专题01 丰富的图形世界（专项训练）数学鲁教版五四制2024六年级上册

专题01 丰富的图形世界 目录 A题型建模・专项突破 题型一、从不同方向看几何体 1 题型二、正方体的展开图的识别 3 题型三、平面图形旋转后所得的立体图形 4 题型四、画从不同方向看几何体并求小立方块的数量 7 题型五、由展开图求几何体的表面积和体积 10 题型六、平面图形旋转后所得的立体图形并求体积 13 题型七、点、线、面、体四者之间的关系 15 题型八、长方体无盖展开图的有关问题 19 B综合攻坚・能力跃升 题型一、从不同方向看几何体 1．如图所示，由7个相同的小正方体组合成一个几何体，则这个几何体从它左面看到的平面图形是（    ） A． B． C． D． 2．如图，一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，从上面看这个几何体，看到的形状图如图所示，其中小正方形中的数字为该位置小立方块的个数，则从正面看这个几何体，看到的形状图是（   ） A． B． C． D． 3．“工”字型零件如图所示，其从左面看到的形状图是（   ） A． B． C． D． 4．[传统文化]作为中国汉族特有的手工制造陶土工艺品的紫砂壶，成型工艺特别，造型式样丰富，陶器色泽古朴典雅．如图是一个做工精湛的石瓢壶，则从上面看到的该物体的形状图可能是（   ） A． B． C． D． 题型二、正方体的展开图的识别 5．下列图形中，是正方体的表面展开图的是（   ） A．①② B．①③ C．③④ D．①④ 6．小明用纸（如图）折成一个正方体的盒子，里面装入礼物，与其它三个大小一样的正方体空盒子混于一起，根据观察，礼物所在的盒子是（    ） A． B． C． D． 7．在图中的①②③④的任意一个位置放置一个小正方形后所组成的图形能折成一个正方体，那么可放置的位置不能是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 8．如图，现有5个写有“传承红色基因”字样的正方形，在图中增加1个写有“因”字的正方形使所得图形经过折叠能够围成一个正方体，下列选项添加错误的是（    ）．    A．  B．  C．   D．   题型三、平面图形旋转后所得的立体图形 9．下列哪个图形旋转一周后得到的图形是圆柱体（　　） A． B． C． D． 10．将下列平面图形绕轴旋转一周，可以得到如图所示的立体图形的是（   ）    A．   B．   C．   D．   11．如图，将三角形绕直线l旋转一周，可得到的几何体是（   ） A． B． C． D． 12．如图所示的平面图形绕直线l旋转一周，得到的立体图形是（   ） A． B． C． D． 题型四、画从不同方向看几何体并求小立方块的数量 13．用若干个大小相同的小立方块搭成如图所示的几何体． (1)这个几何体由______个小立方块搭成； (2)画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图． 14．如图，是由若干个大小相同的小正方体搭成的一个几何体． (1)在下面相应的网格中，画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图； (2)已知小正方体的棱长为，求该几何体的表面积（包含底面）． 15．如图是由7个大小相同的小立方块搭成的一个几何体，根据要求完成下列题目： (1)请在指定位置分别画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图； (2)若给该几何体添加几个小立方块，所得新几何体与原几何体相比，从上面、左面看到的形状图保持不变，这样最多可以添加__________个小立方块， 16．如图是由一些相同的小立方块搭成的几何体． (1)分别画出从正面、左面、上面看到的几何体的形状图； (2)补全成一个正方体至少需要添加 个小方块； (3)小正方体棱长为3，则该几何体的表面积是 ； (4)不改变左面看到的形状最多可添加 个小立方块． 题型五、由展开图求几何体的表面积和体积 17．宁兴纸箱厂生产的长方体纸箱表面展开图如图所示，工厂工人准备将这个表面展开图折叠成一个长方体纸箱．若，，，求这个长方体的表面积和体积． 18．如图所示为一个棱柱形状的食品包装盒的展开图． (1)这个食品包装盒的几何体名称是________； (2)根据图中所给数据，求这个食品包装盒的侧面积． 19．如图是一个食品包装盒的展开图. (1)请写出这个包装盒的多面体形状的名称； (2)请根据图中所标的尺寸，计算这个多面体的侧面积和全面积（全面积是侧面积与两个底面积之和）. 20．如图是某几何体从正面、左面、上面看到的形状图． (1)这个几何体的名称是 ； (2)若从正面看到的长方形的宽为4，长为9，从左面看到的宽为3，从上面看到的直角三角形的斜边为5，则这个几何体中所有棱长的和是多少？它的表面积是多少？ 题型六、平面图形旋转后所得的立体图形并求体积 21．如图，将长方形绕其长边所在直线旋转一周，得到一个立体图形． (1)这个立体图形是______． (2)求这个立体图形的侧面积．（结果保留） 22．已知长方形的长为，宽为，将这个长方形分别绕它的长和宽旋转一周，可以得到两个圆柱（如图）． (1)圆柱①的底面直径是_____，高是_____；圆柱②的底面直径是_____，高是_____； (2)试比较这两个圆柱的侧面积． 23．小军和小红分别以直角梯形的上底和下底所在的直线为轴，将梯形旋转一周，得到了两个立体图形． 小军：我们旋转的平面图形是完全一样的，所以旋转后得到的两个立体图形的体积相等． 小红：我不同意你的看法，我认为甲、乙两个立体图形的体积不相等． (1)你同意____________的说法． (2)甲、乙两个立体图形的体积比是多少？ 24．如图，某银行大堂的旋转门内部由三块宽为、高为的玻璃隔板组成．    (1)将此旋转门旋转一周，能形成的几何体是_____，这能说明的事实是_____（选择正确的一项填入）． A．点动成线    B．线动成面    C．面动成体 (2)求该旋转门旋转一周形成的几何体的体积．（边框及衔接处忽略不计，结果保留） 题型七、点、线、面、体四者之间的关系 25．如图，观察下列几何体并回答问题：    (1)棱柱有 个面、 条棱、 个顶点，棱锥有 个面、 条棱、 个顶点． (2)所有像三棱柱、四棱柱、六棱柱、三棱锥等这样由四个或四个以上多边形所围成的立体图形叫作多面体．经过前人们归纳总结发现，多面体的面数、顶点个数以及棱的条数存在着一定的数量关系，请直接写出这个关系式． 26．观察如图所示的棱柱： (1)这个棱柱的底面是 ； (2)这个棱柱有 个侧面，侧面的形状是 ； (3)侧面的个数与底面的边数 ；（填“相等”或“不相等” (4)这个棱柱有 个顶点， 条侧棱，一共有 条棱； (5)若这个棱柱的底面边长都是，侧棱长是，则该棱柱所有侧面的面积之和为 ． 27．如图，下列几何体分别是三棱柱、四棱柱、五棱柱，观察图形并填空． (1)三棱柱有 个面， 条棱， 个顶点； (2)四棱柱有 个面， 条棱， 个顶点； (3)五棱柱有 个面， 条棱， 个顶点； (4)猜想：n（，且n为正整数）棱柱有 个面， 条棱， 个顶点． 28．综合与实践 新年晚会是我们最欢乐的时候，会场上，悬挂着五彩缤纷的小装饰，其中有各种各样的立体图形．下面是常见的一些多面体： 操作探究： （1）通过数上面图形中每个多面体的顶点数、面数和棱数，填写下表中空缺的部分： 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 六面体 8 6 八面体 8 12 十二面体 12 30 通过填表发现：顶点数、面数和棱数之间的数量关系用式子表示为______，这就是伟大的数学家欧拉（，1707-1783）证明的这一个关系式．我们把它称为欧拉公式； 探究应用： （2）已知一个棱柱只有七个面，则这个棱柱是______棱柱； （3）已知一个多面体有16个顶点，并且过每个顶点都有3条棱，求这个多面体的面数． 多面体 顶点数 面数 棱数 四面体 4 4 6 六面体 8 6 12 八面体 6 8 12 十二面体 20 12 30 题型八、长方体无盖展开图的有关问题 29．综合与实践某“综合与实践”小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动，他们利用边长为24cm的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）请你动手操作验证并完成任务．（纸板厚度及接缝处忽略不计） 动手操作一：根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子． 方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为cm的小正方形，再沿虚线折合起来． 问题解决： （1）若cm，则该长方体纸盒的底面边长为__________cm；该长方体纸盒的体积为__________cm3； 动手操作二：根据图2方式制作一个有盖的长方体纸盒． 方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为cm的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来． 拓展延伸： （2）若cm，该长方体纸盒的表面积为多少cm2？ 30．【问题情境】 《制作无盖的长方体纸盒》是北师大版七上的课题学习，某综合实践小组在学习了这一课后，开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． 【问题解决】 （1）如图所示图形中，是无盖正方体的表面展开图的是 ．（填序号） （2）综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1）为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）．回答下列问题： ①图1方式制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来．则长方体纸盒的底面周长为多少cm? ②图2方式制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．则该长方体纸盒的体积为多少？ 【问题进阶】 （3）若一个无盖长方体的长、宽、高分别为6、4、3，它缺一个长为6、宽为4的长方形底面，将它的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，请直接写出长方体表面展开图的最大外围周长． 一、单选题 1．在朱自清的《春》中有描写春雨的语句“像牛毛，像细丝，密密地斜织着”，这里把雨滴看成了点，用数学知识解释这一现象（     ）． A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上都不对 2．2025年，科技浪潮奔涌，社会发展日新月异，“智联绿创新潮”成为这一年鲜明的时代特征，深刻地影响着人们生活的方方面面．如图是正方体的一种展开图，每个面分别写着“智”“联”“绿”“创”“新”“潮”这六个字，则与汉字“智”相对的面上的汉字是（   ） A．“潮” B．“新” C．“创” D．“绿” 3．下图所示的几何体是由一个平面图形绕虚线旋转一周得到的，这个平面图形是（    ） A． B． C． D． 4．如图是由一个长方体和一个圆锥组成的立体图形，从前面看该立体图形得到的平面图形是（   ） A． B． C． D． 5．用一张长为20厘米，宽为12厘米的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒．如图为三位同学的提供的方案，其中厘米，阴影为剪去部分，虚线为折痕． 上述三种方案中，长方体纸盒容积最大的是（   ） A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．一样大 二、填空题 6．九棱柱有 个顶点，有 条棱，有 个面． 7．将下图中的立体图形分类． 柱体 ；锥体 ；球体 ． 8．一个几何体由若干个相同的小立方块构成，该几何体从正面看和从上面看得到的图形如图所示，那么构成这个几何体的小立方块最少有 块． 9．如图，5个棱长为的正方体木块摆在舞台上，为了美观，将这个几何体的所有露出部分（不包含底面）都喷涂油漆，若喷涂需要油漆千克，则喷涂这个几何体需要 千克油漆． 10．已知长方形的长和宽分别为6和2，以它的一边为轴，将长方形旋转一周，所得几何体的体积为 （结果保留）． 三、解答题 11．观察图中的几何体，回答下列问题： (1)将图中的几何体分类，并说明理由； (2)请用自己的语言描述图②和图⑤的相同点与不同点．（各写一条即可） 12．如图，某银行大堂的旋转门内部由三块宽为、高为的玻璃隔板组成．    (1)将此旋转门旋转一周，能形成的几何体是_____，这能说明的事实是_____（选择正确的一项填入）． A．点动成线    B．线动成面    C．面动成体 (2)求该旋转门旋转一周形成的几何体的体积．（边框及衔接处忽略不计，结果保留） 13．如图是由若干棱长为的小正方体搭成的几何体． (1)请你在网格中分别画出它从左面看和从上面看的图形； (2)求这个几何体的表面积（含底面）； (3)若你手边还有一些相同的小立方块，如果保持从上面和左面观察到的形状图不变，那么最多可以添加多少块小立方块． 14．观察下列多面体，并把表格补充完整． 名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱 图形 顶点数a 6 10 12 棱数b 9 12 面数c 5 8 (1)完成表格中的数据； (2)根据表格中的规律判断，十四棱柱共有 个面，共有 个顶点，共有　 　条棱； (3)若某个棱柱由30个面构成，则这个棱柱为 棱柱． 名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱 图形 顶点数 6 8 10 12 棱数 9 12 15 18 面数 5 6 7 8 15．综合与实践：制作一个尽可能大的无盖长方体形盒子 步骤1：按照如图所示的方式，将正方形纸片的四个角剪掉四个大小相同的小正方形． 步骤2：沿虚线折起来，就可以做成一个无盖的长方体形盒子． (1)如果原大正方形纸片的边长为，剪去的小正方形的边长为，则折成的无盖长方体形盒子的高、底面积、容积分别为______、______、______（请你用含，的代数式来表示）； (2)如果，剪去小正方形的边长按整数值依次变化，即分别为，，，，，，，时，折成的无盖长方形盒子的容积分别是下表数据，请求出和分别是多少？ 剪去小正方形的边长/ 1 2 3 4 5 6 7 8 容积/ 256 392 320 216 112 32 (3)观察上面的统计表，你发现，随着剪去小正方形的边长的逐渐增大，所折无盖长方体形盒子的容积如何变化？并分析猜想当剪去小正方形的边长（取整数值）为多少时，所得的无盖长方体形盒子的容积最大，此时最大容积是多少？ 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 丰富的图形世界 目录 A题型建模・专项突破 题型一、从不同方向看几何体 1 题型二、正方体的展开图的识别 3 题型三、平面图形旋转后所得的立体图形 4 题型四、画从不同方向看几何体并求小立方块的数量 7 题型五、由展开图求几何体的表面积和体积 10 题型六、平面图形旋转后所得的立体图形并求体积 13 题型七、点、线、面、体四者之间的关系 15 题型八、长方体无盖展开图的有关问题 19 B综合攻坚・能力跃升 题型一、从不同方向看几何体 1．如图所示，由7个相同的小正方体组合成一个几何体，则这个几何体从它左面看到的平面图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查简单组合体的三视图，掌握C的定义是关键． 根据左视图是从左边看所得到的图形，可直接得到答案． 【详解】解：这个几何体的从左面看有2列，左边一列有2个正方形，右边一列有1个正方形， 故选：B． 2．如图，一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，从上面看这个几何体，看到的形状图如图所示，其中小正方形中的数字为该位置小立方块的个数，则从正面看这个几何体，看到的形状图是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查几何图形，熟练掌握几何图形的从不同方向看到的形状图是解题的关键．据此即可得到答案． 【详解】 解：从正面看这个几何体，看到的形状图是， 故选C． 3．“工”字型零件如图所示，其从左面看到的形状图是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查从不同方向观察几何体，解题的关键是掌握从不同方向（从正面，从上面，从左面）观察几何体，能看到的部分的轮廓线画成实线，不能看到的部分的轮廓线画成虚线． 【详解】解：从左边看，是1列3层且长相等的三个长方形． 故选：C． 4．[传统文化]作为中国汉族特有的手工制造陶土工艺品的紫砂壶，成型工艺特别，造型式样丰富，陶器色泽古朴典雅．如图是一个做工精湛的石瓢壶，则从上面看到的该物体的形状图可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了从不同方向看几何体，从不同的方向观察几何体是解题的关键， 根据从上面看到的该紫砂壶从选项中选取即可求解； 【详解】解：根据题意从上面往下面看紫砂壶，可以得到如图所示； 故选： 题型二、正方体的展开图的识别 5．下列图形中，是正方体的表面展开图的是（   ） A．①② B．①③ C．③④ D．①④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了正方体的表面展开图，根据正方体的表面展开图的类型逐个判断即可．正方体的表面展开图有“一四一”型，“二二二”型，“一三二”型，“三三”型． 【详解】因为①属于“一四一”型，所以①符合题意； 因为②中有“田”字，所以②不符合题意； 因为③有一个面是重合的，所以③不符合题意； 因为④属于“三三”型，所以④符合题意. 故选：D． 6．小明用纸（如图）折成一个正方体的盒子，里面装入礼物，与其它三个大小一样的正方体空盒子混于一起，根据观察，礼物所在的盒子是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方体的展开与折叠，根据正方体的展开图的特征判断即可得出答案，理解和掌握展开、折叠前后的面之间的关系是解此题的关键． 【详解】 解：根据展开图中各种符号的特征和位置可得礼物所在的盒子是， 故选：B． 7．在图中的①②③④的任意一个位置放置一个小正方形后所组成的图形能折成一个正方体，那么可放置的位置不能是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【分析】本题考查了展开图折叠成几何体，根据平面图形的折叠及正方体的表面展开图解题． 【详解】将小正方形放在②③④的任意一个位置后所组成的图形均能折成正方体，放在①处时，折叠后有两个面重叠，不能折成正方体． 故答案为：A． 8．如图，现有5个写有“传承红色基因”字样的正方形，在图中增加1个写有“因”字的正方形使所得图形经过折叠能够围成一个正方体，下列选项添加错误的是（    ）．    A．  B．  C．   D．   【答案】C 【分析】本题主要考查了正方体的平面展开图折叠成几何体，通过结合立体图形与平面图形的相互转化，去理解和掌握几何体的展开图，从给定的图形中辨认它们能否折叠成给定的立体图形即可． 【详解】解：根据给定的“传承红色基”字样的排列，要折叠成正方形只能在其上方增加“因”字， A、折叠后可以，故本选项不符合题意； B、折叠后可以，故本选项不符合题意； C、折叠后不可以，故本选项符合题意； D、折叠后可以，故本选项不符合题意． 故选：C． 题型三、平面图形旋转后所得的立体图形 9．下列哪个图形旋转一周后得到的图形是圆柱体（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点、线、面、体，熟悉常见图形的旋转得到立体图形是解题的关键．根据面动成体可知长方形绕其一条边旋转一周所得的立体图形是圆柱即可得到答案． 【详解】解：长方形绕其一条边旋转一周所得的立体图形是圆柱， ∴得到的立体图形为圆柱的是B选项， 故选：B． 10．将下列平面图形绕轴旋转一周，可以得到如图所示的立体图形的是（   ）    A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题考查了点、线、面、体，根据面动成体分别判断各选项即可得到图中所示的立体图形，解题的关键是掌握面动成体． 【详解】解：、绕轴旋转一周，得到的立体图形中间大，两端小，得不到图中所示的立体图形，故不符合题意； 、绕轴旋转一周，得到图中所示的立体图形，故合题意； 、绕轴旋转一周，得到的立体图形是圆台，得不到图中所示的立体图形，故不合题意； 、绕轴旋转一周，得到的立体图形中间小，两端一样大，得不到图中所示的立体图形，故不合题意； 故选：． 11．如图，将三角形绕直线l旋转一周，可得到的几何体是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点线面体之间的关系解答即可． 本题考查了几何体的形成，熟练掌握面动成体是解题的关键． 【详解】 解：根据题意，得． 故选：D． 12．如图所示的平面图形绕直线l旋转一周，得到的立体图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点、线、面、体，熟记各种常见平面图形旋转得到的立体图形是解题关键． 根据面动成体结合梯形绕底边旋转一周可得圆柱与圆锥的组合体，即可得答案． 【详解】解：面动成体，梯形绕底边旋转一周可得圆柱与圆锥的组合体， ∴所求的图形是下面是圆锥，上面是圆柱的组合图形． 故选：C． 题型四、画从不同方向看几何体并求小立方块的数量 13．用若干个大小相同的小立方块搭成如图所示的几何体． (1)这个几何体由______个小立方块搭成； (2)画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查从不同方向看简单组合体． （1）分别计算每一层的小立方块的个数即可； （2）根据简单组合体画出相应的图形即可． 【详解】（1）解：∵第一层个小立方块，第二层1个小立方块，第三层1个小立方块， ∴这个几何体由个小立方块搭成； 故答案为：； （2）解：从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图如下图所示． 14．如图，是由若干个大小相同的小正方体搭成的一个几何体． (1)在下面相应的网格中，画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图； (2)已知小正方体的棱长为，求该几何体的表面积（包含底面）． 【答案】(1)见解析 (2)96 【分析】本题考查从不同方向看正方体，从不同方向看到图形的表面积： （1）根据从正面看得到的图形，从左面看得到的图形，从上面看得到的图形，画出图形，即可； （2）该几何体的表面积公式，结合题干和从不同方向看到的图形即可求解． 【详解】（1）解：从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图： （2）解：该几何体的表面积为：． 15．如图是由7个大小相同的小立方块搭成的一个几何体，根据要求完成下列题目： (1)请在指定位置分别画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图； (2)若给该几何体添加几个小立方块，所得新几何体与原几何体相比，从上面、左面看到的形状图保持不变，这样最多可以添加__________个小立方块， 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题主要考查了从不同的方向看几何体： （1）观察图形可知， 从左面看到的图形是2列， 从左往右正方形个数依次是3，1； 从上面看到的图形是3列2层，从左往右正方形个数依次是1（上面一层）， 2， 1（上面一层），从正面看到的图形分为3列3层，从左往右正方形个数依次是1（最下面一层）， 3， 2（最下面一层和中间一层），据此即可画图； （2）根据从该几何体中添加一个小立方块， 所得新几何体与原几何体相比， 从左面、 上面看到的形状图保持不变，可在从上面看到的图形中从左往右的第1列添加2个，第3列添加1个，据此可得答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，添加最多小立方块后（从上面、左面看到的形状图保持不变）从上面看到的图形如下： ∴这样最多可以添加个小立方块． 16．如图是由一些相同的小立方块搭成的几何体． (1)分别画出从正面、左面、上面看到的几何体的形状图； (2)补全成一个正方体至少需要添加 个小方块； (3)小正方体棱长为3，则该几何体的表面积是 ； (4)不改变左面看到的形状最多可添加 个小立方块． 【答案】(1)见解析 (2) (3) (4) 【分析】此题考查从不同方向看几何体，解题关键是利用空间想象能力想象图形的形状． （1）根据正面，左面，上面所看到的图形形状直接画图即可； （2）正方体的个数减去原有个数即可求解； （3）从正面、左面、上面看到的图形面积之和的2倍，即为几何体的表面积； （2）根据从左面看到的图形不变求解即可． 【详解】（1）解：从正面、左面、上面看到的几何体的形状图如图， （2）解：， 补全成一个正方体至少需要添加个小方块； 故答案为：； （3）解：该几何体的表面积是， 故答案为：； （4）解：如图， ． 不改变左面看到的形状最多可添加个小立方块． 故答案为：． 题型五、由展开图求几何体的表面积和体积 17．宁兴纸箱厂生产的长方体纸箱表面展开图如图所示，工厂工人准备将这个表面展开图折叠成一个长方体纸箱．若，，，求这个长方体的表面积和体积． 【答案】表面积为，体积为 【分析】本题主要考查了长方体的展开与折叠， 先求出，即可知折叠为长方体的长、宽、高分别为，再根据长方体的表面积和体积公式得出答案． 【详解】解：由，，可得， 长方体的表面积：， 体积：． 18．如图所示为一个棱柱形状的食品包装盒的展开图． (1)这个食品包装盒的几何体名称是________； (2)根据图中所给数据，求这个食品包装盒的侧面积． 【答案】(1)五棱柱 (2) 【分析】本题考查了几何体的展开图，解决本题的关键是熟悉由平面图形的折叠及常见立体图形的展开图． （1）由平面图形的折叠及常见立体图形的展开图，即可解答； （2）侧面积为5个长方形的面积之和，即可解答． 【详解】（1）解：这个包装盒为五棱柱； （2）解：． 19．如图是一个食品包装盒的展开图. (1)请写出这个包装盒的多面体形状的名称； (2)请根据图中所标的尺寸，计算这个多面体的侧面积和全面积（全面积是侧面积与两个底面积之和）. 【答案】(1)六棱柱； (2)；． 【分析】本题考查几何体的展开图，解题的关键是熟悉平面图形的折叠及立体图形的展开图． 根据展开图是由两个全等的正六边形和六个全等的矩形组成的，可知包装盒是一个六棱柱； 侧面积为个长方形的面积之和，底面积为两个正六边形的面积之和，两者相加即可得出全面积. 【详解】（1）解：这个包装盒是一个六棱柱； （2）解：这个包装盒的侧面是个长为，宽为的长方形， 这个包装盒的侧面积是； 这个包装盒的两个底面是两个全等的正六边形， 如下图所示， 一个正六边形可以被分成个全等的等边三角形， 六棱柱底面正六边形的边长为， 且正六边形可看作是六个全等的正三角形组成，正三角形的边长为六边形的边长， 每一个正等边三角形的面积为， 六棱柱的两个底面的面积之和为， ． 20．如图是某几何体从正面、左面、上面看到的形状图． (1)这个几何体的名称是 ； (2)若从正面看到的长方形的宽为4，长为9，从左面看到的宽为3，从上面看到的直角三角形的斜边为5，则这个几何体中所有棱长的和是多少？它的表面积是多少？ 【答案】(1)三棱柱 (2)这个几何体中所有棱长的和是51，表面积是120． 【分析】此题考查判断几何体，掌握棱柱的侧面都是长方形，上下底面是几边形就是几棱柱是解决问题的关键． （1）只有棱柱从左面看和从正面看才能出现长方形，根据从上面看是三角形，可得到此几何体为三棱柱； （2）3条长的高，加上两个三角形的周长就是几何体的所有棱长和；三个长为，宽分别为、、的长方形的面积与两个直角三角形的面积和就是表面积． 【详解】（1）解：这个几何体是三棱柱． 故答案为：三棱柱； （2）解：这个几何体的所有棱长的和． 表面积． 题型六、平面图形旋转后所得的立体图形并求体积 21．如图，将长方形绕其长边所在直线旋转一周，得到一个立体图形． (1)这个立体图形是______． (2)求这个立体图形的侧面积．（结果保留） 【答案】(1)圆柱 (2)这个图形的侧面积是． 【分析】本题主要考查了面动成体，解答此题的关键是找出旋转所得到的图形与原图形之间的数据关系． （1）根据面动成体可知将正方形围绕它的一条边为轴旋转一周，得到的是圆柱； （2）根据圆柱的高和底面周长，进行计算即可． 【详解】（1）解：将长方形围绕它的一条边为轴旋转一周，得到的是圆柱， 故答案为：圆柱； （2）解：这个立体图形的侧面积为； 答：这个图形的侧面积是． 22．已知长方形的长为，宽为，将这个长方形分别绕它的长和宽旋转一周，可以得到两个圆柱（如图）． (1)圆柱①的底面直径是_____，高是_____；圆柱②的底面直径是_____，高是_____； (2)试比较这两个圆柱的侧面积． 【答案】(1)，，，b (2)这两个圆柱的侧面积相等 【分析】本题考查圆柱的计算、几何体的表面积，掌握圆柱侧面积的计算公式是解题的关键． （1）根据图作答即可； （2）根据圆柱的侧面积公式分别计算圆柱①和圆柱②的侧面积并比较大小即可． 【详解】（1）解：圆柱①的底面直径是，高是；圆柱②的底面直径是，高是b． 故答案为：，，，b． （2）解：圆柱①的侧面积是；圆柱②的侧面积是， ∴这两个圆柱的侧面积相等． 23．小军和小红分别以直角梯形的上底和下底所在的直线为轴，将梯形旋转一周，得到了两个立体图形． 小军：我们旋转的平面图形是完全一样的，所以旋转后得到的两个立体图形的体积相等． 小红：我不同意你的看法，我认为甲、乙两个立体图形的体积不相等． (1)你同意____________的说法． (2)甲、乙两个立体图形的体积比是多少？ 【答案】(1)小红 (2) 【分析】本题主要考查了圆柱和圆锥的体积计算，面动成体， （1）根据圆柱和圆锥的体积计算公式分别计算出甲、乙两个立体图形的体积即可得到答案． （2）根据（1）直接求解即可． 【详解】（1）解：甲的体积为， 乙的体积为， ∴甲、乙两个立体图形的体积不相等， ∴同意小红的说法． 故答案为：小红 （2）解：， 答：甲、乙两个立体图形的体积比是． 24．如图，某银行大堂的旋转门内部由三块宽为、高为的玻璃隔板组成．    (1)将此旋转门旋转一周，能形成的几何体是_____，这能说明的事实是_____（选择正确的一项填入）． A．点动成线    B．线动成面    C．面动成体 (2)求该旋转门旋转一周形成的几何体的体积．（边框及衔接处忽略不计，结果保留） 【答案】(1)圆柱；C (2) 【分析】（1）旋转门的形状是长方形；长方形旋转一周，能形成的几何体是圆柱； （2）根据圆柱体的体积底面积高计算即可． 【详解】（1）解：∵旋转门的形状是长方形， ∴旋转门旋转一周，能形成的几何体是圆柱，这能说明的事实是面动成体． 故答案为：圆柱；C； （2）解：该旋转门旋转一周形成的几何体是圆柱， 体积为：． 故形成的几何体的体积是． 【点睛】本题考查了圆柱的体积的求法，掌握圆柱的体积公式，能够正确得出圆柱的底面面积是解决问题的关键． 题型七、点、线、面、体四者之间的关系 25．如图，观察下列几何体并回答问题：    (1)棱柱有 个面、 条棱、 个顶点，棱锥有 个面、 条棱、 个顶点． (2)所有像三棱柱、四棱柱、六棱柱、三棱锥等这样由四个或四个以上多边形所围成的立体图形叫作多面体．经过前人们归纳总结发现，多面体的面数、顶点个数以及棱的条数存在着一定的数量关系，请直接写出这个关系式． 【答案】(1)，，，，，； (2) 【分析】本题考查认识立体图形，能够通过由特殊到一般的归纳，得到顶点个数、棱数、面数之间满足的关系式是解题的关键． （1）观察所给几何体的面、棱、顶点的数量并归纳即可； （2）用表格分别列出三棱柱、四棱柱、五棱柱和六棱柱所对应的顶点的个数、棱的条数和面的个数，从而得到三者的关系为． 【详解】（1）解：观察所给几何体的面、棱、顶点的数量并归纳出棱柱有个面，条棱，个顶点，棱锥有个面，条棱，个顶点； 故答案为：，，，，，； （2）用表格分别列出三棱柱、四棱柱、五棱柱和六棱柱所对应的顶点的个数、棱的条数和面的个数，如图：    根据上表总结出这个关系为． 26．观察如图所示的棱柱： (1)这个棱柱的底面是 ； (2)这个棱柱有 个侧面，侧面的形状是 ； (3)侧面的个数与底面的边数 ；（填“相等”或“不相等” (4)这个棱柱有 个顶点， 条侧棱，一共有 条棱； (5)若这个棱柱的底面边长都是，侧棱长是，则该棱柱所有侧面的面积之和为 ． 【答案】(1)三角形； (2)3，长方形； (3)相等； (4)6；3，9； (5)45 【分析】此题主要考查了棱柱的特征，熟悉掌握棱柱的特征是解此题的关键． （1）根据棱柱这个几何体的特征即可求解； （2）根据棱柱这个几何体的特征即可求解； （3）根据棱柱这个几何体的特征即可求解； （4）根据棱柱这个几何体的特征即可求解； （5）根据棱柱的三个侧面相等，结合长方形的面积公式即可计算． 【详解】（1）解：这个棱柱的底面是三角形； 故答案为：三角形； （2）解：这个棱柱有3个侧面，侧面的形状是长方形； 故答案为：3，长方形； （3）解：依题意，侧面的个数是3，底面的边数是3 ∴侧面的个数与底面的边数相等； 故答案为：相等． （4）解：这个棱柱有6个顶点，3条侧棱，一共有9条棱； 故答案为：6；3，9； （5）解：， 则该棱柱所有侧面的面积之和为． 故答案为： 45． 27．如图，下列几何体分别是三棱柱、四棱柱、五棱柱，观察图形并填空． (1)三棱柱有 个面， 条棱， 个顶点； (2)四棱柱有 个面， 条棱， 个顶点； (3)五棱柱有 个面， 条棱， 个顶点； (4)猜想：n（，且n为正整数）棱柱有 个面， 条棱， 个顶点． 【答案】(1)5，9，6 (2)6，12，8 (3)7，15，10 (4)，， 【分析】此题考查了认识立体图形，熟记常见棱柱的特征，可以总结一般规律：n（，且n为正整数）棱柱有个面，条棱，个顶点． （1）结合图形及四棱柱的特点即可求解； （2）结合图形及五棱柱的特点即可求解； （3）结合图形及六棱柱的特点即可求解； （4）由三棱柱、四棱柱、五棱柱和六棱柱的特点，总结即可． 【详解】（1）解：三棱柱有5个面，9条棱，6个顶点； 故答案为：5，9，6； （2）四棱柱有6个面，12条棱，8个顶点； 故答案为：6，12，8； （3）五棱柱有7个面，15条棱，10个顶点； 故答案为：7，15，10； （4）n（，且n为正整数）棱柱有个面，条棱，个顶点； 故答案为：，，． 28．综合与实践 新年晚会是我们最欢乐的时候，会场上，悬挂着五彩缤纷的小装饰，其中有各种各样的立体图形．下面是常见的一些多面体： 操作探究： （1）通过数上面图形中每个多面体的顶点数、面数和棱数，填写下表中空缺的部分： 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 六面体 8 6 八面体 8 12 十二面体 12 30 通过填表发现：顶点数、面数和棱数之间的数量关系用式子表示为______，这就是伟大的数学家欧拉（，1707-1783）证明的这一个关系式．我们把它称为欧拉公式； 探究应用： （2）已知一个棱柱只有七个面，则这个棱柱是______棱柱； （3）已知一个多面体有16个顶点，并且过每个顶点都有3条棱，求这个多面体的面数． 【答案】（1）填表见解析，；（2）五；（3）10 【分析】本题考查了多面体与棱柱的认识，点线面体的相关概念，掌握图形中各量之间的关系是解题的关键． （1）通过观察，发现棱数顶点数面数； （2）根据棱柱的定义进行解答即可； （3）由（1）得出的规律进行解答即可． 【详解】解：（1）填表如下： 多面体 顶点数 面数 棱数 四面体 4 4 6 六面体 8 6 12 八面体 6 8 12 十二面体 20 12 30 顶点数、面数和棱数之间的数量关系是， 故答案为：； （2）一个棱柱只有七个面，必有2个底面， 有个侧面， 这个棱柱是五棱柱， 故答案为：五； （3）由题意得：棱的总条数为（条）， 由可得， 解得：， 故该多面体的面数为10． 题型八、长方体无盖展开图的有关问题 29．综合与实践某“综合与实践”小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动，他们利用边长为24cm的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）请你动手操作验证并完成任务．（纸板厚度及接缝处忽略不计） 动手操作一：根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子． 方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为cm的小正方形，再沿虚线折合起来． 问题解决： （1）若cm，则该长方体纸盒的底面边长为__________cm；该长方体纸盒的体积为__________cm3； 动手操作二：根据图2方式制作一个有盖的长方体纸盒． 方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为cm的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来． 拓展延伸： （2）若cm，该长方体纸盒的表面积为多少cm2？ 【答案】（1）12，864  （2）486 【分析】本题考查求立体图形的体积和表面积，根据题意正确得出立体图形的长宽高是关键． （1）根据图形可得长方体纸盒的底面边长为大正方形的边长－两个小正方形的边长；根据图形求出长方体纸盒的长宽高即可求出体积； （2）根据图2的裁剪，折合后是一个有盖的长方体，表示出长，宽，高，则可求出表面积． 【详解】（1）解：该长方体纸盒的底面边长为：， 该长方体纸盒的体积为：； （2）解：裁剪后折叠成长方体的长为：， 裁剪后折叠成长方体的宽为：， 裁剪后折叠成长方体的高为： 3cm； ∴长方体纸盒的表面积为． 30．【问题情境】 《制作无盖的长方体纸盒》是北师大版七上的课题学习，某综合实践小组在学习了这一课后，开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． 【问题解决】 （1）如图所示图形中，是无盖正方体的表面展开图的是 ．（填序号） （2）综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1）为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）．回答下列问题： ①图1方式制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来．则长方体纸盒的底面周长为多少cm? ②图2方式制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．则该长方体纸盒的体积为多少？ 【问题进阶】 （3）若一个无盖长方体的长、宽、高分别为6、4、3，它缺一个长为6、宽为4的长方形底面，将它的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，请直接写出长方体表面展开图的最大外围周长． 【答案】（1）①③④；（2）①长方体纸盒的底面周长为；②长方体纸盒的体积为；（3） 【分析】本题考查简单几何体的展开图，熟练根据简单几何的展开图得出长方体的长宽高是解题的关键． （1）根据无盖正方体纸盒的面数和构成求解； （2）①根据正方形周长公式即可得解； ②根据长方体的体积公式即可得解； （3）根据边长最长的都剪，边长最短的剪得最少，露出外围的边都是长边，边长最短的都剪，边长最长的不剪，露出外围的边都是短边，据此可得答案． 【详解】（1）根据展开图的折叠， ②只能折成4个面，①③④才能折成一个无盖正方体纸盒， 故答案为：①③④； （2）①长方体纸盒的底面周长为：； ②长方体纸盒的长：， ∵正方形纸板的边长由空白的两个小长方形的宽和空白的两个大长方形的宽组成， ∴宽， ∴该长方体纸盒的体积为：； （3）如图所示， ∴该长方体表面展开图的最大外围周长为：． 一、单选题 1．在朱自清的《春》中有描写春雨的语句“像牛毛，像细丝，密密地斜织着”，这里把雨滴看成了点，用数学知识解释这一现象（     ）． A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上都不对 【答案】A 【分析】本题主要考查了点、线、面、体，从运动的观点来看：点动成线，线动成面，面动成体．根据点动成线可得答案． 【详解】解：“像牛毛，像细丝，密密地斜织着”的语句，这里把雨看成了线，这说明点动成线． 故选：A． 2．2025年，科技浪潮奔涌，社会发展日新月异，“智联绿创新潮”成为这一年鲜明的时代特征，深刻地影响着人们生活的方方面面．如图是正方体的一种展开图，每个面分别写着“智”“联”“绿”“创”“新”“潮”这六个字，则与汉字“智”相对的面上的汉字是（   ） A．“潮” B．“新” C．“创” D．“绿” 【答案】A 【分析】本题考查正方体相对两个面上的文字，掌握正方体表面展开图的特征是正确判断的前提． 根据正方体表面展开图的特征进行判断即可． 【详解】解：由正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知， “智”与“潮”、“绿”与“新”、“创”与“联”是对面， 故选：A． 3．下图所示的几何体是由一个平面图形绕虚线旋转一周得到的，这个平面图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平面图形的旋转，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据平面图形旋转的定义及题干中的图形即可选出． 【详解】解：∵图中几何体上下两底面为水平面，侧面为圆弧面，绕着左侧的虚线为旋转轴得到的， ∴图中几何体是由平面图形构成的. 故选：A． 4．如图是由一个长方体和一个圆锥组成的立体图形，从前面看该立体图形得到的平面图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了从不同方向看几何体，根据圆锥和长方体从上面看得到的图形作答是解答本题的关键．由一个长方体和圆锥组合而成的立体图形，圆锥从前面看是三角形，长方体从前面看是长方形，故组合图形包含长方形以及三角形，选出答案． 【详解】解：依题意，由一个长方体和圆锥组合而成的立体图形，得圆锥从前面看是三角形，长方体从前面看是长方形， 故组合图形包含长方形以及三角形， 故选C 5．用一张长为20厘米，宽为12厘米的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒．如图为三位同学的提供的方案，其中厘米，阴影为剪去部分，虚线为折痕． 上述三种方案中，长方体纸盒容积最大的是（   ） A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．一样大 【答案】B 【分析】本题考查展开图折叠成几何体，掌握长方体表面展开图的特征是正确解答的关键． 分别求出各种方案所制作的长方体纸盒的长、宽、高，再计算出容积即可． 【详解】解：按照方案1，制作的无盖的长方体纸盒的长为，宽为，高为， ∴容积为， 按照方案2，制作的无盖的长方体纸盒的长为，宽为，高为， ∴容积为， 按照方案3，制作的无盖的长方体纸盒的长为，宽为，高为， ∴容积为， ， 按照方案2制作的长方体无盖之和的容积最大， 故选：． 二、填空题 6．九棱柱有 个顶点，有 条棱，有 个面． 【答案】 18 27 11 【分析】本题考查认识立体图形．根据九棱柱的特征进行解答即可． 【详解】解：根据九棱柱的特征可知： 九棱柱有18个顶点，27条棱，11个面， 故答案为：18，27，11． 7．将下图中的立体图形分类． 柱体 ；锥体 ；球体 ． 【答案】 ①②⑤⑦⑧ ④⑥/⑥④ ③ 【分析】本题主要考查立体图形的分类，解题的关键掌握立体图形的特征．据此可得答案． 【详解】解：柱体：①②⑤⑦⑧；锥体：④⑥；球体：③． 故答案为：①②⑤⑦⑧；④⑥；③． 8．一个几何体由若干个相同的小立方块构成，该几何体从正面看和从上面看得到的图形如图所示，那么构成这个几何体的小立方块最少有 块． 【答案】 【分析】本题主要考查了从不同方向看几何体，熟练掌握从三个方向看常见几何体所看到的形状是解题的关键． 首先根据从正面看和从上面看得到的图形确定该几何体的具体形状，然后确定出构成该几何体的小立方块的最小数量即可． 【详解】解：如图， 中，其中一个位置放块，剩余位置放块， 中放块， 构成该几何体的小立方块最少有：块， 故答案为：． 9．如图，5个棱长为的正方体木块摆在舞台上，为了美观，将这个几何体的所有露出部分（不包含底面）都喷涂油漆，若喷涂需要油漆千克，则喷涂这个几何体需要 千克油漆． 【答案】 【分析】本题主要考查了求几何体的表面积．先求出几何体露出部分的面积，然后再乘以每平分米所需油漆的量即可． 【详解】解：该几何体露出部分的面积为：， 所以喷涂这个几何体需要油漆的质量为(千克)． 故答案为：． 10．已知长方形的长和宽分别为6和2，以它的一边为轴，将长方形旋转一周，所得几何体的体积为 （结果保留）． 【答案】或 【分析】以的边为旋转轴；以的边为旋转轴，得到立体图形，根据圆柱的体积，进行计算，即可． 本题考查立体图形的知识，解题的关键是分类讨论． 【详解】解：∵长方形旋转一周得到圆柱体， ∴当以的边为旋转轴时，圆柱体的高为6，底面半径为2，此时体积为：； 当以2的边为旋转轴时，圆柱体的高为2，底面半径为，此时体积为：； 故答案为：或． 三、解答题 11．观察图中的几何体，回答下列问题： (1)将图中的几何体分类，并说明理由； (2)请用自己的语言描述图②和图⑤的相同点与不同点．（各写一条即可） 【答案】(1)①②④⑤⑥是柱体；⑦是锥体；③是球体，理由见解析 (2)图②和图⑤的相同点：都是柱体，都有上、下两个底面且都是平面（答案不唯一）；不同点：圆柱的底面是圆，圆柱的侧面是曲面，而棱柱的底面是多边形，棱柱的侧面是平面（答案不唯一）． 【分析】此题主要考查了简单几何体，熟练掌握柱体、锥体、球体的概念是解决问题的关键． （1）根据柱体、锥体、球体划分即可； （2）根据棱柱和圆柱的特点可得出答案． 【详解】（1）解：按柱体、锥体、球体划分可分为三类：①②④⑤⑥是柱体；⑦是锥体；③是球体． （2）解：图②和图⑤的相同点：都是柱体，都有上、下两个底面且都是平面（答案不唯一）； 不同点：圆柱的底面是圆，圆柱的侧面是曲面，而棱柱的底面是多边形，棱柱的侧面是平面（答案不唯一）． 12．如图，某银行大堂的旋转门内部由三块宽为、高为的玻璃隔板组成．    (1)将此旋转门旋转一周，能形成的几何体是_____，这能说明的事实是_____（选择正确的一项填入）． A．点动成线    B．线动成面    C．面动成体 (2)求该旋转门旋转一周形成的几何体的体积．（边框及衔接处忽略不计，结果保留） 【答案】(1)圆柱；C (2) 【分析】（1）旋转门的形状是长方形；长方形旋转一周，能形成的几何体是圆柱； （2）根据圆柱体的体积底面积高计算即可． 【详解】（1）解：∵旋转门的形状是长方形， ∴旋转门旋转一周，能形成的几何体是圆柱，这能说明的事实是面动成体． 故答案为：圆柱；C； （2）解：该旋转门旋转一周形成的几何体是圆柱， 体积为：． 故形成的几何体的体积是． 【点睛】本题考查了圆柱的体积的求法，掌握圆柱的体积公式，能够正确得出圆柱的底面面积是解决问题的关键． 13．如图是由若干棱长为的小正方体搭成的几何体． (1)请你在网格中分别画出它从左面看和从上面看的图形； (2)求这个几何体的表面积（含底面）； (3)若你手边还有一些相同的小立方块，如果保持从上面和左面观察到的形状图不变，那么最多可以添加多少块小立方块． 【答案】(1)画图见解析 (2) (3)块 【分析】（）根据几何体画图即可； （）分别数出每个面正方形的个数，再乘以正方形的面积即可； （）由图可得，要保持从上面和左面观察到的形状图不变，则从前面看，从左到右第列第行最多可增加块小正方体，第列第行最多可增加块小正方体，第列第行最多可增加个块正方体，据此即可求解； 本题考查了从不同方向看几何体，求几何体的表面积，正确识图是解题的关键． 【详解】（1）解：画图如下： （2）解：几何体的表面积为； （3）解：要保持从上面和左面观察到的形状图不变，则从前面看，从左到右第列第行最多可增加块小正方体，第列第行最多可增加块小正方体，第列第行最多可增加个块正方体， ∴最多可以添加块小立方块． 14．观察下列多面体，并把表格补充完整． 名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱 图形 顶点数a 6 10 12 棱数b 9 12 面数c 5 8 (1)完成表格中的数据； (2)根据表格中的规律判断，十四棱柱共有 个面，共有 个顶点，共有　 　条棱； (3)若某个棱柱由30个面构成，则这个棱柱为 棱柱． 【答案】(1)见解析 (2)16，28，42 (3)二十八 【分析】本题考查规律型问题，欧拉公式等知识，解题的关键是学会从特殊到一般探究规律的方法． （1）通过认真观察图象，即可一一判断； （2）根据面、顶点、棱的定义一一判断即可； （3）根据棱柱的定义判定即可． 【详解】（1）解：填表如下： 名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱 图形 顶点数 6 8 10 12 棱数 9 12 15 18 面数 5 6 7 8 （2）解：根据上表中的规律可得：棱柱共有个面，共有个顶点，共有条棱， 所以十四棱柱共有16个面，共有28个顶点，共有42条棱； 故答案为：16，28，42； （3）解：若某个棱柱由30个面构成，则这个棱柱为二十八棱柱； 故答案为：二十八． 15．综合与实践：制作一个尽可能大的无盖长方体形盒子 步骤1：按照如图所示的方式，将正方形纸片的四个角剪掉四个大小相同的小正方形． 步骤2：沿虚线折起来，就可以做成一个无盖的长方体形盒子． (1)如果原大正方形纸片的边长为，剪去的小正方形的边长为，则折成的无盖长方体形盒子的高、底面积、容积分别为______、______、______（请你用含，的代数式来表示）； (2)如果，剪去小正方形的边长按整数值依次变化，即分别为，，，，，，，时，折成的无盖长方形盒子的容积分别是下表数据，请求出和分别是多少？ 剪去小正方形的边长/ 1 2 3 4 5 6 7 8 容积/ 256 392 320 216 112 32 (3)观察上面的统计表，你发现，随着剪去小正方形的边长的逐渐增大，所折无盖长方体形盒子的容积如何变化？并分析猜想当剪去小正方形的边长（取整数值）为多少时，所得的无盖长方体形盒子的容积最大，此时最大容积是多少？ 【答案】(1)b，；． (2)， (3)无盖长方体盒子的容积先增大后减小；当时，容积最大为． 【分析】本题考查了展开图折叠成几何体、列代数式，解题的关键是能够通过折叠得到折叠后长方体的长、宽、高． （1）由减去的正方形边长可得到盒子的高和盒子底面的边长，进而得到底面的面积，然后由“体积子底面积高”求得盒子的容积； （2）分别将和代入（1）中的容积公式求得对应的容积； （3）通过表中容积的变化可以直接得到结果；由表中容积的最大值得到结果； 【详解】（1）解：∵减去的小正方形的边长为， ∴折成的无盖长方体盒子的高为，底面正方形的边长为， ∴底面积为， ∴无盖长方体纸盒的容积为， 高、底面积、容积分别为：b，；． （2）解：当，时，， 当，时，， （3）解：由表中数据可知，随着减去的小正方形的边长的增大，所折无盖长方体盒子的容积先增大后减小； 由表中数据可知，当时，容积最大为． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$