21.2解一元二次方程（公式法）（知识梳理+知识框架+习题精练）2025-2026学年人教版九年级数学上册

21.2解一元二次方程 ——公式法 一、知识梳理 1、 公式法解一元二次方程 （1）求根公式的推导： 一元二次方程（），可用配方法进行求解：得：． 对上面这个方程进行讨论：因为，所以 1 当时，得：， 即： 2 当时，这时，在实数范围内，x取任何值都不能使方程左右两边的值相等，所以原方程 ． （2）一元二次方程（）的求根公式 一元二次方程（），当 时，有两个实数根： ， （3）用公式法解一元二次方程一般步骤 1 把一元二次方程化成一般形式 （）； 2 确定a、b、c的值； 3 求出 的值（或代数式）； 4 若，则把a、b、c及的值代入求根公式，求出、；若，则 ． 2 、根的判别式 （1）一元二次方程根的判别式： 我们把叫做一元二次方程的根的 ，通常用符号“”表示，记作 ． （2）一元二次方程 根的情况 二、知识精练 一、单选题 1．下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（　　） A． B． C． D． 2．一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．有一个实数根 3．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的值可以是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 4．一元二次方程有两个相等的实数根，则等于（   ） A．1 B． C．3 D． 5．方程的两根是（   ） A． B． C． D． 6．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（   ） A．且 B．且 C． D． 7．若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 8．一元二次方程的根为 ． 9．一元二次方程根的情况是 ． 10．一元二次方程的根的判别式的值是 ． 11．若关于的一元二次方程，其根的判别式的值为8，则的值是 ． 12．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 三、解答题 13．用公式法解下列各方程： (1) (2) (3) 14．关于x的一元二次方程． (1)判定此方程根的情况； (2)等腰的两边 的长是方程的两个实数根，第三边的长为5，求k的值． 15．已知关于的一元二次方程 (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一根为正数，求实数的取值范围． 16．已知关于x的一元二次方程. (1)若该方程有一个根是，求k的值. (2)若该方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．D 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式；通过计算每个方程根的判别式，判断是否有两个不相等的实数根即可． 【详解】解：对于一元二次方程，根的判别式： 选项A： ，无实数根． 选项B： ，无实数根． 选项C： ，有两个相等实数根． 选项D： ，有两个不相等实数根． 故选：D． 2．A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式．一元二次方程根的判别式．，一元二次方程有两个不相等的实数根；，一元二次方程有两个相等的实数根；，一元二次方程没有实数根．熟练掌握是解决问题的关键． 根据方程，得，即可得到答案． 【详解】解：∵方程 中， ，，， ∴ ． ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 3．D 【分析】根据一元二次方程根的判别式，当判别式大于0时，方程有两个不相等的实数根．将方程化为标准形式后，计算判别式并解不等式即可确定a的取值范围．熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 【详解】解：对于方程 ，其判别式为 ， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴ ， 即， 解得． 故选：D． 4．B 【分析】本题考查一元二次方程及根的判别式，根据一元二次方程的定义及根的判别式求解． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，且， ∴． 故选：B 5．D 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键．用公式法，解一元二次方程即可． 【详解】解：方程中，，， ， ∴． 故选：D． 6．B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义和根的判别式，熟练掌握相关公式是解题关键． 根据一元二次方程的定义和根的判别式即可求解． 【详解】解：根据题意，得，且， 解得：，且． 故选：B． 7．B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，理解一元二次方程无实数根，得到是解题的关键． 根据方程无实数根得到，由此解不等式即可求解． 【详解】解：关于的一元二次方程没有实数根， ∴， 解得，， 故选：B ． 8．， 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，先计算，再利用求根公式解方程即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∴，； 故答案为：，． 9．有两个不相等的实数根 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．据此即可求解． 求出的值，再判断符号即可． 【详解】解：一元二次方程，， ∴ ， ∴方程有两个不相等的实数根， 故答案为：有两个不相等的实数根． 10． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程的根的判别式的定义求解即可，熟知对于一元二次方程根的判别式是解题的关键． 【详解】解：， ， 故答案为：． 11． 【分析】利用根的判别式的定义得到，然后解关于的方程即可．本题考查了根的判别式：一元二次方程的根的判别式为． 【详解】解：根据题意得， 整理得， 解得， 即的值为． 故答案为：． 12． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 根据该方程有实数根，得到，再解不等式即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 解得：， 故答案为：． 13．(1) (2) (3) 【分析】本题考查利用公式法解一元二次方程，熟练掌握求根公式是解本题的关键，属基础题． （1）把代入求根公式计算即可； （2）把代入求根公式计算即可； （3）先把方程化为一般形式得：，再把代入求根公式计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解：整理，得， ． 14．(1)方程有两个实数根 (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，也考查了根的判别式． （1）计算判别式的值得到即可得解； （2）利用公式法求出方程的两个解为，，再根据三角形的三边关系，结合等腰三角形的定义进行分类讨论即可． 【详解】（1）证明：． 方程有两个实数根； （2）解：由，且， 得 ∴，， 即、的长为，， 当时，三边为5，5，1，满足三角形构成条件，此时 ，解得； 当时，三边为5，1，1，不满足三角形构成条件． 综上所述，． 15．(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了根的判别式、解一元一次不等式等知识，对于一元二次方程，则有方程有两实根，方程有两不等实根，方程有两相等实根， 方程没有实根． （1）先求出的值，再根据的意义即可得到结论； （2）利用因式分解法求得方程的根为，然后根据方程有一根为正数列出关于k的不等式并解答． 【详解】（1）证明：（1）， ， ， ， ， 方程总有两个实数根． （2）， ， 方程有一根为正数，     ，   ． 16．(1) (2) 【分析】本题考查一元二次方程的根，根的判别式： （1）把代入，解关于k的方程即可； （2）若该方程有两个不相等的实数根，则，由此可解. 【详解】（1）解：把代入，得， 解得； （2）解：由题意，得， 解得. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$