第二十一章 一元二次方程（应用题）暑假能力提升练习题 2025-2026学年人教版数学九年级上册

第二十一章 一元二次方程（应用题）暑假能力提升练习题 2025-2026学年人教版数学九年级上册 目录 考点一：传染问题 考点二：百分率问题 考点三：销售问题 考点四：几何问题 考点五：工程问题 考点六：其他问题 考点一：传染问题 1．春季是流感的高发期，有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?如果按照这样的传染速度,三轮传染后有多少人患流感? 2．某生物实验室需培育一群有益菌.现有60个活体样本,经过两轮培育后,总数达24000个,其中每一个有益菌每一次可分裂出若干个相同数目的有益菌.每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌? 3．自年月以来，甲流便肆虐横行，成为当前主流流行疾病．某一小区有位住户不小心感染了甲流，由于甲流传播感染非常快，小区经过两轮传染后共有人患了甲流． （1）每轮感染中平均一个人传染几人？ （2）如果按照这样的传播速度，经过三轮传染后累计是否超过人患了甲流？ 4．如果不防范，病毒的传播速度往往很快，有一种病毒1人感染后，经过两轮传播，共有121人感染． （1）平均每人每轮感染多少人？ （2）第二轮传播后，人们加强防范，使病毒的传播力度下降到原来的20％，这样第三轮传播后感染的总人数是多少？ 考点二：百分率问题 5．某商场销售某款上衣，刚上市时每件可盈利100元，销售一段时间后开始滞销，经过连续两次降价后，每件盈利81元，平均每天可售出20件． （1）求平均每次降价盈利减少的百分率； （2）为尽快减少库存，商场决定再次降价．每件上衣每降价1元，每天可多售出2件．若商场每天要盈利2940元，每件应降价多少元？ 6．济南市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出 375 个，六月份售出 540 个，且从四月份到六月份月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利 10 元，月销售量为 500 个，若在此基础上每个涨价 1 元，则月销售量将减少 20 个，现在既要使月销售利润达到 6000 元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？ 7．乌克兰危机发生之后，外交战线按照党中央的部署紧急行动，在战火粉飞中已将5200多名同胞安全从乌克兰撤离，电影《万里归途》正是“外交为民”的真实写照，如表是该影片票房的部分数据，（注：票房是指截止发布日期的所有售票累计收入） 影片《万里归途》的部分统计数据 发布日期 10月8日 10月11日 10月12日 发布次数 第1次 第2次 第3次 票房 10亿元 　 12.1亿元 （1）平均每次累计票房增长的百分率是多少？ （2）在（1）的条件下，若票价每张40元，求10月11日卖出多少张电影票 8．联华超市于今年年初以每件30元的进价购进一批商品.当商品售价为40元时，一月份销售250件.二、三月该商品十分畅销.销售量持续走高.在售价不变的基础上，三月底的销售量达到360件.设二、三这两个月月平均增长率不变. （1）求二、三这两个月的月平均增长率； （2）从四月份起，商场采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加6件，当商品降价多少元时，商场获利1950元? 9．电动自动车已成为市民日常出行的首选工具．据某市某品牌电动自行车经销商1至3月份统计，该品牌电动自行车1月份销售辆，3月份销售辆． （1）求该品牌电动自行车销售量的月均增长率； （2）假设每月的增长率相同，预计4月份的销量会达到辆吗? 10．某商场在去年底以每件：80元的进价购进一批同型号的服装，一月份以每件150元的售价销售了320件，二、三月份该服装畅销，销量持续走高，在售价不变的情况下，三月底统计出三月份的销量达到了500件． （1）求二、三月份服装销售量的平均月增长率； （2）从四月份起商场因换季清仓采用降价促销的方式，经调查发现，在三月份销量的基础上，该服装售价每降价5元，月销售量增加10件，当每件降价多少元时，四月份可获利12000元？ 考点三：销售问题 11．春节前夕，织金某超市从厂家分两次购进猪肉馅饺子和韭菜馅饺子，两次进货时，两种饺子的进价不变．第一次购进猪肉馅饺子60袋和韭菜馅饺子90袋，总费用为4800元；第二次购进猪肉馅饺子40袋和韭菜馅饺子80袋，总费用为3600元． （1）求猪肉馅饺子、韭菜馅饺子每袋的进价各是多少元？ （2）当猪肉馅饺子销售价为每袋70元时；每天可售出20袋，为了促销，该超市决定对猪肉馅饺子进行降价销售．经市场调研，若每袋的销售价每降低1元，则每天的销售量将增加5袋．当猪肉馅饺子每袋的销售价为多少元时，每天售出猪肉馅饺子所获得的利润为220元？ 12．某商店于12月初购进了一批保暖衣．在销售中发现：该保暖衣平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“元旦”，商场决定采取适当的降价活动，以扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件保暖衣降价1元，那么平均每天就可多售出2件． （1）若活动期间平均每天的销售量为38件，求每件保暖衣盈利是多少元？ （2）要想平均每天销售这种保暖衣能盈利1200元，又能尽量减少库存，那么每件保暖衣应降价多少元？ 13．“当你背单词时，阿拉斯加的鳕鱼正跃出水面；当你算数学时，南太平洋的海鸥正掠过海岸；当你晚自习时，地球的极圈正五彩斑斓；但少年，梦要你亲自实现，那些你觉得看不到的人和遇不到的风景都终将在你生命里出现．”这是直播带货新平台“东方甄选”带货王董宇辉在推销鳕鱼时的台词．所推销鳕鱼的成本为每袋元，当售价为每袋元时，每分钟可销售袋． 为了吸引更多顾客，“东方甄选”采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降元，则每分钟可多销售袋． （1）每袋鳕鱼的售价为多少元时，每分钟的销量为袋？ （2）“东方甄选”不忘公益初心，热心教育事业，其决定从每分钟利润中捐出元帮助留守儿童，为了保证捐款后每分钟利润达到元，且要最大限度让利消费者，求此时鳕鱼的销售单价为多少元？ 14．年月日，神舟十五号发射升空，中国首次实现空间站三船三舱构型，以及6名航天员同时在轨驻留．某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了“中国空间站”模型．已经知该模型平均每天可售出个，每个盈利元．为了扩大销售，该网店准备适当降价，经过一段时间测算，每个模型每降低1元，平均每天可以多售出2个． （1）若每个模型降价4元，平均每天可以售出多少个模型？此时每天获利多少元？ （2）在每个模型盈利不少于元的前提，要使“中国空间站”模型每天获利元，每个模型应降价多少元？ 15．某市中学的师生在春节上街参加“写春联，迎新春、送祝福，义卖捐助敬老院”的活动，师生写的春联平均每天可卖出500副，每副春联除去成本可盈利0.3元，后来参与活动的师生愈来愈多，写的春联愈来愈多，决定适当降价，调查发现，春联的售价每下降0.05元，那么平均每天可多卖出200副。 （1）设每副春联降价x元，每天春联的销量为y副，求y与的函数关系。 （2）参与活动的全体师生想平均每天盈利180元，每副春联应降价多少元？ 考点四：几何问题 16．如图是一个矩形花圃，它的两边分别长为10 m和6 m，现要在花圃内铺设一条互相垂直的十字石子路，横竖路面宽度相等．若要使种花的面积是45 m2，石子路的宽度应是多少？ 17．社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为米的道路．已知铺花砖的面积为． （1）求道路的宽是多少米？ （2）该停车场共有车位个，据调查分析，当每个车位的月租金为元时；可全部租出；若每个车位的月租金每上涨元，就会少租出个车位．当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为元。 18．某农场要建一个矩形动物场，场地的一边靠墙(墙AB长度为10米)，另外三边用木栏围成，木栏总长20米，设动物场CD边的长为xm. （1）当矩形动物场面积为48m2时，求CD边的长； （2）能否围成面积为矩形动物场?说明理由. 19．劳动是财富的源泉，也是幸福的源泉某中学对劳动教育进行积极探索和实践，创建学生劳动教育基地，让学生参与到农耕劳作中如图，该中学有面积为的矩形空地，计划在矩形空地上一边增加，另一边增加构成一个正方形区域，作为学生栽种鲜花的劳动教育基地． （1）求正方形区域的边长； （2）在实际建造时，从校园美观和实用的角度考虑，按图的方式进行改造，先在正方形区域一侧建成宽的画廊，再在余下地方建成宽度相等的两条小道后，其余地方栽种鲜花，如果栽种鲜花区域的面积为，求小道的宽度． 20．某农场要建一个饲养场（矩形），两面靠墙（位置的墙最大可用长度为25m，位置的墙最大可用长度为21m），另外两边用木栏围成，中间用木栏隔成两个小矩形并在如图所示的两处各留1m宽的门（不用木栏），建成后木栏总长50m． （1）若饲养场（矩形）的面积为，求边的长； （2）小芳说：“饲养场的面积最多能达到．”若能达到，求出边的长；若不能达到，请说明理由． 考点五：工程问题 21．甲、乙两工程队合作完成某修路工程，该工程总长为4800米，原计划32小时完成．甲工程队每小时修路里程比乙工程队的2倍多30米，刚好按时完成任务． （1）求甲工程队每小时修的路面长度； （2）通过勘察，地下发现大型溶洞，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米，在实际施工中，乙工程队修路效率保持不变的情况下，时间比原计划增加了()小时；甲工程队的修路速度比原计划每小时下降了米，而修路时间比原计划增加m小时，求m的值． 22．甲、乙两工程队共同承建某高速路隧道工程，隧道总长2000米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米.因地质情况不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样.甲每合格完成1米，隧道施工成本为6万元；乙每合格完成1米，隧道施工成本为8万元. （1）若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的 ，求甲最多施工多少米？ （2）实际施工开始后因地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化.甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖 m米，乙因特殊地质，在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖 m米，若最终每天实际总成本比计划多（11m-8）万元，求m的值. 23．随着铁路运量的不断增长，重庆火车北站越来越拥挤，为了满足铁路交通的快速发展，该火车站从去年开始启动了扩建工程，其中某项工程，甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多5个月，并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍。 （1）求甲、乙队单独完成这项工程各需几个月？ （2）若甲队每月的施工费为100万元，乙队每月的施工费比甲队多50万元，在保证工程质量的前提下，为了缩短工期，拟安排甲、乙两队分工合作完成这项工程。在完成这项工程中，甲队施工时间是乙队施工时间的2倍，那么，甲队最多施工几个月才能使工程款不超过1500万元？（甲、乙两队的施工时间按月取整数） 考点六：其他问题 24．某旅游园区对团队入园购票规定：如团队人数不超过 人，那么这个团队需交200元入园费；若团队人数超过 人，则这个团队除了需交200元入园费外，超过部分游客还要按每人 元交入园费，下表是两个旅游团队人数和入园缴费情况： 旅游团队名称 团队人数（人） 入园费用（元） 旅游团队1 80 350 旅游团队2 45 200 根据上表的数据，求某旅游园区对团队入园购票规定的 人是多少？ 25．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件； （1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？ （2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？ 26．为了缓解我市新型冠状肺炎护目镜需求，两江新区某护目镜生产厂家自正月初三起便要求全体员工提前返岗.在接到单位的返岗任务后，员工们都毫无怨言，快速回到了自己的工作岗位，用努力工作的行动践行着自己的社会责任感与社会担当.已知该厂拥有两条不同的护目镜加工生产线 .原计划 生产线每小时生产护目镜400个， 生产线每小时生产护目镜500个. （1）若生产线 共工作12小时，且生产护目镜总数量不少于5500个，则 生产线至少生产护目镜多少小时？ （2）原计划 生产线每天均工作8小时，但现在为了尽快满足我市护目镜的需求，两条生产线每天均比原计划多工作了相同的小时数，但因为机器损耗及人员不足原因， 生产线每增加1小时，该生产线实际工作时每小时的产量均减少10个， 生产线每增加1小时，该生产线每小时的产量均减少15个，这样一天生产的护目镜将比原计划多3300个，求该厂实际每天生产护目镜的时间. 27．满洲里市某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望．为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售． （1）求平均每次下调的百分率； （2）某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子．开发商还给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，送两年物业管理费，物业管理费是每平方米每月1.5元，请问哪种方案更优惠？ 28．为倡导积极健康的生活方式、丰富居民生活，区推出系列文化活动，其中的乒乓球比赛采用单循环赛制（即每两名参赛者之间都要进行一场比赛）经统计，此次乒乓球比赛男子组共要进行28场单打. （1）参加此次乒乓球男子单打比赛的选手有多少名？ （2）在系列文化活动中，社区与某旅行社合作组织“丰收节”采摘活动收费标准是：如果人数不超过20人，每人收费200元；如果超过20人，每增加1人，每人费用都减少5元经统计，社区共支付“采摘活动”费用4500元求参加此次“丰收节”采摘的人数 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十一章 一元二次方程（应用题）暑假能力提升练习题 2025-2026学年人教版数学九年级上册 目录 考点一：传染问题 考点二：百分率问题 考点三：销售问题 考点四：几何问题 考点五：工程问题 考点六：其他问题 考点一：传染问题 1．春季是流感的高发期，有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?如果按照这样的传染速度,三轮传染后有多少人患流感? 【答案】解：（1）设平均一人传染了x人， x+1+（x+1）x=121 解得x1=10，x2=-12（不符合题意舍去）（2）经过三轮传染后患上流感的人数为：121+10×121=1331（人）. 答：每轮传染中平均一个人传染了10个人，经过三轮传染后共有1331人患流感。 【解析】【分析】①根据 有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感可列方程求解； ②结合①中求得的值即可求解. 2．某生物实验室需培育一群有益菌.现有60个活体样本,经过两轮培育后,总数达24000个,其中每一个有益菌每一次可分裂出若干个相同数目的有益菌.每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌? 【答案】 解：每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出x个有益菌，根据题意得： 60（x+1）2=24000， 解之：x1=19，x2=-21， ∵x＞0 ∴x=19 答：每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出19个有益菌. 【解析】【分析】由题意可知等量关系为：60（1+每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出益菌的个数）2=24000，设未知数，列方程求解即可。 3．自年月以来，甲流便肆虐横行，成为当前主流流行疾病．某一小区有位住户不小心感染了甲流，由于甲流传播感染非常快，小区经过两轮传染后共有人患了甲流． （1）每轮感染中平均一个人传染几人？ （2）如果按照这样的传播速度，经过三轮传染后累计是否超过人患了甲流？ 【答案】（1）解：设每轮感染中平均一个人传染人． 根据题意得， 解得，或， ∵， ∴， 答：每轮感染中平均一个人传染人； （2）解：根据题意可得： 第三轮的患病人数为， ∵， ∴经过三轮传染后累计患甲流的人数不会超过人， 答：经过三轮传染后累计患甲流的人数不超过人. 【解析】【分析】（1）设每轮感染中平均一个人传染人，根据先有位住户感染甲流，经过两轮传染后共有人患了甲流，列出方程，解方程即可求解； （2）根据每轮感染中平均一个人传染人，求得第三轮感染的人数，与1500作比较即可求解. 4．如果不防范，病毒的传播速度往往很快，有一种病毒1人感染后，经过两轮传播，共有121人感染． （1）平均每人每轮感染多少人？ （2）第二轮传播后，人们加强防范，使病毒的传播力度下降到原来的20％，这样第三轮传播后感染的总人数是多少？ 【答案】（1）解：设平均每人每轮感染x人， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：平均每人每轮感染10人． （2）解：由题意得：． 答：第三轮传播后感染的总人数是363． 【解析】【分析】（1）设平均每人每轮感染x人，则第一轮中有x人被感染，第二轮中有x(1+x)人被感染，根据相等关系“ 1人感染后，经过两轮传播，共有121人感染”可列关于x的方程，解方程可求解； （2）根据第三轮传播后感染的总人数等于"增长后的量=增长前的量×（1+增长率）增长次数"计算即可求解. 考点二：百分率问题 5．某商场销售某款上衣，刚上市时每件可盈利100元，销售一段时间后开始滞销，经过连续两次降价后，每件盈利81元，平均每天可售出20件． （1）求平均每次降价盈利减少的百分率； （2）为尽快减少库存，商场决定再次降价．每件上衣每降价1元，每天可多售出2件．若商场每天要盈利2940元，每件应降价多少元？ 【答案】（1）解：设平均每次降价盈利减少的百分率为， 依题意，得， 解得（不合题意，舍去）． 答：平均每次降价盈利减少的百分率为． （2）解：设每件应降价元，则每天可售出件， 依题意，得， 解得：，． 要尽快减少库存， ． 答：每件应降价60元． 【解析】【分析】（1）设每次下降的百分率为x，由题意得：，解方程即可； （2）设每件应降价元，则每天可售出件，由题意得，解方程即可. （1）解：设平均每次降价盈利减少的百分率为， 依题意，得， 解得（不合题意，舍去）． 答：平均每次降价盈利减少的百分率为． （2）设每件应降价元，则每天可售出件， 依题意，得， 解得：，． 要尽快减少库存， ． 答：每件应降价60元． 6．济南市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出 375 个，六月份售出 540 个，且从四月份到六月份月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利 10 元，月销售量为 500 个，若在此基础上每个涨价 1 元，则月销售量将减少 20 个，现在既要使月销售利润达到 6000 元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？ 【答案】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率x， 根据题意得：375（1＋x）2＝540， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝−2.2（不合题意，舍去）， 答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%. （2）解：设该品牌头盔每个应涨价m元， 由题意得：（10＋m）（500−20m）＝6000， 整理得：m2−15m＋50＝0， 解得：m1＝5，m2＝10， ∵要尽可能让顾客得到实惠， ∴m＝5， 答：该品牌的头盔每个应涨价5元． 【解析】【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率x，根据“ 四月份售出 375 个，六月份售出 540 个 ”列出方程375（1＋x）2＝540，求解即可； （2）设该品牌头盔每个应涨价m元，利用“ 销售利润达到 6000 元 ”列出方程（10＋m）（500−20m）＝6000，再求解即可. 7．乌克兰危机发生之后，外交战线按照党中央的部署紧急行动，在战火粉飞中已将5200多名同胞安全从乌克兰撤离，电影《万里归途》正是“外交为民”的真实写照，如表是该影片票房的部分数据，（注：票房是指截止发布日期的所有售票累计收入） 影片《万里归途》的部分统计数据 发布日期 10月8日 10月11日 10月12日 发布次数 第1次 第2次 第3次 票房 10亿元 　 12.1亿元 （1）平均每次累计票房增长的百分率是多少？ （2）在（1）的条件下，若票价每张40元，求10月11日卖出多少张电影票 【答案】（1）解：设平均每次累计票房增长的百分率是， 依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：平均每次累计票房增长的百分率是10%． （2）解： （张）． 答：10月11日卖出2500000张电影票. 【解析】【分析】（1）设平均每次累计票房增长的百分率是，利用第3次累计票房=第1次累计票房（1+平均每次累计票房增长的百分率），即可得出关于的一元二次方程，解方程即可求出答案. （2）利用数量=总价单价，即可求出答案. （1）解：设平均每次累计票房增长的百分率是， 依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：平均每次累计票房增长的百分率是10%． （2）解： （张）． 答：10月11日卖出2500000张电影票． （或（张）．） 8．联华超市于今年年初以每件30元的进价购进一批商品.当商品售价为40元时，一月份销售250件.二、三月该商品十分畅销.销售量持续走高.在售价不变的基础上，三月底的销售量达到360件.设二、三这两个月月平均增长率不变. （1）求二、三这两个月的月平均增长率； （2）从四月份起，商场采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加6件，当商品降价多少元时，商场获利1950元? 【答案】（1）解：设二、三这两个月的月平均增长率为x， 根据题意得：250（1＋x）2＝360， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝−2.2（不符合题意，舍去）． 答：二、三这两个月的月平均增长率为20%； （2）解：设商品降价y元，则每件商品的销售利润为（40−y−30）元，四月份的销售量为（360＋6y）元， 根据题意得：（40−y−30）（360＋6y）＝1950， 整理得：y2＋50y−275＝0， 解得：y1＝5，y2＝−55（不符合题意，舍去）． 答：当商品降价5元时，商场获利4250元． 【解析】【分析】（1）设二、三这两个月的月平均增长率为x，利用三月份的销售量＝一月份的销售量×（1＋二、三这两个月的月平均增长率）2，列出方程250（1＋x）2＝360，再求解即可； （2）设商品降价y元，则每件商品的销售利润为（40−y−30）元，四月份的销售量为（360＋6y）元，利用商场四月份销售该商品获得的利润＝每件的销售利润×四月份的销售量，列出方程（40−y−30）（360＋6y）＝1950，再求解即可. 9．电动自动车已成为市民日常出行的首选工具．据某市某品牌电动自行车经销商1至3月份统计，该品牌电动自行车1月份销售辆，3月份销售辆． （1）求该品牌电动自行车销售量的月均增长率； （2）假设每月的增长率相同，预计4月份的销量会达到辆吗? 【答案】（1）解：设该品牌电动自行车销售量的月均增长率为x， 根据题意列方程：， 解得（不合题意，舍去）， 答：该品牌电动自行车销售量的月均增长率． ​​​​​​ （2）解：由题意可得： ， ∴预计4月份的销量不会达到300辆． 【解析】【分析】（1）设该品牌电动自行车销售量的月均增长率为x，根据题意列出方程，解方程即可求出答案. （2）依据（1）中增长率计算，再比较大小即可求出答案. 10．某商场在去年底以每件：80元的进价购进一批同型号的服装，一月份以每件150元的售价销售了320件，二、三月份该服装畅销，销量持续走高，在售价不变的情况下，三月底统计出三月份的销量达到了500件． （1）求二、三月份服装销售量的平均月增长率； （2）从四月份起商场因换季清仓采用降价促销的方式，经调查发现，在三月份销量的基础上，该服装售价每降价5元，月销售量增加10件，当每件降价多少元时，四月份可获利12000元？ 【答案】（1）解：设二、三月份服装销售量的平均月增长率为， 依题意，得：， 解得：（不合题意，舍去）． 答：二、三月份服装销售量的平均月增长率为． （2）解：设每件降价元，则四月份可售出件， 依题意，得：， 整理，得：， 解得：（不合题意，舍去）． 答：每件降价50元时，四月份可获利12000元． 【解析】【分析】（1）设二、三月份服装销售量的平均月增长率为，根据“ 三月底统计出三月份的销量达到了500件 ”列出方程，再求解即可； （2）设每件降价元，则四月份可售出件，根据“ 四月份可获利12000元 ”列出方程，再求解即可. 考点三：销售问题 11．春节前夕，织金某超市从厂家分两次购进猪肉馅饺子和韭菜馅饺子，两次进货时，两种饺子的进价不变．第一次购进猪肉馅饺子60袋和韭菜馅饺子90袋，总费用为4800元；第二次购进猪肉馅饺子40袋和韭菜馅饺子80袋，总费用为3600元． （1）求猪肉馅饺子、韭菜馅饺子每袋的进价各是多少元？ （2）当猪肉馅饺子销售价为每袋70元时；每天可售出20袋，为了促销，该超市决定对猪肉馅饺子进行降价销售．经市场调研，若每袋的销售价每降低1元，则每天的销售量将增加5袋．当猪肉馅饺子每袋的销售价为多少元时，每天售出猪肉馅饺子所获得的利润为220元？ 【答案】（1）解：设猪肉馅饺子的进价为x元，韭菜馅饺子的进价为y元． 则：，解之得 答：猪肉馅饺子的进价为50元，韭菜馅饺子的进价为20元 （2）解：设降价了m元．则： 解之得：（不符合题意，故舍去。）， ， 答：猪肉馅饺子每袋的销售价为52元时，每天售出猪肉馅饺子所获得的利润为220元。 【解析】【分析】（1）设猪肉馅饺子的进价为x元，韭菜馅饺子的进价为y元，根据“第一次购进猪肉馅饺子60袋和韭菜馅饺子90袋，总费用为4800元；第二次购进猪肉馅饺子40袋和韭菜馅饺子80袋，总费用为3600元”列出方程组，再求解即可； （2）设降价了m元，再根据“每天售出猪肉馅饺子所获得的利润为220元”列出方程，再求解即可. 12．某商店于12月初购进了一批保暖衣．在销售中发现：该保暖衣平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“元旦”，商场决定采取适当的降价活动，以扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件保暖衣降价1元，那么平均每天就可多售出2件． （1）若活动期间平均每天的销售量为38件，求每件保暖衣盈利是多少元？ （2）要想平均每天销售这种保暖衣能盈利1200元，又能尽量减少库存，那么每件保暖衣应降价多少元？ 【答案】（1）解：根据题意得： （元． 答：每件保暖衣盈利31元； （2）解：设每件保暖衣应降价元，则每件盈利元，平均每天可售出件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 又要尽量减少库存， ． 答：每件保暖衣应降价20元． 【解析】【分析】（1）根据题意运用有理数的混合运算即可求解； （2）设每件保暖衣应降价元，则每件盈利元，平均每天可售出件，进而结合利润=每件盈利×件数即可列出一元二次方程，从而结合题意即可求解。 13．“当你背单词时，阿拉斯加的鳕鱼正跃出水面；当你算数学时，南太平洋的海鸥正掠过海岸；当你晚自习时，地球的极圈正五彩斑斓；但少年，梦要你亲自实现，那些你觉得看不到的人和遇不到的风景都终将在你生命里出现．”这是直播带货新平台“东方甄选”带货王董宇辉在推销鳕鱼时的台词．所推销鳕鱼的成本为每袋元，当售价为每袋元时，每分钟可销售袋． 为了吸引更多顾客，“东方甄选”采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降元，则每分钟可多销售袋． （1）每袋鳕鱼的售价为多少元时，每分钟的销量为袋？ （2）“东方甄选”不忘公益初心，热心教育事业，其决定从每分钟利润中捐出元帮助留守儿童，为了保证捐款后每分钟利润达到元，且要最大限度让利消费者，求此时鳕鱼的销售单价为多少元？ 【答案】（1）解：设每袋鳕鱼的售价为元，每分钟的销售量为袋， ∴， 解得：， 答：每袋鳕鱼的售价为元时，每分钟的销售量为袋． （2）解：设此时鳕鱼的销售单价为元， ∴， 解得：，， ∵要最大限度让利消费者， ∴， 答：此时鳕鱼的销售单价为元． 【解析】【分析】（1）设每袋鳕鱼的售价为元，每分钟的销售量为袋，根据“所推销鳕鱼的成本为每袋元，当售价为每袋元时，每分钟可销售袋． 为了吸引更多顾客，“东方甄选”采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降元，则每分钟可多销售袋”即可列出一元一次方程，进而即可求解； （2）设此时鳕鱼的销售单价为元，根据题意即可列出一元二次方程，进而即可求解。 14．年月日，神舟十五号发射升空，中国首次实现空间站三船三舱构型，以及6名航天员同时在轨驻留．某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了“中国空间站”模型．已经知该模型平均每天可售出个，每个盈利元．为了扩大销售，该网店准备适当降价，经过一段时间测算，每个模型每降低1元，平均每天可以多售出2个． （1）若每个模型降价4元，平均每天可以售出多少个模型？此时每天获利多少元？ （2）在每个模型盈利不少于元的前提，要使“中国空间站”模型每天获利元，每个模型应降价多少元？ 【答案】（1）解：依题意得：降价4元后每天获利：（元）， 答：每个模型降价4元，平均每天可以售出个模型，此时每天获利元． （2）解：设每个模型降价x元，则每件利润元，平均每天可以售出个模型， 依题意得： 即：， 解得，， 因为每个模型盈利不少于元， 所以 即， 故， 答：要使“中国空间站”模型每天获利元，每个模型应降价元. 【解析】【分析】（1）根据题意列式计算，即可求出利润； （2）设每个模型降价x元，则每件利润元，平均每天可以售出个模型，根据利润可列方程和不等式，解方程即可. （1）解：依题意得： 降价4元后每件利润：（元）， 降价4元后销量：（个）， 降价4元后每天获利：（元）， 答：每个模型降价4元，平均每天可以售出个模型，此时每天获利元． （2）解：设每个模型降价x元， 则每件利润元，平均每天可以售出个模型， 依题意得： 即：， 解得，， 因为每个模型盈利不少于元， 所以 即， 故， 答：要使“中国空间站”模型每天获利元，每个模型应降价元. 15．某市中学的师生在春节上街参加“写春联，迎新春、送祝福，义卖捐助敬老院”的活动，师生写的春联平均每天可卖出500副，每副春联除去成本可盈利0.3元，后来参与活动的师生愈来愈多，写的春联愈来愈多，决定适当降价，调查发现，春联的售价每下降0.05元，那么平均每天可多卖出200副。 （1）设每副春联降价x元，每天春联的销量为y副，求y与的函数关系。 （2）参与活动的全体师生想平均每天盈利180元，每副春联应降价多少元？ 【答案】（1）解：由题意得：y=500+×200， 即y=4000x+500， ∴y与x的函数关系式为：y=4000x+500； （2）解：设每副春联应降价x元。 根据题意得： 整理得： 解得：（不合实际，舍去） 答：每副春联应降价0.1元，每天就可盈利180元。 【解析】【分析】（1）由题意春联的售价每下降0.05元，那么平均每天可多卖出200副，降价x元，则多卖（)，即可解答y=500+，整理y=4000x+500。 （2）设每副春联降价x元，根据题意参与活动的全体师生想平均每天盈利180元，由（1）中可得y=4000x+500，可得（4000x+500)(0.3-x)=180，即可解答。 考点四：几何问题 16．如图是一个矩形花圃，它的两边分别长为10 m和6 m，现要在花圃内铺设一条互相垂直的十字石子路，横竖路面宽度相等．若要使种花的面积是45 m2，石子路的宽度应是多少？ 【答案】解：设石子路的宽度为x m，依题意得 (10－x)(6－x)＝45， 解得x1＝1，x2＝15(不合题意， 舍去)． 答：石子路的宽度为1 m． 【解析】【分析】设石子路的宽度为x m，则种花的部分为一个长为（10-x）m，宽为（6-x）m的矩形，根据矩形的面积公式列出方程并解之即可. 17．社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为米的道路．已知铺花砖的面积为． （1）求道路的宽是多少米？ （2）该停车场共有车位个，据调查分析，当每个车位的月租金为元时；可全部租出；若每个车位的月租金每上涨元，就会少租出个车位．当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为元。 【答案】（1）解：根据道路的宽为米， ， 整理得：， 解得：（舍去），， 答：道路的宽为米． （2）解：设月租金上涨元，停车场月租金收入为元， 根据题意得：， 整理得：， 解得， 答：每个车位的月租金上涨元时，停车场的月租金收入为元 【解析】【分析】（1）设道路的宽为米，根据矩形的面积公式， 列出方程，解方程并检验，即可得解； （2）设月租金上涨元，停车场月租金收入为元，则租出的车位数量是个，根据题意得：， 计算求解即可. 18．某农场要建一个矩形动物场，场地的一边靠墙(墙AB长度为10米)，另外三边用木栏围成，木栏总长20米，设动物场CD边的长为xm. （1）当矩形动物场面积为48m2时，求CD边的长； （2）能否围成面积为矩形动物场?说明理由. 【答案】（1）根据题意，得﹣2x2+20x＝48， 解得x1＝4，x2＝6， 当CD＝6米时，AB＝20﹣2×6＝8（米），符合题意； 当CD＝4米时，AB＝20﹣2×4＝12（米）， ∵墙AB长度为10米， ∴CD＝4米不符合题意； ∴CD边的长为6米； （2）不能围成面积为52m2矩形动物场，理由如下： 根据题意，得﹣2x2+20x＝52， 整理，得x2﹣10x+26＝0， ∵Δ＝100﹣4×1×26＝﹣4＜0， ∴方程没有实数根， ∴不能围成面积为52m2矩形动物场． 【解析】【分析】（1） 设动物场CD边的长为xm. 则DE=（20-2x）m，根据“ 矩形动物场面积为48m2”列出方程并解之即可； （2）假设能，利用“矩形动物场面积52m2”列出方程并解之即可. 19．劳动是财富的源泉，也是幸福的源泉某中学对劳动教育进行积极探索和实践，创建学生劳动教育基地，让学生参与到农耕劳作中如图，该中学有面积为的矩形空地，计划在矩形空地上一边增加，另一边增加构成一个正方形区域，作为学生栽种鲜花的劳动教育基地． （1）求正方形区域的边长； （2）在实际建造时，从校园美观和实用的角度考虑，按图的方式进行改造，先在正方形区域一侧建成宽的画廊，再在余下地方建成宽度相等的两条小道后，其余地方栽种鲜花，如果栽种鲜花区域的面积为，求小道的宽度． 【答案】（1）解：设正方形区域的边长为，则矩形空地长为，宽为， 由题意得：， 整理得：， 解得：，不合题意舍去， 答：正方形区域的边长为 （2）解：设小道的宽度为，则栽种鲜花的区域可合成长，宽的矩形， 由题意得：， 整理得：， 解得：，不合题意舍去， 答：小道的宽度为． 【解析】【分析】（1）设正方形区域的边长为xm，则用x表示出矩形空地长，宽为，根据“面积为650m2的矩形空地”，列出元二次方程，解之取其正值即可； （2）设小道的宽度为ym，则用x表示出栽种鲜花的区域长，宽，根据栽“栽种鲜花区域的面积为812m2”，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可． 20．某农场要建一个饲养场（矩形），两面靠墙（位置的墙最大可用长度为25m，位置的墙最大可用长度为21m），另外两边用木栏围成，中间用木栏隔成两个小矩形并在如图所示的两处各留1m宽的门（不用木栏），建成后木栏总长50m． （1）若饲养场（矩形）的面积为，求边的长； （2）小芳说：“饲养场的面积最多能达到．”若能达到，求出边的长；若不能达到，请说明理由． 【答案】（1）解：设边的长为m，则的长为m，由题意，得： ， 解得：， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意， ∴边的长为20m； （2）解：不能，理由如下： 由题意，得：，整理得：， ∴， ∴， 当时，，不符合题意； ∴饲养场的面积不能达到． 【解析】【分析】（1） 设边的长为m，则的长为m， 根据饲养场（矩形）的面积为，得， 解方程，并进行检验，即可得出结果； （2）不能。根据饲养场的面积为，列出方程 ， 解得 ， 进一步求出此时AD=26m，根据 位置的墙最大可用长度为25m， 即可得出结论。 考点五：工程问题 21．甲、乙两工程队合作完成某修路工程，该工程总长为4800米，原计划32小时完成．甲工程队每小时修路里程比乙工程队的2倍多30米，刚好按时完成任务． （1）求甲工程队每小时修的路面长度； （2）通过勘察，地下发现大型溶洞，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米，在实际施工中，乙工程队修路效率保持不变的情况下，时间比原计划增加了()小时；甲工程队的修路速度比原计划每小时下降了米，而修路时间比原计划增加m小时，求m的值． 【答案】（1）解：设乙两工程队每小时铺设路面x米，则甲工程队每小时铺设路面米， 根据题意得，， 解得：， 则， ∴甲工程队每小时铺设的路面长度为110米； （2）解：根据题意得， ， 整理得，， 解得：（舍去）， ∴m的值为18． 【解析】【分析】（1）设乙两工程队每小时铺设路面x米，则甲工程队每小时铺设路面米，根据题意列出一元一次方程，解方程即可求解； （2）根据题意得， ，解一元二次方程，即可求解． 22．甲、乙两工程队共同承建某高速路隧道工程，隧道总长2000米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米.因地质情况不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样.甲每合格完成1米，隧道施工成本为6万元；乙每合格完成1米，隧道施工成本为8万元. （1）若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的 ，求甲最多施工多少米？ （2）实际施工开始后因地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化.甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖 m米，乙因特殊地质，在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖 m米，若最终每天实际总成本比计划多（11m-8）万元，求m的值. 【答案】（1）解：设甲工程队施工x米，则乙工程队施工（2000-x）米， 依题意，得：8（2000-x）≥ ×6x， 解得：x≤1000. 答：甲最多施工1000米. （2）解：依题意，得：（6+m）（6+ m）+8（6- m）=6×（6+8）+11m-8， 整理，得：m2-8m+16=0， 解得：m1=m2=4. 答：m的值为4. 【解析】【分析】（1）设甲工程队施工x米，得出乙工程队施工（2000-x）米，根据题意列出不等式，解不等式求出x取值范围，即可得出答案； （2）根据题意列出方程，解方程求出m的值，即可得出答案. 23．随着铁路运量的不断增长，重庆火车北站越来越拥挤，为了满足铁路交通的快速发展，该火车站从去年开始启动了扩建工程，其中某项工程，甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多5个月，并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍。 （1）求甲、乙队单独完成这项工程各需几个月？ （2）若甲队每月的施工费为100万元，乙队每月的施工费比甲队多50万元，在保证工程质量的前提下，为了缩短工期，拟安排甲、乙两队分工合作完成这项工程。在完成这项工程中，甲队施工时间是乙队施工时间的2倍，那么，甲队最多施工几个月才能使工程款不超过1500万元？（甲、乙两队的施工时间按月取整数） 【答案】（1）解：设乙队单独完成这项工程需x个月，则甲队单独完成这项工程需x+5个月， 根据题意，得 ，即 ， 解得 （不合题意，舍去）。 ∴ 。 答：甲队单独完成这项工程需15个月，乙队单独完成这项工程需10个月。 （2）解：设甲队的施工时间为y个月，则乙队的施工时间为 个月， 根据题意，得 ， 解得 。 答：甲队最多施工12个月才能使工程款不超过1500万元。 【解析】【分析】根据题意找出相等的关系量，由甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多5个月，得到甲队、乙队的关系量，再由两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍，列出方程，求出甲、乙队单独完成这项工程的月数；根据题意和甲队施工时间是乙队施工时间的2倍，再由工程款不超过1500万元，列出不等式，求出甲队最多施的月数. 考点六：其他问题 24．某旅游园区对团队入园购票规定：如团队人数不超过 人，那么这个团队需交200元入园费；若团队人数超过 人，则这个团队除了需交200元入园费外，超过部分游客还要按每人 元交入园费，下表是两个旅游团队人数和入园缴费情况： 旅游团队名称 团队人数（人） 入园费用（元） 旅游团队1 80 350 旅游团队2 45 200 根据上表的数据，求某旅游园区对团队入园购票规定的 人是多少？ 【答案】解：由题意可得： ， 解得 ， ， 由旅游团队2的数据可知a≥45， ∴a=50， 答：某旅游园区对团队入园购票规定的a人是50人． 【解析】【分析】根据题意列方程即可得到结论。 25．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件； （1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？ （2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？ 【答案】（1）解：设每件衬衫应降价x元， 根据题意得（40﹣x）（20+2x）=1200， 整理得2x2﹣60x+400=0 解得x1=20，x2=10． 因为要尽量减少库存，在获利相同的条件下，降价越多，销售越快， 故每件衬衫应降20元． 答：每件衬衫应降价20元 （2）解：设商场平均每天赢利y元，则 y=（20+2x）（40﹣x） =﹣2x2+60x+800 =﹣2（x2﹣30x﹣400）=﹣2[（x﹣15）2﹣625] =﹣2（x﹣15）2+1250． ∴当x=15时，y取最大值，最大值为1250． 答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天赢利最多，最大利润为1250元 【解析】【分析】此题属于经营问题，若设每件衬衫应降价x元，则每件所得利润为（40﹣x）元，但每天多售出2x件即售出件数为（20+2x）件，因此每天赢利为（40﹣x）（20+2x）元，进而可根据题意列出方程求解． 26．为了缓解我市新型冠状肺炎护目镜需求，两江新区某护目镜生产厂家自正月初三起便要求全体员工提前返岗.在接到单位的返岗任务后，员工们都毫无怨言，快速回到了自己的工作岗位，用努力工作的行动践行着自己的社会责任感与社会担当.已知该厂拥有两条不同的护目镜加工生产线 .原计划 生产线每小时生产护目镜400个， 生产线每小时生产护目镜500个. （1）若生产线 共工作12小时，且生产护目镜总数量不少于5500个，则 生产线至少生产护目镜多少小时？ （2）原计划 生产线每天均工作8小时，但现在为了尽快满足我市护目镜的需求，两条生产线每天均比原计划多工作了相同的小时数，但因为机器损耗及人员不足原因， 生产线每增加1小时，该生产线实际工作时每小时的产量均减少10个， 生产线每增加1小时，该生产线每小时的产量均减少15个，这样一天生产的护目镜将比原计划多3300个，求该厂实际每天生产护目镜的时间. 【答案】（1）解：设 生产线生产护目镜 小时，则 生产线生产护目镜 小时， 由题可得： ， 解得： ， 答： 生产线至少生产护目镜7小时； （2）解：设该厂实际每天生产护目镜 小时， 由题可得： ， 整理可得： ， 解得： （舍去）， ， 答：该厂实际每天生产护目镜14小时 【解析】【分析】（1）设 生产线生产护目镜 小时，则 生产线生产护目镜 小时，根据总数量不少于5500个列出不等式求解即可； （2）设该厂实际每天生产护目镜 小时，根据一天生产的护目镜将比原计划多3300个为等量关系列出一元二次方程，求解即可. 27．满洲里市某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望．为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售． （1）求平均每次下调的百分率； （2）某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子．开发商还给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，送两年物业管理费，物业管理费是每平方米每月1.5元，请问哪种方案更优惠？ 【答案】（1）解：设平均每次降价的百分率是x，根据题意列方程得， 5000（1﹣x）2=4050， 解得：x1=10%，x2=1.9（不合题意，舍去）； 答：平均每次降价的百分率为10% （2）解：方案一的房款是：4050×100×0.98=396900（元）； 方案二的房款是：4050×100﹣1.5×100×12×2=401400（元） ∵396900元＜401400元 ∴方案一更优惠. 【解析】【分析】根据题意找出相等的关系量，因为每次下调的百分率相同，从而列出方程，5000（1﹣x）2=4050；（2）方案一的房款是打9.8折销售即4050×100×0.98；方案二的房款是不打折，送两年物业管理费，物业管理费是每平方米每月1.5元即赠送1.5×100×12×2（元），进行比较可得方案一更优惠. 28．为倡导积极健康的生活方式、丰富居民生活，区推出系列文化活动，其中的乒乓球比赛采用单循环赛制（即每两名参赛者之间都要进行一场比赛）经统计，此次乒乓球比赛男子组共要进行28场单打. （1）参加此次乒乓球男子单打比赛的选手有多少名？ （2）在系列文化活动中，社区与某旅行社合作组织“丰收节”采摘活动收费标准是：如果人数不超过20人，每人收费200元；如果超过20人，每增加1人，每人费用都减少5元经统计，社区共支付“采摘活动”费用4500元求参加此次“丰收节”采摘的人数. 【答案】（1）解：设参加此次乒乓球男子单打比赛的选手有x名， 根据题意，得： . 解得： ， （错误，舍去）； ∴参加此次乒乓球男子单打比赛的选手有8名. （2）解：设参加此次“丰收节”采摘的人数为y人， ∵ ， ∴ ； 根据题意，得 . 解得： . ∴参加此次“丰收节”采摘的人数为30人. 【解析】【分析】（1）设参加此次乒乓球男子单打比赛的选手有x名根据题意，找等量关系列出方程，解方程即可得到答案；（2）设参加此次“丰收节”采摘的人数为y人，根据题意，先确定y>20，然后列出方程，解方程求出y的值即可 学科网（北京）股份有限公司 $$