专题08 与绝对值有关的十大题型（举一反三专项训练）数学湘教版2024七年级上册

专题08 与绝对值有关的十大题型（举一反三专项训练） 【湘教版2024】 【题型1 代数视角看绝对值的意义】 1 【题型2 几何视角看绝对值的意义】 3 【题型3 绝对值的非负性】 3 【题型4 多绝对值处理——数形结合】 3 【题型5 多绝对值处理——分类讨论】 5 【题型6 多绝对值处理——零点分段】 5 【题型7 多绝对值之和的最小值】 5 【题型8 多绝对值之差的最大值】 5 【题型9 绝对值和差的最值】 6 【题型10 利用隐最值求最值】 6 知识点1 代数视角看绝对值的意义 绝对值的代数意义： （去绝对值法则） ； 变式结论： ①若，则； ②若，则； ③. 知识点2 几何视角看绝对值的意义 绝对值距离，数形 的几何意义：数轴上表示a的点到原点的距离． 的几何意义：数轴上表示的点与表示的点之间的距离． 知识点3 绝对值的非负性 1. ，绝对值无负数 2. 若，则且 3. 若=0，则且 知识点4 多绝对值处理——数形结合 ，表示P，A两点之间的距离； ，表示P，B两点之间的距离； ， 表示P到A，B两点的距离之和． 知识点5 多绝对值处理——分类讨论 或 为1； 为－1． ． ①a，b同正，值为； ②a，b同负，值为； ③a，b异号，值为． 注：无需讨论具体数的符号． 知识点6 多绝对值处理——零点分段 零点：使绝对值为0的未知数的值即为零点． 方法： ①寻找所有零点，并在数轴上表示； ②依据零点将数轴进行分段； ③分别根据每段未知数的范围去绝对． 易错点：分类不明确，不会去绝对值， 化简：． 令，，解得，， 故零点为a，b，分三种情况讨论： ①； ②； ③． 知识点7 多绝对值型最值 1. 若，则当时，有最小值． 2. 若，则当时，有最小值． 3. n个绝对值之和求最小值 一般地，设，． ①若n为奇数，则当时，P有最小值；②若n为偶数，则当时，P有最小值． 口诀：按序排列，奇取中值，偶取中段． 4. 系数不为1型绝对值之和求最小值，可化为系数为1型问题解决． 5. 若，则当时，的最大值为． 6. 绝对值和差混搭求最大值：数形结合，分析表示数x的点的位置． 7. 注意挖掘几个绝对值之和有最小值，及取得最小值时字母的范围这个隐藏的条件． 【题型1 代数视角看绝对值的意义】 【例1】（24-25七年级下·陕西榆林·开学考试）已知有理数，，在数轴上的位置如图所示，化简式子的值为 ． 【变式1-1】（2025七年级上·全国·专题练习）已知，则的值为 ． 【变式1-2】（23-24七年级上·辽宁大连·阶段练习）若，则的取值范围是 ． 【变式1-3】（24-25七年级上·江苏盐城·期中）若，，且，则的值为 ． 【题型2 几何视角看绝对值的意义】 【例2】已知，求的值． 【变式2-1】数轴上点A表示的数为，点B表示的数为x，若A，B两点之间的距离为11，求x的值． 【变式2-2】已知，求的值． 【变式2-3】若，请结合数轴确定t的取值． 【题型3 绝对值的非负性】 【例3】已知，求y的值． 【变式3-1】（2025九年级下·西藏·专题练习）若，则的值为 ． 【变式3-2】（24-25七年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）若与互为相反数，则的值为 【变式3-3】已知，求的值． 【题型4 多绝对值处理——数形结合】 【例4】（24-25七年级上·福建泉州·期中）阅读下面材料： 在数轴上点A、B分别表示数a，b，则A、B两点之间的距离，例如，当，． 回答下列问题： (1)①在数轴上表示与两点间的距离是 ， ②在数轴上表示x与4两点间的距离是 ； ③在数轴上表示x与________两点之间的距离为． (2)下面对式子进行探究： ①当表示数x的点在与4之间移动时，的值总是一个固定的值为：___________． ②要使，数轴上表示的数___________________． (3)求的最小值． 【变式4-1】如图，数轴上4个点表示的数分别为a、b、c、d．若|a﹣d|＝10，|a﹣b|＝6，|b﹣d|＝2|b﹣c|，则|c﹣d|＝（　　）    A．1 B．1.5 C．2.5 D．2 【变式4-2】如图A，B，C，D，E分别是数轴上五个连续整数所对应的点，其中有一点是原点，数a对应的点在B与C之间，数b对应的点在D与E之间，若则原点可能是 ． 【变式4-3】点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，则在数轴上、两点之间的距离． 所以式子的几何意义是数轴上表示的点与表示2的点之间的距离．借助于数轴回答下列问题： ①数轴上表示2和5两点之间的距离是 ，数轴上表示1和的两点之间的距离是 ． ②数轴上表示和的两点之间的距离表示为 ． ③数轴上表示的点到表示1的点的距离与它到表示的点的距离之和可表示为：．则的最小值是 ． ④若，则    【题型5 多绝对值处理——分类讨论】 【例5】已知为有理数． （1）若，则__________；若，则________． （2）已知，，，求的值． （3）已知，且，求的值． 【变式5-1】已知x，y均为整数，且|x﹣y|+|x﹣3|＝1，则x+y的值为 ． 【变式5-2】（24-25七年级上·四川德阳·阶段练习）如果为非零有理数且，那么的值为 ． 【变式5-3】（23-24八年级上·浙江宁波·期末）若关于x的方程有三个整数解，则的值是(    ) A．0 B．1 C．2 D．3 【题型6 多绝对值处理——零点分段】 【例6】无论取何值，都成立，则的取值范围是 ． 【变式6-1】已知，求x的值． 【变式6-2】已知，求的最大值和最小值． 【变式6-3】若，求x的值． 【题型7 多绝对值之和的最小值】 【例7】（23-24七年级上·四川成都·期中）设，，，则的最小值是 ． 【变式7-1】（23-24七年级上·浙江嘉兴·阶段练习）式子的最小值是 ． 【变式7-2】请解答下列问题： ①当代数式取最小值时，的取值范围是 ，最小值为 ． ②求的最小值为 ． 【变式7-3】（24-25七年级上·湖北武汉·期中）设有理数a，b，c，满足，，且，则的最小值为 ． 【题型8 多绝对值之差的最大值】 【例8】（22-23七年级上·四川成都·期中）若的最小值记为，的最大值记为，则 ． 【变式8-1】（24-25七年级上·安徽六安·期中）若点在数轴上分别表示有理数，则两点之间的距离表示为 （1）若，这样的数x为 ； （2）结合数轴探究：存在x的值，使式子有最大值，这个最大值是 ． 【变式8-2】（22-23七年级上·浙江宁波·期中）的最大值为 ． 【变式8-3】（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）当式子取得最大值时，x的最大整数值是 ． 【题型9 绝对值和差的最值】 【例9】（22-23七年级上·浙江温州·阶段练习）式子的最小值是 ． 【变式9-1】求的最大值,并写出此时的取值范围 【变式9-2】（22-23九年级下·福建南平·自主招生）已知；，则的最大值为 ． 【变式9-3】（24-25七年级上·北京·期中）1．已知，有理数在数轴上的位置如图所示， （1）化简： ； （2）若两数的倒数是他们自身，当的范围是 时，有最小值，最小值为 ． （3）在（2）的条件下，若未知数满足，则的最大值是 ． 【题型10 利用隐最值求最值】 【例10】（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）若：，则的最小值是 【变式10-1】（23-24七年级上·浙江绍兴·阶段练习）已知a、b为整数，，且，则a的最小值为 ． 【变式10-2】我们知道，|x|表示x在数轴上对应的点到原点的距离，我们可以把看作|x-0|，所以，|x- 3|就表示x在数轴上对应的点到3的距离，|x1||x-（-1）|就表示x在数轴上对应的点到-1的距离，由上面绝对值的几意义，解答下列问题： (1) 当|x-4||x2|有最小值时，x的取值情况是 ； (2) |x-3||x2 ||x6|的最小值是 ； (3) 已知| x -1||x2 ||y-3||y4|10 求2xy 的最大值和最小值. 【变式10-3】（23-24九年级下·浙江温州·自主招生）已知，则的最小值为 ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 与绝对值有关的十大题型（举一反三专项训练） 【湘教版2024】 【题型1 代数视角看绝对值的意义】 1 【题型2 几何视角看绝对值的意义】 4 【题型3 绝对值的非负性】 5 【题型4 多绝对值处理——数形结合】 7 【题型5 多绝对值处理——分类讨论】 10 【题型6 多绝对值处理——零点分段】 13 【题型7 多绝对值之和的最小值】 14 【题型8 多绝对值之差的最大值】 17 【题型9 绝对值和差的最值】 19 【题型10 利用隐最值求最值】 23 知识点1 代数视角看绝对值的意义 绝对值的代数意义： （去绝对值法则） ； 变式结论： ①若，则； ②若，则； ③. 知识点2 几何视角看绝对值的意义 绝对值距离，数形 的几何意义：数轴上表示a的点到原点的距离． 的几何意义：数轴上表示的点与表示的点之间的距离． 知识点3 绝对值的非负性 1. ，绝对值无负数 2. 若，则且 3. 若=0，则且 知识点4 多绝对值处理——数形结合 ，表示P，A两点之间的距离； ，表示P，B两点之间的距离； ， 表示P到A，B两点的距离之和． 知识点5 多绝对值处理——分类讨论 或 为1； 为－1． ． ①a，b同正，值为； ②a，b同负，值为； ③a，b异号，值为． 注：无需讨论具体数的符号． 知识点6 多绝对值处理——零点分段 零点：使绝对值为0的未知数的值即为零点． 方法： ①寻找所有零点，并在数轴上表示； ②依据零点将数轴进行分段； ③分别根据每段未知数的范围去绝对． 易错点：分类不明确，不会去绝对值， 化简：． 令，，解得，， 故零点为a，b，分三种情况讨论： ①； ②； ③． 知识点7 多绝对值型最值 1. 若，则当时，有最小值． 2. 若，则当时，有最小值． 3. n个绝对值之和求最小值 一般地，设，． ①若n为奇数，则当时，P有最小值；②若n为偶数，则当时，P有最小值． 口诀：按序排列，奇取中值，偶取中段． 4. 系数不为1型绝对值之和求最小值，可化为系数为1型问题解决． 5. 若，则当时，的最大值为． 6. 绝对值和差混搭求最大值：数形结合，分析表示数x的点的位置． 7. 注意挖掘几个绝对值之和有最小值，及取得最小值时字母的范围这个隐藏的条件． 【题型1 代数视角看绝对值的意义】 【例1】（24-25七年级下·陕西榆林·开学考试）已知有理数，，在数轴上的位置如图所示，化简式子的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数与数轴，整式的加减，由数轴可得，即得，，，再根据绝对值的性质化简即可求解，由数轴判断求出的符号是解题的关键． 【详解】解：由数轴可得，， ∴，，， ∴原式 ， 故答案为：． 【变式1-1】（2025七年级上·全国·专题练习）已知，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了绝对值的性质，掌握绝对值的性质是解题的关键．根据的取值范围，结合绝对值的性质，可得，整理得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【变式1-2】（23-24七年级上·辽宁大连·阶段练习）若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据绝对值的性质可得，即可获得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了绝对值的性质，熟练掌握绝对值的性质是解题关键． 【变式1-3】（24-25七年级上·江苏盐城·期中）若，，且，则的值为 ． 【答案】或 【分析】此题考查了有理数的减法，绝对值，代数式，掌握绝对值性质的逆向运用是解题的关键．由，，可得出，分别代入中，得出满足题意即可得出结果． 【详解】 ，， ， 当时， ，满足题意， ， 当时， ，不满足题意舍去， 当时， ，满足题意， ， 当时， ，不满足题意舍去， 综上所述，的值为或， 故答案为：或． 【题型2 几何视角看绝对值的意义】 【例2】已知，求的值． 【答案】m的值为3或18 【详解】解：如图，设A，B，P表示的数分别为，8，m，则的几何意义是． ①如图1，当点P在点A的左侧时，，不成立； ②如图2，当点P在点A，B两点之间，即时，，，，解得； ③如图3，当点P在点B的右侧时，即时，，，，解得． 综上所述，m的值为3或18． 【变式2-1】数轴上点A表示的数为，点B表示的数为x，若A，B两点之间的距离为11，求x的值． 【答案】或 【详解】解：依题意，得，或，或． 【变式2-2】已知，求的值． 【答案】的值为7或1 【详解】解：的几何意义是数轴上表示数m和2两点之间的距离． 当m在2的左侧即时，，，此时； 当m在2的右侧即时，，，此时； 综上所述，的值为7或13． 【变式2-3】若，请结合数轴确定t的取值． 【答案】 【详解】解：的几何意义是，数轴上表示数t的点到表示数，1，8这三个点的距离之和为12，即图中，由图可知，，只有当点P与点B重合时，，． 【题型3 绝对值的非负性】 【例3】已知，求y的值． 【答案】 【详解】解：， ，， ， ， 又，， ，， ，，． 【变式3-1】（2025九年级下·西藏·专题练习）若，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了绝对值的非负性，代数式求值．熟练掌握绝对值的非负性是解题的关键．由题意知，求的值，然后代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为：1． 【变式3-2】（24-25七年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）若与互为相反数，则的值为 【答案】10 【分析】本题考查了代数式的求值、绝对值的非负性、相反数，熟练掌握相关知识点是解题的关键．由题意得，，利用绝对值的非负性求出的值，再代入即可求值． 【详解】解：与互为相反数， ， ，， ，， ． 故答案为：10． 【变式3-3】已知，求的值． 【答案】 【详解】解：， ，， ， ，且， ，， ． 【题型4 多绝对值处理——数形结合】 【例4】（24-25七年级上·福建泉州·期中）阅读下面材料： 在数轴上点A、B分别表示数a，b，则A、B两点之间的距离，例如，当，． 回答下列问题： (1)①在数轴上表示与两点间的距离是 ， ②在数轴上表示x与4两点间的距离是 ； ③在数轴上表示x与________两点之间的距离为． (2)下面对式子进行探究： ①当表示数x的点在与4之间移动时，的值总是一个固定的值为：___________． ②要使，数轴上表示的数___________________． (3)求的最小值． 【答案】(1)①4；②；③ (2)①6；②5或 (3)9 【分析】本题考查了绝对值的几何意义是数轴上两点之间的距离，理解绝对值的几何意义是解题的关键． （1）直接根据题干中两点之间的距离公式计算即可； （2）①分析出的意义，再结合数轴可得； ②分析出的意义，再根据两点之间的距离为8列式计算即可； （3）分5种情况去绝对值符号，计算各种不同情况的值，最后讨论得出最小值． 【详解】（1）解：①在数轴上表示与两点间的距离是； ②在数轴上表示x与4两点间的距离是； ③ 则在数轴上表示x与两点之间的距离为； （2）解：①当表示数x的点在与4之间移动时， 表示数轴上x与的距离和与4的距离之和， 则此时； ②表示数轴上x与的距离和与4的距离之和为8， 则x的值为或； （3）解：表示数轴上x分别与4，2，，的距离之和， 时，原式,此时的最小值是13； 时，原式，此时的最小值是9； 时，原式， 时，原式，此时的最小值是9； 时，原式，此时的最小值是11， 综上：的最小值为9． 【变式4-1】如图，数轴上4个点表示的数分别为a、b、c、d．若|a﹣d|＝10，|a﹣b|＝6，|b﹣d|＝2|b﹣c|，则|c﹣d|＝（　　）    A．1 B．1.5 C．2.5 D．2 【答案】D 【分析】根据|a−d|＝10，|a−b|＝6得出b和d之间的距离，从而求出b和c之间的距离，然后假设a表示的数为0，分别求出b，c，d表示的数，即可得出答案． 【详解】解：∵|a−d|＝10， ∴a和d之间的距离为10， 假设a表示的数为0，则d表示的数为10， ∵|a−b|＝6， ∴a和b之间的距离为6， ∴b表示的数为6， ∴|b−d|＝4， ∴|b−c|＝2， ∴c表示的数为8， ∴|c−d|＝|8−10|＝2， 故选：D． 【点睛】本题主要考查数轴上两点间的距离、绝对值的意义，关键是要能恰当的设出a、b、c、d表示的数． 【变式4-2】如图A，B，C，D，E分别是数轴上五个连续整数所对应的点，其中有一点是原点，数a对应的点在B与C之间，数b对应的点在D与E之间，若则原点可能是 ． 【答案】B或E 【分析】先利用数轴特点确定a，b的关系从而求出a，b的值，确定原点． 【详解】解：当为A为原点时，|a|+|b|＞3， 当B为原点时，|a|+|b|可能等于3， 当C为原点时，|a|+|b|＜3， 当D为原点时，|a|+|b|＜3， 当E为原点时，|a|+|b|可能等于3． 故答案为：B或E． 【点睛】本题主要考查的是数轴与绝对值，分类讨论是解题的关键． 【变式4-3】点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，则在数轴上、两点之间的距离． 所以式子的几何意义是数轴上表示的点与表示2的点之间的距离．借助于数轴回答下列问题： ①数轴上表示2和5两点之间的距离是 ，数轴上表示1和的两点之间的距离是 ． ②数轴上表示和的两点之间的距离表示为 ． ③数轴上表示的点到表示1的点的距离与它到表示的点的距离之和可表示为：．则的最小值是 ． ④若，则    【答案】 3 4 4 或5 【分析】①根据题目中公式求解即可； ②根据题目中公式求解即可； ③根据题目中公式求解即可； ④分为三种情况讨论，第一种，第二种，第三种 ，分别求解即可； ⑤方法一：根据④求解方法，可得原方程等号左侧最小值为4，而目前值为8，因此将3和-1同时向左或向右移动个单位即可；方法二：根据题意，参考④的方法，分三种情况套路即可． 【详解】①|2-5|=3，所以2和5之间的距离为3； ②|-3-1|=4，所以-3和1之间的距离为4； ③，所以x和-2之间的距离为|x+2|； ④当第一种情况时，原式=，无最小值 当第二种情况时，原式= ，所以最小值为4 当第三种情况时，原式=，无最小值 所以原式的最小值为4； ⑤方法一：根据④得到|x−3|+|x+1|当时，最小值为4 因为|x−3|+|x+1|=8，所以将3向右移动2个单位或-1向左移动两个单位，此时x到两点的距离和为8，此时x= -1-2= -3，或x=3+2=5 因此x=−3 或5 方法二：当时，得，解得x= -3 当时，得，此时无解 当时，得，解得x=5 故原方程的解为-3或5 故答案为①3；②4；③ |x+2| ；④4；⑤ −3 或5． 【点睛】本题考查了绝对值的意义，绝对值返程，熟练掌握绝对值的含义是本题的关键，绝对值的几何意义表示两点间的距离． 【题型5 多绝对值处理——分类讨论】 【例5】已知为有理数． （1）若，则__________；若，则________． （2）已知，，，求的值． （3）已知，且，求的值． 【答案】（1）-a，b；（2）2或-2；（3）-1 【分析】（1）根据绝对值的性质即可解答； （2）根据，，判断出b，c同号，再对b，c的符号进行分类讨论，利用绝对值的性质即可化简； （3）根据，且，可得a，b，c可能是一正两负，或者是两正一负；进行分类讨论，利用绝对值的性质进行化简即可． 【详解】解：（1）若，则-a， 若，则b， 故答案为：-a，b； （2）∵，， ∴b，c同号， ①若，，，则ab＞0，ac＞0， ∴， ②若，，，则ab＜0，ac＜0， ∴， 综上所述，的值为2或-2； （3）∵，且， ∴a，b，c可能是一正两负，或者是两正一负； ①若a，b，c是一正两负，不妨设a为正，b，c为负， 则 = = =-1 ②若a，b，c是两正一负，不妨设a，b为正，c为负， 则 = = =-1 综上所述：的值为-1． 【点睛】本题主要考查了绝对值性质以及有理数的运算，解题的关键是讨论字母的符号进行分类讨论． 【变式5-1】已知x，y均为整数，且|x﹣y|+|x﹣3|＝1，则x+y的值为 ． 【答案】5或7或8或4 【分析】由绝对值的非负性质可知|x﹣y|和|x﹣3|这两个非负整数一个为1，一个为0，即，或，，然后解绝对值方程组即可，． 【详解】解：因为，均为整数，， 可得：，或，， ∴当，，可得：，，则； 当，，可得：，，则； 当，，可得：，，则； 当，，可得：，，则， 故答案为5或7或8或4． 【点睛】本题考查了绝对值性质，由非负整数和为1得出加数分别为1和0，然后分类讨论解含绝对值的方程是关键． 【变式5-2】（24-25七年级上·四川德阳·阶段练习）如果为非零有理数且，那么的值为 ． 【答案】0 【分析】本题考查绝对值的意义、有理数四则混合计算，应用“分类讨论”的数学思想是关键． 根据、、是非零实数，且可知，，为两正一负或两负一正，按两种情况分别讨论代数式的可能的取值，再求所有可能的值即可． 【详解】解：∵为非零有理数且， 由已知可得：，，为两正一负或两负一正． ①当，b，c为两正一负时，不妨设为正，为负：，， ∴； ②当，b，c为两负一正时，不妨设为负，为正， ∴； 综上所述，的值为0． 故答案为：0． 【变式5-3】（23-24八年级上·浙江宁波·期末）若关于x的方程有三个整数解，则的值是(    ) A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据绝对值的性质可得然后讨论及的情况下解的情况，再根据方程有三个整数解可得出的值． 【详解】解：①若 当时，解得：，； 当时，解得：；； ②若 当时，解得：，； 当时，解得：，； 又方程有三个整数解， 可得：或，根据绝对值的非负性可得：． 即只能取． 故选：B． 【点睛】本题考查含绝对值的一元一次方程，难度较大，掌握绝对值的性质及不等式的解集的求法是关键． 【题型6 多绝对值处理——零点分段】 【例6】无论取何值，都成立，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分类讨论求出不同情况下的取值即可求出的取值范围． 【详解】解：零点为5和2， 当时， ； 当时， ； 当时， ； 综上，， 则当时，恒成立． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是求一元一次不等式的解集、化简绝对值、含绝对值的一元一次不等式，解题关键是对含绝对值的不等式分类讨论求解． 【变式6-1】已知，求x的值． 【答案】6或 【详解】解：先找零点，令，，分别解得，． ①当时，，，； ②当时，，无解； ③当时，，． 综上所述，6或． 【变式6-2】已知，求的最大值和最小值． 【答案】最大值为5，最小值为3 【详解】解：找到零点3，，结合可以分为以下两段进行分析： 当时，，有最小值3和最大值5； 当时，，． 综上可得最大值为5，最小值为3． 【变式6-3】若，求x的值． 【答案】10或 【详解】解：零点为12和1，分三种情况讨论： ①当时，，解得； ②当时，，解得； ③当时，，解得不成立． 综上所述，10或． 【题型7 多绝对值之和的最小值】 【例7】（23-24七年级上·四川成都·期中）设，，，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值和数轴上两点间的距离，熟练掌握用绝对值表示数轴上两点间的距离是解题关键. 【详解】解： 因为表示到1，的距离以及到3的距离的3倍之和， 所以当时，它们的距离之和最小， 此时； 故答案为: . 【变式7-1】（23-24七年级上·浙江嘉兴·阶段练习）式子的最小值是 ． 【答案】105 【分析】利用绝对值的意义判断即可． 【详解】解：表示数轴上一个动点到三个点之间的距离之和， 当时，最小，此时最小值为， 故答案为：105． 【点睛】本题考查了绝对值的意义，熟悉几个绝对值求和的规律以及绝对值的几何意义是解题的关键． 【变式7-2】请解答下列问题： ①当代数式取最小值时，的取值范围是 ，最小值为 ． ②求的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了绝对值的几何应用，数轴上两点距离计算，①由题意得，表示的是数轴上表示数x的点到表示数1和数的点的距离之和，设点A，点B，点C表示的数分别为，，x，则，分点C在点A左侧，点C在点A和点B之间时（包括A和B），点C在点B右侧，三种情况结合数轴可得当点C在点A和点B之间时（包括A和B），有最小值，最小值为的长；则当时，取最小值，据此求解即可；②同①可知当时，有最小值，当时，有最小值，当时，有最小值，……，当时，有最小值，则当时，有最小值，据此求解即可． 【详解】解：①由题意得，表示的是数轴上表示数x的点到表示数1和数的点的距离之和， 设点A，点B，点C表示的数分别为，，x，则， 当点C在点A左侧时， ； 当点C在点A和点B之间时（包括A和B），则； 当点C在点B右侧时，则； 综上所述，当点C在点A和点B之间时（包括A和B），有最小值，最小值为的长； ∴当时，取最小值，最小值为， 故答案为：；； ②同①可知当时，有最小值， 当时，有最小值， 当时，有最小值， ……， 当时，有最小值， 综上所述，当时，，，，…，能同时取得最小值，即当时，有最小值，最小值为， 故答案为：． 【变式7-3】（24-25七年级上·湖北武汉·期中）设有理数a，b，c，满足，，且，则的最小值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了绝对值的性质、整式的加减，根据题意将分成时，即；时，即，根据绝对值的性质及几何意义进行化简，即可求解；理解绝对值的几何意义，能进行分类进行讨论是解题的关键． 【详解】解：∵，，， 故当时，，即， ∵ ， ∴当时， 的最小值为到之间的距离， 为到之间的距离， ∴的最小值为 ； 当时，， 即， ∵ ； ∴当时， 的最小值为到之间的距离， 为到之间的距离， ∴的最小值为 ， 故答案为：或． 【题型8 多绝对值之差的最大值】 【例8】（22-23七年级上·四川成都·期中）若的最小值记为，的最大值记为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的化简，整式的加减，首先找到驻点，确定的取值范围，分类讨论确定和的值，再计算的值，运用分类讨论是解题的关键． 【详解】解：∵当时，， 当时，， 当时，， ∴， ∵当时，； 当时，，； 当时，， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式8-1】（24-25七年级上·安徽六安·期中）若点在数轴上分别表示有理数，则两点之间的距离表示为 （1）若，这样的数x为 ； （2）结合数轴探究：存在x的值，使式子有最大值，这个最大值是 ． 【答案】 5或1 6 【分析】本题主要考查了绝对值的定义，数轴上两点间的距离等知识， （1）根据数轴上两点之间的距离公式计算即可； （2）分、、分别化简，结合x的取值范围确定代数式值的范围，从而求出代数式的最大值； 熟练掌握绝对值的定义是解决此题的关键． 【详解】（1）由绝对值的几何意义知：表示在数轴上x表示的点到3的距离等于2， ∴，或， ∴或1； 故答案为：5或1； （2）当时，即表求x的点在的左侧时， 当时，即表求x的点在和5之间时， ∴， 当时，即表求x的点在5的右侧时， ∴的最大值为6， 故答案为：6． 【变式8-2】（22-23七年级上·浙江宁波·期中）的最大值为 ． 【答案】 【分析】分当、以及时三种情况讨论．进而得出答案． 【详解】解：当时，； 当时，； 当时，； ∴的最大值为， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了非负数的性质，正确利用绝对值的性质是解题关键． 【变式8-3】（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）当式子取得最大值时，x的最大整数值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了绝对值的几何意义，数轴上两点距离计算，根据绝对值的几何意义可得表示的是数轴上表示x的数与表示3的数的距离，表示的是数轴上表示x的数与表示的数的距离，据此讨论x的位置，确定取得最大值的情形即可得到答案． 【详解】解：由绝对值的几何意义可知，表示的是数轴上表示x的数与表示3的数的距离，表示的是数轴上表示x的数与表示的数的距离， 当x在左边（包含）时，的值即为到3的距离，即为， 当x在3的右边（包含3）时，的值即为， 当x在和3之间时，的值一定小于8， 综上所述，当时，取得最大值，此时x的最大值为， 故答案为：． 【题型9 绝对值和差的最值】 【例9】（22-23七年级上·浙江温州·阶段练习）式子的最小值是 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了绝对值．熟练掌握绝对值的化简，分类讨论，是解决问题的关键． 解法一：分，，，，，讨论，求出各股的最小值，再比较即得； 解法二：由绝对值的几何意义可知当时，有最小值，同理可知当时，有最小值，当时，有最小值，最小值为0，则当时，，，能同时取到最小值，进而可得当时，有最小值，据此求解即可． 【详解】解法一：设， 当时， ， ∴，最小值为：18； 当时， ， ∴，最小值为：11； 当时， ， ∴，最小值为：8； 当时， ， ∴，最小值为：8； 当时， ， ∴，最小值为：11； 当时， ， ∴，最小值为：18． 综上，原式的最小值为：8． 解法二：由绝对值的几何意义可知，表示的是数轴上表示x的数到表示1和5的数的距离之和， ∴当时，有最小值，最小值为， 同理可知当时，有最小值，最小值为， ∵， ∴当时，有最小值，最小值为0， 综上所述，当时，，，能同时取到最小值， ∵ ， ∴当时，有最小值，最小值为； 故答案为：8． 【变式9-1】求的最大值,并写出此时的取值范围 【答案】2 【详解】解：表示到1的距离与到2的距离的差与到3的距离与到 4 的距离的差的和, 时有最大值. 【变式9-2】（22-23九年级下·福建南平·自主招生）已知；，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】分三种情况进行讨论，求解即可． 【详解】解：①当时：，； ②当时：， ； ③当时：， ； ∴当时，有最大值； 故答案为：． 【点睛】本题考查化简绝对值．解题的关键是利用分类讨论的思想，化简绝对值． 【变式9-3】（24-25七年级上·北京·期中）1．已知，有理数在数轴上的位置如图所示， （1）化简： ； （2）若两数的倒数是他们自身，当的范围是 时，有最小值，最小值为 ． （3）在（2）的条件下，若未知数满足，则的最大值是 ． 【答案】 2 7 【分析】本题考查化简绝对值，两点间的距离，整式的加减运算，根据数轴判断数的大小，式子的符号，掌握绝对值的意义，是解题的关键． 【详解】解：（1）由图可知：，， ∴， ∴原式； 故答案为：； （2）∵两数的倒数是他们自身， ∴， ∵表示数轴上表示的数到表示和的数的距离和， ∴当时，有最小值为：； 故答案为：；2； （3）由（2）知：当时，有最小值为， 当时，有最小值为， ∵， ∴，， ∴的最大值为3，的最大值为， ∴的最大值为：； 故答案为：7． 【题型10 利用隐最值求最值】 【例10】（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）若：，则的最小值是 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的意义，根据的最小值为，的最小值为，结合数轴求得的最小值，即可求解． 【详解】解：∵的最小值为，的最小值为，当时，等式，成立， ∴的最小值为，的最小值为 ∴的最小值是 故答案为：． 【变式10-1】（23-24七年级上·浙江绍兴·阶段练习）已知a、b为整数，，且，则a的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，以及表示出数轴上两个有理数数的中点，根据，可知a到的距离和b到2的距离相等．即b和a分别是位于和2这两个点中点的两侧相邻的整数．先求出和2的中点，再利用即可得出a的值． 【详解】解：∵ ∴ 和2的中点 又∵，a、b为整数， ∴b为，a的最小值为． 故答案为：． 【变式10-2】我们知道，|x|表示x在数轴上对应的点到原点的距离，我们可以把看作|x-0|，所以，|x- 3|就表示x在数轴上对应的点到3的距离，|x1||x-（-1）|就表示x在数轴上对应的点到-1的距离，由上面绝对值的几意义，解答下列问题： (1) 当|x-4||x2|有最小值时，x的取值情况是 ； (2) |x-3||x2 ||x6|的最小值是 ； (3) 已知| x -1||x2 ||y-3||y4|10 求2xy 的最大值和最小值. 【答案】（1）；（2）9；（3）的最小值是，最大值是． 【分析】（1）由题意可得| x - 4 | | x 2 |表示到、两点距离之和，所以当时，取得最小值，由此即可解答；（2）由题意可得表示到、、的距离之和，即可得当时，取得最小值，最小值为；（3）由题意可知表示到、的距离之和，与到、的距离之和的和，再由=10可得且，由此即可求得的最大值及最小值. 【详解】（1）∵| x - 4 | | x 2 |表示到、两点距离之和， ∴当时，取得最小值，最小值是到的距离，也就是； 故答案为； (2)∵ 表示到、、的距离之和， ∴当时，取得最小值； 故答案为9； （3）∵表示到、的距离之和，与到、的距离之和的和， 又∵=10， ∴且， ∴当且时，取得最小值是； 当且时，取得最大值是． 【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离及绝对值的性质，熟练运用数轴上两点间的距离公式及绝对值的性质是解决问题的关键. 【变式10-3】（23-24九年级下·浙江温州·自主招生）已知，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据绝对值的意义得出最小值为，的最小值为，根据题意可得当时，取得最小值，取最大值，进而代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵要使的最小， ∴取最小值，取最大值， ∴当时，最小值为，最小为 当时， 的最小值为，最大为 ∴的最小值为 故答案为：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$