25七年级上·河北石家庄·期中）若，则记为，例如，则． （1）根据上述规定，直接写出 ． （2）若，，则 ． 【答案】 5 4 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，掌握同底数幂的乘法的运算法则是关键． （1）直接根据规定的定义解答即可； （2）根据规定的定义先求得a、b的值，再按定义解答即可． 【详解】解：（1）∵， ∴． 故答案为：5； （2）∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：4． 10（24-25七年级上·福建龙岩·期中）综合与实践：进位制的认识与探究 题目背景 在学习数学的过程中，我们常常会接触到不同的进位制．最常用的是十进制，而计算机内部使用的则是二进制．进位制的不同，既影响数的表示方式，也影响数的计算方法．通过对进位制的探讨，我们可以更深入地理解数的构成及其运算特点． 阅读材料 进位制是人们为了方便记数和运算而约定的记数系统．十进制使用0~9十个数字，逢十进一；二进制使用0和1两个数字，逢二进一．一个数可以表示为其各数位上的数字与基数的幂的乘积之和．约定：．例如： 十进制数可以表示为， 即； 二进制数可以表示为， 即． 解决问题 (1)理解应用：将二进制数表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和，并转换为十进制数． (2)拓展延伸：将十进制数89转换为二进制数和八进制数，要求体现转换的过程与结果． (3)创新应用：运用进制数的加法运算法则，计算（结果用十进制数表示），并说明计算的思想方法． 【答案】(1)， (2)见解析，， (3)84，见解析 【分析】本题主要考查了单位进制的转化运算，根据单位制转换，含乘方的有理数混合运算即可得解，熟练掌握单位制换算是解题的关键． （1）根据题干二进制数转换为十进制数的方法计算即可； （2）①根据题干十进制数转换为二进制数的方法计算即可；②仿照题干的转化方法把十进制数转换为八进制数即可； （3）二进制数转化成十进制数，八进制数转化成十进制数后相加． 【详解】（1）解： ． （2）①二进制如下： ∵……1； ……0； ……0； ……1； ……1； ……0； ……1； ∴从下往上读取余数，得到； ②八进制如下： ∵……1； ……3； ……1； ∴从下往上读取余数，得到． （3）解：解法1（分步计算）： ∵， ， ∴， 方法：运用转化与化归的思想方法，将不同进位制数统一成十进制数之后，按十进制数的方式方法解决问题．     解法2（整体计算）： 原式 （或）（或84）， 方法：运用转化与化归的思想方法，将不同进位制数统一成十进制数之后，按十进制数的方式方法解决问题． 【B组---提高题】 1（22-23七年级下·甘肃兰州·期中）关于计算正确的是（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了积的乘方，解题关键是熟练运用积的乘方计算公式．运用可得到结果． 【详解】解：， 故选：B． 2（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）概念学习 规定：求个相同的有理数（均不等于）的商的运算叫做除方， 比如，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“的次商”；写作，读作“的次商”，一般地，把（）这样个相除，写作，读作“的次商”． 初步探究 （1）请直接写出计算结果：________，________； （2）下列关于除方说法中，错误的是（   ）（单选） A．当时， B．当时， C．正数的次商结果是正数，负数的次商结果是负数 D．次商等于它本身的数是 深入思考 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方 乘方（幂）的形式． （3）归纳：请把有理数的次商（，），写成乘方（幂）的形式为：________； （4）比较：________（填“”“”或“”）； （5）计算：． 【答案】（1）， （2） （3） （4） （5） 【分析】本题主要考查了有理数的除法运算，有理数的乘方运算，含乘方的有理数混合运算等知识点，读懂题意，深刻理解题中所给除方的定义是解题的关键． （1）根据除方的定义进行计算即可； （2）根据除方的定义逐项分析判断即可； （3）根据题中所给示例进行计算即可得出答案； （4）分别求出和，然后比较即可； （5）根据除方的定义进行计算即可． 【详解】解：（1）由题知：， ， 故答案为：，； （2）由题知： A．当时，， 该说法正确，故选项不符合题意； B．当时，， 该说法正确，故选项不符合题意； C．当为正数时，的次商表示个相除，结果是正数， 当为负数时，奇数个负数相除结果为负，偶数个负数相除结果为正， 该说法错误，故选项符合题意； D．由除方的定义可知，次商等于它本身的数是， 该说法正确，故选项不符合题意； 故选：； （3）由题知： ， 故答案为：； （4），， ， 故答案为：； （5） ． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$