专题01 丰富的图形世界（期末复习讲义，11知识点+15题型）六年级数学上学期新教材鲁教版五四制

该初中数学期末复习讲义以“丰富的图形世界”为主题，通过核心考点表格系统梳理6大核心内容，明确复习目标与考情规律，再以11个知识点框架图呈现立体图形识别、展开折叠、三视图等知识脉络，突出空间观念培养与重难点分布。 讲义亮点在于15类题型分层设计，如“正方体展开图”题型总结11种展开图及排除法，“三视图还原”题型强调规范作图，培养几何直观与推理意识。基础通关、重难突破、综合拓展三级练习适配不同学生，教师可据此实施精准复习教学，提升复习效率。

专题01 丰富的图形世界（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 1. 常见立体图形的识别与分类（柱体、锥体、球体） 能准确区分正方体、长方体、棱柱、圆柱、圆锥、球，按不同标准分类 选择题基础题，结合生活场景出题，难度低 2. 棱柱的特征（侧棱长相等、上下底面为相同多边形、侧面是平行四边形） 掌握棱柱顶点、棱、面的数量关系，区分三棱柱、四棱柱 填空题常考，难度低 3. 立体图形的展开与折叠 能判断立体图形对应的展开图，或根据展开图还原立体图形 选择题、填空题高频考点，易混淆相似展开图，难度中等 4. 截一个几何体（截面形状判断） 了解截面概念，判断平面截常见几何体所得的截面形状 选择题基础题，难度低 5. 从三个方向看物体的形状（主视图、左视图、俯视图） 能根据立体图形画三视图，或根据三视图还原简单立体图形 解答题作图题型，注重规范表达，难度中等 6. 点、线、面、体的关系（点动成线、线动成面、面动成体） 理解图形构成要素的动态关系，培养空间观念 选择题、填空题偶尔考查，难度低 知识点01 常见的几何体 知识点02 常见几何体的分类 ●(1)通常按形状分为三类(柱体、锥体、球)： 柱体：长方体、圆柱、棱柱； 锥体：圆锥、棱锥； 球. ●(2)按围成几何体的面分类：圆柱、圆锥、球； 无曲的面：长方体、棱柱、棱锥. 立体图形都是由一个或几个面围成的，面有平的面和曲的面之分. ●(3)按有无顶点分类： 有顶点：长方体、圆锥、棱柱、棱锥； 无顶点：圆柱、球. 知识点03 棱柱 ★1、在棱柱中，相邻两个面的交线叫作棱(edge)，相邻两个侧面的交线叫作侧棱. ★2、特征 (1)棱柱的所有侧棱长都相等； (2)棱柱的上、下底面的形状相同、大小相同，都是多边形，并且互相平行； (3)棱柱的侧面的形状都是平行四边形. ★3、棱柱的分类 (1)人们通常根据底面图形的边数将棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱……它们底面图形的形状分别为三角形、四边形、五边形、六边形……长方体、正方体都是四棱柱. 棱柱的底面是几边形就叫做几棱柱. (2)棱柱可以分为直棱柱和斜棱柱. (3)n棱柱有（n+2）个面，2n个顶点，3n条棱. ★4、圆柱与棱柱的相同点与不同点. 知识点04 图形的构成元素 图形的构成元素：图形是由点、线、面构成的. 面和面相交的地方形成线，线有直线和曲线之分.点无大小，线无粗细，面无厚薄. 知识点05 点、线、面、体之间的关系 点动成线，线动成面，面动成体 【注意】一般地,含有曲面的几何体,都可以看成由某一平面图形绕着某一旋转轴旋转一定的角度得到.旋转轴或旋转角度不同，所得到的几何体不一定相同. 知识点06 从三个方向看物体的形状 ★1、画从三个方向看到的形状图 一般地，我们从正面、左面（或右面）和上面三个方向观察同一物体. 画从三个方向看小立方块的组合体的形状图的方法: ①确定从三个方向看到的组合体的行数或列数; ②确定每行或每列中小正方形的个数; ③根据小正方形的个数及对应位置画出从三个方向看到的形状图. ★2、由三个方向看到的形状图确定几何体 三个方向看到的形状图与上下、前后、左右之间的关系: (1)正面的形状图：反映几何体的左右列数和每一列的上下层数. (2)左面的形状图：反映几何体的前后列数和每一列的上下层数. (3)上面的形状图：反映几何体的前后行数和每一行的左右列数. 知识点07 正方体的展开图 ★正方体展开图共11种： 【注意】不能作为正方体表面展开图的常见情况: 1.四个以上的正方形排成一排，或四个正方形排成一排且另两个在这一排的同侧，如 或 或 等; 2.出现“田”字形，如 等; 3.出现“凹”字形，如等. 知识点08 正方体的折叠 ★判断一个平面图形经过折叠能否围成正方体的方法 1、对比正方体的11种表面展开图进行判断； 2、通过制作实物模型或利用空间想象进行判断； 3、利用“田”字形、“凹”字形等排除判断. 知识点09 正方体展开图中的相对面 ★确定正方体的表面展开图中相对面的方法 方法一：利用空间想象，先确定一个面的位置，再确定其他面的位置. 如图，若将3作为下面，2作为后面， 则1为左面，4为右面，5为前面，6为上面， 这样就可以按“上对下”“左对右”“前对后”来确定相对面. 方法二：利用正方体的表面展开图中的规律确定相对面，即“隔一相对”（上下隔一行或左右隔一列） 如1对3，2对5，4对6，“Z端是对面”，如1对4，3对6，2对5． 知识点10 棱柱的展开图 (1)棱柱的表面展开图中,上、下底面的边数均与侧面长方形的个数相等. (2)柱体的表面展开图中,两个底面不能在侧面展开图的同一侧. 知识点11 常见几何体的截面形状 ★1、截面的定义：用一个平面去截取一个几何体，截出的面叫作截面. ★2、用一个平面去截正方体:截面的形状可能是三角形、四边形、五边形、六边形. 平面与正方体几个面相交，就得到几条交线，得到的截面就是几边形.正方体只有六个面，截面最多有六条边. ★3、棱柱的截面可能是三角形、长方形和其他多边形. ★4、圆柱、圆锥、球的截面形状 圆柱的截面可能是圆、长方形、椭圆； 圆锥的截面可能是三角形、圆、椭圆； 用一个平面无论如何截球，截面的形状总是圆，只是大小可能不同. 题型一 常见几何体 解｜题｜技｜巧 认识立体图形，找出各立体图形的表面包含的平面图形是解题的关键. 【典例1】下列实物图中，能抽象出圆柱体的是（    ） A．  B．   C．   D．   【变式1】下列几何体中，柱体的个数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式2】与图中实物图类似的立体图形按从左至右的顺序依次是（    ） A．圆锥、三棱柱、球、正方体 B．球、圆锥、三棱柱、正方体 C．三棱柱、球、圆锥、正方体 D．球、三棱柱、正方体、圆锥 题型二 几何体的构成元素 解｜题｜技｜巧 图形的构成元素：图形是由点、线、面构成的. 面和面相交的地方形成线，线有直线和曲线之分.点无大小，线无粗细，面无厚薄. 【典例1】（24-25七年级上·广东惠州·期末）对于如图所示的几何体，说法正确的是（   ） A．几何体是三棱锥 B．几何体有6条侧棱 C．几何体的侧面是三角形 D．几何体有3个侧面 【变式1】（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）若围成一个几何体的面全是平的，则这个几何体可能是（    ） A． B． C． D． 【变式2】分别观察下列几何体，其中只有曲面的是 （    ） A．B． C． D． 题型三 几何体的表面积 解｜题｜技｜巧 几何体的表面积，解题的关键从几何体哪几个面来计算出表面积. 【典例1】（25-26七年级上·内蒙古包头·期中）一个底面半径为，高为的圆柱，将它的侧面沿虚线剪开（如图），剪开后得到一个平行四边形，则这个平行四边形的面积是（    ）（结果保留） A． B． C． D． 【变式1】如图，圆柱的底面直径为，高为．把这个圆柱的侧面沿高剪开后，得到的侧面展开图的面积是 （结果保留）． 【变式2】如图的零件是由两个正方体焊接而成，已知大正方体和小正方体的体积分125cm3和27cm3，现要给这个零件的表面刷上油漆，那么所刷油漆的面积是（　　）cm2． A．161 B．186 C．195 D．204 题型四 点动成线、线动成面 解｜题｜技｜巧 利用考查了点动成线，线动成面，理解点、线、面之间的关系是正确判断的关键． 【典例1】（24-25八年级上·贵州遵义·期末）朱自清的《春》一文里，在描写春雨时有“像牛毛，像细丝，密密地斜织着”的语句，这里用数学的眼光来看其实是把雨滴看成了点，把雨看成线，说明（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上三个均有 【变式1】（24-25七年级上·四川广元·期末）下面现象中，能说明“线动成面”的是（   ） A．天空划过一道流星 B．时钟的钟摆摆动留下的痕迹 C．抛出一块小石子，石子在空中飞行的路线 D．一枚硬币在桌面上旋转的轨迹 【变式2】车轮上的辐条旋转起来形成一个圆面，用数学知识解释为（　　） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上都不对 题型五 面动成体 解｜题｜技｜巧 一般地,含有曲面的几何体,都可以看成由某一平面图形绕着某一旋转轴旋转一定的角度得到.旋转轴或旋转角度不同，所得到的几何体不一定相同. 【典例1】如图所示的几何体，是由哪个图形绕着虚线旋转一周得到的？ （    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级上·广东广州·期末）如图所示的是悦悦书房的笔筒，把下列图形绕直线旋转一周，能大致形成这个笔筒的图形是（   ） A． B． C． D． 【变式2】随着人工智能技术的快速发展，利用画图可快速生成多样图像，输入文字描述即可得到符合需求的画面，相关技术被广泛应用于设计、创意等领域如图是利用某国产软件生成的一个创意花瓶，下列平面图形绕虚线旋转一周可以得到该花瓶的是（   ） A． B． C． D． B． 题六 常见几何体的体积计算 解｜题｜技｜巧 根据旋转得出几何体，然后利用常见的几何体的体积公式计算即可求解. 【典例1】分别以直角梯形（如图所示）的下底和上底为轴，将梯形旋转一周得到A，B两个立体图形．则A，B两个立体图形的体积之比是（　　） A．1：1 B．1：2 C．4：5 D．5：4 【变式1】现有一个长方形，宽和长分别为4cm和5cm，绕它的一条边所在的直线旋转一周，得到的几何体的体积为（　　） A．80πcm3 B．100πcm3 C．80πcm3或100πcm3 D．64πcm3或125πcm3 【变式2】某一长方体纸盒的表面展开图如图所示，根据图中数据可得该长方体纸盒的容积为：（　　） A． B． C． D． 题型七 从不同的方向看几何体 解｜题｜技｜巧 画从三个方向看小立方块的组合体的形状图的方法: ①确定从三个方向看到的组合体的行数或列数; ②确定每行或每列中小正方形的个数; ③根据小正方形的个数及对应位置画出从三个方向看到的形状图. 【典例1】如图是由5个大小相同的小立方块搭成的几何体，从左面看到的这个几何体的形状图是（   ） A．B．C． D． 【变式1】（25-26七年级上·全国·期末）如图是由6个完全相同的小立方块搭成的几何体，从上面看到的这个几何体的形状图是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·广东·期末）篆刻是中华传统艺术之一、如图是一块雕刻印章的材料，从正面看这个印章，得到的平面图形是（   ） A． B． C． D． 题型八 正方体的展开图 解｜题｜技｜巧 正方体展开图的11种情况可分为“1﹣4﹣1型”6种，“2﹣3﹣1型”3种，“2﹣2﹣2型”1种，“3﹣3型”1种. 【典例1】下列图形中哪个是正方体的展开图（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）下面图形能折成一个正方体的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·全国·期末）下列平面图形可折成正方体的是（   ） A． B． C． D． 题型九 正方体相对两面上的字 解｜题｜技｜巧 方法一：利用空间想象，先确定一个面的位置，再确定其他面的位置. 方法二：利用正方体的表面展开图中的规律确定相对面，即“隔一相对”（上下隔一行或左右隔一列） 【典例1】如图是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“顺”字所在的面相对的面上标的字是（   ） A．考 B．试 C．顺 D．利 【变式1】如图是一个正方体展开图，把展开图折叠成正方体后，“你”字一面相对面上的字是(    )． A．的 B．中 C．国 D．梦 【变式2】（24-25七年级上·云南红河·期末）李老师在上综合与实践课：如图是正方体展开图，将《论语》十二章中的一句话：“学而不思则罔”六个字写在正方体展开图的六个面内，其中“则”对面的文字是（   ） A．思 B．不 C．而 D．罔 题型十 补一个面使图形围成正方体 解｜题｜技｜巧 补一个面使图形围成正方体的方法主要是通过观察现有的平面图形，然后根据正方体的展开图特点，找到合适的位置和方向来添加缺失的面. 【典例1】（24-25六年级上·山东淄博·期末）如图所示，纸板上有10个小正方形（其中5个有阴影，5个无阴影），从图中5个无阴影的小正方形中选出一个，与5个有阴影的小正方形一起折一个正方体的包装盒，不同的选法有（　　） A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 【变式1】小石准备制作一个封闭的正方体盒子，他先用5个边长相等的正方形硬纸制作成如图所示的拼接图形（实线部分）．请你在图中的拼接图形上再接上一个正方形，使得新拼接的图形经过折叠后能够成为一个封闭的正方体盒子（只需添加一个符合要求的正方形，并将添加的正方形用阴影表示）．是 ． 【变式2】小强用5个大小一样的正方形制成如图所示的拼接图形（阴影部分），若在图中只添加一个正方形，使新拼接成的图形经过折叠后能成为一个封闭的正方体盒子，这样的拼接方式有 种． 题型十一 其它几何体的展开图 解｜题｜技｜巧 解题技巧提炼 (1)棱柱的表面展开图中,上、下底面的边数均与侧面长方形的个数相等. (2)柱体的表面展开图中,两个底面不能在侧面展开图的同一侧. 【典例1】下面的立体图形的平面展开图是（   ） A．B．C． D． 【答案】D 【变式1】（2024•西安校级模拟）下列图形中是圆锥展开图的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】下列图形中，不是三棱柱展开图的是（　　） A． B． C． D． 题型十二 由展开图判断立体图形的形状 解｜题｜技｜巧 根据展开图判断立体图形形状的方法： (1) 展开图全是长方形或正方形时，要考虑长方体或正方体； (2) 展开图中有三角形时，要考虑三棱柱或棱锥； (3) 展开图中有长方形(或正方形)和圆时，要考虑圆柱； (4) 展开图中有扇形时，要考虑圆锥. 【典例1】（23-24七年级上·辽宁大连·期末）如果一个几何体的展开图如下图所示，则它是下列哪个几何体（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级上·福建厦门·期末）如图是某几何体的展开图，该几何体是（   ） A．圆锥 B．圆柱 C．三棱锥 D．三棱柱 【变式2】（24-25七年级上·贵州毕节·期末）下列图形经过折叠可以围成棱柱的是（   ） A． B． C． D． 题型十三 由展开图计算几何体的表面积 解｜题｜技｜巧 由展开图计算几何体的表面积的方法主要是通过将几何体的各个面展开成平面图形，然后分别计算这些平面图形的面积，最后将它们相加得到几何体的表面积. 【典例1】（25-26七年级上·甘肃兰州·期中）在航天科技领域，为了给航天器内的精密仪器设计冷却管道，工程师绘制出了如图所示的管道表面展开图 (1)该几何体的名称是 ，其底面半径为 ． (2)根据图中所给信息，求该几何体的侧面积和体积．（结果保留） 【变式1】（24-25七年级上·山东济南·期中）如图，是一个食品包装盒的表面展开图． (1)请写出这个包装盒的几何体的名称： ； (2)根据图中给出的数据，计算这个几何体的侧面积． 【变式2】宁兴纸箱厂生产的长方体纸箱表面展开图如图所示，工厂工人准备将这个表面展开图折叠成一个长方体纸箱．若，，，求这个长方体的表面积和体积． 题型十四 由展开图计算几何体的体积 解｜题｜技｜巧 由展开图计算几何体的体积，需要根据展开图的形状和尺寸，确定其对应的几何体，并使用相应的体积公式进行计算。 【典例1】如图，把一个边长为的正方形纸片的四个角各剪去一个同样大小的正方形，然后把剩下的部分折成一个无盖的长方体盒子，当剪去的正方形的边长从变为后，长方体纸盒的容积（    ）． A．增加了28 B．减少了28 C．增加了8 D．减少了8 【变式1】在学习《展开与折叠》这一课时，老师让同学们用若干个正方形和长方形拼成一个长方体的展开图.拼完后，小明发现所拼图形多了一块． (1)请你帮小明把图中多余块涂黑； (2)长方体共有 条棱，若将一个长方体沿某些棱剪开展成（1）中修正后的平面图形，需要剪开 条棱； (3)根据图中的数据，求出修正后的展开图所折叠而成的长方体的体积． 【变式2】如图是一个粮仓，已知粮仓底面直径为8m，粮仓顶部顶点到地面的垂直距离为9m，粮仓下半部分高为6m，观察并回答下列问题： （1）粮仓是由两个几何体组成的，他们分别是 　 　； （2）将如图的图形分别绕虚线旋转一周，哪一个能形成粮仓？用线连一连； （3）求出该粮仓的容积（结果保留π）． 题型十五 截一个几何体 解｜题｜技｜巧 截面的形状随截法的不同而改变，一般为多边形或圆，也可能是不规则图形，一般的截面与几何体的几个面相交就得到几条交线，截面就是几边形，因此，若一个几何体有几个面，则截面最多为几边形. 【典例1】用一个平面去截下列几何体，截面的形状可能是圆的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级上·山东济南·期末）如图所示，用一个平面去截一个圆柱体，截面不可能是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·河南平顶山·期末）用一个平面去截如图所示的圆锥，所得的截面图形不可能是（　　） A． B． C． D． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25六年级上·山东烟台·期末）如图，小明拿到一个没装满水的有盖可密封的正方体盒子，盒子可以采用任何方式放置，他不断改变盒子的放置方式，盒子里的水便形成不同的几何体，则下列选项中：①长方体，②正方体，③圆柱体，④三棱锥，⑤三棱柱，可能是盒子里的水形成的几何体的有 （填写序号即可） 2．（23-24七年级上·山东菏泽·期末）下列几何体中，棱柱有 个．    3．（24-25七年级上·江苏常州·期末）如图，下列四个平面图形可以围如图所示几何体的图形是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·陕西渭南·期末）下列各选项中的图形能够绕虚线旋转一周得到如图所示几何体的是（   ） A． B．C． D． 5．（24-25七年级上·山东济南·期末）用一平面去截下列几何体，其截面不可能是圆形的是（   ） A． B． C． D． 6．下面有4个正方体，只有一个是用下图的纸片折叠而成的，这个正方体是：（   ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级上·贵州贵阳·期末）用一个平面去截如图所示的正方体，截面不可能是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级上·吉林四平·期末）如图是一个用硬纸板制作的长方体包装盒展开图，已知它的底面形状是正方形，高为，则底面正方形的边长是 ． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 9．国庆节快到了，准备一个正方体礼盒，六个面分别写有“祝”“福”“祖”“国”“万”“岁”，其中“祝”的对面是“祖”，“万”的对面是“岁”，则它的平面展开图可能是（    ） A． B． C． D． 10．如图，裁掉一个正方形后能折叠成正方体，但不能裁掉的是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 11．将“数学核心素养”六个字分别写在如图所示的正方体盒子的六个面上，将图1盒子在桌面上向右翻滚，接着按逆时针方向旋转．若把该正方体盒子打开，得到的平面展开图可以是（   ） A． B． C． D． 12．（23-24七年级上·山东济南·月考）如图是某几何体从不同方向看所得图形，根据图中数据，求得该几何体的侧面积为 （结果保留）．    13．（24-25七年级上·河南郑州·期末）在数学活动课上，老师带领同学们以“制作无盖长方体盒子”为主题展开活动．如图所示为宽，长的长方形纸板，要将其四角各剪去一个正方形，折成如图所示的高为的无盖长方体盒子（纸板厚度忽略不计）．则此无盖长方体盒子的体积为 ． 14．如图所示的A、B、C、D四个位置的某个正方形与实线部分的五个正方形组成的图形，不能拼成正方体的是位置 ． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 15．如图，有一个长，宽的长方形纸板，现要求以其一组对边中点所在直线为轴旋转，可按两种方案进行操作． 方案一：以较长的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图（1）； 方案二：以较短的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图（2）． (1)上述操作能形成的几何体是__________，说明的事实是____________________； (2)请通过计算说明哪种方案得到的几何体的体积大． 16．（23-24七年级上·山西晋城·期末）在数学活动课上，老师带领同学们以“制作无盖长方体盒子”为主题展开活动．如图1所示为宽、长的长方形纸板，要将其四角各剪去一个正方形，折成如图2所示的高为的无盖长方体盒子（纸板厚度忽略不计）． (1)在图中的长方形纸板中画出示意图，用实线表示剪切线、虚线表示折痕． (2)求折成的无盖长方体盒子的体积． (3)若用这样的一块长方形纸板折成高为的无盖长方体盒子，外表面都涂上色彩，则该盒子需要涂色的面积为 ．（用含a的代数式表示） 17．（23-24七年级上·广东深圳·期末）如图是一个几何体从上面看到的形状图，正方形中的数字是该位置上的小立方块的数量． (1)请画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图； (2)若其中每个小立方块的棱长为，求这个几何体的表面积（含底面）． 18．下图是某种型号的正六角螺母毛坯从三个方向看到的形状图． (1)画出这个几何体的一种表面展开图． (2)求该正六角螺母毛坯的侧面积． 19．（23-24六年级上·山东烟台·期末）如图是一个几何体的表面展开图．    (1)写出该几何体的名称 ； (2)用一个平面去截该几何体，截面形状可能是 （填全所有可能的序号）； ①三角形；②四边形；③五边形；④六边形 (3)根据图中标注的长度（单位：），求该几何体的表面积和体积． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 丰富的图形世界（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 1. 常见立体图形的识别与分类（柱体、锥体、球体） 能准确区分正方体、长方体、棱柱、圆柱、圆锥、球，按不同标准分类 选择题基础题，结合生活场景出题，难度低 2. 棱柱的特征（侧棱长相等、上下底面为相同多边形、侧面是平行四边形） 掌握棱柱顶点、棱、面的数量关系，区分三棱柱、四棱柱 填空题常考，难度低 3. 立体图形的展开与折叠 能判断立体图形对应的展开图，或根据展开图还原立体图形 选择题、填空题高频考点，易混淆相似展开图，难度中等 4. 截一个几何体（截面形状判断） 了解截面概念，判断平面截常见几何体所得的截面形状 选择题基础题，难度低 5. 从三个方向看物体的形状（主视图、左视图、俯视图） 能根据立体图形画三视图，或根据三视图还原简单立体图形 解答题作图题型，注重规范表达，难度中等 6. 点、线、面、体的关系（点动成线、线动成面、面动成体） 理解图形构成要素的动态关系，培养空间观念 选择题、填空题偶尔考查，难度低 知识点01 常见的几何体 知识点02 常见几何体的分类 ●(1)通常按形状分为三类(柱体、锥体、球)： 柱体：长方体、圆柱、棱柱； 锥体：圆锥、棱锥； 球. ●(2)按围成几何体的面分类：圆柱、圆锥、球； 无曲的面：长方体、棱柱、棱锥. 立体图形都是由一个或几个面围成的，面有平的面和曲的面之分. ●(3)按有无顶点分类： 有顶点：长方体、圆锥、棱柱、棱锥； 无顶点：圆柱、球. 知识点03 棱柱 ★1、在棱柱中，相邻两个面的交线叫作棱(edge)，相邻两个侧面的交线叫作侧棱. ★2、特征 (1)棱柱的所有侧棱长都相等； (2)棱柱的上、下底面的形状相同、大小相同，都是多边形，并且互相平行； (3)棱柱的侧面的形状都是平行四边形. ★3、棱柱的分类 (1)人们通常根据底面图形的边数将棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱……它们底面图形的形状分别为三角形、四边形、五边形、六边形……长方体、正方体都是四棱柱. 棱柱的底面是几边形就叫做几棱柱. (2)棱柱可以分为直棱柱和斜棱柱. (3)n棱柱有（n+2）个面，2n个顶点，3n条棱. ★4、圆柱与棱柱的相同点与不同点. 知识点04 图形的构成元素 图形的构成元素：图形是由点、线、面构成的. 面和面相交的地方形成线，线有直线和曲线之分.点无大小，线无粗细，面无厚薄. 知识点05 点、线、面、体之间的关系 点动成线，线动成面，面动成体 【注意】一般地,含有曲面的几何体,都可以看成由某一平面图形绕着某一旋转轴旋转一定的角度得到.旋转轴或旋转角度不同，所得到的几何体不一定相同. 知识点06 从三个方向看物体的形状 ★1、画从三个方向看到的形状图 一般地，我们从正面、左面（或右面）和上面三个方向观察同一物体. 画从三个方向看小立方块的组合体的形状图的方法: ①确定从三个方向看到的组合体的行数或列数; ②确定每行或每列中小正方形的个数; ③根据小正方形的个数及对应位置画出从三个方向看到的形状图. ★2、由三个方向看到的形状图确定几何体 三个方向看到的形状图与上下、前后、左右之间的关系: (1)正面的形状图：反映几何体的左右列数和每一列的上下层数. (2)左面的形状图：反映几何体的前后列数和每一列的上下层数. (3)上面的形状图：反映几何体的前后行数和每一行的左右列数. 知识点07 正方体的展开图 ★正方体展开图共11种： 【注意】不能作为正方体表面展开图的常见情况: 1.四个以上的正方形排成一排，或四个正方形排成一排且另两个在这一排的同侧，如 或 或 等; 2.出现“田”字形，如 等; 3.出现“凹”字形，如等. 知识点08 正方体的折叠 ★判断一个平面图形经过折叠能否围成正方体的方法 1、对比正方体的11种表面展开图进行判断； 2、通过制作实物模型或利用空间想象进行判断； 3、利用“田”字形、“凹”字形等排除判断. 知识点09 正方体展开图中的相对面 ★确定正方体的表面展开图中相对面的方法 方法一：利用空间想象，先确定一个面的位置，再确定其他面的位置. 如图，若将3作为下面，2作为后面， 则1为左面，4为右面，5为前面，6为上面， 这样就可以按“上对下”“左对右”“前对后”来确定相对面. 方法二：利用正方体的表面展开图中的规律确定相对面，即“隔一相对”（上下隔一行或左右隔一列） 如1对3，2对5，4对6，“Z端是对面”，如1对4，3对6，2对5． 知识点10 棱柱的展开图 (1)棱柱的表面展开图中,上、下底面的边数均与侧面长方形的个数相等. (2)柱体的表面展开图中,两个底面不能在侧面展开图的同一侧. 知识点11 常见几何体的截面形状 ★1、截面的定义：用一个平面去截取一个几何体，截出的面叫作截面. ★2、用一个平面去截正方体:截面的形状可能是三角形、四边形、五边形、六边形. 平面与正方体几个面相交，就得到几条交线，得到的截面就是几边形.正方体只有六个面，截面最多有六条边. ★3、棱柱的截面可能是三角形、长方形和其他多边形. ★4、圆柱、圆锥、球的截面形状 圆柱的截面可能是圆、长方形、椭圆； 圆锥的截面可能是三角形、圆、椭圆； 用一个平面无论如何截球，截面的形状总是圆，只是大小可能不同. 题型一 常见几何体 解｜题｜技｜巧 认识立体图形，找出各立体图形的表面包含的平面图形是解题的关键. 【典例1】下列实物图中，能抽象出圆柱体的是（    ） A．  B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据圆柱的特点对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、抽象出来的是球，故A不符合题意； B、抽象出来的是四棱柱，故B不符合题意； C、抽象出来的是圆柱，故C符合题意； D、抽象出来的是圆锥，故D不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了圆柱的识别，正确的识别图象是解决本题的关键． 【变式1】下列几何体中，柱体的个数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】此题考查棱柱和圆柱的定义，熟练掌握是关键．柱体有两个底面和侧面组成，两个底面互相平行，分为圆柱和棱柱，圆柱的底面是圆，侧面是曲面，棱柱的底面是多边形，侧面是平面（四边形）． 根据圆柱和棱柱定义可选出答案． 【详解】第一个是圆柱，第二个是球，第三个是三棱锥，第四个是六棱柱． ∴柱体有2个． 故选：C． 【变式2】与图中实物图类似的立体图形按从左至右的顺序依次是（    ） A．圆锥、三棱柱、球、正方体 B．球、圆锥、三棱柱、正方体 C．三棱柱、球、圆锥、正方体 D．球、三棱柱、正方体、圆锥 【答案】B 【分析】根据常见实物与几何体的关系解答即可． 【详解】与图中实物图相类似的立体图形按从左至右的顺序依次是：球、圆锥、三棱柱、正方体． 故选：B． 【点睛】本题考查了立体图形，解题的关键是熟练的掌握立体图形的相关知识． 题型二 几何体的构成元素 解｜题｜技｜巧 图形的构成元素：图形是由点、线、面构成的. 面和面相交的地方形成线，线有直线和曲线之分.点无大小，线无粗细，面无厚薄. 【典例1】（24-25七年级上·广东惠州·期末）对于如图所示的几何体，说法正确的是（   ） A．几何体是三棱锥 B．几何体有6条侧棱 C．几何体的侧面是三角形 D．几何体有3个侧面 【答案】D 【分析】根据三棱柱的特征，逐一判断选项，即可．本题考查了认识立体图形，熟练掌握三棱柱的特征是解题的关键． 【详解】解：∵该几何体是三棱柱， ∴底面是三角形，侧面是四边形，有3条侧棱， ∴D说法正确，A、B、C说法错误， 故选D． 【变式1】（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）若围成一个几何体的面全是平的，则这个几何体可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了认识立体图形，关键是掌握立体图形的形状．根据立体图形的形状可直接得到答案． 【详解】解：A、圆锥的侧面是曲面，故不符合题意； B、三棱柱的面都是平面，故符合题意； C、圆柱的侧面是曲面，故不符合题意； D、球是由一个曲面围成的，故不符合题意． 故选：B． 【变式2】分别观察下列几何体，其中只有曲面的是 （    ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了认识立体图形，熟练掌握每一个几何体围成的面是平面还是曲面是解题的关键． 根据图形观察，围成立体图形的各个面是平面还是曲面逐一判断即可． 【详解】 解：A. 只有曲面，故该选项符合题意； B. 有曲面也有平面，故该选项不符合题意； C. 有曲面也有平面，故该选项不符合题意； D. 只有平面，故该选项不符合题意； 故选：A． 题型三 几何体的表面积 解｜题｜技｜巧 几何体的表面积，解题的关键从几何体哪几个面来计算出表面积. 【典例1】（25-26七年级上·内蒙古包头·期中）一个底面半径为，高为的圆柱，将它的侧面沿虚线剪开（如图），剪开后得到一个平行四边形，则这个平行四边形的面积是（    ）（结果保留） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求圆柱体展开图的面积，所求平行四边形的面积是圆柱的侧面积，直接利用展开图的面积公式进行计算即可． 【详解】解：， 答：这个平行四边形的面积是． 故选：B． 【变式1】如图，圆柱的底面直径为，高为．把这个圆柱的侧面沿高剪开后，得到的侧面展开图的面积是 （结果保留）． 【答案】 【分析】本题考查了圆柱的侧面展开图的面积，掌握“圆柱侧面积底面周长高”是解题的关键． 根据“圆柱侧面积底面周长高”即可求解． 【详解】解：由题意得，侧面展开图的面积为． 故答案为：． 【变式2】如图的零件是由两个正方体焊接而成，已知大正方体和小正方体的体积分125cm3和27cm3，现要给这个零件的表面刷上油漆，那么所刷油漆的面积是（　　）cm2． A．161 B．186 C．195 D．204 【答案】B． 【分析】先求出大正方体和小正方体的棱长，再求出零件的表面积即可求解． 【详解】解：∵大正方体的体积为125cm3，小正方体的体积为27cm3， ∴大正方体的棱长为5cm，小正方体的棱长为3cm， ∴大正方体的每个表面的面积为25cm2，小正方体的每个表面的面积为9cm2， ∴这个零件的表面积为：25×6+9×4＝186（cm2）， 答：要给这个零件的表面刷上油漆，则所需刷油漆的面积为186cm2． 故选：B． 【点睛】本题考查了几何体的表面积，解题的关键是根据正方体的体积正确确定正方体的棱长． 题型四 点动成线、线动成面 解｜题｜技｜巧 利用考查了点动成线，线动成面，理解点、线、面之间的关系是正确判断的关键． 【典例1】（24-25八年级上·贵州遵义·期末）朱自清的《春》一文里，在描写春雨时有“像牛毛，像细丝，密密地斜织着”的语句，这里用数学的眼光来看其实是把雨滴看成了点，把雨看成线，说明（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上三个均有 【答案】A 【分析】此题考查了点、线、面、体，解题关键在于掌握从运动的观点来看：点动成线，线动成面，面动成体．根据点动成线直接判断即可得到答案． 【详解】解：由题意可得，这里用数学的眼光来看其实是把雨滴看成了点，把雨看成线，说明点动成线， 故选：A 【变式1】（24-25七年级上·四川广元·期末）下面现象中，能说明“线动成面”的是（   ） A．天空划过一道流星 B．时钟的钟摆摆动留下的痕迹 C．抛出一块小石子，石子在空中飞行的路线 D．一枚硬币在桌面上旋转的轨迹 【答案】B 【分析】本题考查了点、线、面、体，熟练掌握点、线、面、体四者之间的关系是解题的关键．根据点、线、面、体四者之间的关系，对选项逐个分析判断即可． 【详解】解：A、天空划过一道流星，能说明“点动成线”，不符合题意； B、时钟的钟摆摆动留下的痕迹，能说明“线动成面”，符合题意； C、抛出一块小石子，石子在空中飞行的路线，能说明“点动成线”，不符合题意； D、一枚硬币在桌面上旋转的轨迹，能说明“面动成体”，不符合题意； 故选：B． 【变式2】车轮上的辐条旋转起来形成一个圆面，用数学知识解释为（　　） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上都不对 【答案】B． 【分析】根据“线动成面”进行判断即可． 【详解】解：轮子上的辐条可以近似的看作“线段”，车轮上的辐条旋转起来形成一个圆面，用数学知识解释为“线动成面”． 故选：B． 【点睛】本题考查点、线、面、体，理解点、线、面、体之间的关系是正确判断的关键． 题型五 面动成体 解｜题｜技｜巧 一般地,含有曲面的几何体,都可以看成由某一平面图形绕着某一旋转轴旋转一定的角度得到.旋转轴或旋转角度不同，所得到的几何体不一定相同. 【典例1】如图所示的几何体，是由哪个图形绕着虚线旋转一周得到的？ （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查点、线、面、体，准确识图是解题的关键． 根据面动成体对各选项判定即可． 【详解】解：A、旋转一周后内凹，且没上面的尖部，故此选项不符合题意； B、旋转一周后可得下而圆柱，上部是圆锥的几何体，故此选项符合题意； C、旋转一周后得到的是圆台，故此选项不符合题意； D、旋转一周后得到的是两底面重合的圆锥，故此选项符合题意． 故选：B． 【变式1】（25-26七年级上·广东广州·期末）如图所示的是悦悦书房的笔筒，把下列图形绕直线旋转一周，能大致形成这个笔筒的图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查点、线、面、体，根据“面动成体”进行解答即可，理解“面动成体”是正确解答的关键． 【详解】解：笔筒可以近似看作圆柱体， 选项C中的平面图形绕直线旋转一周，可以得到圆柱体， 故选：C． 【变式2】随着人工智能技术的快速发展，利用画图可快速生成多样图像，输入文字描述即可得到符合需求的画面，相关技术被广泛应用于设计、创意等领域如图是利用某国产软件生成的一个创意花瓶，下列平面图形绕虚线旋转一周可以得到该花瓶的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据面动成体对各选项分析判断利用排除法求解． 本题考查了点、线、面、体，准确识图观察出得到的几何体的曲面的形状是解题的关键． 【详解】解：观察四个选项，A选项中的平面图形绕虚线旋转一周可以得到该花瓶， 故选：A． 题六 常见几何体的体积计算 解｜题｜技｜巧 根据旋转得出几何体，然后利用常见的几何体的体积公式计算即可求解. 【典例1】分别以直角梯形（如图所示）的下底和上底为轴，将梯形旋转一周得到A，B两个立体图形．则A，B两个立体图形的体积之比是（　　） A．1：1 B．1：2 C．4：5 D．5：4 【答案】C． 【分析】分别求出几何体A，几何体B的体积，再进行判断即可． 【详解】解：几何体A的体积为π×22×2π×22×（4﹣2）＝8π， 几何体B的体积为π×22×4π×22×（4﹣2）＝16π， 所以几何体A与几何体B的体积比为4：5． 故选：C． 【点睛】本题考查点、线、面、体，掌握圆柱体、圆锥体体积的计算方法是正确解答的关键． 【变式1】现有一个长方形，宽和长分别为4cm和5cm，绕它的一条边所在的直线旋转一周，得到的几何体的体积为（　　） A．80πcm3 B．100πcm3 C．80πcm3或100πcm3 D．64πcm3或125πcm3 【答案】C． 【分析】以不同的边为轴旋转一周，所得到的圆柱体的底面半径和高，根据圆柱体体积的计算方法进行计算即可． 【详解】解：绕着4cm的边为轴，旋转一周所得到的是底面半径为5cm，高为4cm的圆柱体， 因此体积为π×52×4＝100π（cm3）； 绕着5cm的边为轴，旋转一周所得到的是底面半径为4cm，高为5cm的圆柱体， 因此体积为π×42×5＝80π（cm3）， 故选：C． 【点睛】本题考查点、线、面、体，掌握圆柱体体积的计算方法是正确解答的前提，以不同的边为轴旋转得到的圆柱体的底面半径和高是正确计算的关键． 【变式2】某一长方体纸盒的表面展开图如图所示，根据图中数据可得该长方体纸盒的容积为：（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意求出长方体的长，宽和高，然后根据长方体体积公式即可得答案． 【详解】由表面展开图可得，宽+2高=，宽+高=， ∴高为，宽为， ∵长+高=， ∴长为， ∴该长方体纸盒的容积为． 故选：A． 【点睛】本题考查立方体的展开图，求立方体的容积，根据展开图求出长宽高是解题关键． 题型七 从不同的方向看几何体 解｜题｜技｜巧 画从三个方向看小立方块的组合体的形状图的方法: ①确定从三个方向看到的组合体的行数或列数; ②确定每行或每列中小正方形的个数; ③根据小正方形的个数及对应位置画出从三个方向看到的形状图. 【典例1】如图是由5个大小相同的小立方块搭成的几何体，从左面看到的这个几何体的形状图是（   ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了从不同角度看立体几何图形，掌握立体几何的特点是解题的关键．根据图示，从不同角度看立体几何图形的特点即可求解． 【详解】 解：从左面看到的图形为． 故选：C． 【变式1】（25-26七年级上·全国·期末）如图是由6个完全相同的小立方块搭成的几何体，从上面看到的这个几何体的形状图是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了从不同方向看立体几何图形，掌握立体几何的特点是解题的关键．根据题意找到从上面看到的图形，即可求解． 【详解】解：从上面看到的图形为： ． 故选：B． 【变式2】（25-26七年级上·广东·期末）篆刻是中华传统艺术之一、如图是一块雕刻印章的材料，从正面看这个印章，得到的平面图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查从不同方向看几何体；画出从正面看这个印章的平面图形，进行作答即可． 【详解】解：这个组合体从正面看，得到的平面图形如图所示： 故选：B． 题型八 正方体的展开图 解｜题｜技｜巧 正方体展开图的11种情况可分为“1﹣4﹣1型”6种，“2﹣3﹣1型”3种，“2﹣2﹣2型”1种，“3﹣3型”1种. 【典例1】下列图形中哪个是正方体的展开图（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正方体的平面展开图，熟记正方体的11种平面展开图是解决问题的关键． 根据正方体的11种展开图逐项验证即可得到答案． 【详解】 解：可以折叠成一个正方体， 故选：B． 【变式1】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）下面图形能折成一个正方体的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方体展开图的特征，判断每个选项中的图形能否折叠成正方体．本题主要考查了正方体的展开图，熟练掌握正方体展开图的各种形式是解题的关键． 【详解】 解： 不符合正方体展开图的任何一种形式，故A项错误． 属于正方体展开图的“”型，能折成正方体，故B项正确． 不符合正方体展开图的特征，不能折成正方体，故C项错误． 不符合正方体展开图的特征，不能折成正方体，故D项错误． 故选：B． 【变式2】（25-26七年级上·全国·期末）下列平面图形可折成正方体的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方体的展开与折叠，根据正方体展开图的种特征，可得C选项的图形符合“”结构，即可求解． 【详解】 解：分析可知，选项中的平面图形中，能折成正方体． 故选：C． 题型九 正方体相对两面上的字 解｜题｜技｜巧 方法一：利用空间想象，先确定一个面的位置，再确定其他面的位置. 方法二：利用正方体的表面展开图中的规律确定相对面，即“隔一相对”（上下隔一行或左右隔一列） 【典例1】如图是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“顺”字所在的面相对的面上标的字是（   ） A．考 B．试 C．顺 D．利 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题． 正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答． 【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， “顺”与“考”是相对面． 故选：A． 【变式1】如图是一个正方体展开图，把展开图折叠成正方体后，“你”字一面相对面上的字是(    )． A．的 B．中 C．国 D．梦 【答案】D 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，根据正方体的平面展开图找相对面的方法是解题的关键． 根据正方体的平面展开图找相对面的方法，同层隔一面或“”字形的首尾端，判断即可． 【详解】解：把展开图折叠成正方体后，“你”字一面相对面上的字是“梦”， 故选：D． 【变式2】（24-25七年级上·云南红河·期末）李老师在上综合与实践课：如图是正方体展开图，将《论语》十二章中的一句话：“学而不思则罔”六个字写在正方体展开图的六个面内，其中“则”对面的文字是（   ） A．思 B．不 C．而 D．罔 【答案】C 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体是空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答即可． 【详解】解：“学”与“思”相对，“而”与“则”相对，“不”与“罔”相对， 故选：C． 题型十 补一个面使图形围成正方体 解｜题｜技｜巧 补一个面使图形围成正方体的方法主要是通过观察现有的平面图形，然后根据正方体的展开图特点，找到合适的位置和方向来添加缺失的面. 【典例1】（24-25六年级上·山东淄博·期末）如图所示，纸板上有10个小正方形（其中5个有阴影，5个无阴影），从图中5个无阴影的小正方形中选出一个，与5个有阴影的小正方形一起折一个正方体的包装盒，不同的选法有（　　） A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 【答案】C 【分析】利用正方体的展开图的特征解答即可． 【详解】解：如图所示，不同的选法有2处， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了正方体的展开图．解题的关键是掌握四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形． 【变式1】小石准备制作一个封闭的正方体盒子，他先用5个边长相等的正方形硬纸制作成如图所示的拼接图形（实线部分）．请你在图中的拼接图形上再接上一个正方形，使得新拼接的图形经过折叠后能够成为一个封闭的正方体盒子（只需添加一个符合要求的正方形，并将添加的正方形用阴影表示）．是 ． 【答案】见解析 【分析】结合正方体的平面展开图的特征，只要折叠后能围成正方体即可，答案不唯一． 【详解】解：如图所示：（答案不唯一） 【点睛】考查了展开图折叠成几何体，掌握正方体的11种平面展开图，并灵活应用其进行准确判断是解题的关键，此类题重点培养学生的空间想象能力． 【变式2】小强用5个大小一样的正方形制成如图所示的拼接图形（阴影部分），若在图中只添加一个正方形，使新拼接成的图形经过折叠后能成为一个封闭的正方体盒子，这样的拼接方式有 种． 【答案】3 【分析】结合正方体的平面展开图的特征，只要折叠后能围成正方体即可． 【详解】解：根据正方体的表面展开图可得共有3种， 如图： 【点睛】此题主要考查了正方体的平面展开图，应灵活掌握，不能死记硬背． 题型十一 其它几何体的展开图 解｜题｜技｜巧 解题技巧提炼 (1)棱柱的表面展开图中,上、下底面的边数均与侧面长方形的个数相等. (2)柱体的表面展开图中,两个底面不能在侧面展开图的同一侧. 【典例1】下面的立体图形的平面展开图是（   ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三棱柱的平面展开图，掌握知识点是解题的关键． 根据三棱柱的平面展开图，逐项判断即可． 【详解】解：根据三棱柱的平面展开图是上下两个三角形，中间四个长方形，符合题意的是 故选：D． 【变式1】（2024•西安校级模拟）下列图形中是圆锥展开图的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A． 【分析】由圆锥的展开图特点：侧面是扇形，底面是个圆． 【详解】解：A．圆锥的展开图为一个扇形和一个圆形，故本选项符合题意； B．该图形是三棱柱的展开图，故本选项不符合题意； C．该图形是圆柱的展开图，故本选项不符合题意； D．该图形是正方体的展开图，故本选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了几何体的展开图，熟悉圆锥的展开图特点，是解答此题的关键． 【变式2】下列图形中，不是三棱柱展开图的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D． 【分析】利用棱柱及其表面展开图的特点解题． 【详解】解：A、B、D中间三个长方形能围成三棱柱的侧面，上、下两个三角形围成三棱柱的上、下两底面，故均能围成三棱柱，均是三棱柱的表面展开图； D围成三棱柱时，两个三角形重合为同一底面，而另一底面没有，故D不能围成三棱柱． 故选：D． 【点睛】本题考查了几何体的展开图，棱柱表面展开图中，上、下两底面应在侧面展开图长方形的两侧． 题型十二 由展开图判断立体图形的形状 解｜题｜技｜巧 根据展开图判断立体图形形状的方法： (1) 展开图全是长方形或正方形时，要考虑长方体或正方体； (2) 展开图中有三角形时，要考虑三棱柱或棱锥； (3) 展开图中有长方形(或正方形)和圆时，要考虑圆柱； (4) 展开图中有扇形时，要考虑圆锥. 【典例1】（23-24七年级上·辽宁大连·期末）如果一个几何体的展开图如下图所示，则它是下列哪个几何体（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查几何体的展开图，根据三棱柱的展开图特点解题即可． 【详解】由题可知，几何体为三棱柱． 故选：C． 【变式2】（23-24七年级上·福建厦门·期末）如图是某几何体的展开图，该几何体是（   ） A．圆锥 B．圆柱 C．三棱锥 D．三棱柱 【答案】A 【分析】由圆锥的展开图特点得出即可． 本题考查了展开图折叠成几何体，掌握圆锥的展开图特点是关键． 【详解】解：因为圆锥的展开图为一个扇形和一个圆形，故这个几何体是圆锥． 故选：A． 【变式2】（24-25七年级上·贵州毕节·期末）下列图形经过折叠可以围成棱柱的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了展开图折叠成几何体，根据棱柱的特点，进行判断即可． 【详解】解：A、不能围成棱柱，底面少一个，故此选项不符合题意； B、不能围成棱柱，底面应该在两侧，故此选项不符合题意； C、能围成五棱柱，侧面有5个，底面是五边形，故此选项符合题意； D、不能围成棱柱，侧面有5个，底面应该是两个五边形，故此选项不符合题意； 故选：C． 题型十三 由展开图计算几何体的表面积 解｜题｜技｜巧 由展开图计算几何体的表面积的方法主要是通过将几何体的各个面展开成平面图形，然后分别计算这些平面图形的面积，最后将它们相加得到几何体的表面积. 【典例1】（25-26七年级上·甘肃兰州·期中）在航天科技领域，为了给航天器内的精密仪器设计冷却管道，工程师绘制出了如图所示的管道表面展开图 (1)该几何体的名称是 ，其底面半径为 ． (2)根据图中所给信息，求该几何体的侧面积和体积．（结果保留） 【答案】(1)圆柱，1 (2)该几何体的侧面积为，体积为 【分析】本题主要考查了几何体的展开图，掌握常见几何体的展开图是解题的关键． （1）依据展开图中有长方形和两个全等的圆，即可得出结论； （2）依据圆柱的侧面积和体积计算公式，即可得到该几何体的侧面积和体积． 【详解】（1）解：该几何体的名称是圆柱，其底面半径为； 故答案为：圆柱；1； （2）解：该几何体的侧面积； 几何体的体积． 【变式1】（24-25七年级上·山东济南·期中）如图，是一个食品包装盒的表面展开图． (1)请写出这个包装盒的几何体的名称： ； (2)根据图中给出的数据，计算这个几何体的侧面积． 【答案】(1)直三棱柱 (2)72． 【分析】本题考查了几何体的展开图，解决本题的关键是熟悉由平面图形的折叠及常见立体图形的展开图． （1）由平面图形的折叠及常见立体图形的展开图，即可解答； （2）侧面积为6个长方形的面积之和，即可解答． 【详解】（1）解：这个包装盒为直三棱柱； 故答案为：直三棱柱； （2）解：． 【变式2】宁兴纸箱厂生产的长方体纸箱表面展开图如图所示，工厂工人准备将这个表面展开图折叠成一个长方体纸箱．若，，，求这个长方体的表面积和体积． 【答案】表面积为，体积为 【分析】本题主要考查了长方体的展开与折叠， 先求出，即可知折叠为长方体的长、宽、高分别为，再根据长方体的表面积和体积公式得出答案． 【详解】解：由，，可得， 长方体的表面积：， 体积：． 题型十四 由展开图计算几何体的体积 解｜题｜技｜巧 由展开图计算几何体的体积，需要根据展开图的形状和尺寸，确定其对应的几何体，并使用相应的体积公式进行计算。 【典例1】如图，把一个边长为的正方形纸片的四个角各剪去一个同样大小的正方形，然后把剩下的部分折成一个无盖的长方体盒子，当剪去的正方形的边长从变为后，长方体纸盒的容积（    ）． A．增加了28 B．减少了28 C．增加了8 D．减少了8 【答案】C 【分析】本题考查了展开图折叠成几何体，长方体的体积，熟记长方体的体积公式是解题的关键． 分别求得剪去的正方形边长从变为后，长方体的纸盒容积即可得到结论． 【详解】解：当剪去的正方形边长为时， 长方体的纸盒容积为： 当剪去的正方形边长为时， ∴当剪去的正方形的边长从变为后，长方体纸盒的容积增加了：． 即长方体纸盒的容积增加了8． 故选：C． 【变式1】在学习《展开与折叠》这一课时，老师让同学们用若干个正方形和长方形拼成一个长方体的展开图.拼完后，小明发现所拼图形多了一块． (1)请你帮小明把图中多余块涂黑； (2)长方体共有 条棱，若将一个长方体沿某些棱剪开展成（1）中修正后的平面图形，需要剪开 条棱； (3)根据图中的数据，求出修正后的展开图所折叠而成的长方体的体积． 【答案】(1)见解析 (2)12，7 (3)长方体的体积为 【分析】本题主要考查了长方体的展开图、长方体体积计算等知识，熟练掌握长方体及其展开图的性质是解题关键． （1）根据长方体的展开图的性质分析，即可获得答案； （2）根据长方体及其展开图的性质，即可获得答案； （3）结合题意确定长方体的长、宽和高，然后根据长方体的体积公式求解即可． 【详解】（1）解：长方体一共有4个侧面和上下2个底面，观察所给图形可知，多了一个底面，多余块涂黑如下图，为所求： （2）解：长方体共有12条棱，观察图形，可知，还有5条棱没有剪开，那么若将一个长方体沿某些棱剪开展成（1）中修正后的平面图形，需要剪开7条棱． 故答案为：12，7； （3）根据题意，该长方体的宽和高为：， 则该长方体的长为， ． 答：长方体的体积为． 【变式2】如图是一个粮仓，已知粮仓底面直径为8m，粮仓顶部顶点到地面的垂直距离为9m，粮仓下半部分高为6m，观察并回答下列问题： （1）粮仓是由两个几何体组成的，他们分别是 　 　； （2）将如图的图形分别绕虚线旋转一周，哪一个能形成粮仓？用线连一连； （3）求出该粮仓的容积（结果保留π）． 【分析】（1）根据粮仓的形状可得出答案； （3）根据各个图形绕直线旋转一周得到的几何体与粮仓的形状进行比较即可得出结论； （4）根据题意得圆柱的底面直径为8m，圆柱的高为6m，圆锥的底面直径为8m，圆柱的高为（9﹣6）＝3m，进而根据圆柱、圆锥的体积公式进行计算即可得出该粮仓的容积． 【详解】解：（1）粮仓是由两个几何体组成的，他们分别是圆锥，圆柱． 故答案为：圆锥，圆柱． （2）如下图所示： 图1绕直线旋转一周得到的几何体是圆台，故不符合粮仓的形状； 图2绕直线旋转一周得到的几何体上半部为圆柱，下半部为圆锥，故不符合粮仓的形状； 图3绕直线旋转一周得到的几何体上半部为圆锥，下半部为圆锥，故不符合粮仓的形状； 图3绕直线旋转一周得到的几何体的上半部是圆锥，下半部是圆柱，故符合粮仓的形状，连线如图所示： （3）依题意得：圆柱的底面直径为8m，圆柱的高为6m，圆锥的底面直径为8m，圆柱的高为（9﹣6）＝3m， ∴粮仓的容积V（m3）． 答：该粮仓的容积112πm3． 【点睛】此题主要考查了平面图形的旋转，圆柱和圆锥的体积，理解平面图形的旋转，熟练掌握圆柱和圆锥的体积公式是解决问题的关键． 题型十五 截一个几何体 解｜题｜技｜巧 截面的形状随截法的不同而改变，一般为多边形或圆，也可能是不规则图形，一般的截面与几何体的几个面相交就得到几条交线，截面就是几边形，因此，若一个几何体有几个面，则截面最多为几边形. 【典例1】用一个平面去截下列几何体，截面的形状可能是圆的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了截一个几何体，解题关键是熟悉常见几何体． 根据四个选项中的图形，逐一分析能否得到截面的形状是圆，再作出选择． 【详解】 解：一个平面去截截面的形状不可能是圆，故A不符合； 一个平面去截截面的形状不可能是圆，故B不符合； 一个平面去截截面的形状可能是圆，故C符合； 一个平面去截截面的形状不可能是圆，故D不符合； 故选：C． 【变式1】（24-25七年级上·山东济南·期末）如图所示，用一个平面去截一个圆柱体，截面不可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是截一个几何体，截面位置与圆柱体的关系， 解答的关键是知道截面位置不同所得截面可能不同；当截面的角度和方向不同时，圆柱体的截面不相同进行判断即可． 【详解】解：平面平行于圆柱底面截圆柱可以得到一个圆，而倾斜截得到椭圆或者长方形， ∴A、C、D选项不符合题意； 故选：B 【变式2】（24-25七年级上·河南平顶山·期末）用一个平面去截如图所示的圆锥，所得的截面图形不可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是截一个几何体，根据圆锥的形状特征判断即可． 【详解】解：如果用平面去截圆锥，平面过圆锥顶点时得到的截面图形是一个三角形，如果不过顶点，且平面与底面平行，那么得到的截面就是一个圆，如果不与底面平行得到的就是一个椭圆，所以不可能是长方形． 故选：C． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25六年级上·山东烟台·期末）如图，小明拿到一个没装满水的有盖可密封的正方体盒子，盒子可以采用任何方式放置，他不断改变盒子的放置方式，盒子里的水便形成不同的几何体，则下列选项中：①长方体，②正方体，③圆柱体，④三棱锥，⑤三棱柱，可能是盒子里的水形成的几何体的有 （填写序号即可） 【答案】①④⑤ 【分析】本题考查对常见几何体特征的理解，以及空间想象能力，解题关键在于依据正方体盒子的形状特点和水未装满的条件，结合长方体、正方体、圆柱体、三棱锥、三棱柱的几何特征，通过想象不同放置方式下水的形状来判断． 【详解】①当正方体盒子水平放置时，水在盒子里可以形成长方体； ②因为水没有装满盒子，所以无论怎样放置，都无法形成正方体； ③正方体盒子的形状决定了水无法形成圆柱体； ④将正方体盒子倾斜放置，让水刚好充满三棱锥的空间部分，可以形成三棱锥； ⑤把正方体盒子以一定角度放置，使水形成三棱柱的形状． 综上所述：可能是盒子里的水形成的几何体的有①长方体，④三棱锥，⑤三棱柱； 故答案为：①④⑤． 2．（23-24七年级上·山东菏泽·期末）下列几何体中，棱柱有 个．    【答案】3 【分析】本题考查的是棱柱的概念与识图，棱柱的结构特征：有两个面互相平行，其余各面为平行四边形，根据特征逐一分析四个选项从而可得答案． 【详解】解：棱柱的结构特征：有两个面互相平行，其余各面为平行四边形， 根据特征可得从左向右数，第1、4、6个图形为棱柱，共3个， 故答案为：3． 3．（24-25七年级上·江苏常州·期末）如图，下列四个平面图形可以围如图所示几何体的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查几何体展开图的知识点，熟记常见几何体的平面展开图的特征是解决此类问题的关键． 根据几何体的平面展开图的特征求解即可． 【详解】可以围如图所示几何体的图形是： 故选：C． 4．（24-25七年级上·陕西渭南·期末）下列各选项中的图形能够绕虚线旋转一周得到如图所示几何体的是（   ） A． B．C． D． 【答案】C 【分析】本题考查旋转体，根据立体图形为圆柱体和球的组合体，以及圆柱是由长方形绕一边旋转而成，球是由半圆绕直径旋转得到的，即可得出结果． 【详解】解：∵立体图形为圆柱体和球的组合体， ∴能绕虚线旋转一周得到该立体图形的是：， 故选：C． 5．（24-25七年级上·山东济南·期末）用一平面去截下列几何体，其截面不可能是圆形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了截一个几何体，掌握三棱柱、球、圆锥、圆柱的截面的形状是正确解答的关键．根据三棱柱、球、圆锥、圆柱的截面的形状逐项进行判断即可． 【详解】 解：A．用一平面去截三棱柱，其截面不可能是圆形，因此选项A符合题意； B．用一平面去截球，截面是圆形，因此选项B不符合题意； C．用一平面去截圆锥体，其截面可能是圆形，因此选项C不符合题意； D．用一平面去截圆柱体，其截面可能是圆形，因此选项D不符合题意； 故选：A． 6．下面有4个正方体，只有一个是用下图的纸片折叠而成的，这个正方体是：（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方体侧面展开图，解题的关键是展开空间想象能力． 根据正方体的侧面展开图特点一一排除即可． 【详解】解：由原图可知，三角形的对面是实心圆， ∴选项A、B不符合题意； 由原图可知，空心圆和三角形相邻， C选项，若左侧面为三角形的话，则右侧面为实心圆；若底面为三角形的话，则上面为实心圆； ∴该选项不符合题意， D.该选项符合题意； 故选：D． 7．（24-25七年级上·贵州贵阳·期末）用一个平面去截如图所示的正方体，截面不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是几何体截面的形状，截面的形状既与被截几何体有关，还与截面的角度和方向有关． 正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形．分析每个选项的图形能否通过平面与正方体的面相交，据此选择即可． 【详解】解：用一个平面去截一个正方体，所得截面可能是三角形，矩形，正方形； 正方体的每个面都是平面图形，无论怎样用平面去截正方体，都不可能得到曲线围成的圆． 故选：C． 8．（24-25七年级上·吉林四平·期末）如图是一个用硬纸板制作的长方体包装盒展开图，已知它的底面形状是正方形，高为，则底面正方形的边长是 ． 【答案】5 【分析】本题考查了几何体的展开图，从实物出发，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．根据展开图可得底面正方形的边长为即可得到答案． 【详解】解：由图形可知：底面正方形的边长． 故答案为： 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 9．国庆节快到了，准备一个正方体礼盒，六个面分别写有“祝”“福”“祖”“国”“万”“岁”，其中“祝”的对面是“祖”，“万”的对面是“岁”，则它的平面展开图可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查正方体的侧面展开图，熟练掌握正方体的特征是解题的关键；因此此题可根据正方体的侧面展开图可进行排除选项． 【详解】解：由题意可知该正方体的侧面展开图为C选项； 故选C． 10．如图，裁掉一个正方形后能折叠成正方体，但不能裁掉的是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】根据正方体展开图分析即可求解． 本题考查了正方体的表面展开图，理解正方体的表面展开图的模型是解题的关键． 【详解】如图所示， 根据正方体展开图得，④的对面是⑤， ∴不能裁掉④． 故选：D． 11．将“数学核心素养”六个字分别写在如图所示的正方体盒子的六个面上，将图1盒子在桌面上向右翻滚，接着按逆时针方向旋转．若把该正方体盒子打开，得到的平面展开图可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方体的展开图，关键在于利用空间想象能力还原立体图形．根据正方体的位置变换可知心与素相对，数与核相对，再根据数，学，心三面的斜线构成一个三角形即可得解． 【详解】解：由题意知：心与素相对，数与核相对，故排除， 由数，学，心三面的斜线构成一个三角形可知符合， 不符合， 故选：． 12．（23-24七年级上·山东济南·月考）如图是某几何体从不同方向看所得图形，根据图中数据，求得该几何体的侧面积为 （结果保留）．    【答案】 【分析】先根据几何体的三视图可判断其形状，再根据告诉的几何体的尺寸确定该几何体的侧面积即可． 【详解】解：这个几何体是圆柱，从正面看的高为2，从上面看的圆的直径为1， ∴该圆柱的底面直径为1，高为2， ∴该几何体的侧面积为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了由三视图判断几何体及几何体的表面积问题，解题的关键是了解圆柱的侧面积的计算方法． 13．（24-25七年级上·河南郑州·期末）在数学活动课上，老师带领同学们以“制作无盖长方体盒子”为主题展开活动．如图所示为宽，长的长方形纸板，要将其四角各剪去一个正方形，折成如图所示的高为的无盖长方体盒子（纸板厚度忽略不计）．则此无盖长方体盒子的体积为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是长方体的展开图的认识，长方体的体积计算，数形结合是解本题的关键．根据展开图求出此无盖长方体盒子的长、宽，由长方体的体积公式进行计算即可． 【详解】解：此无盖长方体盒子的长为，宽为， 此无盖长方体盒子的体积为， 故答案为：． 14．如图所示的A、B、C、D四个位置的某个正方形与实线部分的五个正方形组成的图形，不能拼成正方体的是位置 ． 【答案】A 【分析】由平面图形的折叠及正方体的表面展开图的特点解题． 【详解】解：正方形A与实线部分的五个正方形组成的图形出现重叠的面，所以不能围成正方体． 故答案为：A． 【点睛】本题考查了展开图折叠成几何体，解题时勿忘记四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形．注意：只要有“田”字格的展开图都不是正方体的表面展开图． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 15．如图，有一个长，宽的长方形纸板，现要求以其一组对边中点所在直线为轴旋转，可按两种方案进行操作． 方案一：以较长的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图（1）； 方案二：以较短的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图（2）． (1)上述操作能形成的几何体是__________，说明的事实是____________________； (2)请通过计算说明哪种方案得到的几何体的体积大． 【答案】(1)圆柱体，面动成体 (2)方案一得到的圆柱的体积大 【分析】本题考查点，线，面，体，圆柱体积计算，解题的关键是掌握长方形旋转可得圆柱体． （1）根据面动成体解答即可； （2）先分别求出所得几何体的体积再比较大小即可． 【详解】（1）解：长方形旋转可以得到圆柱， 上述操作能形成的几何体是圆柱，说明的事实是：面动成体． 故答案为：圆柱体，面动成体 （2）解：方案一：， 方案二：， ， 方案一构造的圆柱体的体积大． 16．（23-24七年级上·山西晋城·期末）在数学活动课上，老师带领同学们以“制作无盖长方体盒子”为主题展开活动．如图1所示为宽、长的长方形纸板，要将其四角各剪去一个正方形，折成如图2所示的高为的无盖长方体盒子（纸板厚度忽略不计）． (1)在图中的长方形纸板中画出示意图，用实线表示剪切线、虚线表示折痕． (2)求折成的无盖长方体盒子的体积． (3)若用这样的一块长方形纸板折成高为的无盖长方体盒子，外表面都涂上色彩，则该盒子需要涂色的面积为 ．（用含a的代数式表示） 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查的是长方体的展开图的认识，长方体的表面积与体积的计算，熟练的求解体积与表面积是解本题的关键． （1）根据无盖的长方体的展开图的形状画图即可； （2）由长方体的体积公式进行计算即可； （3）根据无盖的长方体的表面积公式计算即可； 【详解】（1）解：如图所示，即为所求． （2） ． 答：折成的无盖长方体盒子的体积为． （3）由题意可得表面积为： 17．（23-24七年级上·广东深圳·期末）如图是一个几何体从上面看到的形状图，正方形中的数字是该位置上的小立方块的数量． (1)请画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图； (2)若其中每个小立方块的棱长为，求这个几何体的表面积（含底面）． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了几何体的三视图以及根据三视图求几何体的表面积，旨在考查学生的空间想象能力． （1）由俯视图及其对应位置上的数字即可作图； （2）由三视图即可求解． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：由三视图可知： 这个几何体的表面积为： 18．下图是某种型号的正六角螺母毛坯从三个方向看到的形状图． (1)画出这个几何体的一种表面展开图． (2)求该正六角螺母毛坯的侧面积． 【答案】(1)画图见解析 (2)该正六角螺母的侧面积为． 【分析】本题考查了从不同方向看几何体、几何体的表面积、几何体的展开图，解题关键是要从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间思维． （1）根据从不同方向看正六角螺母毛坯得到的平面图形，再画这个几何体的一种表面展开图，六棱柱的侧面展开图是长方形，底面是正六边形； （2）根据正六角螺母的侧面积是六个长方形面积的和求解即可． 【详解】（1）解：如图， 如图即为这个几何体的一种表面展开图； ； （2）解：这个正六角螺母的侧面积为： ． 答：该正六角螺母的侧面积为． 19．（23-24六年级上·山东烟台·期末）如图是一个几何体的表面展开图．    (1)写出该几何体的名称 ； (2)用一个平面去截该几何体，截面形状可能是 （填全所有可能的序号）； ①三角形；②四边形；③五边形；④六边形 (3)根据图中标注的长度（单位：），求该几何体的表面积和体积． 【答案】(1)长方体 (2)①②③④ (3)表面积是，体积是，见解析 【分析】本题主要考查长方体的展开图及其表面积与体积的计算方法，熟练掌握长方体的基本性质是解题的关键． （1）直接根据几何体的展开图判断即可； （2）根据长方体有六个面，根据长方体的基本性质即可得到答案； （3）利用长方体的表面积计算公式及体积计算公式求解即可． 【详解】（1）解：由于几何体的展开图共有个面，各个面有长方形或正方形， 故该几何体的名称为：长方体； （2）解：由于长方体有六个面， 用平面去截长方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得到三角形， 故截面形状可能是三角形、四边形、五边形、六边形． （3）解：， ． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $