第一章 丰富的图形世界（知识清单）数学鲁教版五四制2024六年级上册

第一章 丰富的图形世界 一、立体图形的认识 1.有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、棱柱、棱锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形． 2.立体图形分类：除了按照柱体、锥体、球分类，也可以按照围成几何体的面是否有曲面划分：①有曲面：圆柱、圆锥、球等；②没有曲面：棱柱、棱锥等. 3.棱柱的有关概念及其特征: ①在棱柱中，相邻两个面的交线叫做棱，相邻两个侧面的交线叫做侧棱，棱柱所有侧棱长都相等，棱柱的上下底面的形状、大小相同，并且都是多边形；棱柱的侧面形状都是平行四边形. ②棱柱的顶点数、棱数和面数之间的关系：底面多边形的边数n确定该棱柱是n棱柱，它有2n个顶点，3n条棱，n条侧棱，有n+2个面，n个侧面. 二、点、线、面、体的关系 ①体与体相交成面，面与面相交成线，线与线相交成点． ②点动成线，线动成面，面动成体． ③点、线、面、体组成几何图形，点、线、面、体的运动组成了多姿多彩的图形世界． 三、从三个方向看物体的形状 一般是从以下三个方向：(1)从正面看；(2)从左面看；(3)从上面看．（如下图） 四、正方体的平面展开图 正方体是特殊的棱柱，它的六个面都是大小相同的正方形，将一个正方体的表面展开，可以得到11种不同的展开图，把它归为四类：一四一型有6种；二三一型有3种；三三型有1种；二二二型有1种. 正方体展开图口诀： ①一线不过四;田凹应弃之； ②找相对面：相间，“Z”端是对面；③找邻面：间二，拐角邻面知. 五、截一个几何体 用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面．截面的形状可能是三角形、四边形、五边形、六边形或圆等等． 易错点1 几何体中的点、棱、面的关系 1.易错总结：混淆点与棱、面的从属关系，如误将“棱上的点”归为“面上的点”，忽略棱是面的交线这一本质。计算多面体棱数时，错用“面数×边数”直接相加，忘记每条棱被两个面共用，导致重复计数。 2.注意事项：明确基本关系：点是棱的端点，棱是面的交线，面由棱围成，可结合具体几何体（如正方体）直观记忆。利用公式验证（如欧拉公式：顶点数+面数-棱数=2），计算棱数时需除以2消除重复，确保逻辑自洽。 例题1．仔细观察下面的正四面体、正六面体、正八面体，解决下列问题： (1)填空： ①正四面体的顶点数______，面数______，棱数______； ②正六面体的顶点数______，面数______，棱数______； ③正八面体的顶点数______，面数______，棱数______； (2)若将多面体的顶点数用v表示，面数用f表示，棱数用e表示，则v，f，e之间的数量关系可用一个公式来表示：________ 易错点2 平面图形旋转后所得的立体图形的体积 1.多解易错总结：旋转轴考虑不全：在求解平面图形旋转后的立体图形体积时，容易只考虑一种旋转轴的情况。比如直角三角形，绕不同直角边旋转所得圆锥体积不同，若遗漏某一边为轴的情况，答案就不完整。分割方式单一：对于复杂平面图形，用单一分割法求体积会遗漏其他可能。如不规则四边形旋转，除水平分割，还可竖直或按特殊角度分割，不同分割计算结果不同，考虑不全就出错。 2.注意事项：全面分析旋转轴：解题前仔细分析平面图形，列出所有可能旋转轴，分别计算对应立体图形体积。尝试多种分割思路：面对复杂图形，从不同方向、角度思考分割方式，对比各方法的计算量与难易程度，选择最优解 。 例题2．一个直角三角形两条直角边分别为和，以这个三角形的一条直角边为轴旋转一周，得到几何体的体积是 ．（结果保留） 易错点3 根据从不同方向看到的图形确定小立方体的个数 1.易错总结：仅凭一两面视图臆断总数，忽略隐藏立方体，如正面和侧面视图均有列时，易漏算重叠处的小立方体。对“最多”“最少”情况区分不清，未考虑不同视图约束下的可变空间，导致个数计算偏差。 2.注意事项：先标记各列/行的最大层数（从三视图提取），以最小层数为基准确定必有的立方体，再根据其他视图补充可变部分。用分层法逐层分析，结合俯视图确定位置，正/侧视图确定高度，通过“搭积木”式模拟验证总数。 例题3．（23-24七年级上·贵州毕节·期末）用相同的小立方块搭一个几何体，从正面、上面看到的形状图如图所示，从上面看到的形状图中小正方形中的字母表示在该位置上小立方块的个数，请回答下列问题： (1)填空：__________，__________． (2)请在如图的网格中画出当，时这个几何体从左面看到的形状图． (3)这个几何体最少由多少个小立方块搭成？最多由多少个小立方块搭成？ 易错点4 根据从上面看到的图形确定几何体的形状 1.易错总结：误将俯视图直接等同于几何体形状，忽略高度信息，如俯视图中相同方格可能对应不同层数的立方体。漏看俯视图中隐含的位置关系，对“行”“列”划分不清，导致几何体行列错位。 2.注意事项：明确俯视图仅反映底面布局，需结合高度条件（如“最多”“最少”或具体层数）确定立体结构。用标记法在俯视图方格中标注可能的层数范围，再依据约束条件排除不合理情况，避免主观臆断。 例题4．一个几何体是由大小相同的小立方块搭成，其中小正方形上的数字表示在该位置上的小立方块的个数，请画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图．    易错点5 含图案的正方体的展开图 1.易错总结：忽略图案方向，误将翻转后的图案视为相同，如正方体展开图中相邻面的图案朝向在折叠后会发生旋转。错判相对面图案，仅凭位置远近判断，忽略“Z”字形或间隔一行/一列的相对面规律。 2.注意事项：标记图案朝向（如箭头方向），折叠时注意相邻面图案的旋转角度，可通过实物模拟验证。用“相对面不相邻”原则，先确定展开图中相对面的图案，再排除折叠后不可能出现的组合。 例题3．（24-25七年级上·陕西安康·期末）如图是某一立方体的侧面展开图，则该立方体是（   ）    A．  B．   C．   D．   易错点6 由展开图计算几何体的体积 1.易错总结：对应关系误判：难以准确找出展开图中各面在几何体中的对应位置，导致边长、高的数据代入错误。比如将长方体展开图中侧面的边长误当作底面边长，计算体积时出错。展开图类型遗漏：像正方体有多种展开图形式，若只考虑常见类型，遇到特殊展开图时，会无法正确还原几何体，导致体积计算无从下手 。 2.注意事项：确定关键数据：先分析展开图，找出能确定几何体形状大小的关键线段与角度，明确长、宽、高对应的边，做好标注。熟悉常见展开图：牢记正方体11种展开图，以及圆柱、圆锥、棱柱等常见几何体展开图特征，利用“一线不过四、田凹应弃之”等口诀判断 。 例题4．在数学活动课上，老师带领同学们以“制作无盖长方体盒子”为主题展开活动．如图所示为宽，长的长方形纸板，要将其四角各剪去一个正方形，折成如图所示的高为的无盖长方体盒子（纸板厚度忽略不计）．则此无盖长方体盒子的体积为 ． 一、单选题 1．关于下列几何体，说法正确的是（   ） A．图1由两个面围成，且其中一个面是曲面 B．图2可以展开成圆形 C．四个几何体中，含有平面最多的是图3 D．只有一个顶点的几何体是图4 2．下面四个图形中，经过折叠能围成如图所示的几何图形的是（   ） A．B．C．D． 3．从不同方向看某个立体图形得到的平面图形如图所示，则这个立体图形可能是下面选项中的（   ） A． B． C． D． 4．如图，分别以直角梯形的下底和上底所在的直线为轴，将梯形旋转一周得到A，B两个几何体，则，两个几何体的体积之比是（   ） A． B． C． D． 5．用相同尺寸的长方形纸板制作一个无盖的长方体纸盒．先在纸板上画出其表面展开图（需剪掉阴影部分），两种裁剪方案如图1和图2所示，图中A，B，C均为正方形： 下列说法正确的是（　　） A．方案 1中的 B．方案2中的 C．方案1所得的长方体纸盒的容积小于方案 2所得的长方体纸盒的容积 D．方案1所得的长方体纸盒的底面积与方案2所得的长方体纸盒的底面积相同 二、填空题 6．圆锥由两个面围成，其中一个是 面，另一个是 面，这两个面相交成的线是 线． 7．如图1是一个正方体的展开图，该正方体从图2所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格、第4格、第5格，此时这个正方体朝上一面的字是 ．    8．如图，分别绕这个直角梯形的上底和下底所在直线旋转一周，所得立体图形的最大体积为 （用含有a，b的代数式表示，结果保留π）． 9．用棱长为1的小立方块搭一个几何体，它从正面和从上面看到的形状图如图所示，这样的几何体最少需要 个小立方块，最多需要 个小立方块，最多时候的表面积是 ．      10．一个长方体的展开图如图所示，每个面分别标上的了1﹣6六个数字（数字在长方体的内侧），已知3、5、6三面面积之和是，且5号面是一个边长3厘米的正方形．如果2号面是长方体底面，那么 号面是长方体上面，这样围成长方体后每相连两个面上的数字之和是质数（可重复）的有 组，这个长方体的体积是 ．    三、解答题 11．如果一个棱柱（棱锥）有n条侧棱，那么就称其为n棱柱（棱锥）． (1)图①所示的几何体是一个三棱柱，它有 个顶点， 条棱， 个面； (2)图②所示的几何体是 ，它有 个顶点， 条侧棱， 个侧面， 个底面； (3)如果一个棱锥由7个面围成，那么这个棱锥是几棱锥，它共有几条棱？ 12．小明学习了“面动成体”之后，他用一个边长分别为，和的直角三角形，绕不同的边所在的直线旋转一周，得到了如图所示的几何体．    (1)绕的边所在的直线旋转一周，可以得到图______；绕的边所在的直线旋转一周，可以得到图______；绕的边所在的直线旋转一周，可以得到图______；（请填写序号） (2)请计算图①和图②中几何体的体积．（结果保留，圆锥体积底面积高） 13．用若干个棱长为的小正方体搭一个几何体，使得从正面和从上面看这个几何体的形状图如图所示． (1)搭成满足如图所示从正面看和从上面看的几何体最多需要______个小正方体，请在网格中画出用最多小正方体搭成的几何体从左面看到的图形； (2)搭成满足如图所示从正面看和从上面看的几何体最少需要______个小正方体，用最少小正方体搭成的几何体共有______种不同形状； (3)若用9块小正方体搭成满足如图所示从正面看和从上面看的几何体． ①画出这个几何体从左面看到的形状图； ②这个几何体的表面积（包含底面）最大是______． 14．如图所示是一些常见的多面体． (1)数一下每一个多面体具有的顶点数（V）、棱数（E）和面数（F），并且把结果记入表中： 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 正四面体 4 4 6 正方体 正八面体 正十二面体 正二十面体 12 20 30 (2)观察表中数据，猜想多面体的顶点数（V）、棱数（E）和面数（F）之间的关系； (3)若已知一个多面体的顶点数，棱数，请你用（2）中的结果求这个多面体的面数． 正方体 8 6 12 正八面体 6 8 12 正十二面体 20 12 30 15．综合与实践： 如图是由几个完全相同的边长为1的小立方块搭成的几何体从上面看到的形状，方格中的数字表示该位置的小立方块的个数．    (1)请在方格纸中分别画出从正面和左面所观察到的几何体的形状； (2)这个组合几何体的表面积为______个平方单位；（包括底面积） (3)若保持从上面看到的这个几何体形状不变，各位置的小立方块个数可以改变（总数目不变），则搭成这样的几何体中表面积最大的是______个平方单位．（包括底面积） 16．（1）如图所示的六棱柱中，它的底面边长都是，侧棱长为，这个棱柱共有多少个面？这个棱柱共有多少个顶点？有多少条棱？它的侧面积是多少？ （2）如图，有一个长，宽的长方形纸板，现要求以其一组对边中点所在直线为轴旋转，可按两种方案进行操作． 方案一：以较长的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图（1）； 方案二：以较短的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图（2）． ①上述操作能形成的几何体是__________，说明的事实是____________________； ②请通过计算说明哪种方案得到的几何体的体积大． 17．综合与实践 问题情景：学校综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动，他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒． 操作探究： (1)若准备制作一个无盖的正方体纸盒，图中的______经过折叠能围成无盖正方体纸盒； (2)如图，是小明的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后与“保”字相对的字是______； (3)如图，有一张边长为30cm的正方形废弃宣传单，张乐准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体纸盒： ①请你在图中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕； ②若四角各剪去了一个边长为的小正方形，求这个纸盒的体积． 18．综合与实践 【问题情境】如图，将边长为10cm的正方形纸片，四角各剪去边长为的小正方形，折成无盖长方体纸盒，当x取何值时，纸盒的容积有最大值？ 【整理·汇总】x的值按如表的整数值依次变化时，纸盒的容积如表所示： 边长 1 2 3 4 5 纸盒容积 64 a b 16 0 (1)【操作·分析】 ①上表中，a=______，b=______； ②随着x的增大，纸盒的容积V变化情况是______（单选题）； A．一直增大    B．一直减小    C．先增大后减小    D．先减小后增大 (2)【思考·猜想】观察上表中的边长x与纸盒容积V变化情况可得：当x为______cm（x为整数）时，纸盒的容积最大，为______cm3： (3)【反思·拓展】当纸盒的容积V最大时，边长x的值未必恰好就是整数，会不会是小数呢？针对这个问题，请你写出解决方案（x精确到0.1cm，V精确到）． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 丰富的图形世界 一、立体图形的认识 1.有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、棱柱、棱锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形． 2.立体图形分类：除了按照柱体、锥体、球分类，也可以按照围成几何体的面是否有曲面划分：①有曲面：圆柱、圆锥、球等；②没有曲面：棱柱、棱锥等. 3.棱柱的有关概念及其特征: ①在棱柱中，相邻两个面的交线叫做棱，相邻两个侧面的交线叫做侧棱，棱柱所有侧棱长都相等，棱柱的上下底面的形状、大小相同，并且都是多边形；棱柱的侧面形状都是平行四边形. ②棱柱的顶点数、棱数和面数之间的关系：底面多边形的边数n确定该棱柱是n棱柱，它有2n个顶点，3n条棱，n条侧棱，有n+2个面，n个侧面. 二、点、线、面、体的关系 ①体与体相交成面，面与面相交成线，线与线相交成点． ②点动成线，线动成面，面动成体． ③点、线、面、体组成几何图形，点、线、面、体的运动组成了多姿多彩的图形世界． 三、从三个方向看物体的形状 一般是从以下三个方向：(1)从正面看；(2)从左面看；(3)从上面看．（如下图） 四、正方体的平面展开图 正方体是特殊的棱柱，它的六个面都是大小相同的正方形，将一个正方体的表面展开，可以得到11种不同的展开图，把它归为四类：一四一型有6种；二三一型有3种；三三型有1种；二二二型有1种. 正方体展开图口诀： ①一线不过四;田凹应弃之； ②找相对面：相间，“Z”端是对面；③找邻面：间二，拐角邻面知. 五、截一个几何体 用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面．截面的形状可能是三角形、四边形、五边形、六边形或圆等等． 易错点1 几何体中的点、棱、面的关系 1.易错总结：混淆点与棱、面的从属关系，如误将“棱上的点”归为“面上的点”，忽略棱是面的交线这一本质。计算多面体棱数时，错用“面数×边数”直接相加，忘记每条棱被两个面共用，导致重复计数。 2.注意事项：明确基本关系：点是棱的端点，棱是面的交线，面由棱围成，可结合具体几何体（如正方体）直观记忆。利用公式验证（如欧拉公式：顶点数+面数-棱数=2），计算棱数时需除以2消除重复，确保逻辑自洽。 例题1．仔细观察下面的正四面体、正六面体、正八面体，解决下列问题： (1)填空： ①正四面体的顶点数______，面数______，棱数______； ②正六面体的顶点数______，面数______，棱数______； ③正八面体的顶点数______，面数______，棱数______； (2)若将多面体的顶点数用v表示，面数用f表示，棱数用e表示，则v，f，e之间的数量关系可用一个公式来表示：________ 【答案】(1)①4，4，6；②8，6，12；③6，8，12 (2) 【分析】本题考查的是多面体的定义，关键点在于：多面体指四个或四个以上多边形所围成的立体图形； （1）观察图形，结合多面体的顶点、面和棱的定义进行填空即可； （2）根据（1）中，多面体的顶点数，面数和棱数，总结规律可得v，f，e之间的数量关系式； 【详解】（1）①正四面体的顶点数，面数，棱数； ②正六面体的顶点数，面数，棱数； ③正八面体的顶点数，面数，棱数； 故答案为：①4，4，6；②8，6，12；③6，8，12； （2）根据（1）中数据可得： ① ② ③ 故v，f，e之间的数量关系是： 易错点2 平面图形旋转后所得的立体图形的体积 1.多解易错总结：旋转轴考虑不全：在求解平面图形旋转后的立体图形体积时，容易只考虑一种旋转轴的情况。比如直角三角形，绕不同直角边旋转所得圆锥体积不同，若遗漏某一边为轴的情况，答案就不完整。分割方式单一：对于复杂平面图形，用单一分割法求体积会遗漏其他可能。如不规则四边形旋转，除水平分割，还可竖直或按特殊角度分割，不同分割计算结果不同，考虑不全就出错。 2.注意事项：全面分析旋转轴：解题前仔细分析平面图形，列出所有可能旋转轴，分别计算对应立体图形体积。尝试多种分割思路：面对复杂图形，从不同方向、角度思考分割方式，对比各方法的计算量与难易程度，选择最优解 。 例题2．一个直角三角形两条直角边分别为和，以这个三角形的一条直角边为轴旋转一周，得到几何体的体积是 ．（结果保留） 【答案】或 【分析】本题考查了求旋转体的体积，根据圆锥的体积公式，分两种情况，计算即可得解，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：当以边为轴旋转时，体积为， 当以边为轴旋转时，体积为， 综上所述，得到几何体的体积是或， 故答案为：或． 易错点3 根据从不同方向看到的图形确定小立方体的个数 1.易错总结：仅凭一两面视图臆断总数，忽略隐藏立方体，如正面和侧面视图均有列时，易漏算重叠处的小立方体。对“最多”“最少”情况区分不清，未考虑不同视图约束下的可变空间，导致个数计算偏差。 2.注意事项：先标记各列/行的最大层数（从三视图提取），以最小层数为基准确定必有的立方体，再根据其他视图补充可变部分。用分层法逐层分析，结合俯视图确定位置，正/侧视图确定高度，通过“搭积木”式模拟验证总数。 例题3．（23-24七年级上·贵州毕节·期末）用相同的小立方块搭一个几何体，从正面、上面看到的形状图如图所示，从上面看到的形状图中小正方形中的字母表示在该位置上小立方块的个数，请回答下列问题： (1)填空：__________，__________． (2)请在如图的网格中画出当，时这个几何体从左面看到的形状图． (3)这个几何体最少由多少个小立方块搭成？最多由多少个小立方块搭成？ 【答案】(1)3；1 (2)见解析 (3)最少由9个小立方块搭成，最多由11个小立方块搭成 【分析】本题考查从不同位置看简单组合体． （1）结合从正面、上面看到的形状图可得答案； （2）根据左视图的定义画图即可； （3）由从正面、上面看到的形状图可知，，，，，的最大值为2，且至少有一个是2，由此可得答案． 【详解】（1）解：结合从正面、上面看到的形状图可知，，． 故答案为：3；1． （2）解：如图所示． （3）解：根据题意得： 则最多时，（个），最少时，（个）， 答：这个几何体最少由9个小立方块搭成，最多由11个小立方块搭成． 易错点4 根据从上面看到的图形确定几何体的形状 1.易错总结：误将俯视图直接等同于几何体形状，忽略高度信息，如俯视图中相同方格可能对应不同层数的立方体。漏看俯视图中隐含的位置关系，对“行”“列”划分不清，导致几何体行列错位。 2.注意事项：明确俯视图仅反映底面布局，需结合高度条件（如“最多”“最少”或具体层数）确定立体结构。用标记法在俯视图方格中标注可能的层数范围，再依据约束条件排除不合理情况，避免主观臆断。 例题4．一个几何体是由大小相同的小立方块搭成，其中小正方形上的数字表示在该位置上的小立方块的个数，请画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图．    【答案】见解析 【分析】本题主要考查了从不同方向看几何体，根据各行、各列对应的立方体的个数画正面看，左面看的图形即可． 【详解】解：从正面和从左面看到的这个几何体的形状图如图所示：    易错点5 含图案的正方体的展开图 1.易错总结：忽略图案方向，误将翻转后的图案视为相同，如正方体展开图中相邻面的图案朝向在折叠后会发生旋转。错判相对面图案，仅凭位置远近判断，忽略“Z”字形或间隔一行/一列的相对面规律。 2.注意事项：标记图案朝向（如箭头方向），折叠时注意相邻面图案的旋转角度，可通过实物模拟验证。用“相对面不相邻”原则，先确定展开图中相对面的图案，再排除折叠后不可能出现的组合。 例题3．（24-25七年级上·陕西安康·期末）如图是某一立方体的侧面展开图，则该立方体是（   ）    A．  B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题主要考查正方体的展开图，解题的关键是根据展开图的特征，判断折叠后的正方体．结合图形特征，根据正方体的展开图进行判断即可. 【详解】解：通过具体折叠结合图形的特征，判断展开图折叠后圆圈为相对的两个面，有三角形的两个面与有圆圈的两个面相邻． 故选：D． 易错点6 由展开图计算几何体的体积 1.易错总结：对应关系误判：难以准确找出展开图中各面在几何体中的对应位置，导致边长、高的数据代入错误。比如将长方体展开图中侧面的边长误当作底面边长，计算体积时出错。展开图类型遗漏：像正方体有多种展开图形式，若只考虑常见类型，遇到特殊展开图时，会无法正确还原几何体，导致体积计算无从下手 。 2.注意事项：确定关键数据：先分析展开图，找出能确定几何体形状大小的关键线段与角度，明确长、宽、高对应的边，做好标注。熟悉常见展开图：牢记正方体11种展开图，以及圆柱、圆锥、棱柱等常见几何体展开图特征，利用“一线不过四、田凹应弃之”等口诀判断 。 例题4．在数学活动课上，老师带领同学们以“制作无盖长方体盒子”为主题展开活动．如图所示为宽，长的长方形纸板，要将其四角各剪去一个正方形，折成如图所示的高为的无盖长方体盒子（纸板厚度忽略不计）．则此无盖长方体盒子的体积为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是长方体的展开图的认识，长方体的体积计算，数形结合是解本题的关键．根据展开图求出此无盖长方体盒子的长、宽，由长方体的体积公式进行计算即可． 【详解】解：此无盖长方体盒子的长为，宽为， 此无盖长方体盒子的体积为， 故答案为：． 一、单选题 1．关于下列几何体，说法正确的是（   ） A．图1由两个面围成，且其中一个面是曲面 B．图2可以展开成圆形 C．四个几何体中，含有平面最多的是图3 D．只有一个顶点的几何体是图4 【答案】A 【分析】本题考查几何题的图像特征，考查对立体图形的认识和理解． 仔细审题，观察一下图中几个几何体的特点；观察图形可知图（1）圆锥，由一个平面和一个曲面围成，图（2）为球由一个曲面围成；图（3）由两个平面和一个曲面围成，图（4）由四个平面围，据此逐一判断各选项的说法，即可得出答案． 【详解】解：选项A，图（1）圆锥，由一个平面和一个曲面围成，A选项符合题意； 选项B，图（2）为球由一个曲面围成，B选项不符合题意； 选项C，四个几何体中，含有平面最多的是图4，C选项不符合题意； 选项D，只有一个顶点的几何体是图1，D选项不符合题意． 故选：A． 2．下面四个图形中，经过折叠能围成如图所示的几何图形的是（   ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方体展开图的特点，含有圆圈，三角形和正方形的三个面是两两相邻的三个面，据此可判断A、D；再由三角形的顶点指向的边为含有圆的那个面的一边即可判断B、C． 【详解】解：由题意得，含有圆圈，三角形和正方形的三个面是两两相邻的三个面，且含有三角形的面中，三角形的顶点指向的边为含有圆的那个面的一边， ∴四个图形中只有C选项中的图形符合题意， 故选：C． 3．从不同方向看某个立体图形得到的平面图形如图所示，则这个立体图形可能是下面选项中的（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三视图还原几何体，根据几何体与从不同角度看到的几何图形的关系解答即可． 【详解】解：根据从不同方向看某个立体图形得到的平面图形可知符合的立体图形为D选项， 故选：D． 4．如图，分别以直角梯形的下底和上底所在的直线为轴，将梯形旋转一周得到A，B两个几何体，则，两个几何体的体积之比是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆柱和圆锥的体积、图形的旋转，熟练掌握图形的旋转是解题关键．几何体的体积等于圆柱的体积与圆锥的体积之和，几何体的体积等于圆柱的体积减去圆锥的体积，由此即可得． 【详解】解：几何体的体积为， 几何体的体积， 则，两个几何体的体积之比是， 故选：C． 5．用相同尺寸的长方形纸板制作一个无盖的长方体纸盒．先在纸板上画出其表面展开图（需剪掉阴影部分），两种裁剪方案如图1和图2所示，图中A，B，C均为正方形： 下列说法正确的是（　　） A．方案 1中的 B．方案2中的 C．方案1所得的长方体纸盒的容积小于方案 2所得的长方体纸盒的容积 D．方案1所得的长方体纸盒的底面积与方案2所得的长方体纸盒的底面积相同 【答案】C 【分析】本题考查图形的展开与折叠，考查学生的运算能力、推理能力、空间观念．分别求出a和b的值，方案1和方案2的容积即可得到答案． 【详解】解：方案1：，故A选项错误， 所折成的无盖长方体的底面积为． 容积为． 方案2：，故B选项错误， 所折成的无盖长方体的底面积为． 容积为． ∴方案1所得的长方体纸盒的容积小于方案 2所得的长方体纸盒的容积， 故选：C． 二、填空题 6．圆锥由两个面围成，其中一个是 面，另一个是 面，这两个面相交成的线是 线． 【答案】 平（或曲） 曲（或平） 曲 【分析】本题考查了圆锥的性质，解题的关键是掌握圆锥由两个面围成，其中一个是曲面，另一个是平面，这两个面相交成的线是曲线，据此即可解答． 【详解】解：圆锥由两个面围成，其中一个是曲面，另一个是平面，这两个面相交成的线是曲线， 故答案为：平（或曲），曲（或平），曲． 7．如图1是一个正方体的展开图，该正方体从图2所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格、第4格、第5格，此时这个正方体朝上一面的字是 ．    【答案】我 【分析】本题以小立方体的侧面展开图为背景，考查学生对立体图形的展开图的认识，在解决本题的过程中，学生可以动手进行具体折纸、翻转活动，根据“立方体中相对面之间，相隔一个正方形”即可解答此题． 【详解】解：由图1可得，“中”和“的”相对；“国”和“我”相对；“梦”和“梦”相对； 由图2可得，小正方体从图2的位置依次翻到第5格时，“国”在下面， 此时小正方体朝上面的字是“我”， 故答案为：我． 8．如图，分别绕这个直角梯形的上底和下底所在直线旋转一周，所得立体图形的最大体积为 （用含有a，b的代数式表示，结果保留π）． 【答案】 【分析】本题考查了圆柱体和圆锥体体积的计算，解答本题的关键是空间想象力及如何确定圆柱和圆锥的高．由旋转后所得的立体图形的形状及进一步分别求出体积进行比较即可． 【详解】解：按上底b所在直线旋转的体积为：， 按下底所在直线旋转的体积为：， ∵， ∴所得立体图形的最大体积为：． 故答案为：． 9．用棱长为1的小立方块搭一个几何体，它从正面和从上面看到的形状图如图所示，这样的几何体最少需要 个小立方块，最多需要 个小立方块，最多时候的表面积是 ．      【答案】 9 12 40 【分析】本题考查由三视图判断几何体和几何体的表面积，理解视图的定义，掌握简单组合体的三视图的画法是正确解答的前提． 在俯视图的对应位置标注，需要几何体最少和最多时该位置所摆放的正方体的个数，然后根据表面积公式计算即可． 【详解】解：在俯视图的对应位置上标注，需要几何体最少和最多时该位置所摆放的正方体的个数，如图所示： 因此最少需要9个，最多需要12个， 最多时候的表面积是． 故答案为：9，12，40． 10．一个长方体的展开图如图所示，每个面分别标上的了1﹣6六个数字（数字在长方体的内侧），已知3、5、6三面面积之和是，且5号面是一个边长3厘米的正方形．如果2号面是长方体底面，那么 号面是长方体上面，这样围成长方体后每相连两个面上的数字之和是质数（可重复）的有 组，这个长方体的体积是 ．    【答案】 6 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，掌握长方体表面展开图的“相间、端是对面”是解题的关键． 根据长方体表面展开图的“相间、端是对面”判断出相对的面，进而得到相邻的面，再由邻面中数字之和为质数的组数，再根据3、5、6三面面积之和是，且5号面是一个边长3厘米的正方形．求出3、6两个面的长，进而得到长方体的长、宽、高，最后由体积的计算方法进行计算即可． 【详解】解：根据长方体的面积展开图的“相间、端是对面”可得： “1”与“3”，“2”与“6”，“4”与“5”是对面， “1和3”的邻面有“2、4、5、6”，其中，，，，，即相连两个面上的数字和为质数有5组， “2和6”的邻面有“1、3、4、5”，其中，，，，，即相连两个面上的数字和为质数有5组， “4和5”的邻面有“1、2、3、6”，其中，，，，即相连两个面上的数字和为质数有4组， 综上所述，围成长方体后每相连两个面上的数字之和是质数（可重复）的共有（组）； 由相对的面可知， 当2号面是长方体底面时，则6号面位长方体的上面， 3、5、6三面面积之和是，且5号面是一个边长3厘米的正方形， 5、6号面的较长的边长为， 因此这个长方体可以看作底面是边长为的正方形，高为， 体积为， 故答案为：6，，． 三、解答题 11．如果一个棱柱（棱锥）有n条侧棱，那么就称其为n棱柱（棱锥）． (1)图①所示的几何体是一个三棱柱，它有 个顶点， 条棱， 个面； (2)图②所示的几何体是 ，它有 个顶点， 条侧棱， 个侧面， 个底面； (3)如果一个棱锥由7个面围成，那么这个棱锥是几棱锥，它共有几条棱？ 【答案】(1)6；9；5 (2)六棱柱；12；6；6；2 (3)12 【分析】本题主要考查的是认识立体图形，明确n棱柱有n个侧面，2个底面，条棱，个顶点，n棱锥有n个侧面，一个1底面，有条棱，有个顶点是解题的关键． （1）根据三棱柱有6个顶点，9条棱，5个面，进行解答即可； （2）根据几何体的特点进行解答即可； （3）根据n棱柱有个面组成，进行解答即可． 【详解】（1）解：图①所示的几何体是一个三棱柱，它有6个顶点，9条棱、5个面； 故答案为：6；9；5； （2）解：图②所示的几何体是六棱柱，它有12个顶点，6条侧棱、6个侧面、2个底面； 故答案为：六棱柱，12，6，6，2； （3）解：如果一个棱锥由7个面围成，那么这个棱锥是 六棱锥，它共有12条棱． 12．小明学习了“面动成体”之后，他用一个边长分别为，和的直角三角形，绕不同的边所在的直线旋转一周，得到了如图所示的几何体．    (1)绕的边所在的直线旋转一周，可以得到图______；绕的边所在的直线旋转一周，可以得到图______；绕的边所在的直线旋转一周，可以得到图______；（请填写序号） (2)请计算图①和图②中几何体的体积．（结果保留，圆锥体积底面积高） 【答案】(1)①，②，③ (2)题图①中几何体的体积为；题图②中几何体的体积为． 【分析】本题考查了点、线、面、体，熟练掌握三角形旋转得到圆锥，是解题关键． （1）根据三角形旋转是圆锥，可得几何体； （2）根据圆锥的体积公式计算可得答案． 【详解】（1）解：绕的边所在的直线旋转一周，可以得到图①；绕的边所在的直线旋转一周，可以得到图②；绕的边所在的直线旋转一周③， 故答案为：①，②，③ （2）解：题图①中几何体的体积为：； 题图②中几何体的体积为：． 13．用若干个棱长为的小正方体搭一个几何体，使得从正面和从上面看这个几何体的形状图如图所示． (1)搭成满足如图所示从正面看和从上面看的几何体最多需要______个小正方体，请在网格中画出用最多小正方体搭成的几何体从左面看到的图形； (2)搭成满足如图所示从正面看和从上面看的几何体最少需要______个小正方体，用最少小正方体搭成的几何体共有______种不同形状； (3)若用9块小正方体搭成满足如图所示从正面看和从上面看的几何体． ①画出这个几何体从左面看到的形状图； ②这个几何体的表面积（包含底面）最大是______． 【答案】(1)10，图见详解 (2)7，6 (3)①图见详解；②30 【分析】本题主要考查从不同方向看几何体，熟练掌握几何体的特征是解题的关键； （1）在俯视图中，写出最多时，小正方体的个数，可得结论； （2）利用俯视图，结合主视图的特征，解决问题即可； （3）①根据题意判断即可；②由①及题意可进行求解． 【详解】（1）解：搭成满足如图所示主视图和俯视图的几何体最多需要：（个），左视图如图所示． 故答案为：10； （2）解：搭成满足如图所示主视图和俯视图的几何体最少需要7个小正方体，用最少小正方体搭成的几何体共有6种不同形状． 故答案为：7，6； （3）解：①由题意可得从左面看的视图为： 或； ②当从左面看是，可知：总共有横的有3列，竖的有2列，竖的第一列都有2个小正方形组成，第二列分别有2个和1个小正方形，则表面积为； 当从左面看是，可知：总共有横的有3列，竖的有2列，竖的第一列分别为2、2、1个小正方形，竖的第二列分别为2、2个小正方形，则表面积为； 所以最大表面积为； 故答案为30 14．如图所示是一些常见的多面体． (1)数一下每一个多面体具有的顶点数（V）、棱数（E）和面数（F），并且把结果记入表中： 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 正四面体 4 4 6 正方体 正八面体 正十二面体 正二十面体 12 20 30 (2)观察表中数据，猜想多面体的顶点数（V）、棱数（E）和面数（F）之间的关系； (3)若已知一个多面体的顶点数，棱数，请你用（2）中的结果求这个多面体的面数． 【答案】(1)见解析 (2) (3)100 【分析】本题是对欧拉公式的考查，观察图形准确数出各图形的顶点数、面数、棱数是解题的关键． （1）中根据图形数出顶点数，面数，棱数，填入表格即可； （2）根据表格数据，由顶点数与面数的和减去棱数等于2进行解答； （3）中把顶点与棱数代入上步所得公式进行计算即可求解． 【详解】（1）所填数据如表所示： 正方体 8 6 12 正八面体 6 8 12 正十二面体 20 12 30 （2）因为， 所以． （3）由，得，所以，所以这个多面体的面数为100． 15．综合与实践： 如图是由几个完全相同的边长为1的小立方块搭成的几何体从上面看到的形状，方格中的数字表示该位置的小立方块的个数．    (1)请在方格纸中分别画出从正面和左面所观察到的几何体的形状； (2)这个组合几何体的表面积为______个平方单位；（包括底面积） (3)若保持从上面看到的这个几何体形状不变，各位置的小立方块个数可以改变（总数目不变），则搭成这样的几何体中表面积最大的是______个平方单位．（包括底面积） 【答案】(1)见解析 (2)24 (3)26 【分析】（1）主视图有2列，每列小正方形数目分别为2，3；左视图有2列，每列小正方形数目分别为3，1； （2）上面共有3个小正方形，下面共有3个小正方形；左面共有4个小正方形，右面共有4个正方形；前面共有5个小正方形，后面共有5个正方形，继而可得出表面积． （3）要使表面积最大，则需满足两正方体重合的最少，画出俯视图，计算表面积即可． 此题考查了简单几何体的三视图及几何体的表面积的计算，解答本题的关键是掌握三视图的观察方法，在计算表面积时容易出错，要一个面一个面的进行查找，避免遗漏． 【详解】（1）解：    （2）根据从三个方向看的形状图， 这个几何体的表面积为， 故答案为：24． （3）要使表面积最大，则需满足两正方体重合的最少，此时俯视图为∶    这样上面共有3个小正方形，下面共有3个小正方形； 左面共有5个小正方形，右面共有5个正方形； 前面共有5个小正方形，后面共有5个正方形， 表面积为∶ 故答案为：26． 16．（1）如图所示的六棱柱中，它的底面边长都是，侧棱长为，这个棱柱共有多少个面？这个棱柱共有多少个顶点？有多少条棱？它的侧面积是多少？ （2）如图，有一个长，宽的长方形纸板，现要求以其一组对边中点所在直线为轴旋转，可按两种方案进行操作． 方案一：以较长的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图（1）； 方案二：以较短的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图（2）． ①上述操作能形成的几何体是__________，说明的事实是____________________； ②请通过计算说明哪种方案得到的几何体的体积大． 【答案】（1）这个棱柱共有8个面，有 12 个顶点，有18条棱；侧面积为；（2）①圆柱，面动成体；②方案一得到的圆柱的体积大 【分析】本题考查基本图形旋转得到的体积及棱柱、圆柱体积计算； （1）根据棱柱特征直接解答即可； （2）①根据面动成体解答即可；②先求出所得几何体体积再比较大小即可． 【详解】解：（1）①这个棱柱共有8个面，        有 12 个顶点，       有18条棱；       ②它的侧面积为 ； （2）①长方形旋转可以得到圆柱，上述操作能形成的几何体是圆柱， 说明的事实是：面动成体，           ②方案一：，     方案二：，       ∵，                       ∴方案一得到的圆柱的体积大． 17．综合与实践 问题情景：学校综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动，他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒． 操作探究： (1)若准备制作一个无盖的正方体纸盒，图中的______经过折叠能围成无盖正方体纸盒； (2)如图，是小明的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后与“保”字相对的字是______； (3)如图，有一张边长为30cm的正方形废弃宣传单，张乐准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体纸盒： ①请你在图中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕； ②若四角各剪去了一个边长为的小正方形，求这个纸盒的体积． 【答案】(1)C (2)卫 (3)①画图见解析；②这个纸盒的体积为． 【分析】本题考查正方体的表面展开图、正方体相对两面上的字． （1）根据正方体的折叠，可得有5个面，依据正方体的展开图可得答案； （2）根据正方体的表面展开图的特征，得出答案； （3）①画出相应的图形即可；②直接根据体积公式计算即可． 【详解】（1）解：制作一个无盖的正方体纸盒， 展开图有5个面，选项B不符合题意； 再根据正方形的展开图的特征，可得选项A和选项D不符合题意，选项C符合题意； 故选C； （2）解：正方体的平面展开图中，相对的面中间必须隔着一个正方形，所以“保”字相对的字是“卫” 故答案为：卫； （3）解：①所画出的图形如图所示： ②当小正方形的边长为为时， 纸盒的底面积为 纸盒的体积为 答：这个纸盒的体积为． 18．综合与实践 【问题情境】如图，将边长为10cm的正方形纸片，四角各剪去边长为的小正方形，折成无盖长方体纸盒，当x取何值时，纸盒的容积有最大值？ 【整理·汇总】x的值按如表的整数值依次变化时，纸盒的容积如表所示： 边长 1 2 3 4 5 纸盒容积 64 a b 16 0 (1)【操作·分析】 ①上表中，a=______，b=______； ②随着x的增大，纸盒的容积V变化情况是______（单选题）； A．一直增大    B．一直减小    C．先增大后减小    D．先减小后增大 (2)【思考·猜想】观察上表中的边长x与纸盒容积V变化情况可得：当x为______cm（x为整数）时，纸盒的容积最大，为______cm3： (3)【反思·拓展】当纸盒的容积V最大时，边长x的值未必恰好就是整数，会不会是小数呢？针对这个问题，请你写出解决方案（x精确到0.1cm，V精确到）． 【答案】(1)①，②C (2) (3)见解析，当时， 【分析】本题考查了展开图折叠成几何体，掌握长方体体积的计算方法是正确解答的关键． （1）①根据长方体的体积计算方法进行计算即可；②由表格中对应值的变化关系得出结论； （2）由表格中对应值的变化关系得出结论． （3）利用“夹逼法”分别计算当计算体积V的值，进而得出结论． 【详解】（1）① 故答案为： ②根据表格中数据的对应值的变化关系可知，随着x的增大，纸盒的容积V变化情况是先增大后减小， 故答案为：C （2）表格中的边长x与纸盒容积V变化情况可得：当（x为整数）时，纸盒的容积最大，为 故答案为： （3）由题意得： 当时， 当时， 当时， 当时， 所以，当时， 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$