【第一章 因式分解 01讲 多项式的因式分解】【两大知识点+两大题型+巩固练习】2025-2026学年八年级上册数学（新版湘教版专用）

第一章 因式分解 01讲 多项式的因式分解 题型归纳 【题型1. 因式分解的判断】……………………………………………………………… 2 【题型2. 已知因式分解的结果求参】…………………………………………………… 2 【巩固练习】………………………………………………………………………………… 3 知识清单 知识点1 因式 1.定义：一般地，对于多项式f与g，如果有多项式h使得f=gh，那么把g叫作f的一个因式，此时，h也是f的一个因式. 如，则是多项式的因式. 知识点2 因式分解与分解因式 1.定义：一般地，把一个多项式表示成若干个多项式的乘积形式，称为把这个多项式因式分解，也称为分解因式.因式分解 多项式的乘法 【提示】 （1）因式分解是针对多项式而言的，一个单项式本身就是数与字母的积，不需要再分解因式； （2）因式分解的结果是整式的积的形式，积中几个相同因式的积要写成幂的形式； （3）因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止； （4）因式分解与整式乘法是方向相反的变形，二者不是互为逆运算．因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算． 题型专练 题型1. 因式分解的判断 【例1】（24-25八年级上·甘肃天水·期中）下列各式由左边到右边的变形中，属于分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级下·宁夏银川·期末）下列从左到右的变形中，是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·陕西西安·期中）下列由左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 题型2. 已知因式分解的结果求参 【例1】（24-25八年级下·四川成都·期中）若二次三项式可分解为，则m的值为 ． 【变式1】（24-25七年级下·浙江嘉兴·期末）若多项式有一个因式为，则的值为 ． 巩固练习 一、单选题 1．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·福建漳州·期中）下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·河南郑州·期中）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·河南郑州·期中）下列从左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·四川成都·期中）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·山西晋中·期末）下列等式从左到右变形，属于因式分解的是（　　） A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·北京房山·期末）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级下·山东济南·期中）下列等式从左到右变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 9．（24-25八年级下·山东青岛·期中）以下因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25八年级下·陕西·期末）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（  ） A． B． C． D． 11．（24-25八年级下·重庆南岸·期末）下列等式，由左边到右边的变形，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 12．（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）下列各式从左到右变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 13．（24-25七年级下·浙江温州·期末）下列因式分解错误的是（　　） A． B． C． D． 14．（24-25八年级下·陕西西安·期末）下列从左到右的变形，是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 15．（24-25八年级下·河南郑州·期末）下列各式从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 二、解答题 16．（23-24八年级下·全国·课后作业）下列从左到右的变形中，哪些是因式分解？哪些不是？ (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 17．（24-25八年级下·广东佛山·期中）若关于x的二次三项式分解因式的结果为，求的值． 18．（2024·湖南长沙·模拟预测）已知可因式分解成，其中a，b，c均为整数，求的值． 19．（23-24八年级下·辽宁朝阳·期末）仔细阅读下面例题： 已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得，则，解得：，．∴另一个因式为，． 类比上面方法解答： (1)若二次三项式可分解为，则______． (2)若二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及b的值． 20．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）完成下面各题： (1)若二次三项式可分解为，求a的值． (2)若二次三项式可分解为，求b、c的值． 21．（24-25八年级下·辽宁本溪·期末）仔细阅读下面的例题，解答问题： 例：已知二次三项式可以写成两个一次因式的积，其中有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为， 则， ∴， ∴， ∴另一个因式为，． 仿照以上方法解答问题： (1)若二次三项式可分解为，求的值； (2)已知二次三项式可以写成两个一次因式的积，其中有一个因式是，求另一个因式以及的值． 22．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）阅读下列材料，然后解答问题： 问题：因式分解： 解答；对于任意一元整式，其奇次项系数之和为，偶次项系数之和为，若，则，若，则，在中，因为，，所以把代入整式，得其值为0，由此确定整式中有因式．于是可设，分别求出，值，再代入，就可以把整式因式分解，这种因式分解的方法叫做“试根法”． (1)上述式子中 ， ； (2)对于一元整式，必定有（ ）； (3)请你用“试根法”分解因式：． 23．（24-25八年级上·辽宁抚顺·阶段练习）【数学活动】 2．计算： （1）；（2）； （3）；（4）． 由上面计算的结果找规律，观察图，填空： ．    李老师在课堂上布置了一项数学活动，由霖霖和欣欣两位同学分别完成左侧一列，右侧一列两道计算题，两位同学通过计算的结果，并结合图，得出了运算规律． 请你试着回答下面的问题： （1）计算：________；________；________． 【方法感悟】 （2）若，求的值． 霖霖同学利用运算规律，求解出了m与n的值，进而求出的值；而欣欣同学从运算的结果出发，先将等号左边的两个多项式相乘的结果算出来，再与等号右边的多项式对比，使得各项的系数都相等，这样也能够求出m与n的值； 丞丞同学积极思考，在解法上另辟蹊径，从方程的解入手，会得到一个关于n的方程，通过计算，也能够求出的值． 请你选择一名同学的解题思路，写出解答过程． 【学以致用】 （3）若可以因式分解为三个因式乘积的形式，若其中两个因式分别是，，求第三个因式． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 因式分解 01讲 多项式的因式分解 题型归纳 【题型1. 因式分解的判断】……………………………………………………………… 2 【题型2. 已知因式分解的结果求参】…………………………………………………… 4 【巩固练习】………………………………………………………………………………… 5 知识清单 知识点1 因式 1.定义：一般地，对于多项式f与g，如果有多项式h使得f=gh，那么把g叫作f的一个因式，此时，h也是f的一个因式. 如，则是多项式的因式. 知识点2 因式分解与分解因式 1.定义：一般地，把一个多项式表示成若干个多项式的乘积形式，称为把这个多项式因式分解，也称为分解因式.因式分解 多项式的乘法 【提示】 （1）因式分解是针对多项式而言的，一个单项式本身就是数与字母的积，不需要再分解因式； （2）因式分解的结果是整式的积的形式，积中几个相同因式的积要写成幂的形式； （3）因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止； （4）因式分解与整式乘法是方向相反的变形，二者不是互为逆运算．因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算． 题型专练 题型1. 因式分解的判断 【例1】（24-25八年级上·甘肃天水·期中）下列各式由左边到右边的变形中，属于分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【分析】此题考查了因式分解的定义， 根据因式分解的定义，判断各选项是否将多项式转化为几个整式的积的形式． 【详解】解：A． 左边是乘积形式，右边是展开后的多项式，属于整式乘法，不是因式分解． B． 左边为，正确因式分解应为，但选项B写为，分解不完整，错误． C． 左边二次三项式被正确分解为，符合因式分解的定义． D． 右边为，包含加法运算，不是乘积形式，不属于因式分解． 综上，只有选项C属于因式分解． 故选：C． 【变式1】（24-25八年级下·宁夏银川·期末）下列从左到右的变形中，是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【分析】此题考查了因式分解的定义， 根据因式分解的定义，判断各选项是否将多项式分解为整式的乘积形式． 【详解】A． 右边含分式，不符合整式乘积的要求，错误． B． 左边是乘积形式，右边是展开后的多项式，属于乘法运算而非因式分解，错误． C． 右边为，仍是多项式相加的形式，未形成乘积，错误． D． 左边是平方差，分解为，符合整式乘积的定义，正确． 故选：D． 【变式2】（24-25八年级下·陕西西安·期中）下列由左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了因式分解的定义，根据因式分解的定义，判断各选项是否将多项式转化为几个整式的积的形式，如果能转化为几个整式的积的形式，即属于因式分解，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、是整式乘法运算，不属于因式分解； B、的右边仍为多项式与单项式的差，未完全转化为积的形式； C、符合平方差公式，将多项式分解为两个一次因式的乘积，属于因式分解； D、展开后为，与不等，等式不成立； 故选：C 题型2. 已知因式分解的结果求参 【例1】（24-25八年级下·四川成都·期中）若二次三项式可分解为，则m的值为 ． 【分析】本题考查了因式分解和整式乘法的关系． 先将展开，再根据二次三项式可分解为，可得﹣，即可求出m的值． 【详解】解：， ∵二次三项式可分解为， ∴， 解得， 故答案为：1． 【变式1】（24-25七年级下·浙江嘉兴·期末）若多项式有一个因式为，则的值为 ． 【分析】本题考查多项式的因式，解题的关键是掌握多项式乘多项式的运算方法．设另一个因式为，则，根据各项系数列式求出a和b的值． 【详解】解：设另一个因式为，则． ∵， ∴， ，解得：．故答案为：3 巩固练习 一、单选题 1．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了因式分解的定义，根据因式分解的定义，判断各选项是否将多项式转化为几个整式的积的形式，即可求解． 【详解】解：A． 是整式的乘法运算，不是因式分解，故该选项不正确，不符合题意； B． 右边为乘积与常数的和，不是积的形式，不符合因式分解，故该选项不正确，不符合题意； C． 仅对左边进行分配律展开，未分解为更简整式的积，不属于因式分解，故该选项不正确，不符合题意； D． 将二次三项式转化为完全平方形式，符合因式分解的定义，故该选项正确，符合题意． 故选：D． 2．（24-25八年级下·福建漳州·期中）下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了判定是否是因式分解；根据因式分解的定义，判断各选项是否将一个多项式转化为几个整式的积的形式，即可求解． 【详解】解：A． ，左边为多项式，右边为两个一次整式的乘积，符合因式分解的定义． B． ，左边是乘积形式，右边展开为多项式，属于整式乘法，不符合因式分解． C． ，右边为乘积与常数的和，未完全转化为积的形式，不属于因式分解． D． ，左边为单项式，因式分解对象应为多项式，故不符合题意． 故选：A． 3．（24-25八年级下·河南郑州·期中）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查因式分解的定义．因式分解就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，据此对各项进行判断即可． 【详解】解：A、是单项式乘多项式的运算，不符合题意； B、右边结果不是积的形式，不符合题意； C、是多项式与多项式的乘法运算，不符合题意； D、属于因式分解，符合题意． 故选：D． 4．（24-25八年级下·河南郑州·期中）下列从左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了因式分解．解题的关键是掌握因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，注意因式分解与整式乘法的区别．根据因式分解的定义逐一判断可得答案． 【详解】解：A. 是整式乘法，不符合因式分解的定义； B. 结果仍为和的形式，未完全化为乘积； C. 将二次三项式分解为两个相同整式的乘积，符合因式分解； D. 左边是单项式，因式分解对象应为多项式；故选：C． 5．（24-25八年级下·四川成都·期中）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握把一个多项式化成几个整式乘积形式叫因式分解是解题的关键． 根据因式分解的定义，判断各选项是否将多项式转化为几个整式的积的形式． 【详解】解：A、右边为，是乘积与常数的和，不符合因式分解的结果是积的形式，故此选项不符合题意． B、左边乘积式，右边多项式，不是因式分解，故此选项不符合题意． C、左边提取公因数得，进一步分解为，符合因式分解的定义，故此选项符合题意． D、左边的正确分解应为，而右边为，分解错误，故此选项不符合题意． 故选：C． 6．（24-25八年级下·山西晋中·期末）下列等式从左到右变形，属于因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查因式分解的定义，解题的关键是掌握因式分解的形式，即需判断等式是否将多项式转化为几个整式的积的形式．利用因式分解的定义逐项进行判断即可． 【详解】解：A. ，是整式乘法运算，而非因式分解，不符合要求； B. ，右边为多项式相减，未形成乘积形式，不是因式分解； C. ，左边为二次三项式，右边为完全平方的乘积形式，符合因式分解定义； D. 右边为乘积与常数相加，未完全化为积的形式，不符合要求； 故选：C． 7．（24-25七年级下·北京房山·期末）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了因式分解，根据因式分解的定义“把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫分解因式”进行判断即可得，解题的关键是掌握因式分解的定义． 【详解】解：左边是乘积形式，右边是展开后的多项式，属于整式乘法，不是因式分解； 左边是乘积形式，右边是展开后的多项式，属于整式乘法，不是因式分解； 左边是多项式，右边是的乘积形式，是因式分解； 右边是平方与常数的和，未形成乘积形式，不是因式分解； 故选：． 8．（24-25八年级下·山东济南·期中）下列等式从左到右变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查因式分解定义，熟练掌握定义是解题的关键； 根据因式分解的定义，需将多项式转化为几个整式的积的形式．逐一分析各选项，判断右边是否为乘积形式． 【详解】A．，左边是乘积形式，右边展开为多项式，属于整式乘法，不符合因式分解，故本选项不符合题意； B．，左边为乘积，右边为多项式，属于乘法运算的展开，不是因式分解，故本选项不符合题意； C．，左边是二次三项式，右边写成的积形式，符合因式分解的定义，故本选项符合题意； D．，右边为与常数8的和，未形成乘积形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意； 故选：C． 9．（24-25八年级下·山东青岛·期中）以下因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查因式分解，对各选项逐一进行因式分解验证，判断是否符合分解规则即可． 【详解】解：A. ，虽提取公因式，但可进一步分解为，未彻底分解，故错误； B. 需分解为两数积为、和为的项，正确分解应为，故错误； C. ，提取公因式后，在实数范围内不可再分解，故正确； D. ，右边为多项式变形而非乘积形式，不符合因式分解要求，故错误； 故选C． 10．（24-25八年级下·陕西·期末）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（  ） A． B． C． D． 【详解】本题考查了因式分解的定义，解题的关键是能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键； 根据因式分解的定义，判断各选项是否将多项式转化为几个整式的乘积形式即可． 【分析】A．左边为，右边为，但展开后为，与原式左边相差，分解不完整，错误，故本选项不符合题意； B．右边为，属于多项式与常数的和，未形成乘积形式，不符合因式分解，故本选项不符合题意； C．左边可写成，进一步分解为，符合乘积形式且分解彻底，正确，故本选项符合题意； D．左边为乘积形式，右边展开为多项式，属于整式乘法而非因式分解，故本选项不符合题意；故选：C． 11．（24-25八年级下·重庆南岸·期末）下列等式，由左边到右边的变形，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查因式分解，根据因式分解的定义，判断各选项是否将多项式转化为几个整式的乘积形式，即可求解． 【详解】解：A. 左边为多项式，右边写成，即两个相同整式的乘积，符合因式分解的定义，符合题意． B. 左边为乘积，右边展开为，属于整式乘法，而非因式分解，不合题意． C. 右边为，包含减法运算，不是纯乘积形式，不符合因式分解，不合题意． D. 右边为，包含加法运算，不是纯乘积形式，不符合因式分解，不合题意． 故选：A． 12．（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）下列各式从左到右变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了因式分解的定义，根据因式分解的定义，判断各选项是否将一个多项式转化为几个整式的积的形式． 【详解】解：A：右边为，包含加法运算“”，不是积的形式，不符合因式分解的定义． B：左边为，右边为，即两个相同因式的乘积，符合因式分解的定义． C：左边为，右边为，属于整式乘法，不是因式分解． D：左边为，右边为，属于乘法分配律的展开，不是因式分解． 故选：B． 13．（24-25七年级下·浙江温州·期末）下列因式分解错误的是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查了因式分解，根据提公因式法、十字相乘法和公式法进行因式分解，逐项判断即可． 【详解】解：A．，提取公因式x，正确，不符合题意； B．，故选项B错误，符合题意； C．，正确，不符合题意； D．，正确，不符合题意； 故选：B． 14．（24-25八年级下·陕西西安·期末）下列从左到右的变形，是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查因式分解的判断，根据因式分解的定义，判断各选项是否将多项式转化为几个整式的积的形式，即可. 【详解】A、 是整式乘法，不是因式分解，错误； B、 右边为“整式加减”形式，不是因式分解，错误； C、 展开后为，与原式不等，错误； D、 是因式分解，正确； 故选D 15．（24-25八年级下·河南郑州·期末）下列各式从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【分析】此题考查了因式分解的定义， 根据因式分解的定义，判断各选项是否将多项式转化为几个整式的积的形式． 【详解】A选项：右边为，是平方加常数的形式，并非乘积，故不是因式分解． B选项：左边可提取公因式，得，符合因式分解的定义． C选项：左边与右边展开后不相等，等式不成立． D选项：右边是左边的展开结果，属于整式乘法，而非因式分解． 综上，只有B选项是因式分解． 故选：B． 二、解答题 16．（23-24八年级下·全国·课后作业）下列从左到右的变形中，哪些是因式分解？哪些不是？ (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【分析】本题考查了因式分解的意义，注意因式分解是针对多项式而言的，因式分解后，右边是整式积的形式． 根据分解因式的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式 【详解】（1）解：因式分解是针对多项式来说的，故不是因式分解； （2）解：等号右边不是整式积的形式，不是因式分解； （3）解：是因式分解； （4）解：等号右边不是整式积的形式，不是因式分解； （5）解：等号右边不是整式积的形式，不是因式分解． 17．（24-25八年级下·广东佛山·期中）若关于x的二次三项式分解因式的结果为，求的值． 【分析】本题考查了分解因式与整式乘法，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键．对展开得到m，n的值，然后计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 18．（2024·湖南长沙·模拟预测）已知可因式分解成，其中a，b，c均为整数，求的值． 【分析】本题考查因式分解，将进行因式分解后，求出的值，代入代数式计算即可． 【详解】解：∵， 又可因式分解成， ∴， ∴． 19．（23-24八年级下·辽宁朝阳·期末）仔细阅读下面例题： 已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得，则，解得：，．∴另一个因式为，． 类比上面方法解答： (1)若二次三项式可分解为，则______． (2)若二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及b的值． 【分析】本题主要考查了多项式乘法与因式分解的关系： （1）由题意得，，据此把等式右边展开即可得到答案； （2）设另一个因式为，则，据此仿照题意求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴， ∴， ∴； （2）解：设另一个因式为， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴另一个因式为，b值为1． 20．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）完成下面各题： (1)若二次三项式可分解为，求a的值． (2)若二次三项式可分解为，求b、c的值． 【分析】本题考查了因式分解的意义，解题关键是对题中所给解题思路的理解，同时要掌握因式分解与整式乘法是相反方向的变形，二者是一个式子的不同表现形式． （1）将展开，对比二次三项式的系数列方程求解即可； （2）将展开，对比二次三项式的系数列方程组求解即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， 解得． 21．（24-25八年级下·辽宁本溪·期末）仔细阅读下面的例题，解答问题： 例：已知二次三项式可以写成两个一次因式的积，其中有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为， 则， ∴， ∴， ∴另一个因式为，． 仿照以上方法解答问题： (1)若二次三项式可分解为，求的值； (2)已知二次三项式可以写成两个一次因式的积，其中有一个因式是，求另一个因式以及的值． 【分析】本题考查因式分解的意义，解题关键是对题中所给解题思路的理解，同时要掌握因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式． （1）展开，可得出一次项的系数，继而即可求出的值； （2）设另一个因式为，得，可知，，继而求出和的值及另一个因式． 【详解】（1）解：， 又， ， ； （2）解：设另一个因式为， 则， ， ， 解得：， 另一个因式是，的值为． 22．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）阅读下列材料，然后解答问题： 问题：因式分解： 解答；对于任意一元整式，其奇次项系数之和为，偶次项系数之和为，若，则，若，则，在中，因为，，所以把代入整式，得其值为0，由此确定整式中有因式．于是可设，分别求出，值，再代入，就可以把整式因式分解，这种因式分解的方法叫做“试根法”． (1)上述式子中 ， ； (2)对于一元整式，必定有（ ）； (3)请你用“试根法”分解因式：． 【分析】本题主要考查了因式分解与多项式乘法之间的关系： （1）利用多项式乘多项式的法则，展开后，利用恒等得到对应项的系数相同，进行求解即可； （2）求出其奇次项系数之和，偶次项系数之和，进行判断即可； （3）根据（2）所求得到是多项式的一个因式，再仿照题意利用试根法，进行因式分解． 【详解】（1）解： ， ， ， 故答案为：，； （2）解：多项式中，奇次项系数之和为，偶次项系数之和为． ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：由（2）可得是多项式的一个因式， ∴可设， ∴ ， ∴， ∴， ∴． 23．（24-25八年级上·辽宁抚顺·阶段练习）【数学活动】 2．计算： （1）；（2）； （3）；（4）． 由上面计算的结果找规律，观察图，填空： ．    李老师在课堂上布置了一项数学活动，由霖霖和欣欣两位同学分别完成左侧一列，右侧一列两道计算题，两位同学通过计算的结果，并结合图，得出了运算规律． 请你试着回答下面的问题： （1）计算：________；________；________． 【方法感悟】 （2）若，求的值． 霖霖同学利用运算规律，求解出了m与n的值，进而求出的值；而欣欣同学从运算的结果出发，先将等号左边的两个多项式相乘的结果算出来，再与等号右边的多项式对比，使得各项的系数都相等，这样也能够求出m与n的值； 丞丞同学积极思考，在解法上另辟蹊径，从方程的解入手，会得到一个关于n的方程，通过计算，也能够求出的值． 请你选择一名同学的解题思路，写出解答过程． 【学以致用】 （3）若可以因式分解为三个因式乘积的形式，若其中两个因式分别是，，求第三个因式． 【分析】本题考查了多项式乘法与因式分解的应用； （1）根据多项式乘以多项式进行计算即可求解； （2）根据题意进行计算即可求解； （3）根据题意按照（2）中的方法，设第三个因式为，根据多项式的乘法即可求解． 【详解】解：（1）； ； 故答案为：；；． （2）选择霖霖的解题思路： ∵， ∴， ∴， ∴； 选择欣欣的解题思路： ， ∴， ∴， ∴； 选择丞丞的解题思路： ∵的一个解为， ∴是方程的解， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴； （3）∵可以因式分解为三个因式乘积的形式，其中两个因式分别是，， 设第三个因式为， ∴` ∴，， ∴第三个因式为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$