【第二章 分式 04讲 整数指数幂】【四大知识点+四大题型+巩固练习】2025-2026学年八年级上册数学（新版湘教版专用）

第二章 分式 04讲 整数指数幂 题型归纳 【题型1. 同底数幂的除法运算】………………………………………………………… 2 【题型2. 零指数幂与负整数指数幂】…………………………………………………… 3 【题型3. 用科学记数法表示绝对值小于1的数】……………………………………… 5 【题型4. 整数指数幂的运算】…………………………………………………………… 6 【巩固练习】………………………………………………………………………………… 7 知识清单 知识点1 同底数幂相除 1.运算法则：同底数幂相除（被除式的指数大于除式的指数），底数不变，指数相减. 知识点2 零次幂与负整数指数幂 1.零次幂：任何非零实数的零次幂都等于1. 即 . 2.负整数指数幂：一般地，当n是正整数时，. 即是的倒数. 知识点3 科学记数法 1.绝对值小于1的数的科学记数法：把一个绝对值小于1的数表示成的形式，其中的范围是，n是正整数. 2.确定n的方法：n的值是这个数从左边第一个不为0的数字前面0的个数（包括小数点前的那个0）.从左边起第一个不为0的数是1，1前面有5个0（包括小数点前的那个0），故n=5. 如： 知识点4 整数指数幂的基本性质 1.基本性质1：（m，n是整数）； 2.基本性质2： （m，n是整数）； 3.基本性质3： （n是整数）； 4.扩展： （1） （，n是整数）； （2） （，m，n是整数）； （3） （，，n是整数）. 题型专练 题型1. 同底数幂的除法运算 计算： 题型2. 零指数幂与负整数指数幂 计算： 题型3. 用科学记数法表示绝对值小于1的数 【例1】（24-25八年级上·广西桂林·期中）数字用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24八年级上·广西桂林·期中）已知某种感冒病毒的直径约为，如果米，那么这种病毒的直径用科学记数法表示为（    ）． A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级下·河南南阳·期末）在生物课上，老师提到一根人体头发丝的平均直径约为．为了方便记录和运算，用科学记数法表示这个数值为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·山西太原·期末）2025年3月，浙江大学光电科学与工程学院研究团队成功研发出尺寸仅为纳米的钙钛矿LED，为迄今为止公开报道的最小LED像素．已知纳米米，则数据“米”用科学记数法表示为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式2】（24-25七年级下·福建漳州·期中）2025年是乙巳年，以“巳巳如意，生生不息”为主题的春节联欢晚会在除夕夜如约而至，春晚机器人、Deepseek、大量无人机等AI技术，向全球观众展现了中国人工智能与机器人技术的前沿突破，打造了一场科技与艺术的视觉盛宴．其中，春晚机器人使用的谐波减速器，采用了局部共轭啮合齿形设计，精度达到30弧秒，相当于0.0083度，将数据0.0083用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25七年级下·河南郑州·期中）2025年2月，一张不锈钢箔以通体透亮和镜面般的银色光泽吸引了大家的目光，这张钢箔不仅轻盈如纸，更能轻易弯曲、折叠，甚至徒手撕开，这是中国宝武太钢集团研制出的“手撕钢”，其厚度仅为人发丝直径的六分之一——．将数据用科学记数法表示为的形式，则（    ） A． B． C． D． 【变式4】（24-25七年级下·浙江丽水·期中）已知空气的单位体积质量为克／厘米，则用小数表示为（　　） A． B． C． D． 题型4. 整数指数幂的运算 计算： 巩固练习 一、单选题 1．（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·广东揭阳·阶段练习）下列结果正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·河北邢台·期末）若，则“？”是（  ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．（24-25九年级下·湖南衡阳·期中）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·甘肃兰州·期末）碳纤维复合材料是制作宇森机器人的主要材料，是一种含碳量达的复合材料，我们知道一个碳原子的半径约为．把0.000000000091用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·湖南益阳·期中）下列科学记数法表示正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级下·湖南衡阳·期末）如图，这是某绿色植物的细胞结构图，该绿色植物细胞的直径约为0.000009米，将数据0.000009用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）关于的代数式分解因式得，则的值为（    ） A．3 B．9 C． D． 9．（24-25七年级下·河南郑州·期中）已知正整数满足，则代数式的值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 10．（24-25八年级下·四川遂宁·期末）如果，，，那么、、三数的大小关系为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（2024·重庆·中考真题）计算： ． 12．（24-25七年级下·广东深圳·期末）计算： ． 13．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）已知，则 ． 14．（24-25七年级下·宁夏银川·期中）一种登革热病毒的直径约为，将用科学记数法表示为 ． 15．（24-25七年级下·全国·假期作业）石墨烯材料可能会成为制造芯片的关键材料，如图是二维石墨烯的晶格结构，图中标注出了石墨烯每两个相邻碳原子间的键长，将用科学记数法表示为 ． 16．（24-25七年级下·广东茂名·期中）新定义：如果，那么我们规定．例如：因为，所以．则 ． 17．（24-25七年级下·四川成都·期末）已知，则的值是 ． 18．（24-25七年级下·陕西宝鸡·期中）如果，那么的值是 ． 19．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如果 可分解为， 则 20．（24-25七年级下·山西晋中·期末）晋中市在市城区公园、游园、街道两旁栽种了30余万株月季，致力于打造“月季之城”．常见月季花粉的平均直径约为，将数据用小数可以表示为 ． 三、解答题 21.计算 22．（24-25七年级下·陕西汉中·期中）已知，，求的值． 23．（24-25七年级下·安徽淮北·期中）已知，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)字母m，n，p之间的数量关系为______． 24．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）若（且，m、n是整数），则．利用上面结论解决下面的问题： (1)若，则x的值为 ； (2)解方程：； (3)若，，用含x的代数式表示y． 25．（24-25七年级下·河南郑州·期中）我们规定：如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空：_____，_____； (2)记，，，试说明． 26．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）定义一种幂的新运算：，例如，请利用这种运算规则解决下列问题： (1)求的值； (2)若，求x的值． 27．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）规定一种新的运算“”，其中，为正整数．其运算规则如下：①；②（其中为常数）． (1)计算：______，______； (2)已知，求的值． (3)已知（其中m，n均不为0，化简并计算：． 28．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）探究应用：用“”“”定义两种新运算：对于两个整数a、b，规定，，例如：；． (1)求的值； (2)求的值； (3)当x为何值时，的值与的值相等． 29．（24-25七年级下·福建漳州·期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作【a，b】：如果，那么【a，b】．例如因为，所以【2，8】． (1)根据上述规定，填空：【4，64】______，【5，1】______，【______，9】； (2)小明在研究这种运算时发现一个现象【】【3，4】，小明给出了如下的证明： 设【】，则，即，所以． 即【3，4】所以【】【3，4】请你尝试运用这种方法解决下列问题： ①证明：【7，5】【7，6】【7，30】 ②请根据前面的经验猜想：【】【】【______，______】． 30．（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)计算①______；②______； (2)若，则______； (3)若，，，求、、满足的数量关系，写出计算过程． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 分式 04讲 整数指数幂 题型归纳 【题型1. 同底数幂的除法运算】………………………………………………………… 2 【题型2. 零指数幂与负整数指数幂】…………………………………………………… 4 【题型3. 用科学记数法表示绝对值小于1的数】……………………………………… 5 【题型4. 整数指数幂的运算】…………………………………………………………… 8 【巩固练习】………………………………………………………………………………… 11 知识清单 知识点1 同底数幂相除 1.运算法则：同底数幂相除（被除式的指数大于除式的指数），底数不变，指数相减. 知识点2 零次幂与负整数指数幂 1.零次幂：任何非零实数的零次幂都等于1. 即 . 2.负整数指数幂：一般地，当n是正整数时，. 即是的倒数. 知识点3 科学记数法 1.绝对值小于1的数的科学记数法：把一个绝对值小于1的数表示成的形式，其中的范围是，n是正整数. 2.确定n的方法：n的值是这个数从左边第一个不为0的数字前面0的个数（包括小数点前的那个0）.从左边起第一个不为0的数是1，1前面有5个0（包括小数点前的那个0），故n=5. 如： 知识点4 整数指数幂的基本性质 1.基本性质1：（m，n是整数）； 2.基本性质2： （m，n是整数）； 3.基本性质3： （n是整数）； 4.扩展： （1） （，n是整数）； （2） （，m，n是整数）； （3） （，，n是整数）. 题型专练 题型1. 同底数幂的除法运算 计算： 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 题型2. 零指数幂与负整数指数幂 计算： 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 题型3. 用科学记数法表示绝对值小于1的数 【例1】（24-25八年级上·广西桂林·期中）数字用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了科学记数法，熟记科学记数法的定义（将一个数表示成的形式，其中为整数，这种记数的方法叫做科学记数法）是解题关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 根据科学记数法的定义即可得． 【详解】解：， 故选：B． 【例2】（23-24八年级上·广西桂林·期中）已知某种感冒病毒的直径约为，如果米，那么这种病毒的直径用科学记数法表示为（    ）． A． B． C． D． 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故选：C． 【例3】（24-25八年级下·河南南阳·期末）在生物课上，老师提到一根人体头发丝的平均直径约为．为了方便记录和运算，用科学记数法表示这个数值为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于时，是正数，当原数绝对值小于时是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选：B． 【变式1】（24-25七年级下·山西太原·期末）2025年3月，浙江大学光电科学与工程学院研究团队成功研发出尺寸仅为纳米的钙钛矿LED，为迄今为止公开报道的最小LED像素．已知纳米米，则数据“米”用科学记数法表示为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，熟练掌握其表示方法是解题的关键．将其转化为的形式，其中，为整数． 【详解】解：． 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·福建漳州·期中）2025年是乙巳年，以“巳巳如意，生生不息”为主题的春节联欢晚会在除夕夜如约而至，春晚机器人、Deepseek、大量无人机等AI技术，向全球观众展现了中国人工智能与机器人技术的前沿突破，打造了一场科技与艺术的视觉盛宴．其中，春晚机器人使用的谐波减速器，采用了局部共轭啮合齿形设计，精度达到30弧秒，相当于0.0083度，将数据0.0083用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了科学记数法表示较小数，解题的关键是掌握科学记数法的形式为负整数，的值由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数决定）． 根据科学记数法表示较小数的规则，确定和的值来表示0.0083． 【详解】解：0.0083用科学记数法表示为． 故选：B． 【变式3】（24-25七年级下·河南郑州·期中）2025年2月，一张不锈钢箔以通体透亮和镜面般的银色光泽吸引了大家的目光，这张钢箔不仅轻盈如纸，更能轻易弯曲、折叠，甚至徒手撕开，这是中国宝武太钢集团研制出的“手撕钢”，其厚度仅为人发丝直径的六分之一——．将数据用科学记数法表示为的形式，则（    ） A． B． C． D． 【详解】本题考查了科学记数法，将用科学记数法表示为的形式，需确定和的值．根据科学记数法的规则，需满足，且为整数． 【分析】解：原数的小数点需向右移动5位得到，即． ∴， 故选：D． 【变式4】（24-25七年级下·浙江丽水·期中）已知空气的单位体积质量为克／厘米，则用小数表示为（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查了还原用科学记数法表示的小数，科学记数法转换为小数时，需将的小数点向左移动位，对于，将1.24的小数点左移3位即可作答． 【详解】解：依题意，将科学记数法转换为小数形式，需将1.24的小数点向左移动3位， ∴用小数表示为， 故选A． 题型4. 整数指数幂的运算 计算： 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 或 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 巩固练习 一、单选题 1．（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查整式的运算，包括同底数幂的乘除、积的乘方、合并同类项等基本法则．根据同底数幂的乘除、积的乘方、合并同类项，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项错误，不符合题意； C、和不是同类项，无法合并，故本选项错误，不符合题意； D、，故本选项正确，符合题意； 故选：D 2．（24-25七年级下·广东揭阳·阶段练习）下列结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查负整数指数幂和零指数幂的性质，熟练掌握（，为正整数 ）、（）是解题的关键．根据负整数指数幂和零指数幂的性质，分别计算每个选项，判断结果是否正确． 【详解】解： 负整数指数幂的性质是（，为正整数 ），则 A错误． 零指数幂的性质是（），所以，则 B错误． 零指数幂的性质是（），底数，所以 C正确． 负整数指数幂的性质是（，为正整数 ），则 D错误． 故选：C ． 3．（24-25七年级下·河北邢台·期末）若，则“？”是（  ） A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】本题考查了乘方的意义和零指数幂的意义． 逐一计算判断结果是否为1即可． 【详解】解：A．，符合题意； B．，不符合题意； C．，不符合题意； D．，不符合题意； 故选：A． 4．（24-25九年级下·湖南衡阳·期中）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查整式的运算，涉及合并同类项、同底数幂相乘、同底数幂相除、积的乘方等基本法则．根据并同类项、同底数幂相乘、同底数幂相除、积的乘方法则，逐项判断，即可求解． 【详解】解：选项A：，故A错误． 选项B：，故B错误． 选项C：，故C正确． 选项D：，故D错误．故选：C． 5．（24-25七年级下·甘肃兰州·期末）碳纤维复合材料是制作宇森机器人的主要材料，是一种含碳量达的复合材料，我们知道一个碳原子的半径约为．把0.000000000091用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【分析】此题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【详解】把0.000000000091用科学记数法表示为． 故选：C． 6．（24-25八年级上·湖南益阳·期中）下列科学记数法表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】A．，故不正确，不符合题意； B．，故不正确，不符合题意； C．，故正确，符合题意； D．，故不正确，不符合题意； 故选：C． 7．（24-25八年级下·湖南衡阳·期末）如图，这是某绿色植物的细胞结构图，该绿色植物细胞的直径约为0.000009米，将数据0.000009用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了科学记数法，将数据0.000009用科学记数法表示，需将其转化为的形式，其中，为负整数，即n的值为小数点向右移动位数的相反数，据此进行作答即可． 【详解】解：将数据0.000009用科学记数法表示为， 故选：C． 8．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）关于的代数式分解因式得，则的值为（    ） A．3 B．9 C． D． 【分析】本题考查因式分解，负整数指数幂，利用多项式乘以多项式的法则将展开，求出的值，进而求出代数式的值即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴； 故选C． 9．（24-25七年级下·河南郑州·期中）已知正整数满足，则代数式的值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【分析】本题考查同底数幂的运算，掌握同底数幂的乘除法的逆运算解答即可． 【详解】解：， ∴， 故选：B． 10．（24-25八年级下·四川遂宁·期末）如果，，，那么、、三数的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了有理数的大小比较，零指数幂和负整数指数幂，解题的关键是掌握零指数幂和负整数指数幂的运算法则． 先由零指数幂和负整数指数幂，乘方的运算法则求出，再根据有理数的大小比较方法比较即可． 【详解】解：，，， ∵， ∴， 故选：B． 二、填空题 11．（2024·重庆·中考真题）计算： ． 【分析】本题考查了零指数幂和负整数指数幂，解题的关键是熟练掌握零指数幂和负整数指数幂的公式． 根据零指数幂和负整数指数幂的公式计算即可． 【详解】解：． 故答案为：3 12．（24-25七年级下·广东深圳·期末）计算： ． 【分析】本题考查同底数幂的除法运算，掌握其运算法则是解题的关键． 根据同底数幂的除法运算即可求解． 【详解】． 故答案为：． 13．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）已知，则 ． 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，负整数指数幂．由负整数指数幂将转化为，再利用同底数幂的乘法变形，最后代值计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：16． 14．（24-25七年级下·宁夏银川·期中）一种登革热病毒的直径约为，将用科学记数法表示为 ． 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数．一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．根据科学记数法的表示方法即可得出答案． 【详解】解：将用科学记数法表示为， 故答案为：． 15．（24-25七年级下·全国·假期作业）石墨烯材料可能会成为制造芯片的关键材料，如图是二维石墨烯的晶格结构，图中标注出了石墨烯每两个相邻碳原子间的键长，将用科学记数法表示为 ． 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，熟练掌握科学记数法的定义是解答本题的关键．根据科学记数法的定义解答即可． 【详解】解：， 故答案为：． 16．（24-25七年级下·广东茂名·期中）新定义：如果，那么我们规定．例如：因为，所以．则 ． 【分析】本题考查的是幂的乘方和积的乘方以及负整数指数幂．根据定义解答即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 故答案为：2． 17．（24-25七年级下·四川成都·期末）已知，则的值是 ． 【分析】本题考查幂的乘方的逆运算，同底数幂相除，同底数幂相乘，解题的关键是熟练掌握运算法则． 按照运算法则化简原式，将已知条件整体代入，计算即可． 【详解】解：∵， ∴ 故答案为：． 18．（24-25七年级下·陕西宝鸡·期中）如果，那么的值是 ． 【分析】本题考查幂的运算，负整数指数幂，利用幂的乘方和同底数底数幂的除法法则，得到，整体代入法结合负整数指数幂的法则，进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 19．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如果 可分解为， 则 【分析】本此题考查了因式分解的应用，多项式乘以多项式法则，负整指数幂，熟练掌握多项式乘多项式和负整指数幂的法则是解本题的关键． 已知分解结果利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出a与b的值，再将a和b的值代入到中计算即可得出答案． 【详解】解：根据题意得： ∴ 解得，， ∴， 故答案为：． 20．（24-25七年级下·山西晋中·期末）晋中市在市城区公园、游园、街道两旁栽种了30余万株月季，致力于打造“月季之城”．常见月季花粉的平均直径约为，将数据用小数可以表示为 ． 【分析】本题考查了科学记数法转化为小数，解题的关键在于掌握科学记数法还原规则，即把a的小数点向左移动n位． 将的小数点向左移动5位即可． 【详解】解：， 故答案为：． 三、解答题 21.计算 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 ． 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 22．（24-25七年级下·陕西汉中·期中）已知，，求的值． 【分析】本题主要考查了幂的乘方计算，同底数幂除法计算，根据幂的乘方计算方程和同底数幂除法计算法则可得，，则，，据此可得答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， ∴，∴． 23．（24-25七年级下·安徽淮北·期中）已知，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)字母m，n，p之间的数量关系为______． 【分析】本题考查幂的运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键． （1）逆用幂的乘方，进行计算即可； （2）逆用幂的乘方和同底数幂的乘法和除法法则进行计算即可； （3）利用幂的乘方和同底数幂的乘法进行计算即可． 【详解】（1）解：，， ； （2）由（1）知，，， ； （3）， ， ； 故答案为：． 24．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）若（且，m、n是整数），则．利用上面结论解决下面的问题： (1)若，则x的值为 ； (2)解方程：； (3)若，，用含x的代数式表示y． 【分析】本题考查同底数幂的乘法、除法，负整数指数幂，解一元一次方程． （1）将表示为以4为底的负整数指数幂即可； （2）根据同底数幂的乘法运算法则计算即可； （3）根据负整数指数幂的运算法则计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解：， ， ， ， ∴， 解得； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴． 25．（24-25七年级下·河南郑州·期中）我们规定：如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空：_____，_____； (2)记，，，试说明． 【分析】本题考查了有理数的乘方，负整数指数幂，同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）根据题意即可求解； （）根据题意得，，，然后通过同底数幂除法进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 故答案为：，； （2）解：因为，，， 所以，，， 因为， 所以， 所以， 即． 26．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）定义一种幂的新运算：，例如，请利用这种运算规则解决下列问题： (1)求的值； (2)若，求x的值． 【分析】本题主要考查了定义幂的新运算．熟练掌握新运算规则，同底数幂的除法法则，是解题的关键． （1）根据新运算规则计算，即可求解； （2）根据新运算规则原式可变形得出，可得，即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解：∵， ∴， ∴， 解得：． 27．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）规定一种新的运算“”，其中，为正整数．其运算规则如下：①；②（其中为常数）． (1)计算：______，______； (2)已知，求的值． (3)已知（其中m，n均不为0，化简并计算：． 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，分式的化简求值，零指数幂等知识．理解题意是解题的关键． （1）根据新定义运算由题意知，求解作答即可； （2）由题意知，，得到，，求解作答即可； （3）同理（2）求出，，，，根据，求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，，， 故答案为：，； （2）解：由题意知，， ∴，， 解得，， （3）解：由题意知，，，， ∴， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴的值为2． 28．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）探究应用：用“”“”定义两种新运算：对于两个整数a、b，规定，，例如：；． (1)求的值； (2)求的值； (3)当x为何值时，的值与的值相等． 【分析】本题考查的是同底数幂的乘法，除法运算，新定义运算的含义； （1）直接利用新定义运算的法则进行计算即可； （2）直接利用新定义运算的法则进行计算即可； （3）由新定义运算的含义可得，进一步求解即可. 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：由题意，得， ∴， ∴， ∴， 解得：. 29．（24-25七年级下·福建漳州·期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作【a，b】：如果，那么【a，b】．例如因为，所以【2，8】． (1)根据上述规定，填空：【4，64】______，【5，1】______，【______，9】； (2)小明在研究这种运算时发现一个现象【】【3，4】，小明给出了如下的证明： 设【】，则，即，所以． 即【3，4】所以【】【3，4】请你尝试运用这种方法解决下列问题： ①证明：【7，5】【7，6】【7，30】 ②请根据前面的经验猜想：【】【】【______，______】． 【分析】本题通过新定义考查了乘方的灵活运用、观察和猜想能力，回归定义是解决新定义题型的关键． （1）根据乘方的意义即可得到答案； （2）①模仿材料中的证明方法设【7，5】，【7，6】，再根据乘方的意义即可得到答案； ②根据【，】【3，4】和【7，5】【7，6】【7，30】的证明过程和结论即可猜想答案． 【详解】（1）解：， 【4，64】， ， 【5，1】， ， 【，9】． 故答案为：3，0，． （2）①证明：设【7，5】，【7，6】，则，， ， 【7，30】， 【7，5】【7，6】【7，30】． ②由【，】【3，4】的证明过程和结论可以猜想： 【，】【，】， 【，】【，】， 【，】【，】 【，】【，】， 由【7，5】【7，6】【7，30】的证明过程和结论可以猜想： 【，】【，】【，】， ∴【，】【，】【，】， 故答案为：，． 30．（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)计算①______；②______； (2)若，则______； (3)若，，，求、、满足的数量关系，写出计算过程． 【分析】本题考查了新定义运算以及幂的运算，解题的关键是理解新定义的含义，结合寡的运算法则进行计算． （1）根据新定义，找出满足的值； （2）依据新定义列方程求解； （3）利用新定义将、、用幂的形式表示，再结合幂的运算找出数量关系． 【详解】（1）解：， ， ， ， 故答案为：6，2； （2）解：， ， ， ， 故答案为：； （3）解：， ， ， ， ， ， ，将代入可得： ， ， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$