2024年人教版数学九年级上册暑假自学课专题训练专题四 一元二次方程的应用二

人教版数学九年级上暑假自学课专题训练 专题四 一元二次方程的应用二 一、专题导航 知识点1 工程问题 工作总量=工作效率x工作时间 名师点拨 工程问题中常常把全部工作量看作“1” 1.工作效率x 工作时间= 工作总量 2.甲、乙合作的总工作量= 甲的工作量+乙的工作量 典例剖析 例1-1．城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路，是国家高速银百高速公路（银川至百色）的一段，线路全长公里，甲、乙两工程队共同承建该高速公路某隧道工程，隧道总长2100米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质结构不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米隧道施工成本为8万元；乙每合格完成1米隧道施工成本为9万元． (1)若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米？ (2)实际施工开始后地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖米，乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米，若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 例1-2．问题：“某工程队准备修建一条长3000米的下水管道，由于采用新的施工方式，________________，提前2天完成任务，求原计划每天修建下水管道的长度？” 条件：（1）实际每天修建的长度比原计划多； （2）原计划每天修建的长度比实际少75米． 在上述的2个条件中选择1个________________（仅填序号）补充在问题的横线上，并完成解答． 针对训练1 1．甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，计划每天各施工米．已知甲乙每天施工所需成本共万元．因地质情况不同，甲每合格完成米桥梁施工成本比乙每合格完成米的桥梁施工成本多万元． (1)分别求出甲，乙每合格完成米的桥梁施工成本； (2)实际施工开始后，甲每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖．乙每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖米．若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 2．某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务． (1)求A型设备每小时铺设的路面长度； (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值． 3.某书城新购进一批图书，先清点整理，再对外销售． （1）工人甲花了3个小时清点整理完这批图书的一半，工人乙再加入清点整理另一半图书的工作，两名工人合作1.2小时清点整理完另一半图书，若由工人乙单独清点整理这批图书需要几个小时？ （2）在销售过程中，书城发现，该批图书每套在成本的基础上提高40元销售时，平均每周可以售出20套．为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，发现每套售价每降低1元，平均每周可以多售出2套．并且为了积极响应习总书记提出的“要提倡多读书，建设书香社会，不断提升人民思想境界、增强人民精神力量”的号召，书城决定，每售出该批图书一套，就向当地的读书会捐赠5元用于推广全民阅读，当该批图书每套降价多少元时，书城每周销售该批图书的利润为900元？ 能力提升1 1．甲、乙两工程队合作完成某修路工程，该工程总长为4800米，原计划32小时完成．甲工程队每小时修路里程比乙工程队的2倍多30米，刚好按时完成任务． (1)求甲工程队每小时修的路面长度； (2)通过勘察，地下发现大型溶洞，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米，在实际施工中，乙工程队修路效率保持不变的情况下，时间比原计划增加了()小时；甲工程队的修路速度比原计划每小时下降了米，而修路时间比原计划增加m小时，求m的值． 2．某工程队采用A、B两种设备同时对长度为4800米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则32小时恰好完成改造任务． (1)求A型设备每小时铺设的路面长度； (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了米，而使用时间增加了小时，求的值． 知识点2 行程问题 路程=速度x时间 名师点拨 行程问题是研究物体运动的,它研究的是物体速度、时间、行程三者之间的关系. 基本公式 路程=速度*时间;路程÷时间=速度;路程÷速度=时间 典例剖析 例2-1．甲、乙两个机器人分别从相距70米的A，B两个位置同时出发，相向运动.甲第1分钟走了2米，且以后每分钟比前1分钟多走1米，乙每分钟走5米. （1）甲、乙开始运动多少分钟后第一次相遇？ （2）如果甲、乙到达B或A后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1米，乙继续按照每分钟5米的速度行走，那么它们开始运动多少分钟后第二次相遇？ 例2-2．近年来我国政府十分重视铁路建设，提出“铁路建设助推经济发展”，渝利铁路通车后，从重庆到上海比原铁路全程缩短了320千米，列车设计运行速度比原铁路设计运行速度提高了120千米/时，全程设计运行时间只需8小时，比原铁路设计运行时间少用16小时. （1）渝利铁路通车后，重庆到上海的列车设计运行里程是多少千米？ （2）专家建议：从安全的角度考虑，实际运行速度减少m%，以便于有充分时间应对突发事件.这样，从重庆到上海的实际运行时间将增加，求m的值. 针对训练2 1．《九章算术》中有这样一题：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三.乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会.问甲、乙各行几何？”大意是说：甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇.问甲、乙各走了多少步？请问乙走的步数是( ) A.36 B.26 C.24.5 D.10.5 2．甲、乙两人同驾一辆车出游，各匀速驾驶一半路程，共用3小时，到达目的地后，甲对乙说：“我用你所花的时间，可以行驶”乙对甲说：“我用你所花的时间，只能行驶”.从他们的交谈中可以判断，乙驾车的时长为( ) A.1.2小时 B.1.6小时 C.1.8小时 D.2小时 能力提升2 1.为切实推进广大青少年学生走向操场、走进大自然、走到阳光下，积极参加体育锻炼，阳光体育长跑是如今学校以及当代年轻人选择最多的运动．学生坚持长跑，不仅能够帮助身体健康，还能够收获身心的愉悦．周末，小明和小齐相约一起去天府绿道跑步．若两人同时从地出发，匀速跑向距离处的地，小明的跑步速度是小齐跑步速度的1.2倍，那么小明比小齐早5分钟到达地． 根据以上信息，解答下列问题： (1)小明每分钟跑多少米？ (2)若从地到达地后，小明以跑步形式继续前进到地（整个过程不休息）．据了解，从他跑步开始，前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小明共消耗2300卡路里的热量，小明从地到地锻炼共用多少分钟． 2.从甲站到乙站有150千米，一列快车和一列慢车同时从甲站匀速开出，1小时后快车在慢车前12千米，快车到达乙站比慢车早25分钟，快车和慢车每小时各行驶多少千米？ 知识点3 图表信息问题 从图形图表上挖掘信息，寻找等量关系. 名师点拨 与几何图形有关的面积问题，主要将数量关系隐藏在图形中，用图形表示出来，主要涉及图形的周长与面积问题；要想解决一元二次方程应用题，关键能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型；并能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理。 典例剖析3 例3-1．春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如下收费标准： 某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元．请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？ 例3-2．新房装修后，某居民购买家用品的清单如下表，因污水导致部分信息无法识别，根据下表解决问题： 家居用品名称 单价（元） 数量（个） 金额（元） 垃圾桶 15 鞋架 40 字画 a 2 90 合计 5 185 （1）居民购买垃圾桶，鞋架各几个？ （2）若居民再次购买字画和垃圾桶两种家居用品共花费150元，则有哪几种不同的购买方案？ 针对训练3 1．奏响复工复产“协奏曲”，防疫复产两不误．2020年2月5日，四川省出台《关于应对新型冠状病毒肺炎疫情缓解中小企业生产经营困难的政策措施》，推出减负降成本、破解融资难、财政补贴和税收减免、稳岗支持等13条举措，携手中小企业共渡难关．某企业积极复工复产，生产某种产品成本为9元/件，经过市场调查获悉，日销售量y（件）与销售价格x（元/件）的函数关系如图所示： （1）求出y与x之间的函数表达式； （2）当销售价格为多少元时，该企业日销售额为6000元？ （3）若该企业每销售1件产品可以获得2元财政补贴，则当销售价格x为何值时，该企业可以获最大日利润，最大日利润值为多少？ 2．如图是2022年5月份的日历，在日历表上可以用一个方框围出的四个数． （1）若圈出的四个数中，最小的数为n,则最大的数为 _____（用含n的代数式表示）； （2）若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为153，求这个最小数． 3．小黄做小商品的批发生意，其中某款“中国结”每件的成本为15元，该款“中国结”的批发单价y（元）与一次性批发量x（x为正整数）（件）之间满足如图所示的函数关系． （1）当时，求y与x的函数关系式． （2）某零售商在小黄处一次性批发该款“中国结”，共支付7280元，求此次批发量． （3）某零售商在小黄处一次性批发该款“中国结”x（）件，小黄获得的利润为w元，当x为何值时，小黄获得的利润最大？最大利润是多少元？ 能力提升3 1.根据以下销售情况，解决销售任务． 销售情况分析 总公司将一批衬衫由甲、乙两家分店共同销售，因地段不同，它们的销售情况如下： 店面 甲店 乙店 日销售情况 每天可售出20件，每件盈利40元． 每天可售出32件，每件盈利30元． 市场调查 经调查发现，每件衬衫每降价1元，甲、乙两家店一天都可多售出2件． 情况设置 设甲店每件衬衫降价a元，乙店每件衬衫降价b元． 任务解决 任务1 甲店每天的销售量 　（20+2a）件　（用含a的代数式表示）． 乙店每天的销售量 　（32+2b）件　（用含b的代数式表示）． 任务2 当a＝5，b＝4时，分别求出甲、乙店每天的盈利． 任务3 总公司规定两家分店下降的价格必须相同，请求出每件衬衫下降多少元时，两家分店一天的盈利和为2244元． 2.如图，阅读探索：任意给定一个矩形A，是否存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？假设存在，那么这个矩形叫作给定矩形的“减半”矩形．如图矩形A1B1C1D1就是矩形ABCD的“减半”矩形． （1）当已知矩形A的两边长分别为6和1时，小亮同学是这样研究的：设所求矩形B的两边长分别是x和y，由题意，得，消去y可得2x2﹣7x+6＝0，∵b2﹣4ac＝49﹣48＞0， ∴x1＝　　，x2＝　2　； ∴满足要求的矩形B存在；（完成填空） 请你继续解决下列问题： （2）当矩形的长和宽分别为7和1时，它是否存在“减半”矩形？请作出判断，并说明理由； （3）边长为a的正方形存在“减半”正方形吗？如果存在，求出“减半”正方形的边长；如果不存在，说明理由． 知识点4 动态几何问题 从动点运动的路径表示数量关系，从而寻找等量关系，注意运动状态改变时分类讨论。 名师点拨 动态几何找等量关系的基本思路: 1、 若动态图形比较特殊, 思考用基本几何图形的面积公式找等量关系列方程或函数关系式; 2、 如动态图形不特殊, 则思考用组合图形的面积和差找等量关系列方程或函数关系式。 典例剖析 例4-1．如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm,AD=8cm,动点P，Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/S的速度向B移动，一直到达B为止；点Q以2cm/s的速度向D移动．当P、Q两点从出发开始到_____秒时，点P和点Q的距离是10cm. 例4-2．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=8cm,BC=4cm,动点P从点C开始沿边CB向点B以1cm/s的速度移动，动点Q从点A开始沿边AC向点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q两点分别从C、A两点同时出发，移动时间为t（单位：s）． （1）若△PCQ的面积是△ABC面积的，求t的值； （2）问：△PCQ的面积能否为△ABC面积的一半？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由． 针对训练4 1．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b（a＜b），AB＝5，a，b是方程x2﹣（m﹣1）x+（m+4）＝0的两根 （1）求a，b； （2）P，Q两点分别从A，C出发，分别以每秒2个单位，1个单位的速度沿边AC，BC向终点C，B运动，（有一个点达到终点则停止运动），求经过多长时间后PQ＝2？ 2．如图，在△ABC中，AB=m,BC=40m,∠C=90°，点P从点A开始沿边AC边向点C以2m/s的速度匀速移动，同时另一点Q由C点开始以3m/s的速度沿着边CB匀速移动，几秒时，△PCQ的面积等于432m2？ 3．如图，在Rt△ABC中，AC=8cm,BC=6cm,P点在BC上，从B点到C点运动（不包括C点），点P运动的速度为1cm/s；Q点在AC上从C点运动到A点（不包括A点），速度为2cm/s,若点P、Q分别从B、C同时运动，且运动时间记为t秒，请解答下面的问题，并写出探索的主要过程． （1）当t为何值时，P、Q两点的距离为4cm？ （2）请用配方法说明，点P运动多少时间时，四边形BPQA的面积最小？最小面积是多少？ 能力提升4 1．已知：如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm,BC=7cm.点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．当一个点到达终点时另一点也随之停止运动，设运动时间为x秒， （1）求几秒后，△PBQ的面积等于6cm2？ （2）求几秒后，PQ的长度等于5cm？ （3）运动过程中，△PQB的面积能否等于8cm2？说明理由． 2．如图所示，已知在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm,BC=12cm,点Q从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点P从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动． （1）如果Q、P分别从A、B两点同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于8cm2？ （2）在（1）中，△PBQ的面积能否等于10cm2？试说明理由． 3.如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，P、Q、M、N分别从A、B、C、D出发，沿AD、BC、CB、DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止、已知在相同时间内，若BQ＝xcm（x≠0），则AP＝2xcm，CM＝3xcm，DN＝x2cm． （1）当x为何值时，点P、N重合； （2）当x为何值时，以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形． 知识点5 其他问题 典例剖析5 例5-1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以点B为圆心，BC的长为半径画弧，交线段AB于点D，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC于点E，连结CD．设BC＝a，AC＝b； （1）线段AD的长度是方程x2+2ax﹣b2＝0的一个根吗？说明理由． （2）若点E是线段AC的中点，求的值． 例5-2．如图，在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为2m,设雕像下部高x m,则可列方程为（　　） A. x2=2x（2-x） B. 2x=x（2-x） C. x2=2（2-x） D. x2=2（2+x） 针对训练5 1．欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax=b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB=90°，BC=，AC=b,再在斜边AB上截取BD=．则该方程的一个正根是（　　） A. AC的长 B. AD的长 C. BC的长 D. CD的长 2．如图，若被击打的小球飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有的关系为h=20t-5t2，则小球从飞出到落地所用的时间为_____s. 能力提升5 1. 如何利用闲置纸板箱制作储物盒 素材1 如图1，图中是小琴家需要设置储物盒的区域，该区域可以近似看成一个长方体，底面尺寸如图2所示． 素材2 如图是利用闲置纸板箱拆解出的①，②两种均为acm（a＜50cm）长方形纸板． 长方形纸板① 长方形纸板② 小琴分别将长方形纸板①和②以不同的方式制作储物盒． 长方形纸板①的制作方式 长方形纸板②制作方式 裁去角上4个相同的小正方形，折成一个无盖长方体储物盒． 将纸片四个角裁去4个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体储物盒． 目标1 熟悉材料 熟悉按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒能够无缝障的放入储物区域，且恰好没有延伸到过道，则长方形纸板宽a的为 　40　． 目标2 利用目标1计算所得的数据a，进行进一步探究． 初步应用 按照长方形纸板①的制作方式，为了更方便地放入或取出储物盒，盒子四周需要留出一定的空间，当储物盒的底面积是936cm2，求储物盒的容积． 储物收纳 按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，若EF和HG两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为702cm2．如图，是家里一个玩具机械狗的实物图和尺寸大小，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该储物盒． 2.某商店购入A，B两款商品，进货价和销售价如表（利润＝销售价﹣进货价）： A款 B款 进货价（元/件） 40 28 销售价（元/件） 55 40 （1）商店购进A，B两款共80件，其中A款购进x件，则商店A，B两款全部售出后可获得的总利润为 　（3x+960）元　（用含x的代数式表示）； （2）商店打算把B款进行调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售出4件，经调查发现，销售价每降价1元，平均每天可多售出2件，问：将销售价格定为每件多少元时，才能使B款平均每天的销售利润为96元？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 人教版数学九年级上暑假自学课专题训练 专题四 一元二次方程的应用二（解析版） 一、专题导航 知识点1 工程问题 工作总量=工作效率x工作时间 名师点拨 工程问题中常常把全部工作量看作“1” 1.工作效率x 工作时间= 工作总量 2.甲、乙合作的总工作量= 甲的工作量+乙的工作量 典例剖析 例1-1．城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路，是国家高速银百高速公路（银川至百色）的一段，线路全长公里，甲、乙两工程队共同承建该高速公路某隧道工程，隧道总长2100米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质结构不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米隧道施工成本为8万元；乙每合格完成1米隧道施工成本为9万元． (1)若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米？ (2)实际施工开始后地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖米，乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米，若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 【答案】(1)甲最多施工900米 (2)的值为2 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用等知识点，审清题意、弄清量之间的关系、正确列出不等式和方程是解题的关键． （1）设甲工程队施工x米，则乙工程队施工米，根据不等关系“工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的”列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可解答； （2）根据“最终每天实际总成本比计划多万元”即可得出关于的一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：设甲施工米， 由题意可得：， 解得：． 答：甲最多施工900米． （2）解：由题意可得：， 整理得， 解得． 答：的值为2． 例1-2．问题：“某工程队准备修建一条长3000米的下水管道，由于采用新的施工方式，________________，提前2天完成任务，求原计划每天修建下水管道的长度？” 条件：（1）实际每天修建的长度比原计划多； （2）原计划每天修建的长度比实际少75米． 在上述的2个条件中选择1个________________（仅填序号）补充在问题的横线上，并完成解答． 【答案】选（1）或（2）；选（1）原计划每天修建下水管道的长度为米；选（2）原计划每天修建下水管道的长度为米 【分析】选择（1）时，设原计划每天修建米，则实际每天修建米，根据提前2天完成这一任务，即可得出关于的分式方程，解之经检验即可得出结论； 选择（2）时，设原计划每天修建盲道米，则实际每天修建米，根据提前2天完成这一任务，即可得出关于y的分式方程，解之经检验即可得出结论； 【详解】选（1）或（2） （1）解：设原计划每天修建下水管道的长度为米 经检验：是所列方程的解 答：原计划每天修建下水管道的长度为米． （2）解：设原计划每天修建下水管道的长度为米 （舍） 经检验：是所列方程的解． 答：原计划每天修建下水管道的长度为米． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 针对训练1 1．甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，计划每天各施工米．已知甲乙每天施工所需成本共万元．因地质情况不同，甲每合格完成米桥梁施工成本比乙每合格完成米的桥梁施工成本多万元． (1)分别求出甲，乙每合格完成米的桥梁施工成本； (2)实际施工开始后，甲每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖．乙每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖米．若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 【答案】(1)甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元 (2)的值为 【分析】（1）设乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元，则甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，根据题意列方程即可求解； （2）根据题意分别表示出甲、乙每天的实际工作量，实际成本，根据数量关系列方程即可求解． 【详解】（1）解：设乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元，则甲每合格完成米桥梁施工成本为万元， ∴，解得，， ∴甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元． （2）解：由（1）可知，甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元， ∴实际施工开始后，甲每合格完成米隧道施工成本增加万元，则甲每合格完成米实际成本为万元，且每天多挖，则甲每天实际完成量为米，乙每合格完成米隧道施工成本增加万元，则乙每合格完成米实际成本为万元，且每天多挖米，则乙每天实际完成量为米，终每天实际总成本比计划多万元，则最中每天的实际总成本为万元， ∴，整理得，，解得，，（不符合题意，舍去）， ∴的值为． 【点睛】本题主要考查方程与实际问题的综合，理解题目中的数量关系，掌握列方程的方法，解一元一次方程，一元二次方程的方法是解题的关键． 2．某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务． (1)求A型设备每小时铺设的路面长度； (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值． 【答案】(1)型设备每小时铺设的路面长度为90米 (2)的值为10 【分析】（1）设型设备每小时铺设路面米，则型设备每小时铺设路面米，根据题意列出方程求解即可； （2）根据“型设备铺设的路面长度型设备铺设的路面长度”列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设型设备每小时铺设路面米，则型设备每小时铺设路面米， 根据题意得， ， 解得：， 则， 答：型设备每小时铺设的路面长度为90米； （2）根据题意得， ， 整理得，， 解得：，（舍去）， ∴的值为10． 【点睛】本题主要考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，找准等量关系并列出方程． 3.某书城新购进一批图书，先清点整理，再对外销售． （1）工人甲花了3个小时清点整理完这批图书的一半，工人乙再加入清点整理另一半图书的工作，两名工人合作1.2小时清点整理完另一半图书，若由工人乙单独清点整理这批图书需要几个小时？ （2）在销售过程中，书城发现，该批图书每套在成本的基础上提高40元销售时，平均每周可以售出20套．为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，发现每套售价每降低1元，平均每周可以多售出2套．并且为了积极响应习总书记提出的“要提倡多读书，建设书香社会，不断提升人民思想境界、增强人民精神力量”的号召，书城决定，每售出该批图书一套，就向当地的读书会捐赠5元用于推广全民阅读，当该批图书每套降价多少元时，书城每周销售该批图书的利润为900元？ 【分析】（1）先设工人乙单独清点整理这批图书需要x小时，根据工人甲花了3个小时清点整理完这批图书的一半，两名工人合作1.2小时清点整理完另一半图书，列方程，求出x的值．再进行检验，即可得出答案； （2）设每套应降价m元，则根据题意列出方程（40﹣m）（20+2m）﹣5（20+2m）＝900，解方程即可得出答案． 【解答】解：（1）设工人乙单独清点整理这批图书需要x小时， 根据题意得：， 解得：x＝4， 经检验：x＝4是原方程的根， ∴工人乙单独清点整理这批图书需要4小时． （2）设每套应降价m元，则（40﹣m）（20+2m）﹣5（20+2m）＝900， 解得：m1＝5，m2＝20（舍）， ∴该批图书每套降价5元时，书城每周销售该批图书的利润为900元． 【点评】本题主要考查分式方程和一元二次方程的实际应用，理清题意，找到题目中的等量关系式是解题的关键． 能力提升1 1．甲、乙两工程队合作完成某修路工程，该工程总长为4800米，原计划32小时完成．甲工程队每小时修路里程比乙工程队的2倍多30米，刚好按时完成任务． (1)求甲工程队每小时修的路面长度； (2)通过勘察，地下发现大型溶洞，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米，在实际施工中，乙工程队修路效率保持不变的情况下，时间比原计划增加了()小时；甲工程队的修路速度比原计划每小时下降了米，而修路时间比原计划增加m小时，求m的值． 【答案】(1)甲工程队每小时铺设的路面长度为110米 (2)m的值为18 【分析】（1）设乙两工程队每小时铺设路面x米，则甲工程队每小时铺设路面米，根据题意列出方程求解即可； （2）根据“甲工程队铺设的路面长度+乙两工程队铺设的路面长度=5800”列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设乙两工程队每小时铺设路面x米，则甲工程队每小时铺设路面米， 根据题意得，， 解得：， 则， ∴甲工程队每小时铺设的路面长度为110米； （2）解：根据题意得， ， 整理得，， 解得：（舍去）， ∴m的值为18． 【点睛】本题主要考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，找准等量关系并列出方程． 2．某工程队采用A、B两种设备同时对长度为4800米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则32小时恰好完成改造任务． (1)求A型设备每小时铺设的路面长度； (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了米，而使用时间增加了小时，求的值． 【答案】(1)A型设备每小时铺设的路面110米 (2)18 【分析】（1）设B型设备每小时铺设的路面x米，可得：，解方程即可解得答案； （2）根据A型设备铺的路+B型设备铺的路=5800列方程，解方程即可得答案． 【详解】（1）设B型设备每小时铺设的路面x米，则A型设备每小时铺设路面米，由题意得 ， 解得， 米， 所以A型设备每小时铺设的路面110米； （2）根据题意得：， 解得，（舍去）， 答：m的值是18． 【点睛】本题考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程． 知识点2 行程问题 路程=速度x时间 名师点拨 行程问题是研究物体运动的,它研究的是物体速度、时间、行程三者之间的关系. 基本公式 路程=速度*时间;路程÷时间=速度;路程÷速度=时间 典例剖析 例2-1．甲、乙两个机器人分别从相距70米的A，B两个位置同时出发，相向运动.甲第1分钟走了2米，且以后每分钟比前1分钟多走1米，乙每分钟走5米. （1）甲、乙开始运动多少分钟后第一次相遇？ （2）如果甲、乙到达B或A后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1米，乙继续按照每分钟5米的速度行走，那么它们开始运动多少分钟后第二次相遇？ 答案：（1）甲、乙开始运动7分钟后第一次相遇 （2）它们开始运动15分钟后第二次相遇 解析：（1）设甲、乙开始运动m分钟后第一次相遇. 依题意，得， 整理，得， 解得，（不合题意，舍去）. 答：甲、乙开始运动7分钟后第一次相遇. （2）设它们开始运动n分钟后第二次相遇. 依题意，得， 整理，得， 解得，（不合题意，舍去）. 答：它们开始运动15分钟后第二次相遇. 例2-2．近年来我国政府十分重视铁路建设，提出“铁路建设助推经济发展”，渝利铁路通车后，从重庆到上海比原铁路全程缩短了320千米，列车设计运行速度比原铁路设计运行速度提高了120千米/时，全程设计运行时间只需8小时，比原铁路设计运行时间少用16小时. （1）渝利铁路通车后，重庆到上海的列车设计运行里程是多少千米？ （2）专家建议：从安全的角度考虑，实际运行速度减少m%，以便于有充分时间应对突发事件.这样，从重庆到上海的实际运行时间将增加，求m的值. 答案：解：（1）设原铁路设计运行速度为x千米/时，渝利铁路通车后从重庆到上海的运行里程为y千米， 则有，解得. 答：渝利铁路通车后，重庆到上海的列车设计运行里程是1600千米. （2）由题意可得， 解得，（不合题意，舍去）. 答：m的值为10. 解析： 针对训练2 1．《九章算术》中有这样一题：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三.乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会.问甲、乙各行几何？”大意是说：甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇.问甲、乙各走了多少步？请问乙走的步数是( ) A.36 B.26 C.24.5 D.10.5 答案：D 解析：设甲、乙两人从出发到相遇所用的时间为t，则乙走了步，甲斜向北偏东方向走了步. 依题意，得， 整理，得， 解得，（不合题意，舍去）， . 故乙走的步数是10.5. 2．甲、乙两人同驾一辆车出游，各匀速驾驶一半路程，共用3小时，到达目的地后，甲对乙说：“我用你所花的时间，可以行驶”乙对甲说：“我用你所花的时间，只能行驶”.从他们的交谈中可以判断，乙驾车的时长为( ) A.1.2小时 B.1.6小时 C.1.8小时 D.2小时 答案：C 解析：设乙驾车的时长为x小时,则甲驾车的时长为小时， 由题知甲的速度为，乙的速度为， 可得方程 解得，(不合题意,舍去)， 经检验，是原方程的解， 故选：C. 能力提升2 1.为切实推进广大青少年学生走向操场、走进大自然、走到阳光下，积极参加体育锻炼，阳光体育长跑是如今学校以及当代年轻人选择最多的运动．学生坚持长跑，不仅能够帮助身体健康，还能够收获身心的愉悦．周末，小明和小齐相约一起去天府绿道跑步．若两人同时从地出发，匀速跑向距离处的地，小明的跑步速度是小齐跑步速度的1.2倍，那么小明比小齐早5分钟到达地． 根据以上信息，解答下列问题： (1)小明每分钟跑多少米？ (2)若从地到达地后，小明以跑步形式继续前进到地（整个过程不休息）．据了解，从他跑步开始，前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小明共消耗2300卡路里的热量，小明从地到地锻炼共用多少分钟． 【答案】(1)480米(2)70分钟 【分析】（1）设小齐每分钟跑米，则小明每分钟跑米，根据题意建立分式方程，解方程即可得； （2）设小明从地到地锻炼共用分钟，再根据热量的消耗规律建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：设小齐每分钟跑米，则小明每分钟跑米， 由题意得：， 解得：， 经检验，既是所列分式方程的解也符合题意， 则， 答：小明每分钟跑480米． （2）解：设小明从地到地锻炼共用分钟， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：小明从地到地锻炼共用70分钟． 【点睛】本题考查了分式方程和一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． 2.从甲站到乙站有150千米，一列快车和一列慢车同时从甲站匀速开出，1小时后快车在慢车前12千米，快车到达乙站比慢车早25分钟，快车和慢车每小时各行驶多少千米？ 【答案】 快车每小时行驶72千米，慢车每小时行驶60千米 【分析】首先设慢车每小时走x千米，则快车每小时走（x+12）千米，再根据题意可得等量关系：慢车行驶150千米的时间-快车行驶150千米的时间=25分钟，根据等量关系列出方程即可． 【详解】设慢车每小时行驶x千米，则快车每小时行驶(x＋12)千米， 依题意得－＝. 解得x1＝－72，x2＝60. 经检验，x1＝－72，x2＝60都是原方程的解． 但x1＝－72不合题意，应舍去． 故x＝60. 所以x＋12＝72. 答：快车每小时行驶72千米，慢车每小时行驶60千米． 【点睛】此题主要考查了分式方程的应用，正确理解题意，找出题目中的等量关系，根据时间差列出方程是解题关键. 知识点3 图表信息问题 从图形图表上挖掘信息，寻找等量关系. 名师点拨 与几何图形有关的面积问题，主要将数量关系隐藏在图形中，用图形表示出来，主要涉及图形的周长与面积问题；要想解决一元二次方程应用题，关键能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型；并能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理。 典例剖析3 例3-1．春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如下收费标准： 某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元．请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？ 【解析】首先根据共支付给春秋旅行社旅游费用27 000元，确定旅游的人数的范围，然后根据每人的旅游费用×人数=总费用，设该单位这次共有x名员工去天水湾风景区旅游．即可由对话框，超过25人的人数为（x-25）人，每人降低20元，共降低了20（x-25）元．实际每人收了[1000-20（x-25）]元，列出方程求解． 解：设该单位这次共有x名员工去天水湾风景区旅游． 因为1000×25=25000＜27000，所以员工人数一定超过25人． 可得方程[1000-20（x-25）]x=27000． 整理得x2-75x+1350=0， 解得x1=45，x2=30． 当x1=45时，1000-20（x-25）=600＜700，故舍去x1； 当x2=30时，1000-20（x-25）=900＞700，符合题意． 答：该单位这次共有30名员工去天水湾风景区旅游． 例3-2．新房装修后，某居民购买家用品的清单如下表，因污水导致部分信息无法识别，根据下表解决问题： 家居用品名称 单价（元） 数量（个） 金额（元） 垃圾桶 15 鞋架 40 字画 a 2 90 合计 5 185 （1）居民购买垃圾桶，鞋架各几个？ （2）若居民再次购买字画和垃圾桶两种家居用品共花费150元，则有哪几种不同的购买方案？ 【解析】（1）设居民购买垃圾桶x个，鞋架y个，根据表格中的数据列出方程组，求出方程组的解即可； （2）购买字画a个，购买垃圾桶b个，根据题意列出方程15b+45a=150，求出正整数解即可． 解：（1）设居民购买垃圾桶x个，鞋架y个， 则， 解得：x=1，y=2， 答：居民购买垃圾桶1个，鞋架2个； （2）设购买字画a个，购买垃圾桶b个， 字画单价为90÷2=45， 则15b+45a=150， b=10-3a, 当a=1时，b=7， 当a=2时，b=4， 当a=3时，b=1， 即有三种不同的购买方案： 第一种方案是：购买字画1个，购买垃圾桶7个； 第二种方案是：购买字画2个，购买垃圾桶4个； 第三种方案是：购买字画3个，购买垃圾桶1个． 针对训练3 1．奏响复工复产“协奏曲”，防疫复产两不误．2020年2月5日，四川省出台《关于应对新型冠状病毒肺炎疫情缓解中小企业生产经营困难的政策措施》，推出减负降成本、破解融资难、财政补贴和税收减免、稳岗支持等13条举措，携手中小企业共渡难关．某企业积极复工复产，生产某种产品成本为9元/件，经过市场调查获悉，日销售量y（件）与销售价格x（元/件）的函数关系如图所示： （1）求出y与x之间的函数表达式； （2）当销售价格为多少元时，该企业日销售额为6000元？ （3）若该企业每销售1件产品可以获得2元财政补贴，则当销售价格x为何值时，该企业可以获最大日利润，最大日利润值为多少？ 【解析】（1）设y=kx+b,将点（10，600），（25，0）代入解析式，通过解方程组得到k与b的值； （2）由题意可知，x（-40x+1000）=6000，解出x即可； （3）设该企业每天获得利润为W元，则W=（-40x+1000）（x-9+2）=-40（x-16）2+3240，由此可知当x=16时，W的值最大． 解：（1）设y=kx+b, ∴， 解得， ∴y=-40x+1000； （2）由题意可知，x（-40x+1000）=6000， 解得x=10或x=15， ∴当销售价格为10元或15元时，该企业日销售额为6000元； （3）设该企业每天获得利润为W元，则 W=（-40x+1000）（x-9+2）=-40（x-16）2+3240， ∴当销售价格为16元/件时，每天的销售利润最大，最大利润为3240元． 2．如图是2022年5月份的日历，在日历表上可以用一个方框围出的四个数． （1）若圈出的四个数中，最小的数为n,则最大的数为 _____（用含n的代数式表示）； （2）若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为153，求这个最小数． 【答案】（n+8） 【解析】（1）根据圈出的各数之间的关系，可得出最大的数为（n+8）； （2）设这个最小数为n,则最大的数为（n+8），根据最小数与最大数的乘积为153，可得出关于n的一元二次方程，解之取其正值，即可得出结论． 解：（1）若圈出的四个数中，最小的数为n,则最大的数为（n+8）． 故答案为：（n+8）； （2）设这个最小数为n,则最大的数为（n+8）， 根据题意得：n（n+8）=153， 整理得：n2+8n-153=0， 解得：n1=9，n2=-17（不符合题意，舍去）． 答：这个最小数为9． 3．小黄做小商品的批发生意，其中某款“中国结”每件的成本为15元，该款“中国结”的批发单价y（元）与一次性批发量x（x为正整数）（件）之间满足如图所示的函数关系． （1）当时，求y与x的函数关系式． （2）某零售商在小黄处一次性批发该款“中国结”，共支付7280元，求此次批发量． （3）某零售商在小黄处一次性批发该款“中国结”x（）件，小黄获得的利润为w元，当x为何值时，小黄获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1），其中 （2）280件 （3）当时，小黄获得的利润最大，最大利润是3125元 【解析】（1）由待定系数法即可求解； （2）首先可判断出购买的数量小于400而大于200，则由数量单价=付款额，列出关于x的一元二次方程即可求解； （3）分及两种情况分别计算所获的最大利润，再比较即可． 【小问1详解】 解：由图知，当时，线段过点及， 设过这两点的线段解析式为：， 则有：， 解得：， 即，其中； 【小问2详解】 解：由图知，当x=200时，所付款为：（元），当x=400时，所付款为：（元），而，则购买数量位于200与400之间； 由题意得：， 即， 解得：，（舍去）， 即此次批发量为280件； 【小问3详解】 解：当时， 即， 当时，w有最大值，且最大值为3125； 当时，批发价固定，批发量越大，则利润越大，则当时，利润最大，且最大利润为：（元） 由于， 所以当时，小黄获得的利润最大，最大利润是3125元． 【点睛】本题是函数与方程的综合，考查了待定系数法求一次函数的解析式，解一元二次方程，二次函数的图象与性质等知识，正确理解题意，准确列出方程或函数关系式是关键，注意数形结合． 能力提升3 1.根据以下销售情况，解决销售任务． 销售情况分析 总公司将一批衬衫由甲、乙两家分店共同销售，因地段不同，它们的销售情况如下： 店面 甲店 乙店 日销售情况 每天可售出20件，每件盈利40元． 每天可售出32件，每件盈利30元． 市场调查 经调查发现，每件衬衫每降价1元，甲、乙两家店一天都可多售出2件． 情况设置 设甲店每件衬衫降价a元，乙店每件衬衫降价b元． 任务解决 任务1 甲店每天的销售量 　（20+2a）件　（用含a的代数式表示）． 乙店每天的销售量 　（32+2b）件　（用含b的代数式表示）． 任务2 当a＝5，b＝4时，分别求出甲、乙店每天的盈利． 任务3 总公司规定两家分店下降的价格必须相同，请求出每件衬衫下降多少元时，两家分店一天的盈利和为2244元． 【分析】任务1，由题意即可得出结论； 任务2：，由盈利＝每件盈利×销售量，分别列式计算即可； 任务3，设每件衬衫下降m元时，两家分店一天的盈利和为2244元，列出一元二次方程，解方程即可． 【解答】解：任务1，甲店每天的销售量为（20+2a）件，乙店每天的销售量为（32+2b）件， 故答案为：（20+2a）件，（32+2b）件； 任务2，当a＝5时，甲店每天的盈利为（40﹣5）×（20+2×5）＝1050（元）； 当b＝4时，乙店每天的盈利为（30﹣4）×（32+2×4）＝1040（元）； 任务3，设每件衬衫下降m元时，两家分店一天的盈利和为2244元， 由题意得：（40﹣m）（20+2m）+（30﹣m）（32+2m）＝2244， 整理得：m2﹣22m+121＝0， 解得：m1＝m2＝11， 即每件衬衫下降11元时，两家分店一天的盈利和为2244元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 2.如图，阅读探索：任意给定一个矩形A，是否存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？假设存在，那么这个矩形叫作给定矩形的“减半”矩形．如图矩形A1B1C1D1就是矩形ABCD的“减半”矩形． （1）当已知矩形A的两边长分别为6和1时，小亮同学是这样研究的：设所求矩形B的两边长分别是x和y，由题意，得，消去y可得2x2﹣7x+6＝0，∵b2﹣4ac＝49﹣48＞0， ∴x1＝　　，x2＝　2　； ∴满足要求的矩形B存在；（完成填空） 请你继续解决下列问题： （2）当矩形的长和宽分别为7和1时，它是否存在“减半”矩形？请作出判断，并说明理由； （3）边长为a的正方形存在“减半”正方形吗？如果存在，求出“减半”正方形的边长；如果不存在，说明理由． 【分析】（1）根据小亮的解法，解方程即可； （2）不妨设“减半”矩形的长和宽分别为x、y，根据如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，可列出方程组求解． （3）正方形和其他的正方形是相似图形，周长比是，面积比就应该是，所以不存在“减半”正方形． 【解答】（1）设所求矩形B的两边长分别是x和y， 由题意，得， 消去y可得2x2﹣7x+6＝0， ∵b2﹣4ac＝49﹣48＞0， ∴x1＝，x2＝2， ∴满足要求的矩形B存在． 故答案为：，2； （2）设所求矩形的两边长分别是x和y， 由题意，得， 消去y得2x2﹣8x+7＝0， ∵b2﹣4ac＝64﹣56＝8， ∴x1＝2+，x2＝2﹣， ∴满足要求的矩形B存在； （3）不存在，理由如下： 因为两个正方形是相似图形，当它们的周长比为时，面积比必定是， 所以正方形不存在“减半”正方形． 【点评】本题考查一元二次方程的应用，反证法和相似图形的性质，关键知道相似图形的面积比，周长比的关系． 知识点4 动态几何问题 从动点运动的路径表示数量关系，从而寻找等量关系，注意运动状态改变时分类讨论。 名师点拨 动态几何找等量关系的基本思路: 1、 若动态图形比较特殊, 思考用基本几何图形的面积公式找等量关系列方程或函数关系式; 2、 如动态图形不特殊, 则思考用组合图形的面积和差找等量关系列方程或函数关系式。 典例剖析 例4-1．如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm,AD=8cm,动点P，Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/S的速度向B移动，一直到达B为止；点Q以2cm/s的速度向D移动．当P、Q两点从出发开始到_____秒时，点P和点Q的距离是10cm. 【答案】2或 【解析】设当P、Q两点从出发开始到x秒时，点P和点Q的距离是10cm,此时AP=3xcm,DQ=（16-2x）cm,利用勾股定理即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论． 解：设当P、Q两点从出发开始到x秒时，点P和点Q的距离是10cm,此时AP=3xcm,DQ=（16-2x）cm, 根据题意得：（16-2x-3x）2+82=102， 解得：x1=2，x2=． 答：当P、Q两点从出发开始到2秒或秒时，点P和点Q的距离是10cm. 故答案为：2或． 例4-2．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=8cm,BC=4cm,动点P从点C开始沿边CB向点B以1cm/s的速度移动，动点Q从点A开始沿边AC向点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q两点分别从C、A两点同时出发，移动时间为t（单位：s）． （1）若△PCQ的面积是△ABC面积的，求t的值； （2）问：△PCQ的面积能否为△ABC面积的一半？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由． 【解析】（1）当运动时间为t s时，CP=t cm,AQ=2t cm,CQ=（8-2t）cm,根据△PCQ的面积是△ABC面积的，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论； （2）△PCQ的面积不能为△ABC面积的一半，根据△PCQ的面积是△ABC面积的，即可得出关于t的一元二次方程，由根的判别式Δ=-16＜0，可得出该方程没有实数根，进而可得出△PCQ的面积不可能是△ABC面积的一半． 解：（1）当运动时间为t s时，CP=t cm,AQ=2t cm,CQ=（8-2t）cm, 根据题意得：CP•CQ=×BC•AC， 即t（8-2t）=××4×8， 整理得：t2-4t+4=0， 解得：t1=t2=2． 答：t的值为2． （2）△PCQ的面积不可能是△ABC面积的一半，理由如下： 根据题意得：CP•CQ=×BC•AC， 即t（8-2t）=××4×8， 整理得：t2-4t+8=0， ∵Δ=（-4）2-4×1×8=-16＜0， ∴该方程没有实数根， ∴△PCQ的面积不可能是△ABC面积的一半． 针对训练4 1．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b（a＜b），AB＝5，a，b是方程x2﹣（m﹣1）x+（m+4）＝0的两根 （1）求a，b； （2）P，Q两点分别从A，C出发，分别以每秒2个单位，1个单位的速度沿边AC，BC向终点C，B运动，（有一个点达到终点则停止运动），求经过多长时间后PQ＝2？ 【分析】（1）利用根与系数的关系，结合勾股定理可先求出m的值，再求得a、b即可； （2）设经过x秒后PQ＝2，求得CP、CQ，利用勾股定理建立方程求得答案即可． 【解答】解：（1）∵a、b是方程的x2﹣（m﹣1）x+（m+4）＝0两个根， ∴a+b＝m﹣1，ab＝m+4． 又∵a2+b2＝c2， ∴（m﹣1）2﹣2（m+4）＝52 ∴m＝8，m＝﹣4（舍去）， ∴原方程为x2﹣7x+12＝0， 解得：a＝3，b＝4． （2）设经过x秒后PQ＝2，则CP＝4﹣2x，CQ＝x，由题意得 （4﹣2x）2+x2＝22 解得：x1＝，x2＝2， 答：设经过秒或2秒后PQ＝2． 【点评】此题考查一元二次方程的实际运用，一元二次方程根与系数的关系，勾股定理的运用，利用根与系数的关系求得直角三角形的边是解决问题的前提。 2．如图，在△ABC中，AB=m,BC=40m,∠C=90°，点P从点A开始沿边AC边向点C以2m/s的速度匀速移动，同时另一点Q由C点开始以3m/s的速度沿着边CB匀速移动，几秒时，△PCQ的面积等于432m2？ 【解析】在△ABC中，利用勾股定理可求出AC的长度，设x秒时，△PCQ的面积等于432m2，根据三角形的面积公式，可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 解：在△ABC中，AB=m,BC=40m,∠C=90°， ∴AC==50m. 设x秒时，△PCQ的面积等于432m2， 依题意，得：×3x×（50-2x）=432， 解得：x1=9，x2=16． ∵3x＜40， ∴x＜13， ∴x=9． 答：9秒时，△PCQ的面积等于432m2． 3．如图，在Rt△ABC中，AC=8cm,BC=6cm,P点在BC上，从B点到C点运动（不包括C点），点P运动的速度为1cm/s；Q点在AC上从C点运动到A点（不包括A点），速度为2cm/s,若点P、Q分别从B、C同时运动，且运动时间记为t秒，请解答下面的问题，并写出探索的主要过程． （1）当t为何值时，P、Q两点的距离为4cm？ （2）请用配方法说明，点P运动多少时间时，四边形BPQA的面积最小？最小面积是多少？ 【解析】（1）根据勾股定理PC2+CQ2=PQ2，便可求出经过2或s后，P、Q两点的距离为4cm； （2）根据三角形的面积公式S△PCQ=×PC×CQ以及二次函数最值便可求出t=1.75s时△PCQ的面积最大，进而求出四边形BPQA的面积最小值． 解：（1）∵在Rt△ABC中，AC=8cm,BC=6cm, ∴AB=10cm, 设经过ts后，P、Q两点的距离为4cm, ts后，PC=6-t cm,CQ=2t cm, 根据勾股定理可知PC2+CQ2=PQ2， 代入数据（6-t）2+（2t）2=（4）2； 解得t=2或t=， 故t为2或时，P、Q两点的距离为4cm； （2）设经过ts后，△PCQ的面积最大，则此时四边形BPQA的面积最小， ts后，PC=6-tcm,CQ=2t cm, S△PCQ=×PC×CQ=×（6-t）×2t=-t2+6t 当t=-时，即t=3s时，△PCQ的面积最大， 即S△PCQ=×PC×CQ=×（6-3）×6=9（cm2）， ∴四边形BPQA的面积最小值为：S△ABC-S△PCQ最大=×6×8-9=15（cm2）， 当点P运动3秒时，四边形BPQA的面积最小为：15cm2． 能力提升4 1．已知：如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm,BC=7cm.点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．当一个点到达终点时另一点也随之停止运动，设运动时间为x秒， （1）求几秒后，△PBQ的面积等于6cm2？ （2）求几秒后，PQ的长度等于5cm？ （3）运动过程中，△PQB的面积能否等于8cm2？说明理由． 【解析】（1）设经过x秒钟，△PBQ的面积等于6平方厘米，根据点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，表示出BP和BQ的长可列方程求解． （2）根据PQ=5，利用勾股定理BP2+BQ2=PQ2，求出即可； （3）通过判定得到的方程的根的判别式即可判定能否达到8cm2． 解：（1）设 经过x秒以后△PBQ面积为6 ×（5-x）×2x=6 整理得：x2-5x+6=0 解得：x=2或x=3 答：2或3秒后△PBQ的面积等于6cm2 （2）当PQ=5时，在Rt△PBQ中，∵BP2+BQ2=PQ2， ∴（5-t）2+（2t）2=52， 5t2-10t=0， t（5t-10）=0， 解得t1=0（舍去），t2=2， ∴当t=2时，PQ的长度等于5cm. （3）设经过x秒以后△PBQ面积为8， ×（5-x）×2x=8 整理得：x2-5x+8=0 △=25-32=-7＜0 ∴△PQB的面积不能等于8cm2． 2．如图所示，已知在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm,BC=12cm,点Q从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点P从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动． （1）如果Q、P分别从A、B两点同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于8cm2？ （2）在（1）中，△PBQ的面积能否等于10cm2？试说明理由． 【解析】（1）分别表示出线段PB和线段BQ的长，然后根据面积为8列出方程求得时间即可； （2）根据面积为8列出方程，判定方程是否有解即可． 解：（1）设t秒后，△PBQ的面积等于8cm2，根据题意得： ×2t（6-t）=8， 解得：t=2或4． 答：2秒或4秒后，△PBQ的面积等于8cm2． （2）由题意得， ×2t（6-t）=10， 整理得：t2-6t+10=0， b2-4ac=36-40=-4＜0， 此方程无解， 所以△PBQ的面积不能等于10cm2． 3.如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，P、Q、M、N分别从A、B、C、D出发，沿AD、BC、CB、DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止、已知在相同时间内，若BQ＝xcm（x≠0），则AP＝2xcm，CM＝3xcm，DN＝x2cm． （1）当x为何值时，点P、N重合； （2）当x为何值时，以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形． 【分析】（1）由于若BQ＝xcm（x≠0），则AP＝2xcm，CM＝3xcm，DN＝x2cm，而点P、N重合，那么2x+x2＝20，解这个方程即可求出x的值； （2）由于当N点到达A点时，x＝2，此时M点和Q点还未相遇，所以点Q只能在点M的左侧． 以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形时分两种情况： ①当点P在点N的左侧时，由此即可得到关于x的方程，解方程即可； ②当点P在点N的右侧时，由此也可以列出关于x的方程，解方程即可． 【解答】解：（1）∵P，N重合， ∴2x+x2＝20， ∴，（舍去）， ∴当时，P，N重合； （2）因为当N点到达A点时，x＝2，此时M点和Q点还未相遇， 所以点Q只能在点M的左侧， ①当点P在点N的左侧时，依题意得 20﹣（x+3x）＝20﹣（2x+x2）， 解得x1＝0（舍去），x2＝2， 当x＝2时四边形PQMN是平行四边形； ②当点P在点N的右侧时，依题意得 20﹣（x+3x）＝（2x+x2）﹣20， 解得x1＝﹣10（舍去），x2＝4， 当x＝4时四边形NQMP是平行四边形， 所以当x＝2或x＝4时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形． 【点评】此题是一个运动型问题，把运动和平行四边形的性质结合起来，利用题目的数量关系列出一元二次方程解决问题．解题时首先要认真阅读题目，正确理解题意，然后才能正确设未知数列出方程解题． 知识点5 其他问题 典例剖析5 例5-1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以点B为圆心，BC的长为半径画弧，交线段AB于点D，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC于点E，连结CD．设BC＝a，AC＝b； （1）线段AD的长度是方程x2+2ax﹣b2＝0的一个根吗？说明理由． （2）若点E是线段AC的中点，求的值． 【分析】（1）根据勾股定理求出AD，利用求根公式解方程，比较即可； （2）根据勾股定理列出算式，计算即可． 【解答】解：（1）由勾股定理得，AB＝＝， ∴AD＝﹣a， 解方程x2+2ax﹣b2＝0得，x＝＝±﹣a， ∴线段AD的长是方程x2+2ax﹣b2＝0的一个根； （2）∵AD＝AE， ∴AE＝EC＝， 由勾股定理得，a2+b2＝（b+a）2， 整理得，＝， 【点评】本题考查的是勾股定理、一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的求根公式、勾股定理是解题的关键 例5-2．如图，在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为2m,设雕像下部高x m,则可列方程为（　　） A. x2=2x（2-x） B. 2x=x（2-x） C. x2=2（2-x） D. x2=2（2+x） 【答案】C 【解析】设雕像下部高为x m,则雕像上部高为（2-x）m,根据雕像的上部与下部的高度比等于下部与全部的高度比，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 解：设雕像下部高为x m,则雕像上部高为（2-x）m, 根据题意得：=，即x2=2（2-x）． 故选：C． 针对训练5 1．欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax=b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB=90°，BC=，AC=b,再在斜边AB上截取BD=．则该方程的一个正根是（　　） A. AC的长 B. AD的长 C. BC的长 D. CD的长 【答案】B 【解析】表示出AD的长，利用勾股定理求出即可． 解：画Rt△ABC，使∠ACB=90°，BC=，AC=b,再在斜边AB上截取BD=， 设AD=x,根据勾股定理得：（x+）2=b2+（）2， 整理得：x2+ax-b2=0（a≠0，b≠0）， ∵Δ=a2+4b2＞0， ∴方程有两个不相等的实数根，且两根之积为-b2＜0，即方程的根一正一负， 则该方程的一个正根是AD的长， 故选：B． 2．如图，若被击打的小球飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有的关系为h=20t-5t2，则小球从飞出到落地所用的时间为_____s. 【答案】4 【解析】根据关系式，令h=0即可求得t的值为飞行的时间 解： 依题意，令h=0得 0=20t-5t2 得t（20-5t）=0 解得t=0（舍去）或t=4 即小球从飞出到落地所用的时间为4s 故答案为4． 能力提升5 1. 如何利用闲置纸板箱制作储物盒 素材1 如图1，图中是小琴家需要设置储物盒的区域，该区域可以近似看成一个长方体，底面尺寸如图2所示． 素材2 如图是利用闲置纸板箱拆解出的①，②两种均为acm（a＜50cm）长方形纸板． 长方形纸板① 长方形纸板② 小琴分别将长方形纸板①和②以不同的方式制作储物盒． 长方形纸板①的制作方式 长方形纸板②制作方式 裁去角上4个相同的小正方形，折成一个无盖长方体储物盒． 将纸片四个角裁去4个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体储物盒． 目标1 熟悉材料 熟悉按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒能够无缝障的放入储物区域，且恰好没有延伸到过道，则长方形纸板宽a的为 　40　． 目标2 利用目标1计算所得的数据a，进行进一步探究． 初步应用 按照长方形纸板①的制作方式，为了更方便地放入或取出储物盒，盒子四周需要留出一定的空间，当储物盒的底面积是936cm2，求储物盒的容积． 储物收纳 按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，若EF和HG两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为702cm2．如图，是家里一个玩具机械狗的实物图和尺寸大小，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该储物盒． 【分析】（1）由制作过程知小正方形的边长为5（cm），a＝40（cm），再利用面积公式即可得出收纳盒的高为4cm，进而即可得出答案； （2）由盒子的底面积为702cm3得出底面边长17.55cm，然后求出收纳盒的高为11.25cm，与玩具机械狗的高比较大小，进而即可得出答案． 【解答】（1）解：储物区域的长为40cm，由于收纳盒可以完全放入储物区域， 则图1中的四角裁去小正方形的边长为（50﹣40）÷2═5（cm）， 则a＝收纳盒的宽+2×小正方形的边长＝30+2×5＝40（cm）， 由图2知，设上下宽为xcm，左右宽为ycm， ∵两个长方形之间的部分为30×40﹣936＝264（cm²）， 4xy+2（40﹣2y）x+2（30﹣2x）y＝264，（30﹣2x）（40﹣2y）＝936， 则x＝y＝4cm， 所以收纳盒的高为4cm，体积为v＝936×4＝3744（cm3）， 答：储物盒的容积为3744立方厘米； （2）设盒子的另一底边长为xcm， ∵盒子的底面积为702cm3， ∴40x＝702， ∴x＝17.55， ∴收纳盒的高为（40﹣17.55）÷2＝11.25（cm）， ∴100﹣40﹣2×11.25＝37.5＜40 此时EF，HG之间还有一段空隙，在此种情况下 ∵18＞11.25， ∴玩具机械狗不能完全放入该储物； 当EH，HG之间两边恰好重合且无重叠部分，收纳盒的高为（100﹣40﹣40）÷2＝10＜18 ∴玩具机械狗也不能完全放入该储物； 综上所述：玩具机械狗不能完全放入该储物． 答：玩具机械狗不能完全放入该储物． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，合理将实际问题转化成方程（组）是解决此题的关键． 2.某商店购入A，B两款商品，进货价和销售价如表（利润＝销售价﹣进货价）： A款 B款 进货价（元/件） 40 28 销售价（元/件） 55 40 （1）商店购进A，B两款共80件，其中A款购进x件，则商店A，B两款全部售出后可获得的总利润为 　（3x+960）元　（用含x的代数式表示）； （2）商店打算把B款进行调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售出4件，经调查发现，销售价每降价1元，平均每天可多售出2件，问：将销售价格定为每件多少元时，才能使B款平均每天的销售利润为96元？ 【分析】（1）把A，B两款商品的利润相加，即可得到答案； （2）根据总利润等于每件利润乘以销售量列方程可解得答案． 【解答】解：（1）∵（55﹣40）x+（40﹣28）（80﹣x）＝（3x+960）元， ∴商店A，B两款全部售出后可获得的总利润为（3x+960）元， 故答案为：（3x+960）元； （2）设B款销售价格定为每件m元时，才能使B款平均每天的销售利润为96元， 根据题意得：（m﹣28）[4+2×（40﹣m）]＝96， 解得：m＝34或m＝36， 答：B款销售价格定为每件34或36元时，才能使B款平均每天的销售利润为96元． 【点评】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程． 学科网（北京）股份有限公司 $$