精品解析： 河南省洛阳市偃师区2024-2025学年七年级下学期期末质量检测数学试卷

2024-2025学年第二学期七年级数学期末质量检测试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列是一元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量，下列航天图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（　　） A. 中国探火 B. 中国火箭 C. 中国行星探测 D. 航天神舟 3. 若，则下列不等式变形错误的是（ ） A. B. C. D. 4. 为估计池塘两岸、间的距离，如图，小明在池塘一侧选取了一点，测得，，那么的距离不可能是（ ） A. B. C. D. 5. 若解集在数轴上的表示如图所示，则这个不等式组可以是（ ） A. B. C. D. 6. 我国古代数学著作《周髀算经》中有一个数学问题：今有甲日行疾于乙日行二十五里，而甲发洛阳七日至邺，乙发邺九日至洛阳．问邺、洛阳相去几何？其大意是：现有甲比乙每日所行路程多25里，甲从洛阳出发后7日到邺城，乙从邺城出发9日后到洛阳．问邺城和洛阳之间的距离是多少？设邺城和洛阳之间的距离为里，根据题意，可列出的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 正三角形地砖广泛应用于园林景观设计中，如花坛边缘、露天步道等，还常与其他形状的正多边形地砖组合作为铺装材料．现有若干正三角形地砖，打算再购买另一种不同形状的正多边形地砖，与正三角形地砖进行密铺，则不应购买的地砖形状是（　　） A. 正方形 B. 正六边形 C. 正八边形 D. 正十二边形 8. 我们知道，无限循环小数都可以转化为分数，例如，将转化为分数时，可设，则，即，解得，即．那么，将转化为分数是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，把边长为2的正方形的局部进行图①~图④的变换，拼成图⑤，则图⑤的面积是（ ） A. 18 B. 16 C. 12 D. 8 10. 某班数学兴趣小组对不等式组讨论得到以下结论： ①若a＝5，则不等式组的解集为；②若a＝1，则不等式组无解；③若不等式组无解，则a的取值范围为；④若不等式组有且只有两个整数解，则，以上四个结论，正确的序号是（ ） A. ①②③④ B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③ 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 如果一个正多边形的一个外角是60°，那么这个正多边形的边数是_____． 12. “x的2倍与y的和是正数”用不等式可表示为______． 13. 如图，在直角三角形中，，根据尺规作图的痕迹可知，_______． 14. 如图，在一块长为20米，宽为10米的长方形草地上，有两条宽都为1米的纵、横相交的小路，则这块草地的绿地面积为_____平方米． 15. 如图，在中，、的角平分线交于点，将沿折叠，使得点与点重合，若，则______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 解方程：． 17. 解方程组： 18. 解不等式组，并写出它的所有正整数解． 19. 如图，网格中每个小正方形的边长为1，的顶点都在格点（网格线的交点）上． （1）已知与成轴对称．请用尺规作图，作出对称轴（不写做法，保留作图痕迹）． （2）请利用格点画出将绕点逆时针旋转得到的（点的对称点为，点的对称点为），线段与的位置关系为_______． 20. 如图，在中，为边上的高，点E为上一点，连结． （1）当为边的中线时，若，的面积为40，求的长； （2）当为的平分线时，若，求的度数． 21. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．”某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得茅盾文学奖的甲，乙两种书．已知购买1本甲种书和2本乙种书共需85元；购买2本甲种书和3本乙种书共需145元． （1）求甲，乙两种书的单价分别为多少元； （2）若学校决定购买甲，乙两种书共100本，且购书总费用不超过3000元，那么该校最多可以购买甲种书多少本？ 22. 【阅读感悟】 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： 已知实数满足①，②，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，整体求得代数式的值，如由①－②可得，由①＋②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 【解决问题】 （1）已知二元一次方程组，则______，______； （2）某旅行团组织游客乘船夜游松花江，要购买一些船票，若买4张过江船票，2张观光船票共需72元；买7张过江船票，3张观光船票共需111元，则购买15张过江船票，7张观光船票共需多少元？ （3）对于实数，定义新运算：，其中、、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，求______． 23. 如图，有一副直角三角板如图1放置（其中），，与直线重合，且三角板，三角板均可以绕点旋转． （1）在图1中，________； （2）①如图2，若三角板保持不动，三角板绕点逆时针旋转，旋转角度为（），当等于多少度时，两个三角形的边与边互相垂直．请画出图形并求解； ②如图3，在图1基础上，若三角板的边从处开始绕点逆时针旋转，转速为秒，同时三角板的边从处开始绕点顺时针旋转，转速为秒，当转到与重合时，两三角板都停止转动，在旋转过程中，当时，请直接写出旋转的时间是多少秒． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期七年级数学期末质量检测试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列是一元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的定义． 根据一元一次方程的定义逐一判断各选项即可． 【详解】解：A．是不等式，不是方程，排除； B．，化简得，是整式方程且仅含未知数，次数为1，符合条件； C．含两个未知数，不是一元方程，排除； D．右边不是整式，不是一元一次方程，排除； 故选B． 2. 中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量，下列航天图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（　　） A. 中国探火 B. 中国火箭 C. 中国行星探测 D. 航天神舟 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义．中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：只有选项B中图形能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转180度后和原图形完全重合． 故选：B． 3. 若，则下列不等式变形错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的性质．根据不等式两边加或减某个数或式子，乘或除以同一个正数，不等号的方向不变；乘或除以一个负数，不等号的方向改变，逐项进行判断即可． 【详解】解：A．∵， ∴， 选项正确， 不符合题意； B．∵， ∴，选项正确，不符合题意； C．∵， ∴， ∴， 选项错误， 符合题意； D．∵， ∴， 选项正确， 不符合题意． 故选： C． 4. 为估计池塘两岸、间的距离，如图，小明在池塘一侧选取了一点，测得，，那么的距离不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，根据三边关系求出的取值范围是解题的关键． 首先确定三角形的两边是，，再根据三角形三边关系确定的取值范围，判断即可． 【详解】解：根据三角形三边关系得：， 即， 所以的距离不能是， 故选：D． 5. 若解集在数轴上的表示如图所示，则这个不等式组可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的解集，熟悉不等式组解集的表示方法是解决本题的关键． 根据图示，向右边为大于，向左边为小于，实心点为大于等于，空心点为小于，故能得出答案． 【详解】解：根据解集的图示，可得不等式组为． 故选A． 6. 我国古代数学著作《周髀算经》中有一个数学问题：今有甲日行疾于乙日行二十五里，而甲发洛阳七日至邺，乙发邺九日至洛阳．问邺、洛阳相去几何？其大意是：现有甲比乙每日所行路程多25里，甲从洛阳出发后7日到邺城，乙从邺城出发9日后到洛阳．问邺城和洛阳之间的距离是多少？设邺城和洛阳之间的距离为里，根据题意，可列出的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，根据甲比乙每日所行路程多25里列方程即可． 【详解】解：由题意可列方程：． 故选：C． 7. 正三角形地砖广泛应用于园林景观设计中，如花坛边缘、露天步道等，还常与其他形状的正多边形地砖组合作为铺装材料．现有若干正三角形地砖，打算再购买另一种不同形状的正多边形地砖，与正三角形地砖进行密铺，则不应购买的地砖形状是（　　） A. 正方形 B. 正六边形 C. 正八边形 D. 正十二边形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正多边形，根据密铺的条件得，两个多边形内角和必须是，计算每个选项的内角，看是能和正三角形的内角和是否为，即可得． 【详解】A．正方形的每个内角是，，所以能密铺，选项说法正确，不符合题意； B．正六边形的每个内角是，，所以能密铺，选项说法正确，不符合题意； C．正八边形的每个内角是，与不能组成的角，所以不能密铺，选项说法错误，符合题意； D．正十二边形的每个内角是，，所以能密铺，选项说法正确，不符合题意． 故选：C． 8. 我们知道，无限循环小数都可以转化为分数，例如，将转化为分数时，可设，则，即，解得，即．那么，将转化为分数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了小数化分数，解一元一次方程． 仿照题干所给示例计算即可． 【详解】设， 则 解得： 故选：A． 9. 如图，把边长为2的正方形的局部进行图①~图④的变换，拼成图⑤，则图⑤的面积是（ ） A. 18 B. 16 C. 12 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据平移的基本性质，平移不改变图形的形状和大小，即图形平移后面积不变，则⑤的面积为4个正方形的面积和，即可得到结论． 【详解】解：一个正方形面积为，而把一个正方形从①﹣④变换，面积并没有改变，所以图⑤由4个图④构成，故图⑤面积为4×4=16，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了图形拼接与平移的变换，解答本题的关键是要知道平移不改变图形的形状和大小，即面积没有改变． 10. 某班数学兴趣小组对不等式组讨论得到以下结论： ①若a＝5，则不等式组的解集为；②若a＝1，则不等式组无解；③若不等式组无解，则a的取值范围为；④若不等式组有且只有两个整数解，则，以上四个结论，正确的序号是（ ） A. ①②③④ B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】将和代入不等式组，再根据口诀可得出不等式解集情况，从而判断①②；由不等式组无解，并结合大大小小的口诀可得的取值范围，此时注意临界值；由不等式组只有2个整数解可得的取值范围，从而判断④． 【详解】解：①若a＝5，则不等式组为，此不等式组的解集为2＜x≤5，此结论正确； ②若a＝1，则不等式组为，此不等式组无解，此结论正确； ③若不等式组无解，则a的取值范围为a≤2，此结论正确； ④若不等式组有且只有两个整数解，则4≤a＜5，此结论正确； 故选：A． 【点睛】本题主要考查一元一次不等式组的整数解，解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 如果一个正多边形的一个外角是60°，那么这个正多边形的边数是_____． 【答案】6 【解析】 【详解】解：根据多边形的外角和等于360°和正多边形的每一个外角都相等，得多边形的边数为360°÷60°=6． 故答案为：6. 12. “x的2倍与y的和是正数”用不等式可表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列一元一次不等式，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，是解题的关键． 关系式为：x的2倍，把相关数值代入即可． 【详解】解：根据题意，可列不等式为：， 故答案为：． 13. 如图，在直角三角形中，，根据尺规作图的痕迹可知，_______． 【答案】##55度 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，垂线的尺规作图，角平分线的尺规作图等等．由作图方法可知，平分，垂直，则，根据角平分线的定义和三角形内角和定理求得的度数，则由三角形内角和定理即可求解． 【详解】解： 由作图方法可知，平分，， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 如图，在一块长为20米，宽为10米的长方形草地上，有两条宽都为1米的纵、横相交的小路，则这块草地的绿地面积为_____平方米． 【答案】171 【解析】 【分析】本题考查了生活中的平移现象，先由平移得出路的宽度，再求出绿地的面积． 利用平移道路的方法得出草地的绿地面积，进而得出答案． 【详解】解：由图形可得，这块草地的绿地面积为：（平方米）． 故答案为：171． 15. 如图，在中，、的角平分线交于点，将沿折叠，使得点与点重合，若，则______． 【答案】##115度 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理及角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和是是解题关键．根据折叠得出，，再由三角形内角和和平角定义求出．根据三角形内角和定理可得，根据角平分线的定义可得由此即可得答案． 【详解】解：由折叠可知：， ， ， 又， ，即， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元一次方程，掌握求解的步骤是解题的关键．根据解一元一次方程的步骤：先去分母，再去括号、移项、合并同类项，最后系数化为1即可得出答案． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：． 17. 解方程组： 【答案】 【解析】 【分析】方程组利用加减消元法求出解即可. 【详解】解：（1）， ②×2-①×3得：x= ， 把x= 代入①得：-7y=8， 解得：y= ， 则方程组的解为 【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 18. 解不等式组，并写出它的所有正整数解． 【答案】不等式组的解集是，不等式组的正整数解是1，2． 【解析】 【分析】本题考查解不等式组与不等式组的正整数解，掌握解不等式组的一般步骤是解题的关键． 先解每个一元一次不等式，再取公共部分得不等式组的解集，最后根据不等式组的解集写出所有正整数解． 【详解】解：， 解①得， 解②得． 则不等式组的解集是， 则不等式组的正整数解是1，2． 19. 如图，网格中每个小正方形的边长为1，的顶点都在格点（网格线的交点）上． （1）已知与成轴对称．请用尺规作图，作出对称轴（不写做法，保留作图痕迹）． （2）请利用格点画出将绕点逆时针旋转得到的（点的对称点为，点的对称点为），线段与的位置关系为_______． 【答案】（1）见详解 （2）见详解，垂直 【解析】 【分析】本题考查作图，轴对称性质，旋转作图，旋转的性质，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质连接，作的中垂线即可． （2）根据旋转的性质按要求画图即可． 【小问1详解】 解：如图，对称轴即为所求． 【小问2详解】 解：如图，即为所求，根据旋转性质可得． 20. 如图，在中，为边上的高，点E为上一点，连结． （1）当为边的中线时，若，的面积为40，求的长； （2）当为的平分线时，若，求的度数． 【答案】（1）5 （2） 【解析】 【分析】（1）先根据三角形面积公式计算出，然后根据为边上的中线得到的长； （2）先根据三角形内角和求出，再利用角平分线的定义得到，再求出，然后根据计算即可． 【小问1详解】 解：∵为边上的高，的面积为40， ∴， ∴， ∵为边上的中线， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴为的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形的面积，以及高线、中线和角平分线的定义，关键是明白三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，三角形内角和定理． 21. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．”某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得茅盾文学奖的甲，乙两种书．已知购买1本甲种书和2本乙种书共需85元；购买2本甲种书和3本乙种书共需145元． （1）求甲，乙两种书的单价分别为多少元； （2）若学校决定购买甲，乙两种书共100本，且购书总费用不超过3000元，那么该校最多可以购买甲种书多少本？ 【答案】（1）甲种书的单价是35元，乙种书的单价是25元； （2）该校最多可以购买甲种书50本． 【解析】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用； （1）设甲种书的单价是x元，乙种书的单价是y元，根据购买1本甲种书和2本乙种书共需85元；购买2本甲种书和3本乙种书共需145元，再建立方程组解题即可； （2）设该校购买甲种书m本，则购买乙种书本，根据购书总费用不超过3000元，再建立不等式解题即可． 【小问1详解】 解：设甲种书的单价是x元，乙种书的单价是y元， 根据题意得，解得：， 答：甲种书的单价是35元，乙种书的单价是25元； 【小问2详解】 解：设该校购买甲种书m本，则购买乙种书本， 根据题意得：，解得：， ∵m是正整数，∴m的最大值为50． 答：该校最多可以购买甲种书50本． 22. 【阅读感悟】 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： 已知实数满足①，②，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，整体求得代数式的值，如由①－②可得，由①＋②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 【解决问题】 （1）已知二元一次方程组，则______，______； （2）某旅行团组织游客乘船夜游松花江，要购买一些船票，若买4张过江船票，2张观光船票共需72元；买7张过江船票，3张观光船票共需111元，则购买15张过江船票，7张观光船票共需多少元？ （3）对于实数，定义新运算：，其中、、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，求______． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及整体思想的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）分别①②，①②即可求出； （2）设一张过江船票为元，一张观光船票为元，根据题意列出方程组即可得到答案； （3）根据题意列出三元一次方程组，计算即可． 【小问1详解】 解：， ①②：， 解得； ①②：， 解得， 故； 【小问2详解】 解：设一张过江船票为元，一张观光船票为元， 依题意得：， 则购买15张过江船票，7张观光船票即为， ，得：， 解得， 故购买15张过江船票，7张观光船票共需元； 【小问3详解】 解：由题意得：①， ②， ， 可得， 解得． 故 23. 如图，有一副直角三角板如图1放置（其中），，与直线重合，且三角板，三角板均可以绕点旋转． （1）在图1中，________； （2）①如图2，若三角板保持不动，三角板绕点逆时针旋转，旋转角度为（），当等于多少度时，两个三角形的边与边互相垂直．请画出图形并求解； ②如图3，在图1基础上，若三角板的边从处开始绕点逆时针旋转，转速为秒，同时三角板的边从处开始绕点顺时针旋转，转速为秒，当转到与重合时，两三角板都停止转动，在旋转过程中，当时，请直接写出旋转的时间是多少秒． 【答案】（1） （2）①图见解析，；②或25秒 【解析】 【分析】（1）根据三角板的角度进行计算即可得到结论； （2）①如图，根据，求出结论即可； ②设旋转的时间为秒，由题知，，分两种情况：当转到与重合前和当转到与重合后，分别列方程即可得到结论． 【小问1详解】 解：∵， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：①如图，此时，， ， ∴当等于 165 度时，两个三角形的边与边互相垂直； ②设旋转的时间为秒，由题知，， 当转到与重合时，（秒）， 分两种情况： 当转到与重合前，时， ， 当，即， 解得：秒； 当转到与重合后，时， ， 当，即， 解得：秒； ∴当，旋转的时间是或 25 秒． 【点睛】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，三角板中的角度计算，三角形的内角和定理，识别图形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $